Kalkulus 1 - Opgaver

Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis

20. januar 2015

Mængder

Opgave 1Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation.

a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100.

b) En mængde B indeholder alle rationelle tal større end 13

og mindre end 7.

c) En mængde C indeholder alle tal i 4-tabellen.

d) En mængde D indeholder alle positive ulige tal.

e) En mængde E indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x.

Opgave 2Opskriv følgende mængder pa listeform

a) {x ∈ R | 4x2 − 4x− 3 = 0}

b) {x ∈ Z | 4x2 − 4x− 3 = 0}

c) {x ∈ N | x gar op i 12}

Opgave 3Reducer følgende intervaller hvis muligt.

a) Bestem (4, 7) ∪ [5, 9] og (4, 7) ∩ [5, 9].

b) Bestem (−2, 9) ∪ (8, 10] og (−2, 9) ∩ [8, 10].

c) Bestem [−2, 5] ∪ (−3, 9] og [−2, 5] ∩ (−3, 9].

d) Bestem [0, 4] ∪ (−5, 11] og [0, 4] ∩ (−5, 11].

e) Bestem (−2, 1] ∪ (2, 5] og (−2, 1] ∩ (2, 5].

1

Opgave 4Betragt mængderne

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 5, 7, 9}

C = {2, 4, 6, 8}

a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder.

b) Bestem A ∪B

c) Bestem A ∩ C

d) Bestem A ∪B ∪ C

e) Bestem A ∩B ∩ C

Opgave 5Lad A,B,C være mængder. Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer:

a) A ⊆ B ⊆ C

b) A ⊆ C, B ⊆ C og A ∩B = ∅

c) A ∩B ⊆ C, men hverken A eller B er delmængder af C.

Opgave 6Tegn følgende mængder i et koordinatsystem

a) A = {1, 2, 3} × {1, 2, 3}

b) B = {(x, y) ∈ R2 | |x|+ |y| ≤ 1}.

c) C = [2, 4)× (−1, 3].

d) D = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x+ 1}.

e) E = {(x, y) ∈ R2 | |x+ y| ≤ 1}.

Opgave 7 (svær)a) En mængde C indeholder alle de punkter i R2, der ligger inden i (og altsa ikke pa) en

cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenota-tion.

b) En mængde K indeholder alle de punkter i R3, der ligger inden i eller pa en kuglemed radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden med korrekt mæng-denotation.

2

Opgave 8Betragt mængderne

C1 = {(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2 + y2 = 1}C2 = {(x, y) ∈ R2 | (x+ 1)2 + y2 = 1}

Bestem C1 ∩ C2.

Opgave 9 (svær)I denne opgave betragter vi planen R2.

a) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden 1 eller mindre til punktet(2, 2).

b) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden r eller mindre til punktet(a, b), hvor a, b, r ∈ R.

Opgave 10 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991)Betragt den reelle talplan R2.

a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt sa langt fra punktet P = (3, 0)som fra punktet O = (0, 0).

b) Tegn mængden.

Opgave 11a) Vis at

{x ∈ R | 1

x2< 16} ⊆ {x ∈ R | x > 1

5}

b) Vis at

{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} ⊆ {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}

Opgave 12 (svær)Bestem

∞⋂n=1

[−1, 1− 1

n]

og vis at din pastand er korrekt.

Opgave 13 (svær)Bestem

∞⋃n=1

[−1, 1− 1

n]

og vis at din pastand er korrekt.

3

Opgave 14I denne opgave skal vi vise, at et ”rektangel”, hvor den ene side har længden 2 og den andenside er uendelig lang kan dækkes af uendeligt mange enhedscirkler uden at cirklerne pa nogetsted stikker ud over rektanglets kanter. Lad os først fa et overblik over vores rektangel.

a) Tegn mængdenR = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1}

i et koordinatsystem.

