kap 02 kombinatorikk
DESCRIPTION
Kap 02 Kombinatorikk. Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk. Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m 2. m 1 ·m 2. m 1. m 1 ·m 2 = 4 ·2 = 8. A. B. C. m 1 =4. m 2 =2. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
11
Kap 02 KombinatorikkKap 02 KombinatorikkKap 02 KombinatorikkKap 02 Kombinatorikk
22
Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk
Av 2 grupper på henholdsvis m1 og m2 enheterkan det dannes m1·m2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe.
m1m2
m1·m2
A B C
m1=4 m2=2
m1·m2 = 4 ·2 = 8
33
Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk
Av n grupper på henholdsvis m1, m2, m3, …, mn enheterkan det dannes m1·m2 ·m3 · · · · mn forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe.
m1 m2
m1·m2 ·m3 · · · mn
A B C
m1=4 m2=2
m1·m2 ·m3 = 4 ·2 ·3 = 24
mn
...
D
m3=3
44
Multiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøk
A
B
C D
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b1
b2
b1
b2
b1
b2
c1
c2
c3
c1
c1
c1
c1
c1
c1
c1
c2
c2
c2
c2
c2
c2
c2
c3
c3
c3
c3
c3
c3
c3
1 a1 b1 c1
2 a1 b1 c2
3 a1 b1 c3
4 a1 b2 c1
5 a1 b2 c2
6 a1 b2 c37 a2 b1 c1
8 a2 b1 c2
9 a2 b1 c3 10 a2 b2 c1
11 a2 b2 c2
12 a2 b2 c313 a3 b1 c1
14 a3 b1 c2
15 a3 b1 c316 a3 b2 c1
17 a3 b2 c2
18 a3 b2 c319 a4 b1 c1
20 a4 b1 c2
21 a4 b1 c3
22 a4 b2 c1
23 a4 b2 c2
24 a4 b2 c3
55
Multiplikasjonsformel - EksempelMultiplikasjonsformel - Eksempel
Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C.Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt.Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog.Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C?Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er: Fra A til B Fra B
til C---------------------------------1 Bil Bil2 Bil Tog3 Tog Bil4 Tog Tog5 Fly Bil6 Fly Tog7 Båt Bil8 Båt Tog ---------------------------------
66
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheterUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter
nnnns ..... )1).....(2)(1()( snnnnn s
1
11
n
sn
s
sn
)!(!
!
!
)(
sns
n
s
n
s
ns
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging
Ordnet
Ikke-Ordnet
77
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - BevisUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging
Ordnet
Ikke-Ordnet
Følger av multiplikasjonssetningen.Første element kan velges på n måter,andre element kan velges på n-1 måter, osv.Følger deretter av multiplikasjonssetningen.
Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging,men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kanordnes på nå skal betraktes som like.
Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger(r1, r2, …, rn) hvert element er valgt ut. ri = sResultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementerkan velges mellom s+n-1 posisjoner.
88
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - TipsUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging
Ordnet
Ikke-Ordnet
- Rekkefølgen har betydning- Et element kan velges flere ganger
- Rekkefølgen har betydning- Et element kan velges høyst en gang
- Rekkefølgen har ingen betydning- Et element kan velges flere ganger
- Rekkefølgen har ingen betydning- Et element kan velges høyst en gang
99
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-dUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging
Ordnet
Ikke-Ordnet
= { aa ab ac adba bb bc bdca cb cc cdda db dc dd }
1642 sn
= { ab ac adba bc bdca cb cdda db dc }
= { aa ab ac adbb bc bd
cc cddd }
= { ab ac adbc bd
cd }
1234)4()( 2 sn
102
5
2
1241
s
sn6
2
4
s
n
1010
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Eks II:Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Eks II:
Med tilbakelegging Uten tilbakelegging
Ordnet
Ikke-Ordnet
- Tipperekke- Nummerskilt
- Verv- Permutasjon- Stafettlag
- Måltid- Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon- Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter- Lottorekke
1111
Ordnet med tilbakelegging - BitOrdnet med tilbakelegging - Bit
Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1.Hvor mange 0-1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? 0
1
n = 2 : Populasjonen består 2 tegn 0 og 1.s = 3 : En 0-1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn.
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tegnene har betydning
(001 er ulik 010).Med tilbakelegging : Et bit kan velges mer enn en gang
(flere av bit’ene kan være like).823 sn 000001010011100101110111
1212
Ordnet med tilbakelegging - TipperekkeOrdnet med tilbakelegging - Tipperekke
Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping?H
U
B
n = 3 : Populasjonen består 3 tegn H,U og B.s = 12 : En tipperekke består av 12 tegn.
