josep m martínez torrents supervisor: Àngel alsina pastells. · pràctica reflexiva. presentem la...

LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES,

UNA ACTIVITAT INTERDISCIPLINAR POTENT

PER TREBALLAR LES COMPETÈNCIES

A L’AULA DE PRIMÀRIA

La Competència lingüística en la resolució de problemes

Josep M Martínez Torrents

CEIP Malagrida, Olot

Supervisor: Àngel Alsina Pastells.

Universitat de Girona

Memòria de la llicència d’estudi retribuïda corresponent al curs 2008-2009 en l’especialitat de Matemàtiques. Modalitat A.

LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES, UNA EINA POTENT PER TREBALLAR LES COMPETÈNCIES A L‟AULA DE PRIMÀRIA

LLAA CCOOMMPPEETTÈÈNNCCIIAA LLIINNGGÜÜÍÍSSTTIICCAA EENN LLAA RREESSOOLLUUCCIIÓÓ DDEE PPRROOBBLLEEMMEESS-- 22

Índex

0. Introducció. ................................................................................................ 3

1. Definició del Problema. Preguntes i Objectius. ....................................... 6

2. Marc teòric de referència. ........................................................................ 11

2.1. La resolució de problemes com a procés per a la construcció de coneixement matemàtic. ....................................................................... 11

2.2. Com intervé la resolució de problemes en l‟aprenentatge de la Competència Matemàtica? ................................................................... 16

2.2.1. Què són les competències bàsiques?...................................................... 16 2.2.2. Què és la competència matemàtica? ....................................................... 18

3. Per què la resolució de problemes és una eina per a l’aprenentatge de la competència lingüística? ............................................................... 21

4. La metodologia i el paper del mestre en la resolució de problemes. ... 26

5. Metodologia. ............................................................................................. 32

5.1. Qüestions preliminars: l‟aplicatiu ARC Cercamat. ................................. 32

5.2. materials. .............................................................................................. 35 5.2.1. Qüestionari sobre l‟ensenyament/aprenentatge de les matemàtiques

referides a la resolució de problemes. ..................................................... 35 5.2.2. Element ..................................................................................................... 36

5.3. Mostra ................................................................................................... 36

1. Procedència ................................................................................................. 37

5.4. Elements. .............................................................................................. 39

5.5. Disseny i procediment ........................................................................... 49 5.5.1. PRIMERA INTERVENCIÓ ........................................................................ 49 5.5.2. SEGONA INTERVENCIÓ ......................................................................... 50 5.5.3. ENTREVISTA FINAL ................................................................................ 50

6. Resultats. .................................................................................................. 56

6.1. Resultats de l‟objectiu 1. Qüestionari. ................................................... 56 6.1.1. Resum de la mostra del qüestionari ......................................................... 56 6.1.2. Valoració del Qüestionari sobre les creences en l’ensenyament /

aprenentatge de les matemàtiques referides a la resolució de problemes. ............................................................................................... 57

6.2. Resultats dels objectius 2,3. ................................................................. 58 6.2.1. Intervenció a l‟aula de 1r. ......................................................................... 58 6.2.2. Intervenció a l‟aula de 2n. ......................................................................... 64 6.2.3. Intervenció a l’aula de 3r. ....................................................................... 69 6.2.4. Intervenció a l‟aula de 4t. .......................................................................... 73 6.2.5. Intervenció a l‟aula de 5È. ........................................................................ 77 6.2.6. Intervenció a l‟aula de 6è. ......................................................................... 82

6.3. Resultats de l‟objectiu 4. ....................................................................... 88

7. Conclusions. ............................................................................................ 96

8. Bibliografia. .............................................................................................. 99

Annexos. ............................................................... ¡Error! Marcador no definido.



0. INTRODUCCIÓ.

En el marc de l‟equip ICE de la UdG, i després d‟haver rebut i impartit cursos

de Pràctica reflexiva aplicada a la resolució de problemes, on s‟han posat de

manifest un seguit d‟inquietuds sorgides, i d‟alguna manera, recollides de dife-

rents companys participants en els cursos de formació davant les noves expec-

tatives i exigències del nou currículum, es va plantejar aquesta Llicència

d‟Estudis, la qual ha permès reflexionar sobre la pràctica educativa i estudiar la

potencialitat de la resolució de problemes a l‟hora de treballar les competències

bàsiques. El material que s‟ha elaborat pot ser un referent per a d‟altres do-

cents, que els ajudi a seleccionar i utilitzar materials per treballar el nou currícu-

lum de matemàtiques.

Aquesta llicència s‟ha dut a terme juntament amb dues companyes del grup de

Pràctica Reflexiva. Presentem la llicència en equip perquè la reflexió i l‟anàlisi

són, molt sovint, activitats individuals, però que es poden potenciar notablement

quan es contrasta amb d‟altres docents. Partirem de la pràctica a l‟aula: de pro-

blemes que ja es treballen per fer-ne una anàlisi i reflexió exhaustives. Els ade-

quarem per tal que promoguin el pensament crític dels alumnes i per tal que el

professorat prengui consciència de les competències que s‟hi treballen, tant la

competència matemàtica com d‟altres competències.