Mængden af punkter, der ligger i en cirkelskive med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b ∈ Rbetegnes

C((a, b), r) = {(x, y) | (x− a)2 + (y − b)2 ≤ r2}

Lad os nu betragte mængderne

Ct((t, 0), 1) = {(x, y) | (x− t)2 + y2 ≤ 1}

for alle t ∈ R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde.

b) Tegn foreningen af familiens mængder ⋃t∈R

Ct

i et koordinatsystem

c) Vis at ⋃t∈R

Ct = R

Mængden af punkter, der ligger pa en periferien af en cirkel med radius r og centrum i (a, b),hvor a, b ∈ R betegnes

P ((a, b), r) = {(x, y) | (x− a)2 + (y − b)2 = r2}

Betragt nu mængderne

Pt((t, 0), 1) = {(x, y) | (x− t)2 + y2 = 1}

for alle t ∈ R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde.

d) Vis at ⋃t∈R

Pt =⋃t∈R

Ct

4

Funktionsbegrebet

Opgave 15Vi betragter funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = 3x− 2

Bestem f(0), f(2) og f(−2).

Opgave 16Vi betragter funktionen g : R→ R givet ved forskriften

g(x) = 2x+ 3

Løs ligningen g(x) = 18.

Opgave 17Vi betragter funktionerne f og g, som de er defineret i opgave 15 og 16. Lad Gf betegnegrafen for f og lad Gg betegne grafen for g.

a) Tegn graferne for de to funktioner i et koordinatsystem.

b) Opskriv graferne med korrekt mængdenotation.

c) Bestem Gf ∩Gg. (HINT: Løs ligning f(x) = g(x))

Opgave 18Vi far at vide, at om en funktion f : R → R gælder, at den kan beskrives med en regel paformen

f(x) = ax+ b

hvor a, b ∈ R. Desuden far vi at vide, at f(0) = 0 og f(2) = 4. Bestem a og b.

Opgave 19Vi betragter funktionen p : R→ R givet ved forskriften

p(x) = 4x2 + 4kx+ k2

Bestem k sa p(−2) = 0.

Opgave 20Vi betragter funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = ax+ a

Bestem a sa f(a) = 0.

Opgave 21Det oplyses at en funktion f : R→ R opfylder at

f(xy) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ R

Vis at f(1) = 0. Vis herefter at f( 1x) = −f(x) for alle x ∈ R.

5

Opgave 22Vi betragter en funktion f , som opfylder

f(x+ 1) = xf(x) + 2

for alle reelle tal x. Bestem f(2).

Opgave 23 (GM 1999)En funktion f opfylder

f(x) + xf(1− x) = x

for alle reelle tal x. Bestem tallet f(2). Bestem en forskrift for f .

6

Modeller med funktioner

Opgave 24En bil kører ud af en vej med en konstant hastighed pa 75 km/t. Definer en funktion, f , derbeskriver, hvor langt bilen er naet som funktion af tiden, t. Det betyder, at du skal vælge etdomæne, et kodomæne og opstille en forskrift for funktionen.

Opgave 25To taxaselskaber har forskellige priser. Selskab 1 har et startgebyr pa 30 kr.,og prisen pr. kmer 21 kr. Selskab 2 har et startgebyr pa 10 kr. og prisen pr. km er 26 kr.

a) Opstil prisen for en taxatur hos hhv. selskab 1 og selskab 2 som funktion af antal km.

b) Hvilket selskab er billigst at køre med, hvis turen er 5 km lang?

c) Findes der nogen ture, hvor de to selskaber er lige dyre? Hvilke(n)?

Opgave 26Anne og Peter løber om kap pa en bane. De tager begge skridt af 1,6 meter, men Peter tagersine skridt 1,5 gange sa hurtigt som Anne. Anne starter 8 meter inde pa banen, mens Peterstarter fra starten.

a) Definer en funktion, A(x), der angiver hvor langt Anne er kommet pa banen somfunktion af antal skridt, x, hun har taget.

b) Definer en funktion, P(x), der angiver hvor langt Peter er kommet, som funktion afantal skridt Anne har taget, x.

c) Hvor mange skridt nar Anne at tage inden Peter har indhentet hende?

