kalkulus isi2 pdf
DESCRIPTION
gassTRANSCRIPT
-
1BAB IBARISAN DAN DERET
1.1 Barisan
Barisan adalah himpunan besaran ...,,, 321 UUUyang disusun dalam urutan tertentu dan masing-masingdibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula, yaitu
)(rfUr Contoh 1 :
1,3,5,7, . . . 2,6,18,54, . . . x[1], x[2], x[3], atau x[k] k = 1,2,3, .
. .
, x[-3], x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2],x[3],
atau x[k] k = , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .
Pola yang terbentuk mempunyai rumus : 1
12n
Pembentukan Rumus :Contoh 2 : Sebuah barisan : 1, 10, 25, 46, 73, 106, ,dst
1 10 25 46 73 106 1
9 15 21 27 33 2
6 6 6 6 konstanGambar 1.1 Pola Barisan
-
2ada 2 step sehingga terdapat komponen berpangkat 2,
sehingga, Rumusnya : 1
2 ckn , nilai k didapat dari
faktorisasi prima (fp) sesuai step dari nilai konstan dannilai c mengikuti urutan awal deret. FP 6 adalah 3 dan 2
sehingga rumusnya menjadi 1
2 23n .
Barisan berhingga (finite sequence) adalah barisan yangbanyak sukunya berhingga.Barisan tak berhingga (infinite sequence) adalah barisanyang tak ada akhirnya.Latihan :carilah rumus barisan dari :a. 3, 15, 35, 63, 99, , dst.b. 2, 30, 106, 254, 498, 862, , dst.c. 3, 38, 133, 318, 623, 1078, , dst.d. 1, 46, 241, 766, 1873, 3886, , dst.
1.2 DeretDeret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan.Contoh 2 : barisan 1,3,5,7deret S=1 + 3 + 5 + 7
n
kn nxLxxkxS
121
Deret ada dua jenis yaitu :1. Deret hitung (arithmetic series)2. Deret ukur (geometric series)Deret berhingga (finite series) adalah barisan yangbanyak sukunya berhingga.
-
3Deret tak berhingga (infinite series) adalah barisan yangtak ada akhirnya
1.2.1 Deret hitung (arithmetic series)Deret Hitung (aritmatika), setiap suku dapat
ditulis dan proses, suku dengan menambah ataumengurangi besaran konstan yg disebut beda biasa.Contoh 3,sebuah deret aritmatika sbb : 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + .
Suku pertama = 2Jarak antar suku = ( 6-2 ) = 4
Bentuk umum deret arimatika ( Un ) :
])1([....)2()(...)()()(
dnadadaadddaddadaa
Sehingga : (1.1)
Dari contoh 3 di atas maka :144)14(24 U
Jumlah suku ke-n deret aritmatika ( Sn ) :Dari contoh 3 di atas bila penjumlahan 5 suku
pertama:S5 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 atau terbalik S5 = 18 + 14 + 10 + 6 + 2 = 50 +
2S5 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 1002S5 = 100 ; S5 = 50
dnaUn )1( a = suku pertama ; d = beda
-
4Artinya:
])1(2[2
])1(2[...])1(2[])1(2[2
....])2([])1([:
])1([....)3()(
dnanS
dnadnadnaSbersamabariskeduapenambahan
adnadnaSsebaliknyatingkatsuku
dnadadaaS
n
n
n
n
Jadi : (1.2)
32]4)14(2.2[24
4 SContoh 4 :
Jika suku ke-7 suatu Deret Hitung adalah 22 dansuku ke-12 adalah 37, tentukan nilai deret ke 10, danJumlah 10 suku pertamanya (S10) ?
37 = a + 11 d (1.3)22 = a + 6 d (1.4)
15 = 5 d d = 3Dengan memasukan nilai d pada persamaan (1.3 atau1.4) didapat nilai a = 4, makaDari persamaan 1 dan 2 didapat :
155)3(942
1031)3(94
10
10
S
U
])1(2[2
dnanSn
-
51.2.2 Deret Ukur (geometric series )Deret Ukur (geometri), suku ditentukan dari suatu
proses perkalian atau pembagian dengan faktor konstandisebut ratio.Contoh 5 ,
Sebuah deret ukur sbb : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .Maka,
Suku pertama : 1
Jarak antar suku :12
= 2 (r = ratio)
Bentuk umum deret geometri adalah :132
...
nararararaa = suku pertama; r = ratio =
a
ar; n = jumlah suku
(1.5)
dari contoh 5 di atas maka dengan menggunakanpersamaan (1.5) maka 82.1 144 UJumlah suku ke-n deret geometri (Sn) :
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ararSSararararrS
ararararaSndikurangkakeduanyabilamaka
ararararrSmenjadirratiodenganKalikan
ararararaS
...
...
:
...
:
...
32
132
32
132
1 nn arU
-
6151
1521
)21(1:5
)0,()6.1(;
1)1(
:
4
4
S
makacontohdarirdgnpertamasukunjumlah
r
raS
makan
n
Contoh 6 :Jika suku ke-5 suatu deret ukur adalah 162 dan
suku ke-8 nya adalah 4374, berapa nilai deret ke-4 (U4 )dan jumlah 4 suku pertamanya (S4) ?
281
162,,327
1624374
53
45
78
anilai
UpersamaandarimakarrarUarU
8031
)31(2162324
4
44
xS
xU
Kalau dideretkan sbb : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 +1458 + 4374 +
1.2.3 Deret Binomial :Deret binomial didasarkan pada aturan segitiga
pascal sebagai berikut :
:
-
7Gambar 1.2 Diagram Pascal
(a+b)2 = 22 2 baba (a+b)3 = 3223 33 babbaa (a+b)4 = 432234 464 babbabaa . Dst
Teorema binomial (n = bilangan positif)
nn
nnnn
bbannn
bannbanaba
...