Dins el mateix projecte ens comprometérem a treballar d‟acord a les línies del

PJ8 “Inici de la posada en marxa d‟un recobriment multimodal del currículum de

matemàtiques de l‟Educació no universitària” del Pla de Treball del CREAMAT

de l‟any 2007/08, concretament, en les categories de recursos següents: enlla-

ços interdisciplinars, contextos i aplicacions a la vida quotidiana, i recursos es-

pecífics per a treballar amb alumnes nouvinguts.

Per tant, el treball en equip ens permetrà fer el recobriment, en part, del nou

currículum de matemàtiques d‟una manera més exhaustiva.



El nostre treball s‟ha estructurat a partir de les següents hipòtesis:

1.- La resolució de problemes compromet activament l‟alumne i per tant li ser-

veix per establir connexions i relacionar coneixements.

2.- La comprensió dels processos cognitius i emocionals tenen un paper relle-

vant en el procés d‟ensenyament/aprenentatge de les matemàtiques.

3.- La competència matemàtica dels alumnes nouvinguts és un punt fort per la

integració i l‟adquisició de la competència lingüística.

L‟objectiu general de la llicència és “presentar la resolució de problemes com a

eina per ajudar l‟adquisició de la competència matemàtica”.

El nostre Pla de Treball ha constat de:

Recollir problemes matemàtics.

Analitzar els problemes tenint en compte el nivell de riquesa competencial.

Adequar els problemes per millorar la seva riquesa competencial: contex-

tualitzar, connexions, aprenentatge reflexiu...

Establir pautes d‟observació dels processos en la resolució dels problemes i

de com l‟alumnat es comunica: alumne-alumne i alumne-ensenyant.

La metodologia emprada ha estat:

Portar els problemes elaborats a la pràctica a les escoles, amb els corres-

ponents permisos de la Direcció dels centres.

Anàlisi de la producció dels alumnes.

Dissenyar i implementar l‟estructura de la base de dades.

Contrastar la nostra hipòtesi i extreure‟n conclusions a través de la reflexió

sobre la pràctica.

Elaborar un banc de problemes amb el suport de treball per adquirir les

competències matemàtiques que abastint el recobriment del currículum.

Fer la difusió des del web del CREAMat:

http://phobos.xtec.cat/creamat/cercamat/

http://phobos.xtec.cat/creamat/cercamat/



El meu sincer agraïment a totes les persones que amb la seva col·laboració,

d‟una manera o altra, han fet possible aquest treball, a tot l‟equip de CREAMAT

per haver comptat amb nosaltres i les facilitats obtingudes i, en especial, al

nostre tutor el Dr. Àngel Alsina.



1. DEFINICIÓ DEL PROBLEMA. PREGUNTES I OBJEC-

TIUS.

La Comissió Europea (CE) ha recollit al debat curricular quina és la cultura co-

mú necessària i els aprenentatges clau, que tots els alumnes haurien de poder

adquirir per a la seva realització personal i el bon funcionament de la societat.

El Proyecto DeSeCo ( Definición y Selección de Competencias ), que està re-

colzat per la OCDE, (2005) ha realitzat una de les millors anàlisis i propostes de

quines han de ser aquestes competències (Rychen y Salganik, 2006). A partir

d‟aquí s‟estableix un marc de referència europeu amb 8 competències clau. La

CE recomana als països membres que adoptin la perspectiva d‟aprenentatge al

llarg de la vida” en els seus currículums.

El nou currículum estatal descrit íntegrament a la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de

mayo, de Educación, en el seu Article 6.1 incorpora algunes novetats:

A més dels objectius i continguts apareixen les competències bàsiques.

Les competències bàsiques s‟assoliran a partir de la transversalitat, la con-

textualització dels problemes i les connexions entre les diferents àrees i la

realitat.

Hi ha altres aspectes que es mantenen, com l‟enfocament socioconstructivista

del procés d‟ensenyament/aprenentatge que ja va introduir la Reforma Educati-

va de la Ley Orgánica General del Sistema Educativo (LOGSE).

El nou currículum d‟Educació Primària de la Generalitat de Catalunya (2007)

ens recorda que: les matemàtiques són un instrument de coneixement i anàlisi

de la realitat, alhora que constitueixen un conjunt de sabers d’un gran valor cul-

tural.

Des d‟aquesta perspectiva, un dels objectius d‟aprenentatge d‟aquesta etapa

és la valoració i utilització de les matemàtiques com una eina útil per compren-

dre el món i per expressar informacions i coneixements sobre l‟entorn.

Com a mestres, en aquests moments tenim la necessitat de comprendre a fons

aquestes intencions educatives i alhora aprendre a planificar la nostra actuació.



