joukowski transform and flow

8/12/2019 Joukowski Transform and Flow

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J O U K O W S K I T R A N S F O R M A N D F L O W

A R O U N D A E R O F O I L S

M i t j a U r s i c

M e n t o r : p r o f . d r . R u d i P o d g o r n i k

F a k u l t e t a z a m a t e m a t i k o i n z i k o

O d d e l e k z a z i k o

T e h n i c n a s m e r

5 t h J a n u a r y , 2 0 0 0


2/14

A b s t r a c t

T h e r s t t h i n g t h a t w e w i l l d i s c u s s i n t h i s s e m i n a r i s t h e s t r e a m f u n c t i o n a n d v e l o c i t y

p o t e n t i a l f o r p e r f e c t u i d s . W e w i l l t h e n i n v e s t i g a t e c h a r a c t e r i s t i c s o f a m a p p i n g f u n c -

t i o n Z ( z ) , t h a t m a p s t h e c i r c l e o n t o t h e e l l i p s e .

T h e s e c o n d p a r t o f t h e s e m i n a r w i l l s h o w u s h o w t h e l i f t i s c r e a t e d o v e r a c y l i n d e r .

T h e t h i r d p a r t w i l l l e a d u s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a e r o f o i l s . W e w i l l s e e w h i c h

s h a p e s a v o i d t h e e s c a p e o f t h e u i d f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r .

A t t h e e n d , w e w i l l l o o k a t t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l . W e w i l l s e e h o w i t i s c r e a t e d a n d

w h a t k i n d o f J o u k o w s k i a e r o f o i l s e x i s t .

F i g u r e 1 : T h e d e v e l o p m e n t o f s t e a d y o w w i t h t i m e ( j u s t a f t e r s t a r t , a t i n t e r m e d i a t e t i m e

a n d a s s t e a d y o w ) .


3/14

C o n t e n t s

1 P r e f a c e 2

2 A n a l y t i c f u n c t i o n s a n d c o n f o r m a l m a p p i n g 2

2 . 1 S t r e a m f u n c t i o n a n d v e l o c i t y p o t e n t i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 . 2 C o n f o r m a l m a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 . 3 E l e m e n t a r y o w s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 L i f t i n g o w o v e r a c y l i n d e r 4

4 C h a r a c t e r i s t i c s o f a e r o f o i l s 6

4 . 1 E l l i p t i c c y l i n d e r a n d a t p l a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 T h e J o u k o w s k i a e r o f o i l 9

5 . 1 T y p e s o f t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

6 C o n c l u s i o n 1 2

7 R e f e r e n c e s 1 2

1


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1 P r e f a c e

I n t h i s s e m i n a r , w e w i l l d e a l w i t h i n v i s c i d a n d i n c o m p r e s s i b l e o w . F r o m a n a e r o d y -

n a m i c p o i n t o f v i e w , t h e a i r d e n s i t y b e t w e n 0 a n d 1 3 0 m / s , r e m a i n s a l m o s t c o n s t a n t

t h a t i s w h y w e c a n s a y t h a t w e d e a l w i t h i n c o m p r e s s i b l e o w . I f w e i g n o r e t h e e e c t s o f

f r i c t i o n , t h e r m a l c o n d u c t i o n a n d d i u s i o n , t h e n w e s a y t h a t w e d e a l w i t h i n v i s c i d o w .

O n t h e o t h e r h a n d , w e m u s t t a k e v i s c i d u i d s a t b o u n d a r y l a y e r . T h e r e w e c a n h a v e a

v e r y s t r o n g r e t a r d a t i o n w h i c h c a u s e s t h e s h e d d i n g o f v o r t i c i t y f r o m t h e a e r o f o i l s . W e

k n o w b y t h e K e l v i n ' s t h e o r e m t h a t t h e s h e d d i n g o f v o r t i c i t y c a u s e s c i r c u l a t i o n a r o u n d

t h e a e r o f o i l s . F r o m t h e K u t t a - J o u k o w s k i t h e o r e m , w e k n o w t h a t t h e l i f t i s d i r e c t l y

p r o p o r t i o n a l t o c i r c u l a t i o n . F o r a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e s h e d d i n g o f v o r t i c i t y

r e f e r t o 1 ] .