!3)2)(1(
!2)1()(
33
221
Misalkan a =1, b = x , maka
1< x
-
8nS 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n dst = n r1
Karena merupakan Deret Hitung (aritmatik) dengan a= 1 dan d = 1, maka n buah suku pertama ( Sn ) sbb :
)7.1(2
)1()1(22
)1(22
...543211
nn
nndnan
nrSn
n
2. Jumlah kuadrat n bilangan natural pertama :
)8.1(6
)12)(1(
...54321 21
222222
nnn
nrSn
n
Penjelasan tsb dengan menggunakan diagrampascal atau identitas :
1)1(3)1(3124......1)2(3)2(3235.....1)3(3)3(334
........1)3(3)3(3)3()2(..1)2(3)2(3)2()1(
.......1)1(3)1(3)1(:1
133)1(133)1(
233
233
233
233
233
233
233
233
ndanndan
angkadengandigantinbiladstnnnn
lagisekalinnnnlagisekalinnnn
makandgndigantinBilannnn
nnnn
-
9,)1(331)1(1 1
233 dijabarkannrrn
makabawahkeatasdarindijumlahkan n
)9.1(6
)12)(1(
326
336462
22
)1(3323
3323
331)133(
1
2
23
1
2
2
1
223
1
223
11
223
11
223
nnnr
nnnr
nnrnnn
dikalikanruassemua
nnrnnn
rrnnn
nrrnnn
n
n
n
n
nn
nn
3. Jumlah bilangan asli berpangkat tiga dapat dicaridengan jalan yang sama, hanya kali ini menggunakanidentitas :
(a+1)4 = 1464 234 annnMaka :
)10.1(2
)1(
...54321
2
3
1
333333
nn
nrSn
n
-
10
Contoh 7 : Tentukan jumlah deret
5
1)23(
n
nn
155110456
116522653
6)12)(1(2
2)1(3
23
23
23)23(
5
1
25
1
5
1
25
1
5
1
25
1
5
15
xxxx
nnnnn
nn
nn
nnnnS
dengan cara langsung dapat dihitung sebagai berikut :
1.2.5 Deret Tak Berhingga :
Untuk deret hitung (Aritmatika) ])1(2[2
dnanSn ,dengan nilai tertentu a dan d , sebagai penambahan n,
15565135,544114,42793,31472,2
551,1
)23(5
15
xn
xn
xn
xn
xn
nnS
-
11
demikian juga dengan nilai Sn. dimana jika n , makanS , pada bagian positif maupun negatif tergantung
nilai n .
Untuk deret ukur (geometri)r
raSn
n
1)1(
,
tersedia jika 1r , sehingga n , rn 0 dan
r
aSn 1 (1.11)
1.2.6 Deret Kovergen dan DivergenDeret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju
kesebuah harga tertentu jika n disebut deretKonvergen. Jika (Sn) tidak menuju suatu harga tertentuketika n disebut deret divergen.
Tinjau sebuah deret sbb : ...811
271
91
311 apakah
divergen atau konvergen ?
dimana a =1,31r
r
raSn
n
1)1(
= )311(
23
32311
1)1(1
3131
n
nn
Untuk n ,n3
1 0 maka
23
nnSLt (konvergen) ( Lt = Limit )
-
12
Tinjau sebuah deret sbb : ...8127931 apakahdivergen atau konvergen ?
dimana a =1, 3r , maka
231
31)31(1
nn
nS
Untuk n ,
2231
nS maka
nn
SLt (divergen)Dapat disimpulkan
konvergenmakadefenitnilaiSLt nn
Deret aritmatik selalu divergen
Deret geometri konvergen jika 1r ;divergen jika 1r
1.2.6.1 Uji Kekonvergenan Suatu Deret :Kaidah 1 :
0 nn
uLt , mungkin konvergen dan perlu pengujian,
,0 nn
uLt deretnya divergen
Contoh 8 :
n
1...
81
71
61
51
41
31
211
konvergen ? atau divergen ?
-
13
Jawab :
DivergeninideretS
makaSkarena
dan
bn
an
n
n
n
......
...
21
21
21
21
211
21
81
81
81
81
81
71
61
51
21
41
41
41
31
)........1...81
81
81
81
41
41
211
).......1...81
71
61
51
41
31
211
1...
81
71
61
51
41
31
211
Kaidah 2 : Uji Perbandingan (the comparison test)Suatu deret dengan suku-suku positif akan
konvergen jika suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain. Serupa dengan itu, derettersebut akan divergen jika suku-sukunya lebih besardaripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahuidivergen.Deret pembanding :
)12.1(1...1...51
41
31
21
11
1
n
ppPPPPP nn
Jika p > 1, maka deretnya konvergenJika p 1, maka deretnya divergen
-
14
Contoh 9: Menguji kekonvergenan deret
...
6.51
5.41
4.31
3.21
2.11
...
6.51
5.41
4.31
3.21
2.11 jika dengan deret
1
1...
1...
41
31
21
11
nppPPPP nn
dengan p = 2
konvergendiketahuiinideret
pkarena 2...61
51
41
31
21
11
222222
dst.....31
4.31
;21
3.21
;11
2.11
222 Karena setiap suku tersebut lebih kecil dibandingkandengan deret yg diketahui konvergen, maka deret inikonvergen.
Kaidah 3 : Uji Pembagian (The Ratio Test) (DAlembert)untuk suku positif.
Misalkan : ......4321 nuuuuu adalahderet dengan suku positif. Jika :
-
15
.,1
,1
,1
1
1
1
kesimpulanditarikdapattidakU
ULt
divergenderetU
ULt
konvergenderetU
ULt
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Contoh 10 :
Ujilah deret ...169
87
45
23
11 konvergen
atau divergen :Dari deret tersebut didapat rumus pengganti :
1212
nn
nU
Dengan menggantikan n = n+1 maka,
nnn
nnU2
122
1)1(21)1(1
, sehingga
1212
21
122
212 11
n
n
n
n
UU n
n
n
n, jadi
21
0202
21
/12/12
21
1212
211
n
nLt
n
nLtU
ULt
n
nn
n
n
Karena 11
n
n
n UULt , maka deret ini konvergen.
-
16
Contoh 11 : uji deret ...65
54
43
32
21
21
111
;1 1
n
n
n
nUn
nU nn
101
001/21
/1/212
122
12121
2
2
21
2
21
n
nnLt
nn
nnLtU
ULt
nn
nn
n
n
n
n
UU
n
nn
n
n
n
n
11
n
n
n UULt tak ada kesimpulan, maka deret diuji lagi.
;101
1/11
11
nnnLtULt
nn
nderet ini divergen.
1.2.6.2 Kekonvergenan Mutlak (Absolutely Covergent)Suatu deret yang sukunya bergantian positif dan
negatif (Alternating Series)
Deret : ....41
31
211 deretnya konvergen
Deret : ....41
31
211 deretnya divergen
Jika : ...97531nUMaka : ....97531 nU
-
17
Jika : nU konvergen, maka dikatakan konvergenmutlak (absolutely convergent). Sebaliknya jika nU divergen, tetapi nU konvergen, maka nU konvergen bersyarat (conditionallyconvergent).
Contoh 12 : Tentukan daerah harga x dimana deret berikutkonvergen mutak.
...
5.65.55.45.35.2 55
2
4
3
3
2
2
xxxxx
Penyelesaian :
5
)/21(5)/11(
)2(5)1(
5)1(5)2(
5)2(;5)1(
1
1
11
1
1
1
x
UULt
n
nx
n
nx
x
n
n
x
UU
n
xUn
xU
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
Supaya konvergen mutlak, maka 11
n
n
n UULt ; deret ini
disebut konvergen mutlak jika ,15x yaitu jika 5x
-
18
1.2.7 Deret Pangkat (Power Series)
)13.1(...)()()( 2020100
0
xxaxxaaxxa n
n
m
dimana, a0, a1, a2, konstanta deret
0x suatu konstanta yang disebut pusat deret dan xkonstanta variabel, jika 0x = 0 diperoleh suatu deretpangkat dari pangkat-pangkat dari x.