7

Polynomier

Opgave 27Bestem rødderne i følgende polynomier. Bestem desuden f(0) for hvert polynomium.

a) f(x) = x2 − 1

b) f(x) = x2 + 5x+ 6

c) f(x) = −x2 − 5x− 6

d) f(x) = 2x2 + 6x+ 4

e) f(x) = −x2 + 5x− 6

f) f(x) = x3 − x2 − 6x

g) f(x) = 4x2 − x+ 2

Opgave 28Bestem toppunktet for følgende polynomier og skitser dem.

a) f(x) = x2 − 1

b) f(x) = x2 + 5x+ 6

c) f(x) = −x2 − 5x− 6

d) f(x) = 2x2 + 6x+ 4

e) f(x) = −x2 + 5x− 6

f) f(x) = 4x2 − x+ 2

Opgave 29En funktion f : R → R, som opfylder at f(−x) = f(x) kaldes en lige funktion, mens enfunktion som opfylder f(−x) = −f(x) kaldes en ulige funktion. Vis at funktionen givet vedforskriften

g(x) = x4 + x2

er en lige funktion. Hvilken linje er alle lige funktioner symmetrisk omkring?Vis herefter at funktionen givet ved forskriften

f(x) = x3 + x

er en ulige funktion. Hvilke linjer er alle ulige funktioner spejlinger omkring?

8

Sammensatte funktioner

Opgave 30Definer funktionerne f : R→ R, g : R→ R og h : R→ R ved følgende forskrifter

f(x) =1

3x+ 2, g(x) = 3x2, h(x) = 3x− 6

Bestem forskriften for følgende sammensatte funktioner

a) f ◦ g(x)

b) g ◦ f(x)

c) h ◦ g(x)

d) f ◦ h(x)

e) h ◦ f(x)

Hvad gælder om funktionerne f og h?

9

Inverse funktioner

Opgave 31Tegn følgende funktioner og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive.Find den inverse, hvis den eksisterer.

a) f : R→ R, hvor f(x) = 2x

b) f : R→ R, hvor f(x) = 4x

c) f : R→ R, hvor f(x) = ax

d) f : R→ R, hvor f(x) = 2x+ 1

e) f : R→ R, hvor f(x) = 3x+ 3

f) f : R→ R, hvor f(x) = ax+ b

Opgave 32Tegn følgende funktioner (evt. pa computer) og afgør ud fra grafen, om de er injektive,surjektive eller bijektive. Vælg X og Y (sa store som muligt), sa funktionen bliver bijektiv,og find herefter den inverse funktion.

a) f : X → Y , hvor f(x) = x2

b) f : X → Y , hvor f(x) = x3

c) f : X → Y , hvor f(x) =√x

d) f : X → Y , hvor f(x) = 1x

e) f : X → Y , hvor f(x) = x2 + 2x (svær)

Opgave 33Betragt funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = x3 + 2x2

Du far at vide, at f har lokalt maksimum i x = −43. Indel R i intervaller, sa f er injektiv pa

hvert interval.

10

Generelle egenskaber ved funktioner

Lad f : X → Y være en funktion og lad A ⊆ X være en delmængde af X. Mængden

f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f(x) = y}

kaldes billedet af A under f . Intuitivt indeholder mængden alle funktionsværdierne hørendetil elementerne i A.

Opgave 34Betragt funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = x2

a) Bestem f([−1, 1])

b) Bestem f(∅)

c) Bestem f(R)

Opgave 35Betragt nu funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = x3 − 4x

a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Tegn en skitse af grafen for f .

c) Bestem f({r1, r2, r3}), hvor r1, r2 og r3 betegner rødderne, som du fandt i spørgsmala).

Lad f : X → Y være en funktion og lad B ⊆ Y være en delmængde af Y . Mængden

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}

kaldes urbilledet af B under f . Intuitivt indeholder mængden alle x ∈ X, hvor funktions-værdien af x ligger i B.