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning
(Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…).Med tilbakelegging : Et tippetegn kan velges mer enn en gang,
(flere kamper kan ha samme tippetegn).
531441312 sn
1313
Ordnet med tilbakelegging - IdrettOrdnet med tilbakelegging - Idrett
En friidrettsklubb består av 3 medemmer.1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene.På hvor mange måter kan dette gjøres?
a b c
n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde).
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde).
Med tilbakelegging : En person kan delta i mer enn en øvelse.
932 snaa caab cbac ccbabbbc
1414
Ordnet uten tilbakelegging - IdrettOrdnet uten tilbakelegging - Idrett
En friidrettsklubb består av 3 medemmer.1 person skal velges til å delta i hver av øvelsenelengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene.På hvor mange måter kan dette gjøres?
a b c
n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde).
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde).
Uten tilbakelegging : En person skal ikke delta i mer enn en øvelse.
623)3()( 2 snabacbabccacb
1515
Ordnet uten tilbakelegging - VervOrdnet uten tilbakelegging - Verv
En forening består av 10 personer.3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær.På hvor mange måter kan dette gjøres?
n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer).s = 3 : Et styre på 3 skal velges.
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene
har betydning (ulike verv).Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang
til det samme styret.7208910)10()( 3 sn
a b c d ef g h i j
1616
Ordnet uten tilbakelegging - PermutasjonOrdnet uten tilbakelegging - Permutasjon
En gruppe består av 3 personer.På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø?
a b c
n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 3 : Alle personene skal velges for å plasseres i køen.
Ordnet utvalg : Rekkefølgen av personene har betydning.Uten tilbakelegging : En person kan ikke være plassert
mer enn ett sted ad gangen i køen.6123!3)3()( 3 sn
abcacbbacbcacabcba
1717
Ikke-ordnet med tilbakelegging - MatIkke-ordnet med tilbakelegging - Mat
En familie på 3 medlemmer går ut for å spiseog kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips.Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene(eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)?
Pølse p
chips c
n = 2 : Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips).s = 3 : 3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem).
Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning.
Med tilbakelegging : En rett kan velges av flere personer.
43
4
3
1321
s
sn ppp dvs 3 pølserppc dvs 2 pølser og 1 chipspcc dvs 1 pølse og 2 chipsccc dvs 3 chips
1818
Ikke-ordnet uten tilbakelegging - DelegasjonInndeling i 2 grupperIkke-ordnet uten tilbakelegging - DelegasjonInndeling i 2 grupper
En forening består av 10 personer.En delegasjon på 3 personer skal velges.På hvor mange måter kan dette gjøres?
a b c d ef g h i j
n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer).s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges.
Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene
har ingen betydning.Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang
til den samme delegasjonen.120
3
10
s
n
1919
Ikke-ordnet uten tilbakeleggingRekkefølge av 2 typer objekterIkke-ordnet uten tilbakeleggingRekkefølge av 2 typer objekter
I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite.Røde og hvite kuler er innbyrdes like.På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke?
r h h h hh r r h h
n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (kuler).s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges (eller 7).
Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler
har ingen betydning.Uten tilbakelegging : En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted
ad gangen i rekken.
1203
10
s
nEks: r-h-h-h-h-h-r-r-h-h
Dette er en av rekkefølge-muligheteneog svarer til en av muligheten for å trekke3 elementer fra en populasjon på 10
elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene).
2020
Ikke-ordnet uten tilbakelegging - LottorekkeIkke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke
En lottokupong består av tallene 1,2,3,…,34.En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene.Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto?
1 2 3 …… 34
n = 34 : Populasjonen består 34 elementer (tall).s = 7 : En lottorekke består av 7 tall.
Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning(2-3-5-7-8-20-29 = 5-3-29-8-7-2-20).
Uten tilbakelegging : Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke.
53796167
34
s
n
2121
Grupperinger - 2 grupperGrupperinger - 2 grupper
Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging)på s elementer fra en populasjon på n elementerkan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper:
Gruppe nr 1: s1 = s elementerGruppe nr 2: s2 = n-s elementer
Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på:
!!
!
)!(!
!
!
)(
21 ss
n
sns
n
s
n
s
ns
2222
Grupperinger - 3 grupperGrupperinger - 3 grupper
En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper:
Gruppe nr 1: s1 elementerGruppe nr 2: s2 elementerGruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 elementer
Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:
!!!
!
)!(!!
!
, 32121212
1
121 sss
n
ssnss
n
s
sn
s
n
ss
n
2323
Grupperinger - r grupperGrupperinger - r grupper
En populasjon på n elementer skal deles i r grupper:
Gruppe nr 1: s1 elementer
Gruppe nr 2: s2 elementer
…..Gruppe nr r:sr = n-s1-s2-….. -sr-1 elementer
Antall måter å sette sammen de r gruppene på:
!!.....!!