Eurydice, 20021 ("La Red Europea de Información sobre Educación") expressa

que:

“Haurem d’aprendre, per tant a planificar la nostra actuació per a que els alumnes siguin capaços de ser i actuar de manera autònoma, pensar, co-municar el que saben i el que pensen, descobrir i tenir iniciativa, viure i con-viure al món. “

A l‟escola hem de crear oportunitats d‟aprenentatge. De la quantitat i qualitat

d‟aquestes oportunitats en depèn directament l‟adquisició de competències.

Els mestres de primària ens trobem davant un munt de demandes noves que

anem incorporant a la nostra pràctica i a les que procurem donar-hi resposta.

Aquestes serien, entre altres:

La manca de capacitació específica per al treball de la competència matemà-

tica fa que sovint nosaltres mateixos no ens trobem prou competents en

aquesta matèria.

L‟àrea de matemàtiques arrossega una manca d‟interès per a la seva millora

que prové, moltes vegades, de l‟experiència personal en matèria educativa

que portem molts mestres. Aquest és un fet que hem pogut constatat en

cursos de Pràctica Reflexiva en què hem participat com a formadors/res.

Aquesta llicència ens permet fer un estudi exhaustiu del nou currículum i

compartir, en els equips, tot allò que sabem i quins canvis metodològics ens

cal incorporar, per a millorar el treball a l‟ensenyament- aprenentatge de les

matemàtiques.

Al voltant del 30% dels alumnes acaben l‟escolaritat obligatòria sense tenir,

al menys oficialment, aquelles competències que els farà possible seguir

amb èxit el seu camí professional o acadèmic.

Intuïm en els mestres de primària la creença que el rendiment de l‟alumnat

no és proporcional a la dedicació esmerçada.

La igualtat formal de l‟escolarització no és suficient per a fer de l‟escola una

escola justa (Dubet, 2005).

1 http://competentes.wordpress.com/2008/05/02/competencias-clave-eurydice-2002/



La introducció del nou currículum planteja al professorat uns canvis en la

seva tasca docent. Convé que, busquem els punts coincidents amb el que ja

coneixíem i teníem en compte a l‟hora de programar i el nou currículum.

Destacar-ne les principals aportacions per poder-les incorporar al nostre tre-

ball a l‟aula. Però no n‟hi ha prou amb això . Perquè un canvi tingui efectivitat

ha de ser desitjat i decidit conscientment pel mestre. Com diu Hargreaves

(2001):

“En matèria de educació, malgrat que els polítics legislin: si el mestre no ho pot fer, no es pot fer; si el mestre no sap com fer-ho o no se sent segur, no es pot fer; si el mestre no està disposat a fer-ho, no es pot fer i si el mestre ha de fer masses coses, no es pot fer.”

De les paraules d'aquest autor es dedueix una idea força compartida: el

responsable últim de l'èxit o del fracàs de l'aplicació d'un nou currículum és

el mestre. Per això, és imprescindible que sorgeixi de cadascú de nosaltres:

la necessitat d'iniciar processos de formació, de reflexió sobre la seva prò-

pia pràctica i d'innovació (Alsina, 2007a; Alsina, 2007b; Alsina i Planes,

2007; Planes i Alsina, 2007).

No pot ser una necessitat imposada. Per això no volem caure en l'error d'un

discurs retòric sobre la necessitat de canviar pel simple fet de l'aprovació

d'una nova llei. Ja ha passat massa vegades, i les conseqüències han estat

catastròfiques: mestres desconcertats, confosos, desmotivats, etc.

El canvi que actualment se‟ns proposa és complex. Per tant, aprofitem

aquesta ocasió per a comprendre les noves exigències, que ens porten a

una metodologia que parteix de tasques complexes, d‟experiències signifi-

catives, funcionals i compartides, (esdevingudes al llarg de l‟etapa de primà-

ria i amb presència de diferents continguts matemàtics) , ja que, així és com

els alumnes van construint el significat profund (aprenentatge significatiu)

dels continguts que estan aprenent i, com a conseqüència, millora la com-

petència matemàtica.

A la introducció del nou currículum de primària s‟hi llegeix:

“cal proporcionar en totes les classes de matemàtiques oportunitats per tal que l’alumnat aprengui a pensar i raonar matemàticament, proposant activi-



tats d’aprenentatge on la resolució de problemes, en un sentit ampli, sigui el nucli de l’ensenyament”. Pàg 21863

Aprofitarem el marc d‟aquesta llicència, doncs, per fer una proposta de situ-

acions problemàtiques prou potents que facin el recobriment del nou currí-

culum de primària i que aportin, a més, la metodologia necessària per a fa-

cilitar la feina dels mestres i ajudar a l‟alumnat en la adquisició de la com-

petència matemàtica.

Tot i existir molts materials de qualitat, elaborats per diferents col·lectius i

professionals, no s‟han trobat problemes on, de manera expressa, es treballi

la comunicació lingüística, excepte algunes excepcions (ex. “Matemàtiques

a la carta”), i també, tot hi existir moltes activitats TAC de matemàtiques (ex:

JClic, Muds, aplicatiu MERLI), és important posar-les a l‟abast del professo-

rat de Primària fent-ne una anàlisi competencial, establint connexions amb

altres àrees i si s‟escau, quan l‟activitat no es troba en català, fent una expli-

cació del seu funcionament.