11

Opgave 36Betragt funktionen f : R→ R givet ved forskriften

f(x) = 2x2 + 2x− 4

a) Bestem f−1({0})

b) Bestem f−1([−5, 0])

c) Bestem f−1({8})

d) Bestem f−1({−10})

Opgave 37Vi betragter funktionen f : X → Y og delmængderne A,B ⊆ X og C,D ⊆ Y .Afgør om følgende udsagn er sande. Hvis du mener et udsagn er sandt, skal du bevise det,og hvis du mener det er falsk, skal du give et modeksempel.

a) f(A) ∪ f(B) = f(A ∪B)

b) f(A) ∩ f(B) = f(A ∩B)

c) f−1(C) ∪ f−1(D) = f−1(C ∪D)

d) f−1(C) ∩ f−1(D) = f−1(C ∩D)

12

Eksponentielle udviklinger

Opgave 38Du har 1000 kr., som du gerne vil sætte i banken. Banken giver dig 5% i rente pr. ar.

a) Opstil en funktion f : N → Q, der beskriver hvor mange penge, du har staende padin konto efter x ar.

b) Hvorfor er funktionens domæne N?

c) Hvor mange penge har du pa din konto efter 10 ar?

Opgave 39Forstil dig, at du har et stykke papir med arealet 100cm2. Du folder nu papiret pa midten.Herefter folder du igen papiret pa midten, osv.

a) Hvor stort er arealet, nar du har foldet papiret 3 gange? 4 gange?

b) Opstil en funktion f : N → Q, der beskriver hvor stort arealet er, nar du har foldetpapiret x gange.

c) Hvorfor er funktionens kodomæne Q?

d) Omskriv forskriften for f , sa den har formen f(x) = ba−x.

13

Opgave 40Du har besluttet dig for, at du har brug for en tur i en varm sauna. Men saunaen er kun stu-etemperatur, dvs. 20◦C. Efter du har tændt for saunaen kan du se pa saunaens termometer,at temperaturen i saunaen stiger med 4◦C pr. minut indtil temperaturen i saunaen er 80◦C.Herefter er temperaturen konstant.

a) Opstil en funktion f : [0,∞)→ R, der beskriver temperaturudviklingen i saunaen.

b) Hvorfor er funktionens domæne [0,∞)?

c) Hvorfor er funktionens kodomæne R?

Efter halv time i saunaen har du faet nok. Derfor slukker du for saunaen og abner vinduetfor at køle saunaen ned igen. Antag at det er vinter og temperaturen udenfor er 0◦C. Narvinduet abnes falder temperaturen hurtigt i starten, men efterhanden som temperatureni saunaen nærmer sig 0◦C falder temperaturen langsommere, fordi forskellen i temperaturudenfor og inden i saunaen bliver mindre. For at kunne beskrive temperaturudviklingen hardu besluttet at indsamle data om temperaturudviklingen. Da saunaen nar op pa 80◦C abnerdu vinduet og kigger pa saunaens termometer. Hvert minut noterer du temperaturen, hvilketfører til følgende skema.

Tid i minutter 0 1 2 3Temperatur i ◦C 80 72 64,8 58,32

d) Hvor mange procent falder temperaturen hvert minut?

e) Antag at temperaturen bliver ved med at falde pa denne made. Opstil en funktionf : [0,∞) → R, der beskriver temperaturen i saunaen efter vinduet er abnet somfunktion af tiden.

f) Opstil en funktion der beskriver temperaturen i saunaen fra du tænder den, til dener fuldstændigt afkølet.

g) Skitser funktionen i et koordinatsystem.

14

Eksponential- og logaritmefunktioner

Opgave 41Udregn følgende.

a) log8(64) =

b) log3(27) =

c) log3(1) =

d) log4(64) =

e) log4(1) =

f) log√2(2) =

Opgave 42Vi betragter funktionen f : R→ R+ givet ved forskriften f(x) = ax, hvor a > 1.

a) Bestem f(0) for ethvert a.

b) Hvad sker der med f(x) nar x bliver meget negativ (nærmer sig −∞)?

c) Antager funktionen nogensinde værdien 0? Hvorfor? Hvorfor ikke?

d) Hvad sker der med f(x), nar x bliver meget stor?

e) Skitser grafen for f .

Opgave 43Vi betragter funktionen g : R+ → R givet ved forskriften g(x) = loga(x), hvor a ∈ R+.

a) Bestem g(1) for ethvert a.

b) Hvad sker der med g(x) nar x nærmer sig 0?

c) Bestem g(0). Har udtrykket mening? Hvorfor? Hvorfor ikke?

d) Har loga(x) mening for x < 0? Hvorfor? Hvorfor ikke?

e) Hvad sker der med g(x), nar x bliver meget stor?

f) Skitser grafen for g.

g) Sammenlign din skitse af g med din skitse af f fra opgave 42. Hvad ser du?