...
33
2210
0
xaxaxaaxa
n
n
m
1.2.7.1 Interval Konvergensi :
Gambar 1.3 Konvergensi
Secara umum deret pangkat konvergen untukRx dan divergen untuk Rx , dimana R disebut jari-
jari. Untuk Rx deret konvergen, mungkin tidakkonvergen. Interval Rx atau RxR disebutinterval konvergensi deret. Untuk mencari intervaldigunakan test pembagian (Ratio Test).
Divergensi Konvergensi Divergensi
X0-R X0 X0+R
-
19
Jari-jari konvergensi
n
n
n UULt
R1
1
(1.14)
Contoh 13 : Carilah interval konvergensi dari deret =
1
2 3.n nn
n
x
3133
3 222
12
11 xx
n
nLtx
n
n
xLtU
ULtn
n
n
n
n
nn
n
n
Deret konvergen 3x , dan 3x deret jugakonvergen sehingga interval konvergensinya adalah
33 x .
1.2.7.2 Operasi Deret Berpangkat :
Diferensiasi suku demi suku
)15.1(...32
...
2321
0
1'
33
2210
0
xaxaaxnay
xaxaxaaxay
n
n
m
n
n
m
Penjumlahan suku demi suku0n
n
n xa dan 0n
n
n xb
...)()(
)()()(3
332
22
01100
xbaxba
xbabaxban
n
nn
-
20
Perkalian suku demi suku0n
n
n xa dan 0n
n
n xb
2021120
001100
)(
)()()(
xbababa
xbababaxban
n
n
nn
Untuk mencari nilai suatu deret berpangkat dapatdigunakan diferensiasi suku kiri dan kanan :
Contoh 14 : cari deret sin x
!51
1201
;0cos120;0
...7201200cos'''''0;00sin24;0...360120240sin''''
!31
,10cos6;0
...12060246cos'''0;00sin2;0
...30201262sin"10cos;0
....65432cos'...sin
55
65
44
2654
33
36
2543
22
46
32432
1
56
45
34
2321
66
55
44
33
2210
aaxasumsi
xaayaaxasumsixaxaay
aaxasumsi
xaxaxaaxy
aaxasumsixaxaxaxaaxy
axasumsixaxaxaxaxaaxy
xaxaxaxaxaxaaxy
s
Sehingga deret :
-
21
...
!510
!3100sin 53
xxxx
...
!51
!31
sin 53 xxxx dst
Hasil deret tersebut :Tabel 1.1 Hasil Deret
Contoh 15 : carilah nilaixe
1sampai 5 tempat desimal .
Jawab : ...!)1()1(...!3!2!11
11
32
n
xxxxe
nnx
36788,0...000198,0001389,0
008333,0041667,0166667,0500000,011
...
!51
!41
!31
!21
!111
3232
xe
-
22
1.2.8 Polynomial Taylor, Deret Taylor dan DeretMaclaurin
1.2.8.1 Polynomial Taylor :Polynomial taylor tingkat pertama dan kedua pada
x = a
2)()("))((')()(
))((')()(2
2
1
axafaxafafxP
axafafxP
Polynomial taylor tingkat n pada x = a
!)()(...
!3)()('''
!2)()("))((')()(
3
2
n
axafaxaf
axafaxafafxP
nn
n
Gambar 1.4 Polynomial Tingkat satu P1(x) dan dua P2(x)
1.2.8.2 Teorema Taylor :Fungsi f dan turunan f dan f,, f n ada dan
kontinyu pada interval tertutup a x b dan f (n+1) adadalam interval terbuka a < x < b.
-
23
)()()( xRxPxf R(x) = Remainder tingkat n atau error.
Remainder tingkat n =!)1(
))(()(1)1(
n
axcfxR
nn
n
Untuk nila c diantara a dan x.
1.2.8.3 Polynomial Taylor dua variabel bebasPolynomial Taylor dua variabel tingkat pertama
dan kedua f sebagai fungsi variabel bebas, dan nilai f ,x
f
danyf diketahui pada titik x =a, y = b, kemudian
diketahui ),( baf sebagai ),( bax
f ),( ba
yf
),()(
),())((2)(!2
1
),()(),()(),()(
),()(),()(),()(
2
22
2
2
22
2
1
bay
fby
bayxfbyax
x
fax
bayfbyba
x
faxbafxP
bayfbyba
x
faxbafxP
-
24
a h
P
K
X
F(a)F(h+a)
y=F(x+a)
0
Y
1.2.8.4 Deret Taylor :
)16.1(!
)()(...!3
)()('''
!2)()("
!1))((')()(
3
2
n
axafaxaf
axafaxafafxf
nn
Untuk x = a+h pada titik P (lihat gambar !)
)(!
...)('''!3
)("!2
)('!1
)()(3
2
afn
hafh
afhafhafhaf
nn
Gambar 1.5 Grafik Pendekatan Deret Taylor
Contoh 16 : Cari nilai sin o62 sampai dengan lima tempatdesimalDeret taylor dalam pangkat (x-a).
-
25
h
PK
X
F(0)F(x)
Y
0
y=F(x)
...cos!3
)(
sin!2
)(cos)(sinsin
3
2
aax
aax
aaxax
Pilih a = 600 yang dekat dengan 620.Maka,x-a = 620 - 600 = 20 = /90 = 0,0348889maka :
892939,00000035,0000527,00174445,0866025,0
...
21
6)0348889,0(3
21
2)0348889,0(
)0348889,0(213
2162sin
32
0
1.2.8.5 Deret Maclaurin
Gambar 1.6 Grafik Pendekatan Deret Maclaurin
-
26
Contoh 17 : Carilah deret cos 2x dengan deret maclaurinJawab :
)17.1()0(!
...)0('''!3
)0("!2!1
)0('.)0()(32
nn
fn
x
fxfxfxfxf
xxf 2cos)( 10cos)0( fxxf 2sin2)(' 00sin2)0(' fxxf 2cos4)('' 40cos4)0('' f
xxf 2sin8)(''' 00sin8)0(''' fxxf iv 2cos16)( 160cos16)0( ivf ..dst
....
!664
!416
!2412cos
642
xxxx dst
Contoh 18 : selesaikan deret berikut ini (3 suku saja)xe
)xln()x(f 21
Jawab :Menggunakan deret maclaurin pers. (1.17)
x
xe.)xln(
e
)xln()x(f 22 11
Dipisahkan :)xln()x(f 1
01010 ln)ln()(f
-
27
111
1 )x(x)x('f 10110 )('f
1)1()01(1)0(''..)1(
1)1(1)('' 222 f
xxxf
33
)1(2)1(2)('''x
xxf
.. 201
20 3 )()('''f
44
)1(6)1(6)(x
xxf iv 6)01(
6)0( 4 ivf
Dst
Didapat deretnya (lihat tabel di atas)
....
xxxxx)xln(
54321
5432
Untuk deret xe)x(f 2xe)x(f 2 10 02 .e)(f
xe)x('f 22 . 220 02 .e)('fxe)x(''f 24 440 02 .e)(''f
xe)x('''f 28 880 02 .e)('''fDst .