De tot el que s‟ha dit fins ara, se‟n desprèn l‟argumentació que justifica la re-

alització d‟aquesta llicència:

Considerem que el treball a partir de situacions problemàtiques contextualit-

zades afavoreix el desenvolupament de la competència matemàtica i facilita

la construcció de nous coneixements, desenvolupa estratègies i ajuda a es-

tablir connexions entre els diferents blocs i àrees.

L‟ús de les TIC i d‟altres mitjans tecnològics poden ajudar a l‟alumne tant en

la resolució de problemes com a la comprensió, organització i consolidació

del pensament matemàtic.

Pels alumnes nou vinguts el llenguatge matemàtic pot ser un llenguatge

après en un altra cultura, d‟especial interès i utilitat per comprendre el món i

per expressar coneixements i informacions de l‟entorn.

Volem aportar un ventall de problemes contextualitzats, amb ús de les TAC i

amb un alt potencial per treballar el nou currículum i ajudar a l‟adquisició de

les competències bàsiques.



Arran del problema descrit ens plantegem les següents preguntes de recer-

ca:

I d‟aquestes preguntes en deriven els següents objectius:

1. Com podem utilitzar les situacions problemàtiques a la clas-se de matemàtiques d’Educació Primària per a què es con-verteixin en reptes ?

2. Quines característiques han de tenir els problemes per facil i-tar l’adquisició del llenguatge comunicatiu?

1. Conèixer les idees prèvies dels mestres sobre què són problemes i com ho

relacionen amb les competències bàsiques.

2. Preparar una sèrie de problemes que, al mateix temps que plantegen reptes

a assolir, permetin adquirir la competència lingüística.

3. Proposar aquests problemes a la classe, observar i escoltar les converses

que es produeixen entre els alumnes per a recollir informació sobre els pro-

cessos d‟aprenentatge i les estratègies que utilitzen els alumnes durant el

procés de resolució i també les seves produccions per una posterior anàlisi.

4. Identificar els punts forts i els punts febles de la pràctica docent i de

l‟alumnat en la resolució de problemes a l‟ Educació Primària.



2. MARC TEÒRIC DE REFERÈNCIA.

2.1. LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES COM A PROCÉS PER A LA

CONSTRUCCIÓ DE CONEIXEMENT MATEMÀTIC.

En el seu sentit més ampli: els problemes són totes aquelles situacions que no

se‟ns havia plantejat abans i que per la seva resolució requereixen posar en

funcionament tot allò que hem après. Impliquen un desafiament intel·lectual, un

procés constructiu intern de constant reorganització de sistemes de coneixe-

ment i competències. Els conceptes i els coneixements matemàtics prenen

sentit perquè són instruments necessaris per a la resolució, Pólya (1944) ens

ho explica tot donant una definició de problema:

“Resoldre un problema és trobar un camí allí on prèviament no se’n coneixia cap, trobar la manera de sortir d’una dificultat, de vorejar un obstacle i acon-seguir la solució desitjada, que no podríem obtenir de manera immediata, utilitzant, per arribar-hi, els mitjans adequats”

Si a la vida diària ens trobem en canvis constants i per tant amb nous tipus de

problemes a resoldre al llarg de la nostra vida, sembla clar pensar que cal que

l‟alumnat aprengui amb comprensió perquè estigui capacitat per utilitzar el que

ha après en la resolució .

La majoria de procediments aritmètics i algebraics que constituïen el nucli del

currículum de matemàtiques poden ser efectuats amb una calculadora. Per

tant, s‟ha de posar més atenció a la comprensió dels conceptes numèrics i als

procediments de modelització utilitzats en la resolució de problemes. (NCTM,

2000)

La resolució de problemes potencia una actitud científica: anàlisi de situacions

diàries en termes matemàtics, augment del coneixement de la realitat i la seva

transformació. A més, en el desenvolupament de les capacitats de resolució de

problemes matemàtics, hi ha transferències d‟aprenentatge a altres camps del

coneixement. Aquestes no són automàtiques sinó que es produeixen més fà-

cilment quant més a prop es troben el context d‟adquisició i el context

d‟aplicació. Per tant creiem que hi ha menys possibilitats de transferència des



d‟un problema imposat, en el que l‟alumne no l‟ha fet seu, que des d‟un altre

que és sentit com a problema propi

En el nou currículum de matemàtiques s‟explicita el plantejar-se i resoldre pro-

blemes com a part important per a l‟adquisició de la competència matemàtica i

com a un dels quatre processos a desenvolupar en tots els cicles per tal de

possibilitar la construcció del coneixement matemàtic i mostrar-ne la seva utili-

tat.

Preguntes que ens plantegem sobre la resolució de problemes:

- es pot ensenyar a resoldre problemes?