15

Opgave 44 (svær)Lad a, b ∈ R+.

a) Vis at ln(a) + ln(b) = ln(ab)

b) Vis at ln(a)− ln(b) = ln(ab)

c) Vis at ln(an) = n · ln(a)

d) Vis at ln(x) = ln(a) · loga(x)

Opgave 45Benyt logaritmeregnereglerne til at reducere følgende udtryk mest muligt.

a) ln(8) + ln(2)− ln(4) =

b) ln(8) + ln(4)− ln(2) =

c) ln(4)− 2 ln(2) =

d) ln(4)− ln(2) + ln(5) =

e) ln(81)− ln(9)− ln(3) =

f) ln(e)− ln(1) + ln(e2) + ln(6)− ln(2) + ln(3) =

Opgave 46Løs følgende ligninger.

a) ln(5x) = 0

b) 10x = 7

c) ln(x) = 1, 3

d) ln(4x) = 1

e) ln(12x+ 40) = −2

f) eln(x−1)+1 = e

Opgave 47 (opgave 38 fortsat)Hvor mange ar gar der, før der star (mere end) 1 mio. kr pa kontoen?

Opgave 48 (opgave 39 fortsat)Hvor mange gange skal papiret foldes, hvis arealet skal være mindre end 1cm2?

16

Trigonometriske funktioner

Opgave 49Brug enhedscirklen til at bestemme følgende værdier for sinus og cosinus.

a) cos(0) =

b) sin(0) =

c) cos(π2) =

d) sin(π2) =

e) cos(π) =

f) sin(π) =

g) cos(32π) =

h) sin(32π) =

i) cos(2π) =

j) sin(2π) =

Opgave 50a) Argumenter ud fra enhedscirklen for at cos(π

4) = sin(π

4).

b) Bestem cos(π4). (HINT: Brug Pythagoras’ sætning)

c) Bestem sin(34π)

Opgave 51Pa næste side finder du en skitse af enhedscirklen. Angiv koordinater til alle punkter, der ermarkeret pa skitsen. Udnyt dine resultater fra opgave 49 og opgave 50.

Opgave 52Vi har set at grader og radianer er to sider af samme sag, nemlig at male vinklers størrelse.Benyt nu enhedscirklen til at omregne fra grader til radianer.

a) En vinkel V er 90 grader. Hvor mange radianer er vinklen?

b) En cirkel er 360 grader. Hvor mange radianer er en cirkel?

c) En vinkel U er 60 grader. Hvor mange radianer er vinklen?

d) Kan du opstille en generel formel for hvordan man omregner fra grader til radianer?

17

x

y

π4

π2

3π4

π

5π4

3π2

7π4

2π

Opgave 53Vis at sin2(x) + cos2(x) = 1. (HINT: Brug samme ide som i opgave 50 spørgsmal b))

Opgave 54Vi betragter to ligedannede trekanter 4ABC og 4A1B1C1. At trekanterne er ligedannedebetyder, at den ene er en forstørrelse af den anden, altsa

a · k = a1, b · k = b1, c · k = c1, k ∈ R

Specielt har de to trekanter ens vinkler.

a) Vis ata1a

=b1b

=c1c

b) Vis nu atb

c=b1c1

Det oplyses nu at trekanterne er retvinklede og c = 1. Herunder ses en skitse af de totrekanter.

c) Vis at cos(A) =b1c1

d) Vis at sin(A) =a1c1

Betragt en vilkarlig retvinklet trekant. De to korte sider kaldes kateter, mens den længsteside kaldes hypotenusen. Lad V betegne en af de to spidse vinkler.

e) Forklar hvorfor følgende formler altid gælder

cos(V ) =hosliggende katete

hypotenusensin(V ) =

modstaende katete

hypotenusen

19

Opgave 55 (svær)I denne opgave skal du bevise additionsformlen for sinus

sin(x+ y) = sin(y) cos(x) + sin(x) cos(y)