T h e J o u k o w s k i a e r o f o i l i s a t y p e o f a e r o f o i l t h a t c a n b e a n a l y t i c a l y s o l v e d . R e a l a e r o -

f o i l s a r e n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d , b u t t h e y h a v e s i m i l a r c h a r a c t e r i s t i c s a s t h e J o u k o w s k i

a e r o f o i l .

2 A n a l y t i c f u n c t i o n s a n d c o n f o r m a l m a p p i n g

2 . 1 S t r e a m f u n c t i o n a n d v e l o c i t y p o t e n t i a l

A n y i r r o t a t i o n a l a n d i n c o m p r e s s i b l e o w h a s t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l ( ) a n d s t r e a m

f u n c t i o n ( ) t h a t s a t i s f y t h e L a p l a c e ' s e q u a t i o n .

r

2

= 0 r

2

= 0 ( 1 )

W e a l s o k n o w t h a t a n d s a t i s f y C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n . A n d i f w e w r i t e V =

( u v ) t h e n ,

v = ;

@

@ x

=

@

@ y

a n d u =

@

@ y

=

@

@ x

( 2 )

W e k n o w t h a t a n y a n a l y t i c f u n c t i o n s a t i s f y i n g t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a t i s e s

t h e L a p l a c e ' s e q u a t i o n . S o w e c a n w r i t e a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o r v e l o c i t y p o t e n t i a l :

f ( z ) = + i ( 3 )

B e c a u s e w e a r e i n t h e c o m p l e x , w e w r i t e z = x + i y = r e

i

. N o w , s i n c e w e h a v e t h e

c o m p l e x p o t e n t i a l v e l o c i t y , w e c o u l d w r i t e c o m p l e x v e l o c i t y :

w =

@ f

@ x

= u ; i v ( 4 )

I f w e w a n t t o i n v e s t i g a t e o w s a r o u n d b o d i e s , w e s h o u l d c o n s i d e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

W e h a v e t w o b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e r s t o n e s a y s t h a t t h e o w a p p r o a c h e s t o

2


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6/14

2 . 3 E l e m e n t a r y o w s

N o w w e w i l l l o o k a t s o m e e l e m e n t a r y o w s . T h i s w i l l h e l p u s t o u n d e r s t a n d t h e n e x t

s e c t i o n .

1 . U n i f o r m o w i s a o w w i t h v e l o c i t y V

1

o r i e n t e d i n t h e p o s i t i v e x d i r e c t i o n .

f = V

1

r e

i

= V

1

z w = V

1

( 8 )

2 . S o u r c e a n d s i n k a r e o w s w h e r e a l l t h e s t r e a m l i n e s a r e s t r a i g h t l i n e s e m a n a t i n g f r o m

t h e c e n t r a l p o i n t . T h e o w i s i n c o m p r e s s i b l e e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h e o r i g i n , w h e r e i t

i s i n n i t e . W e s e e t h a t t h e o r i g i n i s a s i n g u l a r p o i n t w i t h a g i v e n s t r e n g h t ( ) .

f =

2

( l n r + i ) =

2

l n z w =

2 z

( 9 )

3 . D u b l e t o w i s d e g e n e r a t e c a s e o f a s o u r c e a n d s i n k p a i r w i t h e q u a l s t r e n g h t . W e

l e t t h e d i s t a n c e b e t w e n s i n k a n d s o u r c e a p p r o a c h z e r o , b u t w e k e e p t h e p r o d u c t o f

d i s t a n c e a n d s t r e n g h t c o n s t a n t . W e d e n e t h e s t r e n g h t o f t h e d o u b l e t l .

f =

2

(

c o s

r

; i

s i n

r

) =

2 z

w = ;

2 z

2

( 1 0 )

4 . V o r t e x o w h a s c i r c u l a r s t r e a m l i n e s . T h e v o r t e x o w i s i n c o m p r e s s i b l e a t e v e r y p o i n t

a n d i r r o t a t i o n a l a t e v e r y p o i n t , e x c e p t a t t h e o r i g i n w h e r e t h e v o r t i c i t y i s i n n i t e .

f = ;

;

2

( ; i l n r ) = i

;

2

l n z w = i

;

2 z

( 1 1 )