..xxxe
..x!
x!
xe
x
x
322
322
34221
38
2421
-
28
Sehingga,
...
34
23
....)3
2()2
2(
34221
5432
.)1ln()1ln(
32
333
22
325432
22
xxx
xxx
xxx
xxxxxxx
x
exe
x xx
1.3 Tugas
1. Hitung
8
1
2 )23(n
nnn
2. Tentukan deret berikut ini konvergen atau divergen
i. 1 2 1nn
; ii. 23 13 2nn3. Dengan deret Maclaurin, tunjukkan bahwa
a. ...403
6sin
531 xxxx
b. Cari deret xe x 12 sin. (cukup 4 deret )
-
29
BAB IIDIFERENSIAL PARTIAL
2.1 Fungsi Variabel :
Volume V suatu silinder berjari-jari r denganketinggian h dinyatakan oleh hrV 2 .
Gambar 2.1 Tabung
V tergantung dari dua besaran yaitu r dan h,V=V(r,h) Jika r dijaga tetap dan ketinggian h ditambah,maka volume V akan bertambah. Hal ini dapat dicarikoefisien diferensial V terhadap h dengan syarat r dijagakonstan.
Yaitutankonsrdh
dV
dan dituliskan sebagaihV
hV disebut koefisien Turunan Partial V terhadap h.
2r
hV (r =konstan) ; hr
r
V 2 (h = konstan)
h
r
V
-
30
yaitutankonsrdh
dV
dan dituliskan sebagaihV
hV disebut koefisien Turunan Partial V terhadap h.
2r
hV (r =konstan) ; hr
r
V 2 (h = konstan)
2.2 Turunan Parsial2.2.1 Turunan Parsial dari Fungsi z = f(x,y)
Jika z = f(x,y) merupakan fungsi dari x dan y,maka :a) Turunan Parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap x di
setiap titik (x,y) pada permukaan, adalah turunan(pertama) dari z = f(x,y) terhadap x denganmenganggap y sebagai konstanta dan ditulis :
)y,x(fx,z,x
f,
x
)y,x(fatau
x
zx
atau fxatau
0lim),(
x
yxfxx
z )1.2(),(),(x
yxfyxxf
b) Turunan parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap y disetiap titik (x,y) pada permukaan adalah turunan(pertama) dari z = f(x,y) terhadap y denganmenganggap x sebagai konstanta dan ditulis :
)y,x(fy,z,yf
,
y)y,x(f
atauyz
y
atau fyatau
-
31
)2.2(),(),(lim),(0 y
yxfyyxfyxfyyz
y
Contoh 19:
1) Tentukanx
z
dan
yz
dari fungsi berikut :
a) 22 32 yxyxz yx
x
z 34 dan yx
yz 23
b) 22 yxz
2221
22
yxx)x2()yx(
21
x
z
2221
22
yxy)y2()yx(
21
yz
2.2.2 Turunan Parsial dengan fungsi yang memiliki lebihdari dua variabel bebas.Misal w = F(x, y, z, u, v), turunan parsial (pertama)
dari w terhadap x di setiap titik (x, y, z, u, v) adalahturunan (pertama) dari w terhadap x dengan menganggapsemua variabel x, yang ditulis :
)3.2(),,,,(),,,,(lim0 x
vuzyxFvuzyxxFx
w
x
Demikian juga untuk variabel lain, misalnyaTurunan parsial terhadap v, dapat ditulis :
-
32
)4.2(),,,,(),,,,(lim0 v
vuzyxFvvuzyxFv
w
v
Contoh 20 :Tentukan turunan parsial (pertama) terhadap
variabel-variabel bebas dari fungsi berikut :
1. u = zxy)( , maka ln u = z ln (xy)
x
zyxy
zx
u
u
.
1.
1 (diturunkan terhadap x)
1)()(. zz xyyzxy
x
zu
x
z
x
u
yz
xxy
zyu
u
.
1.
1 (diturunkan terhadap y)
1)()(. zz xyxzxy
yz
uyz
yu
)ln(1 xyz
u
u
(diturunkan terhadap z)
)ln()()ln(. xyxyxyuz
u z
2) Turunan parsial pertama dari fungsi berikutzxyzxy)z,y,x(f 32
zyx
f 3 (y dan z = konstan)
zxyf 2 (x dan z = konstan)
xyz
f 32 (x dan y = konstan)
-
33
2.2.3 Diferensial total suatu fungsiUntuk memahami diferensial suatu fungsi total
maka dapat dilihat dari contoh pertambahan kecil suatuvolume selinder :
Dari gambar 2.1 Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan ketinggian h dinyatakan oleh hrV 2 .
2r
hV
(r =konstan) ; hr
r
V 2 (h = konstan)
Jika r adalah pertambahan kecil dari r , h adalahpertambahan kecil dari h dan V adalah pertambahankecil dari V.
r , h , V = pertambahan sangat kecilJika r diubah menjadi rr , dan h menjadi hh , makaV akan berubah menjadi VV . Volume yang baru akanmenjadi
hhV
rr
VV
hrrrhVhrrrhV
ditiadakantinggiberpangkatperubahannpertambahaVhrkarena
hrhrrhrrhrrhVhrhrrhrrhrrhhr
hhrrrrhhrrVV
2
2
222
2222
22
2
2)2(
maka,kecilsangatnpertambaha=,,)22(
)22())(2(
)()(
-
34
Sehingga dapat disimpulkan jika fungsi )y,x(fz makadiferensial totalnya adalah y
yz
xx
zz
, (2.5)
Dimanayzdan
x
z
adalah koefisien diferensial parsial z.
Hal ini berlaku umum dan untuk fungsi dengan tigavariabel bebas )w,y,x(fz maka
)6.2(ww
zyyz
xx
zz
Contoh 21 :
Tentukan diferensial total dari fungsi : xyyxz 333 yx
x
z 33 2
xyyz 33 2
Jadi
yyz
xx
zz
yxyxyx )(3)(3 23 Contoh 22:
Suatu permukaan mempunyai panjang (x) = 35 cmdan lebar (y) = 25 cm. Tentukan harga pendekatanluasnya, jika x bertambah 0,02 cm dan y berkurang 0,03cm.Penyelesaian :
x 0,02 cm , y -0,03 cm, x = 35 cm, y = 25 cm
-
35
Rumus : L = pl = xy = 35 x 25 = 875 cm2
xyLy
x
L
;
Maka :255,0)03,0(35)02.0(25 cmy
yL
xx
LL
Luas Pendekatannya = 875-0,55 = 874,45cm2
Contoh 23 :Jika I=V/R dengan V=220 volt dan R = 50 ohm.