Delopgaverne vil give dig alle de byggesten du har brug for til at vise sætningen. Derfor erdet vigtigt, at du løser delopgaverne i alfabetisk rækkefølge. Nendenfor ser du en skitse afenhedscirklen. Alle referencer til punkter og linjer i opgaven er til skitsen. Punkterne G ogF er afsat ved at bevæge sig henholdsvis afstanden y og x+ y langs enhedscirklen.

a) Argumenter for at sin(x+ y) = |BE|+ |DF |.

b) Argumenter for at |BE| = sin(y) · |OE|.

c) Argumenter for at 4OAC og 4CEF er ensvinklede.

d) Argumenter for at da ma 4OAC og 4DEF ogsa være ensvinklede.

e) Argumenter for at |DF | = cos(y) · |EF |.

Ovenstaende kan kombineres til

sin(x+ y) = sin(y) · |OE|+ cos(y) · |EF |

Vi mangler altsa blot at argumentere for, at |OE| = cos(x) og |EF | = sin(x).

f) Argumenter for at |OE| = cos(x). (HINT: Drej figuren med uret)

g) Argumenter for at |EF | = sin(x)

h) Sætningen er nu vist. Men har vi vist sætningen for alle x, y ∈ R? Er det et problem?

20

Opgave 56 (svær)I denne opgave skal vi bruge additionsformlen for sinus til at vise additionsformlen for cosinus

cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)

Vi viser først to delresultater, som der bliver brug for i det endelige bevis.

a) Vis at sin(x+

π

2

)= cos(x).

b) Vis at − sin(x) = cos(x+

π

2

). (HINT: Undersøg sin

(x+

π

2− π

2

))

c) Vis additionsformlen for cosinus. (HINT: Udnyt at sin(x+ y +

π

2

)= cos(x+ y))

Opgave 57 (svær)En funktion sige at være lige hvis f(−x) = f(x) og ulige hvis f(−x) = −f(x). Vi skal nuvise, at sinus er en ulige funktion, og cosinus er en lige funktion.

a) Vis at cos(x) sin(−x) + cos(−x) sin(x) = 0

b) Vis at cos(x) cos(−x)− sin(x) sin(−x) = 1

Vi er nu klar til at vise sinus og cosinus er henholdsvis ulige og lige. Det gøres ved atopfatte ligningerne fra a) og b) som et kvadratisk ligningssysem, hvor cos(−x) og sin(−x)er variable.

c) Løs ligningssystemet.

cos(x) sin(−x) + cos(−x) sin(x) = 0cos(x) cos(−x)− sin(x) sin(−x) = 1

Hermed er det ønskede vist.

21

Grænseovergange

Opgave 58Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.

a) Betragt f(x) = x og afgør f(x)→ ? nar x→ 0

b) Betragt f(x) = x og afgør f(x)→ ? nar x→∞

c) Betragt f(x) =1

xog afgør f(x)→ ? nar x→ 0

d) Betragt f(x) =1

xog afgør f(x)→ ? nar x→∞

e) Betragt f(x) = x2 og afgør f(x)→ ? nar x→ 0

f) Betragt f(x) = x2 og afgør f(x)→ ? nar x→∞

g) Betragt f(x) =x

x2og afgør f(x)→ ? nar x→ 0

h) Betragt f(x) =x

x2og afgør f(x)→ ? nar x→∞

Opgave 59Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.

a) Betragt f(x) = ex og afgør f(x)→ ? nar x→ 0

b) Betragt f(x) = ex og afgør f(x)→ ? nar x→∞

c) Betragt f(x) = ex og afgør f(x)→ ? nar x→ −∞

d) Betragt f(x) =ex

xog afgør f(x)→ ? nar x→∞

e) Betragt f(x) =x

exog afgør f(x)→ ? nar x→∞

f) Betragt f(x) =x

exog afgør f(x)→ ? nar x→ −∞

Opgave 60Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne.

a) Betragt f(x) =√x og afgør f(x)→ ? nar x→ 0

b) Betragt f(x) =√x og afgør f(x)→ ? nar x→∞

c) Betragt f(x) =

√x

xog afgør f(x)→ ? nar x→∞

d) Betragt f(x) =

√x

xog afgør f(x)→ ? nar x→ 0

22