3 L i f t i n g o w o v e r a c y l i n d e r

I n t h e l a s t s e c t i o n w e w e r e p r e p a r i n g t o o l s w h i c h w i l l h e l p u s t o u n d e r s t a n d h o w w e c a n

c r e a t e l i f t o w o v e r a c y l i n d e r w i t h s y n t h e s i z i n g e l e m e n t a r y o w s . W h e n w e m u l t i p l y

m a p p i n g f u n c t i o n ( 5 ) w i t h V

1

, w e r e c o g n i z e i n i t a c o m b i n a t i o n o f t h e u n i f o r m ( 8 ) a n d

d o u b l e t o w ( 1 0 ) ,

f ( z ) = V

1

( z +

a

2

z

) a

2

=

2 V

1

( 1 2 )

T h i s i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o r n o n l i f t i n g o w o v e r a c y l i n d e r , w h e r e a i s r a d i u s o f a

c y l i n d e r .

T h e K u t t a - J o u k o w s k i t h e o r e m s t a t e s t h a t l i f t o n a t w o - d i m e n s i o n a l b o d y i s d i r e c t l y

p r o p o r t i o n a l t o t h e c i r c u l a t i o n a r o u n d t h e b o d y . W e g e t a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o r l i f t i n g

o w i f w e s y n t h e s i z e n o n l i f t i n g o w o v e r t h e c y l i n d e r a n d v o r t e x o w ( 1 1 ) .

f ( z ) = V

1

( z +

a

2

z

) + i

;

2

l n z ( 1 3 )

4


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F i g u r e 3 : S u p e r p o s i t i o n o f a n u n i f o r m o w a n d a d o u b l e t g i v e u s n o n l i f t i n g o w o v e r a

c y l i n d e r , w h e r e R = a .

F i g u r e 4 : S u p e r p o s i t i o n o f n o n l i f t i n g o w o v e r a c y l i n d e r a n d v o r t e x o f s t r e n g t h ; g i v e s u s

l i f t i n g o w o v e r a c y l i n d e r ( R = a ) .

W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e , w h i c h c o n t a i n s t h e s t a g n a t i o n p o i n t

( w h e r e t h e v e l o c i t y w = 0 ) a n d s e p a r a t e s t h e o w o f u i d f r o m t h e c y l i n d e r i n t e r i o r .

D i v i d i n g s t r e a m l i n e r e p r e s e n t s t o u s t h e s u r f a c e o f a s o l i d b o d y a n d i t i s p e r p e n d i c u l a r

t o t h e s t r e a m l i n e a t e a c h s t a g n a t i o n p o i n t . W e r s t w r i t e t h e c o m p l e x v e l o c i t y ,

w =

d f

d z

= V

1

( 1 ;

a

2

z

2

) + i

;

2 z

( 1 4 )

N o w w e c o n c e n t r a t e o n t h e s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r w h e r e z = a e

i

a n d :

w = i 2 e

; i

V

1

( s i n +

;

4 a V

1

) ( 1 5 )

W e h a v e t w o s t a g n a t i o n p o i n t s o n t h e l o w e r s u r f a c e , a t ( a ; ) a n d ( a + ) w i t h :

s i n =

;

4 a V

1

( 1 6 )

I n t h e c a s e o f n o n l i f t i n g o w ( ; = 0 ) , w e h a v e t w o s t a g n a t i o n p o i n t s a t ( a 0 ) a n d ( a ) .

W h e n

;

4 a V

1

= 1 , w e g e t o n l y o n e s t a g n a t i o n p o i n t a t ( a

2

) . A n d i f

;

4 a V

1

> 1 , t h e r e

a r e n o s t a g n a t i o n p o i n t s o n t h e s u r f a c e b u t t h e r e i s o n e b e l o w t h e c y l i n d e r ( e x p e r i m e n t s

h a v e d e m o n s t r a t e d t h e e x i s t e n c e o f o w s s i m i l a r t o t h i s , w i t h h u g e l i f t s b u t a l s o w i t h

s u b s t a n t i a l d r a g s ) . T h i s s i t u a t i o n i s s h o w n o n F i g u r e 5 .

5


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F i g u r e 5 : T h e p o s i t i o n o f s t a g n a t i o n p o i n t s o n t h e c y l i n d e r d e p e n d s o n ; ( R = a ) . I f w e

c o n s i d e r t h e B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n , w e s e e t h a t a b o v e t h e c y l i n d e r t h e s t r e a m l i n e s a r e m o r e

b u n c h e d t o g e t h e r .