- es pot identificar l‟estratègia més adient per solucionar un problema?

Per aprendre la resolució de problemes els alumnes han d‟adquirir formes de

pensar, hàbits de perseverança i curiositat, confiança en situacions no familiars

que els serviran fora de la classe.(NCTM,2000).

Caldria fer una distinció entre resoldre problemes i fer exercicis. Per resoldre un

exercici només cal aplicar un procediment rutinari per arribar a la resposta però

en la resolució de problemes hi ha d‟haver una pausa de reflexió i unes estra-

tègies i actuacions originals que no s‟havien assajat mai per donar la resposta.

Per tant, sí que és possible ensenyar a resoldre problemes: creant un clima

d‟aula adient i que faciliti l‟intercanvi entre l‟alumnat, proporcionant oportunitats

d‟aprenentatge riques i de qualitat, tenint en compte que els bons problemes

han d‟integrar múltiples temes i involucrar matemàtiques significatives, fent

preguntes que ajudin a l‟alumnat a desvetllar el seu interès per a la investiga-

ció, que els animi a explorar, arriscar-se, a compartir tan èxits com fracassos i a

on l‟error es gestioni de manera correcta, modelitzant les estratègies que vagin

sorgint en la resolució, deixant temps per el contrast entre iguals...

En quan a la segona pregunta, tenim les descripcions d‟estratègies per a resol-

dre problemes. Una de les més conegudes i del tot vigents és el “Mètode dels

quatre passos” de Pólya (1957) i editat per Trillas. Primer Pólya, introdueix el

concepte heurístic per descriure l‟art de la resolució de problemes.



El “Mètode dels quatre passos” per a la resolució de problemes és una de les

grans aportacions que va fer a l‟ensenyament –aprenentatge de les Matemàti-

ques i en ell s‟han inspirat altres autors per elaborar, en posterioritat, diferents

models de resolució de problemes.

En aquest sentit el mètode dels quatre passos de Pólya es basa en:

Comprensió del problema: Quines són les incògnites? Quines són les dades?

Són irrellevants, necessàries o contradictòries?

Planificació: Coneixem algun problema que si assembli? El podem convertir en

un problema més simple? Es poden introduir altres elements o dades auxiliars?

Fer conjectures...

Execució del pla: Aplicar les estratègies, refer el pla si es necessari.

Supervisió: Anàlisi del procés que s‟ha seguit per a la resolució i analitzar els

resultats obtinguts per escollir el més adient.

Schoenfeld (1985) argumenta que la qualitat i l‟èxit en la resolució de proble-

mes es troba en la capacitat d‟utilitzar els propis recursos intel·lectuals i els co-

neixements específics de manera eficaç.

Per Chevallard (1989), la resolució de problemes queda englobada en una acti-

vitat més amplia que la modelització matemàtica.

Els quatre estadis no lineals de la resolució de problemes:

Situació problemàtica: es pot conjecturar, formular preguntes..

Definició o delimitació del sistema i l‟elaboració del model matemàtic cor-

responent. Permet formular el problema amb més precisió i focalitzar el

camí a seguir per resoldre‟l.

Interpretació del treball i dels resultats idonis en un sistema modelitzat:

permet utilitzar coneixements, estratègies i desenvolupar conceptes.

Es poden enunciar problemes nous, formular noves preguntes que amb an-

terioritat a la resolució ni s‟haguessin plantejat.



Els responsables de matemàtiques de l‟estudi PISA/OCDE de 2003 caracterit-

zen l‟activitat matemàtica en cinc fases:

Començar amb un problema situat a la realitat.

Organitzar-lo d‟acord amb conceptes matemàtics.

Estructurar-lo mitjançant processos com ara suposicions sobre les dades,

generalitzacions i formalitzacions.

Resoldre el problema.

Proporcionar sentit a la solució a partit de la situació inicial.

La Matematització horitzontal de les situacions/problema es basa amb activitats

com:

Identificar les matemàtiques que poden ser rellevant respecte al problema.

Representar el problema de manera diferent.

Comprendre la relació entre els llenguatges natural, simbòlic i formal.

Trobar regularitats, relacions i patrons.

Reconèixer isomorfismes amb altres problemes coneguts.

Traduir el problema a un model matemàtic.

Emprar les eines i els recursos necessaris.

La Matematització vertical en què es fan servir conceptes i habilitats:

Emprar representacions diverses

Fer ús del llenguatge simbòlic, formal i tècnic i de les seves operacions.

Refinar i ajustar els models matemàtics; combinar i integrar aquests models.

Argumentar.

Generalitzar.

El darrer pas en la resolució de problemes seria la reflexió sobre els processos

que s‟han seguit i resultats que s‟han obtingut. Són molt importants la comuni-

cació i el contrast amb els altres: Argumentar, explicar i justificar els resultats

ajuda a desenvolupar la competència social perquè desenvolupa les habilitats

socials, la interacció i les comunicacions afectives.