Tentukan Nilai I, jika V bertambah 1 volt dan R berkurang0,5 ohm.Penyelesaian :
V 1 volt , R -0,5 ohm , V= 220 volt , R = 50 ohmMaka ),( RVfI
4,450220
RVI ; 02,0
5011
RV
I ;
088,050220
RV
RI
22
064,0)5,0(088,0)1(02,0
RRIV
VII
I sebenarnya = II = 4,4 +0,064 = 4,464 ampere2.2.4 Aturan Rantai / Fungsi Komposit
Bila sebuah fungsi ),( yxfz , sedangkan)(),( tyytxx , dimana z juga merupakan fungsi dari t
maka ))(),(( tytxfz ,
-
36
Jika ),( yxfz maka diketahui yyz
xx
zz
,
Sekarang dibagi kedua ruas dengan t didapat :
t
yyz
t
x
x
z
t
z
Jika 0t maka persamaan itu menjadi :)7.2(
dtdy
yz
dtdx
x
z
dtdz
merupakan total derivatif z terhadap t.
Demikian juga untuk bentuk ),,( zyxfw sedangkan x,y,z, .. merupakan fungsi dari t , maka wadalah :
)8.2(....
dtdz
z
w
dtdy
yw
dtdx
x
w
dtdw
Contoh 23 :
Carilahdtdz ? Jika tytxyxyxz cos,sin;53 22
Penyelesaian :
Dimana : yxyzyx
x
z 103;32
tdtdy
tdtdx
sin;cos
dtdy
yz
dtdx
x
z
dtdz
= tytyx sin)103(cos)32(
-
37
2.2.5 Pergantian VariabelJika ),( yxfz , sedangkan x = g(r,s), dan y =
h(r,s) maka z fungsi yang dapat diturunkan terhadapvariabel bebas r dan s.
Jika ),( yxfz maka yyz
xx
zz
, maka dapat
dihitung differensial totals
zdanr
z
.
Cara memperolehnya sebagai berikut :Bagikan kedua ruas dengan r didapat diferensial totalnyaadalah :
r
yyz
r
x
x
z
r
z
, bila 0r ,
makadrdx
menjadir
x
dan
drdy
menjadir
y
Sehingga dapat ditulis :
)9.2(drdy
yz
drdx
x
z
drdz
Begitu halnya dengan membagi kedua ruas dengan s ,dengan cara yang sama didapat :
)10.2(dsdy
yz
dsdx
x
z
dsdz
Contoh 24 :
Jika 22 yxz , dengan cosrx dan 2sinry ,carilah
drdz dan
ddz
-
38
drdy
yz
drdx
x
z
drdz
; d
dyyz
ddx
x
z
ddz
xx
z 2
; yyz 2
cosdrdx
; 2sindrdy
;
sinrddx ;
cos2rddy
Sehingga :
2sin2cos2 yxdrdz
cos4sin2 yrxrddz
2.2.6 Fungsi ImplisitDiferensial Parsial dapat juga digunakan untuk
mencari koefisien diferensial dari suatu fungsi implisit.Untuk mendapatkan
dxdy
maka 0),,( yxf , fungsi fdideferensialkan terhadap x dan menerapkan aturan rantai.
Contoh 25 :
Mencaridxdy dari persamaan 02 32 yxyx ,
diasumsikan z = 0, sehingga pesamaannya menjadi32 2 yxyxz , sekali lagi dapat dilihat hubungan dasar
),( yxfz maka yyz
xx
zz
. Dengan demikian
-
39
bila kedua ruas dibagi dengan x maka menjadipersamaan :
x
yyz
x
x
x
z
x
z
Jika 0x , maka : )11.2(dxdy
yz
x
z
dxdz
Karena z = 0, maka 0dxdz
, sehingga persamaan di atas
menjadi :
dxdy
yz
x
z
0 sehingga )12.2(y
zx
z
dxdy
Maka : bila 02 32 yxyxyx
x
z 22
,232 yx
yz
Sehingga,
23222yxyx
dxdy
Contoh 26 :Cari persamaan garis singgung dan garis normal
pada titik p (1,2) dari persamaan 02 32 yxyx622
yxx
z, 1432 2
yxyz
Dari persamaan (2.12) maka
73
146
dxdy
-
40
Persamaan garis singgung :
)1(73
2)1(1 xyxxmyy33147 xy 1737 xy
Persamaa garis normal :
371
1 mm
)1(37
2)1(1 xyxxmyy7763 xy 173 xy
2.2.7 Turunan Parsial Derajat Tinggi),( yxfz
Turunan parsial kedua diberikan simbol sebagaiberikut :
fxxzx
z
xx
zxx
2
2
fyxzyz
xyxz
yx
2
fxyzx
z
yxyz
xy
2
Turunan parsial ketiga diberikan simbol sebagaiberikut :
fxxxzx
z
xx
zxxx
2
2
3
3
-
41
fyxxzyxz
xyxz
yxx
22
3
)13.2(22
2
3
fyyxzyz
yxyz
yyx
Contoh 27:
1) Hitunglah turunan parsial kedua :
xyz
yxz
x
z
22
2
2
,,
2
2
yz
dari 22 52 yxyxz
Penyelesaian :
yxzyzyxz
x
zyx 25;54
422
fxxzx
z
xx
zxx
52
fyxzyz
xyxz
yx
52
fxyzx
z
yxyz
xy
222
fyyzyz
yyz
yy
-
42
2.3 JACOBIAN :Bila f(x,y,u,v) dan g(x,y,u,v)
Matrik Jacobian )14.2(,
,
v
gu
gv
fu
f
vu
gfj
Determinan Jacobian )15.2(,
,
v
gu
gv
fu
f
vu
gfj
Bentuk Matrix Jacobian :
)16.2(
x
fJ
Contoh 28 :cosrx , sinry ; Tentukan determinan
jacobiannya :Jawab :
cosr
x
,
sinrx
sinr
y
, cosrr
y
-
43
Matrix Jacobian :
cosrsin
sinrcosy
r
y
x
r
x
,r
y,xj
Determinan Jacobian :
cosrsin
sinrcosy
r
y
x
r
x
,r
y,xj
= )sinr.(sin)cosr.(cos = 122 )sin(cosr
2.4 Garis Singgung dan Bidang Singgung
Kurva bidang didefinisikan dengan persamaan :)t(hz),t(gy),t(fx
Pada titik )z,y,x(P 0000 untuk 0tt
Gambar 2.2 Bidang Normal dan Garis singgung
-
44
Persamaan Garis Singgung :
)17.2(000
dtdz
zz
dtdy
yy
dtdx
xx
Persamaan Bidang Normal :
)18.2(0)()()( 000 zzdtdzyy
dtdy
xxdtdx
Contoh 29 :Carilah persamaan garis singgung dan bidang
normal pada kurva32
,, tztytx dititik 1tPenyelesaian :Pada titik t=1 atau (1,1,1),
maka 1dtdx
, 22 tdtdy
; 33 2 tdtdx
, maka
Persamaan garis singgung :
dtdz
zz
dtdy
yy
dtdx
xx 000 =3
12
11
1 zzyx
Persamaan bidang normal :
0000 )zz(dtdz)yy(
dtdy)xx(
dtdx
06)1(3)1(2)1( zyx
-
45
2.5 Bidang Singgung dan Garis Normal :Persamaan bidang singgung pada permukaan
0),,( zyxF pada titik ),,( 0000 zyxP ,
0)()()( 000
zzz