4 C h a r a c t e r i s t i c s o f a e r o f o i l s

F i g u r e 6 : N o m e n c l a t u r e o f t h e a r e o f o i l s . T h e c h o r d l i n e i s b e t w e e n t h e t r a i l i n g ( = 0 ) a n d

t h e l e a d i n g e d g e ( = ) .

N o w w e w i l l i n v e s t i g a t e t h e o w a r o u n d a e r o f o i l i n o n c o m i n g s t r e a m a t t h e a n g l e

o f a t t a c k ( t h e a n g l e t h a t t h e u n i f o r m o w f o r m s w i t h t h e c h o r d l i n e , a s s h o w n o n

F i g u r e 6 ) . T h e r e f o r e , t h e c o m l e x v a r i a b l e z i s r e p a l c e d b y z e

; i

( v e l o c i t y o f t h e o w

i s i n x d i r e c t i o n a s s h o w n o n F i g u r e 6 ) . W e c a n n o w r e w r i t e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l

( 1 2 ) ,

f ( z ) = V

1

( z e

; i

+

a

2

z

e

i

) ( 1 7 )

I n t h e s a m e w a y w e w r i t e t h e c o m p l e x v e l o c i t y ,

w =

d f

d z

= V

1

( e

; i

;

a

2

z

2

e

i

) ( 1 8 )

W e w i l l t r y t o c r e a t e s u c h a e r o f o i l s h a p e w h o s e v e l o c i t y a t a n y p o i n t w i l l b e s m a l l

e n o u g h t o a v o i d t h e u i d t o e s c a p e f o r m t h e b o u n d a r y l a y e r i n t o t h e b u l k . B o u n d a r y

l a y e r s s h o w n o t e n d e n c y t o e s c a p e i n t o t h e b u l k w h e r e t h e r e i s a n a c c e l e r a t i n g o w .

W h e r e t h e e x t e r n a l o w i s s t r o n g l y r e t a r d e d , t h e o w e s c a p e s f o r m t h e b o u n d a r y l a y e r

i n t o t h e b u l k . T h i s h a p p e n s a t l a r g e v a l u e o f t h e R e y n o l d s n u m b e r ( R =

V L

> 1 0

4

,

6


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10/14

w e h a v e a s t r o n g r e t a r d a t i o n w h i c h c a u s e s t h e u i d t o e s c a p e f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r

i n t o t h e b u l k .

T o a v o i d s t r o n g r e t a r d a t i o n a t t h e t r a i l i n g e d g e w e w i l l i n v e s t i g a t e t h e o w a r o u n d a

a t p l a t e . A a t p l a t e i s a l i m i t c a s e o f t h e e l l i p t i c c y l i n d e r . I n t h a t c a s e R = a a n d

t h e s e m i - a x e s a r e B = 0 a n d A = 2 a . W e g e t f o r m ( 2 1 ) ,

w = V

1

s i n ( ; )

s i n

( 2 3 )

F r o m t h e l a s t e q u a t i o n w e n d o u t :

1 . s t a g n a t i o n p o i n t s a r e s t i l l a t = a n d = + .

2 . a l s o , w = 1 a t t h e l e a d i n g e d g e ( = ) a n d t h e t r a i l i n g e d g e ( = 0 ) . T h o s e a r e

s h a r p e d g e s w h i c h m a k e s t e a d y i r r o t a t i o n a l o w i m p o s s i b l e , b e c a u s e t h e r e i s a n i n n i t e

s t r o n g r e t a r d a t i o n , t h u s c a u s i n g t h e u i d t o e s c a p e f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r i n t o t h e

b u l k w i t h a p o s i t i v e v o r t i c i t y .