Així, en el seu sentit més ampli, el problemes són activitats complexes que

requereixen posar en funcionament tot allò que hem après per tal de resol-

dre una situació, que no se‟ns havia plantejat abans i per tant creiem, esde-

venen una eina potent per treballar les competències bàsiques a l‟aula de

Primària.

Amb tot això, per a resoldre un problema matemàtic es necessiten:

Coneixements matemàtics adequats.

Coneixements d‟estratègies: cal ensenyar com pensar. Cal que siguem

conscients dels processos fonamentals que apliquem al resoldre un proble-

ma i transmetre-ho als alumnes. Cal doncs familiaritzar-se amb els mètodes

d‟aprendre a pensar i aprendre a actuar.

Desig de resoldre el problema. Cal acceptar el problema com un repte. Veu-

re‟l assequible i interessant de resoldre.

“Si falta comprensió o interès per part dels alumnes no sempre es culpa se-va, el problema s’ha d’escollir adequadament, ni molt fàcil ni molt difícil i s’ha de dedicar un cert temps a presentar-lo d’una forma natural i interes-sant” (Pólya 1944).

Això implica que a més de la comprensió del problema s‟ha de tenir interès per

resoldre‟l i trobar la solució o les solucions.

Per això, ensenyar a partir de la resolució de problemes, potencia processos

de pensament eficaços perquè:

Activa la pròpia capacitat intel·lectual

Exercita la creativitat

Fa reflexionar sobre el propi procés de pensament

Fa transferir coneixements

Ajuda a adquirir confiança en un mateix

Fa estar motivat

Prepara per afrontar altres reptes

Millora l‟autonomia per a resoldre els propis problemes.



2.2. COM INTERVÉ LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN

L’APRENENTATGE DE LA COMPETÈNCIA MATEMÀTICA?

2.2.1. QUÈ SÓN LES COMPETÈNCIES BÀSIQUES?.

En primer lloc cal esmentar que “competència” és un concepte dinàmic. Amb la

qual cosa volem indicar que està en constant evolució i no existeix una definició

universalment acceptada per tothom.

En la justificació de l‟estudi per la “Identificació de les Competències Bàsiques”

dut a terme pel Consell Superior d‟Avaluació del Sistema Educatiu, (1999), es

diu que “les competències es presenten relacionades amb facultats generals

del potencial humà per a la transformació de la realitat, a l’estil d’allò que

Chomsky atribueix a la competència lingüística com a “capacitat de produir infi-

nitament”. Des de aquesta perspectiva, la competència permet produir un nom-

bre infinit d’accions no programades, amb la qual cosa se supera la considera-

ció restrictiva del conductisme que només tenia en compte els resultats prèvia-

ment determinats cap els objectius didàctics”. (pàgina 12)

En el mateix estudi es fa referència a l‟Institut Català de Noves Professions, el

qual les defineix com “un conjunt d’actituds, aptituds i coneixements comuns a

diferents llocs de treball, oficis i professions” en un moment que es manifesta la

preocupació d‟identificar-les per una millor adaptació al món laboral dels estu-

diants. (INCANOP, 1997)

La Conferència Nacional d‟Educació (CNE, 2000)2 defineix “competència com

una característica general de l'acció humana que comprèn l'acció comunicativa,

l'acció tècnica i l’anàlisi del context per tal de poder establir una relació interac-

tiva i simbòlica”.

El model teòric elaborat en el marc del Projecte DeSeCo de l‟OCDE (2005)

permet, realitzar algunes afirmacions importants:

2 www.gencat.es/cne i "Identificació de les competències bàsiques en l'Ensenyament obligatori" (2000). J.

Sarramona i López. Responsable científic. Generalitat de Catalunya: Departament d'Ensenyament. Barcelona



Les competències només es manifesten en la realització d‟accions en un

context o situació particular. Per sí mateixes les competències no existei-

xen, és a dir, no són independents de l‟acció en la que es manifesten.

Les competències es desenvolupen a través de l‟acció i la interacció.

Les competències es desenvolupen tant en contextos formals (escola) com

no formals (família, empresa, etcètera).

Les competències es van desenvolupant i adquirint en graus de competèn-

cia.

Així també, el Decret 142/2007 del DOGC núm 4915, pàgina 21.826 en el an-

nex 1, apareixen les Competències Bàsiques descrites amb la finalitat

d‟aconseguir la realització personal de tots els alumnes, la capacitació per un

aprenentatge permanent al llarg de tota la vida, per poder exercir una ciutada-

nia activa i incorporar-se a la vida adulta satisfactòriament.

S‟anomenen bàsiques perquè tot l‟alumnat, abans d‟acabar l‟escolaritat obliga-

tòria, ha de poder aconseguir-les per a garantir el seu desenvolupament perso-

nal i social:

Són comunes a molts àmbits de la vida.

Són útils per a continuar aprenent.

Són imprescindibles per a poder gaudir d‟una vida plena.