FyyyF
xxx
F
Persamaan Garis Normal :
z
Fzz
yFyy
x
Fxx
000
Gambar 2.3 Garis Normal dan Bidang singgung
Contoh 30:Carilah persamaan bidang singgung dan garis
normal :1123 22 yxz pada titik (2,1,3)
01123),,( 22 zyxzyxFPenyelesaian :
126
xx
F; 44
yyF
; 1
z
F
Persamaan bidang singgung :
-
46
0)()()( 000
zzz
FyyyF
xxx
F
0)3(1)1(4)2(12 zyx25412 zyx
Persamaan Garis Normal :
z
Fzz
yFyy
x
Fxx
000
13
41
122
zyx
2.6 Turunan Arah dan Harga EkstrimTurunan Berarah ),( yxf di titik P atau P dengan
arah diberikan oleh :
)19.2(sincos yz
x
z
dsdz
Turunan berarah untuk fungsi ),( yxf dititik ),,( zyxPdengan arah ),,( diberikan oleh :
)20.2(coscoscos z
FyF
x
FdsdF
Gambar 2.4 Kurva Directional Derivatives
-
47
Contoh : Carilah turunan 22 6yxZ pada titik P (7,2)dengan arah 450
Penyelesaian :
sincosyz
x
z
dsdz
= sin12cos2 yx Pada titik P (7,2) dengan arah 045
25)221).(2.(12)2
21).(7.(2
dsdz
2.7 Gradien dari Fungsi :Turunan Berarah fungsi ),( yxf dalam arah s yang
membentuk sudut diberikan oleh :
sincosyz
x
z
dsdz
dsdz
adalah fungsi dari . Arah yang memberikans
z
maksimum dinamakan gradien dari ),( yxf . Untukmendapatkan gradien dari ),( yxf dicari turunan terhadap dan menyamakan dengan nol.
0cossin
y
z
x
z
dsdz
xz
yz
tan )21.2(tan
xz
yz
arc
Arah adalah gradien dari ),( yxf
-
48
2.8 Titik maksimum atau minimumMencari titik maksimum atau minimum relatif dari
fungsi ),( yxf :
0
x
f dan 0
yf
)22.2(22
2
2
2
2
yxf
yf
x
f
Dimana,
< 0 Titik Pelana (saddle point)= 0 Tidak dapat disimpulkan
> 0 dan 022
x
f Titik minimum
> 0 dan 022
x
f Titik maksimum
Contoh 31:Carilah titik maksimum atau minimum dari
persamaan berikut :
2564),( 22 yxyxyxfPenyelesaian :
042
xx
f 2x
062 y
yf 3y
222
x
f, 22
2
yf
, 02
yxf
-
49
40)2)(2(22
2
2
2
2
yxf
yf
x
f
> 0, 022
x
f
Jadi titik (2,3) merupakan titik minimumpada titik (-1,-2)
220)1)(2(22
2
2
2
2
xx
yxf
yf
x
f,
< 0
Jadi titik (-1,-2) merupakan titik pelana (sadle point).Fungsi : yyxxyxf 2
23),(
23
Mempunyai titik minimun di (1,-2)Dan titik pelana (sadle point) di (-1,-2)
Gambar 2.5 Kurva Sadle Point
-
50
Contoh 32:Carilah titik stasioner (maksimum atau minimum)
dari fungsi sebagai berikut :
yyxxyxf 223
),(23
Penyelesaian :
012
xx
f 02 yyf
x= 1, y = -2, dan x=-1, y = -2
,222
xx
f 12
2
yf
, 02
yxf
Pada titik (1,-2)
220)1)(2(22
2
2
2
2
xx
yxf
yf
x
f
> 0, 02222
xx
f
Jadi titik (1,-2) merupakan titik minimum.
2.9 Metode Lagrange
Untuk menentukan harga ekstrim dari fungsi :- f(x,y)- dengan syarat g(x,y,z) = 0
),,(),,(),,( zyxgzyxfzyxF
-
51
,0
x
gx
f ,0
yg
yf
)23.2(,0
z
gz
f
= pengali lagrange
Contoh 33:222),,( zyxzyxf
Tentukan minimum ),( yxf dengan syarat01622 zyx
Penyelesaian :)1622(),,( 222 zyxzyxzyxF
0
x
F, 022 x , x
0
x
F, 02 y ,
21y
0
x
F, 022 z , z
Subsitusi :
016)(221)(2 ,
932 ;
932x ;
916y ;
932z
),,( zyxf minimum81
23049
329
169
32 222
-
52
2.10 Tugas
1. ,)( 222 zyxzyx
u tunjukkan 0
x
uz
yuy
x
ux
2. 222 )( yxxyV dan sin,cos ryrx tunjukkan
bahwa 011 22
22
2
V
rr
Vrr
V
-
53
BAB IIIINTEGRAL RANGKAP
3.1 Konsep :Misalkan sebuah persegi panjang yang dibatasi
oleh empat garis lurus x=r, x=s; y=k, y=m, seperti gambardi bawah ini :
Gambar 3.1 Luas Daerah Segi Empat Kecil
Jika semua elemen a dijumlahkan sepanjang y=m, y=k(vertikal) maka akan menghasilkan :
)1.3(.
my
kyxyA
Maka menjadi gambar sbb :
Gambar 3.2 Luas Daerah a Sepanjang Sumbu y
Y
X
y
x
m
k
r s
a
a =y.x
X
m
k
Y
r s
-
54
Kemudian dijumlahkan sepanjang x=r sampai x=s makamenjadi luas total A sehingga diperoleh :
)2.3(.
sx
rx
my
kyxyA
Maka menjadi gambar sbb :
Gambar 3.3 Luas Daerah Total
Jika y 0, dan x0 maka persamaan di atas menjadi :
)3.3( sx rx my ky dydxABila dihitung maka :
sx rx my ky dydxAdxyA
sx
rx
m
k = dxkmsx rx )(s
rxkmA )( = )).(( rskm Dari gambar di atas maka luas segiempat (mkrs) =(m-k).(s-r). Maka rumus integral rangkap dirumuskan sbb:
dxdyyxfyy
x
x
2
1
2
1
, atau )4.3(),(S
dxdyyxf
X
m
k
Y
r s
-
55
Atau
dydxyxfxx
y
y 21
2
1
, atau S
dydxyxf ),(
dydxyxfxxxx
yy
yy
2
1
2
1
,
Gambar 3.4 Penyelesaian Integral Ganda
Contoh 32:
2
2
02
2
0
2
0
2
0
2
0
12
0
31
0
22
0
3244
32
)31
31(2
31
)231(0)2
31(
)231()2(
satuan
yydyydy
dyydyy
dyyxxdydxyxo
Contoh 33:
drdrdr
2
2
cos30
22cos3
0
222
2
sin31
sin
12
-
56
2
2
2
42
2
2
2
2
5323
4,2
sincos151
sincos151
sin1529
)cos(cos9sincos9
satuan
dd
Note : rumus reduksi :
xdxnnn xxxdx n 214
4 cos1sincos
cos
3.2 Aplikasi Integral Rangkap :
3.2.1 Luas Daerah : S
dydxA = S
dxdyyxf ),(
Contoh 34 :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh5
4xy ,sumbu x, dan ordinat pada x=5.