A n y p r o c e s s w h i c h c a u s e s a p o s i t i v e s h e d d i n g o f v o r t i c i t y f r o m a b o d y m u s t g e n e r a t e a

F i g u r e 8 : S t r e a m l i n e s f o r o w a r o u n d a a t p l a t e , w i t h ; = 0 .

c i r c u l a t i o n i n t h e n e g a t i v e s e n s e a r o u n d t h e b o d y ( K e l v i n ' s t h e o r e m ) . T h e g e n e r a t i o n

o f c i r c u l a t i o n c h a n g e s t h e w h o l e e x t e r n a l o w i n w a y s t h a t c a n e l i m i n a t e s h e d d i n g o f

v o r t i c i t y . A f t e r t h i s , t h e c i r c u l a t i o n r e m a i n s c o n s t a n t . T h a t i s w h y , i t i s n e c e s s a r y t o

i n c l u d e t h e v o r t e x o w i n t o t h e c o m p l e x p o t e n t i a l ( 1 7 ) ,

f ( z ) = V

1

( z e

; i

+

a

2

z

e

i

) + i

;

2

l n ( z e

; i

) ( 2 4 )

I n n i t e v e l o c i t y o c c u r s a t t h e p o i n t w h e r e t h e m a p p i n g f u n c t i o n Z ( 5 ) h a s z e r o d e r i v a -

t i v e , u n l e s s t h a t p o i n t i s a s t a g n a t i o n p o i n t . T h a t i s w h y w e w i l l r s t o b s e r v e d e r i v a t i v e

o f t h e c o m p l e x p o t e n t i a l ( 2 4 ) :

w = V

1

( e

; i

;

a

2

z

2

e

i

) + i

;

2 z

( 2 5 )

B e c a u s e w e a r e o b s e r v i n g t h e s u r f a c e o f c y l i n d e r w e s e t z = a e

i

:

w = i 2 e

; i

V

1

( s i n ( ; ) +

;

4 a V

1

) ( 2 6 )

8


11/14

W e d e n e s i n =

;

4 a V

1

. F r o m t h i s c o m p l e x v e l o c i t y p r o l e , w e h a v e t w o s t a g n a t i o n

p o i n t s a t = ; + a n d = + + . W e s e e t h a t i f w e m a k e = , t h e n a t

t h e t r a i l i n g e d g e t h e s t a g n a t i o n p o i n t a n d t h e p o i n t o f z e r o d e r i v a t e o f t h e m a p p i n g

f u n c t i o n Z ( 5 ) a r e t h e s a m e , t h u s a v o i d i n g t h e i n n i t e s . T h u s w e w r i t e :

s i n =

;

4 a V

1

( 2 7 )

L e t w e s e e i f w e r e a l l y g e t a n i t e u i d s p e e d a t t h e t r a i l i n g e d g e w h e n

;

4 a V

1

= s i n .

F i g u r e 9 : S t r e a m l i n e s f o r t h e o w a r o u n d a t p l a t e , w h e n t h e c i r c u l a t i o n a r o u n d t h e p l a t e

t a k e s t h e v a l u e , w h i c h y i e l d s a n i t e v e l o c i t y a t t h e t r a i l l i n g e d g e .

T o d o t h a t , w e m a p t h e c o m p l e x p o t e n t i a l ( 2 4 ) w i t h m a p p i n g f u n c t i o n Z ( 5 ) . T o

o b s e r v e a a t p l a t e w e t a k e z = a e

i

. T h e c o m p l e x v e l o c i t y p r o l e i s g i v e n b y :

w = V

1

s i n ( ; ) + s i n

s i n

= V

1

c o s ( ;

2

)

c o s

2

( 2 8 )

N o w w e h a v e a n i t e o w s p e e d w h i c h i s s m a l l e n o u g h n o t t o c a u s e t h e u i d t o e s c a p e

f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r i n t o t h e b u l k a t t h e t r a i l i n g e d g e , w = V

1

c o s . T h a t w a s

o u r i n t e n t i o n .

5 T h e J o u k o w s k i a e r o f o i l

A n a e o r f o i l s h a p e h a s r o u n d e d l e a d i n g e d g e a n d s h a r p t r a i l i n g e d g e t o a v o i d s e p a r a t i o n ,

f o r s u c i e n t l y s m a l l a n g l e s o f a t t a c k ( u p t o 8

) , a t t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g e d g e s a f t e r

t h e c i r c u l a t i o n h a s b e c o m e a d j u s t e d t o t h e v a l u e f o r w h i c h t h e v e l o c i t y a t t h e t r a i l i n g

e d g e i s n i t e . O n e o f t h e a e r o f o i l s w i t h s u c h c h a r a c t e r i s t i c i s t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l .

W i t h t h e c o n c l u s i o n s f r o m p r e v i o u s s e c t i o n , w e c a n n o w c r e a t e t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l .