En el moment de redactar aquesta llicència sembla que alguns dels trets defini-

toris amb més rellevància del terme competència són: la capacitat de decidir i

utilitzar els recursos personals necessaris (coneixements, habilitats, actituds i

experiències) per a resoldre tasques de forma adequada en situacions quotidi-

anes i reals. Ets competent quan saps que pots fer!

En síntesi, doncs, el terme competència aporta:

FUNCIONALITAT: que s‟aprengui fent-ho servir.

PROACTIVITAT: que provoqui activitat, participació, iniciativa. No s‟espera

només que es tingui capacitat per a fer quelcom si arriba la ocasió, sinó que

es demostri fent-ho.



CONTEXTUALITZACIÓ: que es pugui usar el què s‟ha après en contextos

diferents.

TRANSVERSALITAT: tasques complexes que impliquin continguts de dife-

rents àrees.

METACONEIXEMENT: que es sigui conscient del què es saps (fer), de com

es pot fer servir, en quines situacions és útil. Saber planificar i reconduir ,si

cal, el que s‟ha planificat si no porta al resultat esperat.

2.2.2. QUÈ ÉS LA COMPETÈNCIA MATEMÀTICA?

La competència matemàtica és descrita per Niss (2003) com la capacitat de:

Pensar matemàticament : Construir coneixements matemàtics a partir de

situacions on tingui sentit, experimentar, intuir, formular, comprovar i modifi-

car conjectures, relacionar conceptes i realitzar abstraccions.

Raonar matemàticament : Realitzar induccions i deduccions, particularitzar i

generalitzar; reconèixer conceptes matemàtics en situacions concretes.

Argumentar: les decisions, l‟ elecció dels processos seguits i les tècniques

utilitzades.

Comunicar als altres el treball i els descobriments realitzats, tant oralment

com per escrit, utilitzant el llenguatge matemàtic.

Modelitzar: aprendre matemàtiques, com un procés de construcció de co-

neixements que es dur a terme mitjançant la utilització d‟un model matemà-

tic

Plantejar i resoldre problemes: Comprensió de quina és la situació de parti-

da, elaboració d‟un pla d‟actuació, planificació de les accions que cal fer,

contrast de cadascun dels petits passos del procés amb el global i anticipa-

ció d‟alguna possible solució.

Interpretar i representar (a través de paraules, gràfics, símbols, nombres i

materials) expressions, processos i resultats matemàtics.

Utilitzar el llenguatge simbòlic: Utilització de les nocions matemàtiques per

la seva funcionalitat.



Utilitzar les tècniques matemàtiques bàsiques (per comptar, operar, mesu-

rar, situar-se a l‟espai i organitzar i analitzar dades) i els instruments (calcu-

ladores i recursos TIC, de dibuix i de mesura) per fer matemàtiques.

La competència matemàtica té, doncs, un caràcter transversal: els continguts

de l‟àrea de matemàtiques ajuden a adquirir la competència matemàtica però

s‟ha d‟utilitzar en altres contextos fora de la mateixa àrea. Davant de tot això

ens plantegem:

Com s‟adquireix les competència matemàtica?

Pensem que la resolució d‟un repte posa en situació la persona per a utilitzar

adequadament tots els seus recursos. Per això seleccionarem tasques potents

definint les operacions mentals que haurà de realitzar (raonar, argumentar, cre-

ar...), els continguts que es necessiten dominar i el context en el que aquesta

tasca es desenvoluparà. Pensem que han de ser tasques variades, amb relle-

vància, adequades als objectius que es volen aconseguir i que treballin el mà-

xim nombre de competències.

Què aporta el terme “repte" a la competència matemàtica?

Pensem que el terme aporta connotacions d‟interès, motivació i ganes de des-

cobrir. Provoca acció i mimetisme. Si s‟accepta un repte és que és a mida.

Com són les activitats matemàtiques competencialment bones?

Pensem utilitzar el qüestionari d‟indicadors de riquesa competencial elaborat

per l‟equip del CREAMAT3 com a guió per a l‟anàlisi i valoració de la potenciali-

tat competencial d‟una activitat.

3 http://phobos.xtec.cat/creamat/joomla/images/stories/documents/indicadors_competencials.pdf



Indicadors de riquesa competencial d’una activitat docent

PEL QUÈ FA A LES CARACTERÍSTIQUES DE L‟ACTIVITAT ÉS INTERESSANT

PREGUNTAR-SE

És una activitat que té per objectiu respondre a una pregunta oberta?

Porta a aplicar coneixements ja adquirits i a fer alguns nous aprenentatges?

Ajuda a relacionar coneixements diversos dins la matemàtica (mesura, numeració, geometria,...) o amb altres matèries?

És una activitat que es pot desenvolupar de diferents formes i estimula la curiositat i la creativitat de l’alumnat?

Implica l’ús d’instruments diversos com material manipulable, eines de dibuix, pro-gramari, calculadora...

És abastable al nivell de l’alumnat?

És entenedora al nivell de l’alumnat?

Té una presentació clara tant en l’expressió lingüística, com en el que s’espera dels alumnes

Potencia la visualització i la representació?