!
)!.....(!!.....!!
!
..........
,.....,,,
321
13211321
1
221
3
21
2
1
11321
r
rr
r
r
r
ssss
n
ssssnssss
n
s
sssn
s
ssn
s
sn
s
n
ssss
n
2424
Grupperinger - EksempelGrupperinger - Eksempel
En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper:
Gruppe nr 1: s1 = 5 elementerGruppe nr 2: s2 = 2 elementerGruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 = 3 elementer
Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:
2520!3!2!5
!10
2,5
10
, 21
ss
n
2525
Binomialkoeffisient - DefinisjonBinomialkoeffisient - Definisjon
nBinomialkoeffisienten ( ) er definert som:
k
Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging)som vi kan ta ut av en n-mengde.
)!(!
!
!
)1)...(2)(1(
!
)(
knk
n
k
knnnn
k
n
k
nk
k
n
2626
Binomialkoeffisient - EgenskaperBinomialkoeffisient - Egenskaper
nBinomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s
k
n
kn
n
k
n
k
n
k
n
k
n 1
1
1
1
n
n1
0
nn
n
1
2727
Binomialkoeffisient - Pascals trekantBinomialkoeffisient - Pascals trekant
Benytter relasjonen:
k
n
k
n
k
n
k
n 1
1
1
.....
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
.....
1 4 6 4 1
1 3 3 1
1 2 1
1 1
1
=
2828
BinomialformelBinomialformel
n
k
knkn bak
nba
0
)(
16881611421611
42
24
1
24
0
2
42
)4(
:Eksempel
222
021120
2
0
22
xxxxxx
xxx
xk
xk
kk
2929
Binomialformel - BevisBinomialformel - Bevis
n
k
knkn bak
nba
0
)(
1
0
1
1
01101
1
01101
01101
11
11
0
1
1
1
1
00
11
0
1
0
1
1
0
11
0
0000
0
00
1
1
1
0
11
0]
1[
011
][)())(()(
1)(at viseskal dvs 1,r n for sann er formelen at viseSkal
)( dvs r, n for sann er formelen at Anta
0 n for sann er Formelen 11110
00 1)(
r
k
krk
r
k
rrkrkr
k
rrkrk
rrkrkr
k
r
k
krkkrkr
k
r
k
krk
krkr
k
r
k
krkkrkr
k
krkr
k
krkrr
r
k
krkr
r
k
krkr
k
kk
bak
r
bar
rba
rba
k
rba
r
rba
rba
k
r
k
r
bar
rba
rba
k
rba
k
rba
k
rba
k
r
bak
rba
k
rbaba
k
rba
k
rbabababa
bak
rba
bak
rba
babak
ba
3030
ENDENDENDEND
3131
Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging.Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging.
1
1
n
sn
Vi har n elementer.Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger.
…..
r1
r2
rn
Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r1, r2, …, rn) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha: ri = s .Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at ri = s .Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r1+ r2 + … + rn) = n-1+s = n+s-1antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner.
Svaret på dette er:
Med egenskapene til binomialkoeffisienterkan det vises at dette også er lik:
s
sn 1
3232
Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis I
k
n
1!
!
!0!
!
)!(!
!
n
n
n
n
nnn
n
n
n
1!
!
!1
!
)!0(!0
!
0
n
n
n
n
n
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
)!1(
)!1(
)!1(
!
)!1(1
!
)!1(!1
!
1
3333
Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IIBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis II
k
n
kn
n
knnkn
n
kkn
n
knk
n
k
n
)]!([)!(
!
!)!(
!
)!(!
!
3434
Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IIIBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis III
k
n
k
n
knk
n
knknkk
nn
knk
n
knk
n
kknknk
n
knk
n
knk
n
knk
n
knk
n
k
n
k
n
)!(!
!
)!1)(()!1(
)!1(
)()!1()!1(
)!1(
11
)!1()!1(
)!1(
)!1(!
)!1(
)!()!1(
)!1(
]!)1[(!
)!1(
)]!1()1[()!1(
)!1(1
1
1
3535
1
1
)1(
11
:får og
egenskapenbenytter Vi
n
kn
kkn
kn
k
kn
kn
n
k
n
Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IVBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis IV
k
n
1
11
n
kn
k
kn
3636
Binomialkoeffisient - FormelutledningBinomialkoeffisient - Formelutledning
)!(!
!
]12)...1)([(!
]12)...1)([()]1)...(2)(1([
!
)1)...(2)(1(
!
)(
knk
n
knknk
knknknnnn
k
knnnn
k
n
k
nk
k
n