W e t a k e a c y l i n d e r , w h i c h g o e s a t t h e r e a r e n d t h r o u g h t h e p o i n t z = a , w h e r e Z

0

( a ) = 0

9


12/14

F i g u r e 1 0 : G e n e r a t i o n o f c i r c u l a t i o n i n t h e o w a r o u n d a e r o f o i l a t p o s i t i v e a n g l e o f a t t a c k .

( a . ) t h e t r a i l i n g e d g e s h e d s m o r e p o s i t i v e t h a n n e g a t i v e v o r t i c i t y ( b . ) h a v i n g a p o s i t i v e c i r -

c u l a t i o n a r o u n d t h e C

w

m a k e s n e g a t i v e c i r c u l a t i o n a r o u n d t h e b o d y C

b

, s o t h a t c i r c u l a t i o n

a r o u n d t h e l a r g e c l o s e d c u r v e C = 0 ( K e l v i n ' s t h e o r e m ) . T h e p o s i t i v e v o r t i c i t y i s s h e d d i n g

u n t i l w e g e t a n i t e s p e e d o f o w a t t h e t r a i l i n g e d g e .

i n o r d e r t o g e n e r a t e t h e s h a r p t r a i l i n g e d g e . A t t h e f r o n t e n d , t h e c i l i n d e r g o e s t h r o u g h

t h e p o i n t w h i c h i s b i g g e r t h a n a i n o r d e r t o g e n e r a t e t h e r o u n d e d l e a d i n g e d g e . R a d i u s

( b ) a n d c e n t e r ( ) o f t h e c i l i n d e r ( a s s e e n o n F i g u r e 1 1 ) w e m a d e i s ,

b =

1

2

( a + R ) = a

c o s +

s

(

b

a

)

2

; s i n

2

!

e

i

( 2 9 )

G e n e r a l e q u a t i o n f o r t h e c y l i n d e r i s ,

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 Re

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Im

a

R

b

d g

F i g u r e 1 1 : T h e c y l i n d e r w h o s e t r a n s f o r m a t i o n w i l l g i v e u s t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l ( = g a n d

= d ) . t e l l u s t h e p o s i t i o n o f t h e c e n t e r .

z = + b e

i

( 3 0 )

1 0


13/14

W e c a n n o w w r i t e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l a r o u n d a c y l i n d e r ,

f ( z ) = V

1

( ( z ; ) e

; i

+

b

2

z ;

e

i

) + i

;

2

l n ( ( z ; ) e

; i

) ( 3 1 )

I f w e w a n t t o h a v e n i t e u i d s p e e d a t t h e t r a i l i n g e d g e , t h e n t h e c i r c u l a t i o n o n t h e

c y l i n d e r z ; = b e

i

m u s t b e a d j u s t e d i n s u c h w a y t h a t t h e p o i n t w h e r e t h e m a p p i n g

f u n c t i o n Z ( 5 ) h a s z e r o d e r i v a t i v e a n d t h e s t a g n a t i o n p o i n t w i l l b e t h e s a m e .

w =

d f

d z

= i 2 V

1

e

; i

( s i n ( ; ) +

;

4 b V

1

) ( 3 2 )

T h e c o m p l e x v e l o c i t y a t t h e t r a i l i n g e d g e w i l l n o t b e z e r o i f

s i n =

;

4 b V

1

( 3 3 )

T h e c o m p l e x v e l o c i t y i s n o w ,

w = i 4 V

1

e

; i

s i n

2

c o s (

2

; ) ( 3 4 )

a n d g i v e s u s t w o s t a g n a t i o n p o i n t s a t = 0 a n d = + 2 .

W e t r a n s f o r m t h i s o w a r o u n d t h e c y l i n d e r i n t o t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l w i t h t h e m a p -

p i n g f u n c t i o n Z ( 5 ) :

w =

d f

d Z

= i 4 V

1

e

; i

s i n

2

c o s (

2

; )

1 ;

a

2

z

2

( 3 5 )

o r e l s e ,

w =

d f

d Z

= i 4 V

1

e

; i

s i n

2

c o s (

2

; )

1 ;

a

2

( b e

i

+ )

2

( 3 6 )

F r o m t h a t , w e c a n w r i t e c o m p o n e n t s o f v e l o c i t y a n d w h e n w e g e t t h e m , w e c a n w r i t e

t h e e q u a t i o n f o r s t r e a m l i n e s a n d c r e a t e a o w a r o u n d t h e a e r o f o i l .