54xy
Gambar 3.5 Luas Daerah y=4x/5 dan x=5
0 5 X
Y
y
x
Luas Elemen :yx .
Luas Pita :
1
0.
yy
y
xy
-
57
Jumlah semua pita semacam itu sepanjang gambarmemberikan :
5
0
1
0
5
0
1
0
.
.
x
x
yy
y
x
x
yy
y
xy
xyA
Jika y 0, dan x0 maka persamaan di atas menjadi :
2
5
0
2
5
0
5
0
1
0
5
0
5
0
1
0
10)25(52
52
541
satuanx
dxxdxydxy
dxdyAy
y
Contoh 35 :Tentukan luas daerah yang dilingkupi oleh kurva
yang dilingkupi kurva
xy 921 dan 92
2xy )0,0( 21 yy
Pertama-tama kita harus mencari dahulu titik potongnya.Untuk itu 21 yy Sehingga :
819
4xx 02794 xx 0)729( 3 xx
9,0 xx
-
58Tabel 3.1 Hasil Perhitungan
Gambar 3.6 Grafik Hasil perhitungan
-
59
Luas daerah :
9
02
9
0
3
9
0
2
9
0 21
9
0
9
0
27275427
2
93
)(
23
21
1
2
1
2
satuanx
x
dxxx
dxyy
dxydxdyAy
y
yy
Cara 2 :Bila diamati dari sumbu y maka persamaan
9
2
2xy menjadi yx 92 , dan xy 921 menjadi 9
2
1y
x dan luas daerah menjadi :
9
02
9
0
3
9
0
2
9
0 12
9
0 1
9
0
27275427
2
93
)(
23
21
2 2
1
satuanyy
dyyy
dyxx
dyxdydxAx
x
x
x
Contoh 36 :Hitunglah luas bidang datar yang dibatasi oleh garis
xy 2 dan lingkaran 422 yx
-
60
Jawab:
Gambar 3.7 Luas Daerah dibatasi Garis dan Lingkaran
Luas : s
dydxA
Batas ( daerah S)2
21 42 yxyx
dyx
dydxA
yy
y
y
2
0
4)2(
2
0
4
)2(
2
2
|
20
2 24 dyyy
20
221
2124
22sin2
yyyyy
22)0(24
satuan
422 yx
xy 2
x
y
0
20 21 yy
-
61
3.2.2 Pusat Massa (Titik Pusat)
Gambar 3.8 Pusat Masa
Massa Rk pada titik ),( kYkX adalah:)(),( RkAkYkXm dengan ),( yx adalah
kerapatan (massa per satuan luas) dan k = 1, 2, ...,n.
Total Massa (Rtotal): )(),(1
RkAkYkXmn
k
Jika 0P , maka
s
dRyxm ),(
Bila momen dari tiap massakAkYkXkXRk ),( , maka total momen terhadap
sumbu y adalah kkYkXkXMyn
k
),(
1 dan total
momen terhadap sumbu x adalah
kkYkXkYMxn
k
),(
1 . Sehingga titik berat ),( yx
adalah:
s
),( kkk yxR
kx
ky
y
x
-
62
s
s
dAyx
dAyxx
m
Myx
),(
),(
; )5.3(
),(
),(
s
s
dAyx
dAyxy
m
Mxy
Contoh 37:Suatu daerah S memiliki kerapatan xyyx ),(
yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan grafik 32xy tentukan pusat massa dan titik berat.
Jawab :
s
x
dxdyxydAxym8
0 0
32
dxxdxxyx
8
0
37
0
8
0
2
21
2
32
6,1535
768103
21
8
0
310
x
dxdyyxdAyxxMys
x 80 0
232
),(
23,94513288,12
21 8
0
310
dxxdxdyyxdAyxyMx
s
x 80 0
232
),(
-
63
33,3413
102431 8
0
3 dxx
15,66,15333,945
m
Myx 22,2
6,15333,341
m
Mxy
3.2.3 Volume Benda PutarVolume benda putar V yang dibatasi oleh
permukaan ),( yxfz dan alas S [di mana S adalahproyeksi permukaan ),( yxfz terhadap bidang yx atau perpotongan ),( yxfz dengan yx ] adalah:
)6.3(),(s
dydxyxfv
Contoh 38:
1) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh tabungsilinder 222 ayx , z = 0 dan z y = 0.
Jawab:
Gambar 3.9 Volume Benda Putar
-
64
2221 0 xayy
axax 21
a
a
xa
dxdyyV22
0
dxyV xaa
a
22
02 |
21
33
3222
32
|31
21)(
21
satuana
xxadxxa aaa
a
3.2.4 Momen Inersia :Momen inersia yang dipelajari dari energi kinetik
KE, dari suatu partikel m dan kecepatan v, bergerak padasatu garis lurus adalah 221 mvKE , jika rv Dimana = rad/det maka bila disubsitusikan , menjadi
2221 )( mrKE . Suku mr 2 disebut momen inersia
partikel yang ditandai dengan I. Jadi partikel yangberputar itu,
)7.3(221 IKE Untuk sistem n partikel pada suatu bidang bermasa
nmmm ,....,, 21 dan berjarak nrrr ,....,, 21 dari garis L, makamomen inersia sistem itu terhadap L didefenisikan sebagai
)8.3(... 22222211 kknn rmrmrmrmI
-
65
Jika suatu lamina dengan kerapatan ),( yx mencakupsuatu bidang S dari bidang xy ( gambar) maka momeninersia dari tiap keping RK, ditambahkan dan ambil limitke rumus berikut. Momen inersia (momen kedua) laminaterhadap sumbu-sumbu x,y dan z diberikan oleh :
)9.3(),()(
),(),(
22
22
Syxz
SSyx
IIdAyxyxI
dAyxxIdAyxyI
Contoh 39:
Tentukan momen inersia terhadap sumbu x,y, dan zuntuk lamina pada suatu daerah S memiliki kerapatan
xyyx ),( yang dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dangrafik 32xy Jawab :
7,70217
49152
614421
71,8777
614441
8
0
8
03/13
033
8
0
8
03/11
033
3/2
3/2
yxz
S
x
y
S
x
x
III
dxxdxdyyxydAxI
dxxdxdyxydAxyI
-
66
Contoh 40 :Tentukan Ix ,Iy , dan I0 dari daerah yang dibatasi
oleh 0,22 xyx dan 0y .Jawab :
Titik potong garis 22 yx atau xy 22dengan sumbu X adalah x=1
)1(=),(
1
03
38
)1(2
0
1
03
31
1
0
)1(2
0222
dxxdxy
dxdyydAydAyxyI
x
x
SSx
32
)331(10
44132
23
38
1
032
38
xxxx
dxxxx
1
0
10
4413
3132
1
02
)1(2
0
1
02
1
0
)1(2
0222
612)(2
)1(2
),(
xxdxxx
dxxxyx
dydxxdAxdAyxxI
x
x
SSy
65
61
32
0 yx III
3.3 INTEGRAL LIPAT TIGAMisalkan f fungsi dari 3 variabel yang
terdefinisikan melalui suatu kotak B, dimana masing-masing sisinya sejajar dengan sumbu kordinat kartesian.