5 . 1 T y p e s o f t h e J o u k o w s k i a e r o f o i l s

I t d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n o f w h a t k i n d o f a e r o f o i l w e w i l l g e t . T h e r e a r e f o u r p o s s i b l e

s o l u t i o n s :

1 . i f = 0 w e g e t t h e e l l i p t i c c i l i n d e r

2 . i f l i e s o n t h e r e a l a x i s w e g e t t h e s y m m e t r i c a l J o u k o w s k i a e r o f o i l

3 . i f l i e s o n t h e i m a g i n a r y a x i s w e g e t a c u r v e d s e g m e n t

4 . i f i s n o t o n a n y a x i s w e g e t a n a s y m m e t r i c J o u k o w s k i a i r f o i l

S h o r t l y , m o v i n g t h e c e n t e r o f t h e c i l i n d e r a l o n g t h e r e a l a x i s , g i v e s t h i c k n e s s t o t h e

a e r o f o i l a n d m o v i n g t h e c e n t e r o f t h e c y l i n d e r a l o n g t h e i m a g i n a r y a x i s , g i v e s c a m b e r

t o t h e a e r o f o i l .

1 1


14/14

6 C o n c l u s i o n

W e h a v e f o u n d f r o m i n v e s t i g a t i o n o f t h e o w a r o u n d t h e e l l i p t i c a e r o f o i l a n d t h e o w

a r o u n d a t p l a t e , w h a t k i n d o f s h a p e s h o u l d t h e a e r o f o i l h a v e .

T h e J o u k o w s k i a e r o f o i l h a s r o u n d e d l e a d i n g e d g e a n d s h a r p t r a i l l i n g e d g e t o a v o i d s h e d -

d i n g o f v o r t i c i t y f r o m t h e b o u n d a r y l a y e r f o r s u c i e n t l y s m a l l a n g l e s o f a t t a c k . B e f o r e

t h i s h a p p e n s t h e s h e d d i n g o f p o s i t i v e v o r t i c i t y c r e a t e s n e g a t i v e c i r c u l a t i o n a r o u n d a e r o -

f o i l . O n c e t h e r i g h t s t r e n g h t o f c i r c u l a t i o n i s c r e a t e d , t h e s h e d d i n g o f v o r t i c i t y s t o p s .

7 R e f e r e n c e s

1 . J a m e s L i g h t h i l l : A n i n f o r m a l i n t r o d u c t i o n t o t h e o r e t i c a l u i d m e c h a n i c s , T h e I n s t i -

t u t e o f m a t h e m a t i c s a n d i t s a p p l i c a t i o n s , O x f o r d , 1 9 9 6 .

2 . J o h n D . A n d e r s o n , J r . : F u n d a m e n t a l s o f a e r o d y n a m i c s , M c G r a w - H i l l B o o k C o m -

p a n y , N e w Y o r k , 1 9 8 5 .

3 . L . M . M i l n e - T h o m s o n : T h e o r e t i c a l a e r o d y n a m i c s , M a c M i l l a n a n d C o . , L i m i t e d S t .

M a r t i n ' s , L o n d o n 1 9 5 2 .

4 . M e h a n i k a k o n t i n u o v , l e c t u r e n o t e s , 1 9 9 9 .

5 . h t t p : / / w w w . a e . s u . o z . a u / a e r o / j o u k / j o u k . h t m l

6 . h t t p : / / j w i l s o n . c o e . u g a . e d u / o l i v e / J o u k o w s k i . W e b / J o u k o w s k i . P a p e r . h t m l

7 . h t t p : / / w w w . m o n m o u t h . c o m / ~ s d / i r r o / c o n f o r m i e . h t m l

8 . h t t p : / / w w w . c a a m . r i c e . e d u / ~ c a a m 3 3 5 / 3 3 6 . 9 8 / l e c t u r e / 1 1 4 / n o d e 1 . h t m l

9 . h t t p : / / w w w . d i a m . u n i g e . i t / ~ i r r o / p r o l o e . h t m l

1 2

joukowski transform and flow

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