-
67
Kotak B tersebut dibagi menjadi kotak yang lebihkecil yang dinyatakan dengan Bk, dimana k = 1, 2,3, . . ., n merupakan suatu partisi-partisi (P)
Jika diambil suatu titik kzkykx ,, danmenjumlahkan seluruh kotak-kotak yang kecil itumaka :
)10.3(),,(),,(10
lim dvzyxfVkkzkykxfB
n
kP
dimana zkykxkVk .. adalah volume dari B
Gambar 3.10 Volume Integral Lipat Tiga
B
dvzyxf ),,( , dinyatakan sebagai integral rangkap tiga(tripel integral)Integral rangkap tiga dapat ditulis :
)11.3(),,( dzdydxzyxfB
Mempunyai pengertian sebagai berikut :
-
68
i. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap xdengan menganggap y dan z konstanta
ii. Pengintegralan kedua, adalah hasil dari (i)diintegralkan terhadap y dengan menganggap zkonstanta
iii. Hasil dari (ii) diintegralkan terhadap z.
Bila volume B disajikan dalam batas-batasintegral, maka bentuk diatas dapat ditulis sebagai berikut :
dzdydxzyxfzyx
zyx
zy
zy
z
z
),,(),(2
),(1
)(2
)(1
2
1
dzdydxyxfxxxx
yy
yy
zz
zz
2
1
2
1
2
1
,
Gambar 3.11 Penyelesaian Integral Lipat Tiga
Dimana batas x1 dan x2 merupakan fungsi dari ydan z, batas y1 dan y2 merupakan fungsi dari z dan batas z1dan z2 adalah suatu konstanta.Catatan : Bila batas x1, x2, y1, y2, dan z1 serta z2 diatas
merupakan konstanta, maka volume Bmerupakan suatu kotak (balok) yang setiapsisinya sejajar dengan salah satu bidangkordinat.
12
3
-
69
Contoh 41:
1). dzdydxzyx )2(2
0
1
1
3
1
:
3
31
2
3
1
3
1
3
1
11
21
1
3
1
2
0
1
1
223
1
8
)24()1812(24
)44()222()22(
222)242(
22
satuan
zz
dzzdzzz
dzyzyydzdyzy
dzdyxxyx
2). dxdydzzyxxyx
0
23
0
1
0:
3
1
011
1
0
10
0
1
0
55
0
451
0
00
2231
0
1101
)(110
1101
101
21
)21(
satuan
xdxx
dxyxdydxyx
dxdyzyx
xx
xyx
-
70
3.4 Aplikasi Integral Rangkap Tiga3.4.1 Pusat Massa (titik berat)
Gambar 3.12 Pusat Masa Intergral Lipat Tiga
Massa VzyxB kkkk ,, dengan ),,( zyxadalah kerapatan (massa per satuan volume) padatitik kkk zyx ,, dan k = 1, 2, 3, ... , n.
Total massa B : Vzyxm nk
kkk 1
,,
Jika v
dVzyxmP ,,0
Momen kB pada bidang kkkkk Vzyxzxy ,,
x
y
z
kz
kB),,( kkk zyx
s
xyS
-
71
xyM adalah momen volume benda terhadap
bidang xy )12.3(),,(
),,(
s
sxy
dVzyx
dVzyxz
m
Mz
yzM adalah momen volume benda terhadap bidang
yz )13.3(),,(
),,(
s
syz
dVzyx
dVzyxx
m
Mx
xzM adalah momen volume benda terhadap bidang
xz )14.3(),,(
),,(
s
sxz
dVzyx
dVzyxy
m
My
3.4.2 Volume Benda
Integral rangkap 3, fungsi ),,( zyxf yaitu: )15.3(,, dzdydxzyxf
v
Bila 1),,( zyxf , untuk semua titik di dalam V,
maka daerah integral rangkap tiga tersebut adalahvolume daerah V, sehingga diperoleh:
dzdydxVv
Contoh 42:
Tentukan letak titik berat zyx ,, dari bendayang dibatasi oleh dua silinder 222 azx dan
-
72222 azy dalam okt pertama, bila 1,, zyx .
Jawab :
Gambar 3.12 Letak Titik Berat
2221 0 zaxx
2221 0 zayy
azz 21 0
a za za dzdydxm0 0 0
22 22
a za dzdyza0 0
2222
222 azx
222 azy
y
z
x
-
73
30320
22
32
31
azzadzza aa
a za zaxy dzdydxzM0 0 0
22 22
a za
dzdyzaz0 0
2222
40420
22
41
41
2azz
adzzaz aa
a za zaxz dzdydxyM0 0 0
22 22
a za dzdyzay0 0
2222
dzzay zaa
22
00
222
21
a
a
a
zaza
za
zazdzza
01
422
2
23
22
0
32
22
]sin2
32
3
[81
21
323
223
81 24 aa
a za zayz dzdydxxM0 0 0
22 22
-
74
a za dzdyza0 0
2222
21
32
321
21
20
22
00
22 2322
a
dzzadzyzaaa
za
2
83
;649
;649
am
Mz
am
Myam
Mx
xyxzyz
2) Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh silinder222 ayx bidang z = x dan z = 0
Jawab:
Gambar 3.14 Volume Benda
Batas batas Integral :yzz 21 0
2221 0 xayy
x
y
zyz
0
a
a
-
75
axx 21 0
a xay
dxdydzV0 0 0
22
2
dxydzdyy xaaa xa
2222
00
2
0 0
22
30320
22
32
31
axxaadxxaa aa
3.5 Tugas
1. Hitung Integral 42 21 40 )2( dzdydxzxy2. Buktikan Integral 0 cos40 16(0
2Z ydzdydxy adalah
)43(964
-
76
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J. Purcell, D. Varberg, 1995, Kalkulus danGeometri Analysis, Erlangga.
Anton. H. , 1995, Calculus, John WilleyK.A. Stroud, 1997, Matematika Untuk Teknik,
Terjemahan Erwin sucipto, Erlangga.Frank Ayres, JR PhD. 1981. Defferential and Integral
Calculus, McGraw-Hill.