Potencia la retenció a la memòria de situacions, objectes, nombres, quantitats, dis-posicions espacials....

S’explicita la intencionalitat del mestre al plantejar l’activitat?

PEL QUÈ FA A LA GESTIÓ DE L‟ACTIVITAT ÉS INTERESSANT PREGUNTAR-SE

És fomenta l’autonomia dels alumnes?

S’intervé a partir de preguntes adequades més que amb explicacions?

Es posa en joc el treball i l’esforç individual però també el treball en parelles o en grups que porta a parlar, argumentar, convèncer, consensuar, etc?

Implica raonar sobre el què s’ha fet i justificar els resultats?

S’avança en la representació de manera cada vegada més precisa i usant progress i-vament llenguatge matemàtic més acurat?

Es valora l’error com l’expressió d’un grau d’adquisició de la competència matemàti-ca?.

Es contempla la possibilitat de resoldre-la de més d’una manera d’aconseguir -la



3. PER QUÈ LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES ÉS UNA EI-

NA PER A L’APRENENTATGE DE LA COMPETÈNCIA

LINGÜÍSTICA?

El llenguatge, escrit o oral, és un instrument que ajuda a la construcció del pen-

sament, on l‟adult es converteix en el mediador essencial per ajudar a aprendre

als nens i nenes el seu ús. Els educadors (pares, mestres, ...) són els qui intro-

dueixen a l‟alumnat en aquest món simbòlic, situació que no es donaria si no hi

haguessin les relacions amb les persones expertes de la comunitat. Aquest

procés de desenvolupament esdevé un fenomen social, on hi convergeixen el

llenguatge i l‟activitat pràctica (Vygotsky, 1978). El nen comença a dominar el

seu entorn amb l‟ajuda de la parla, fent-se necessari i natural que els nens par-

lin mentre actuen.

Vygotsky va mostrar que la parla infantil juga un paper molt important a l‟hora

d‟aconseguir la meta pretesa, atès que la parla i l‟acció formen part de la matei-

xa funció psicològica. Per altra banda, assenyala la importància que té el con-

text social. En un primer moment, davant la dificultat de resoldre per sí matei-

xos un problema, els nens busquen l‟ajut de l‟adult i li descriuen la seva dificul-

tat, en un fase posterior, en comptes d‟anar a l‟adult, els nens són capaços de

bolcar-se en sí mateixos i llavors la parla passa a tenir una funció intrapersonal

i no solament interpersonal. Tradicionalment és en el context de la cultura esco-

lar on te lloc l‟aprenentatge de l‟ús de codis simbòlics que han de permetre re-

construir, interpretar i transformar la realitat.

Avui en dia, més que mai, davant

la diversitat cultural de les nostres

aules hem de tenir en compte que

l‟aprenentatge escolar i el conei-

xement que es genera a les aules

ha d‟estar relacionat amb les situ-

acions de la vida quotidiana tal-



ment diversa culturalment, per tant hem de procurar que l‟aprenentatge estigui

recolzat en:

L‟aprenentatge basat en el món pràctic de la vida quotidiana.

En aprendre les estratègies de les diverses cultures.

En l‟alumne com agent del seu aprenentatge, desenvolupant el pensament

creatiu.

El procés de l‟aprenentatge s‟explica amb el cicle d‟aprenentatge expansiu.

Una idea inicial es transforma pas a pas en un objecta concret, una nova pràc-

tica. El cicle comença quan un subjecte es qüestiona una pràctica fins alesho-

res acceptada i gradualment es va transformant fins a una nova concreció, la

qual ha passat per successives accions d‟aprenentatge.

El repte que tenim

els educadors és

que l‟ensenyament

de les matemàti-

ques no pot ser in-

dependent de

l‟ensenyament del

llenguatge que s‟hi

utilitza, per tant, des

dels diferents con-

textos socioculturals

dels alumnes hem

d‟aconseguir que sorgeixi el llenguatge matemàtic con instrument mediador de

l‟aprenentatge. O sigui, en la resolució de problemes hem d‟aconseguir que

l‟alumnat a mesura que va interioritzant els aprenentatges matemàtics, sigui

capaç d‟exterioritzar-los explicant els processos del seu aprenentatge, cada

vegada més, fent ús del lèxic específic del llenguatge matemàtic, de l‟entorn en

el que es troba, a fi de reconèixer-lo com a tal i de consolidar-lo, sigui qui sigui

el seu origen cultural..



El mateix NCTM (National Council of Teachers of Mathematics)4 afirma, que la

resolució de problemes és part integral de tota activitat matemàtica. La solució

de problemes requereix que els estudiants investiguin preguntes, tasques i si-

tuacions que tant ells com el docent podrien suggerir. Els estudiants generen i

apliquen estratègies per treballar i resoldre'ls.

Els estudiants necessiten moltes oportunitats d'usar el llenguatge per comuni-

car idees matemàtiques: discutir, escriure, llegir i escoltar idees matemàtiques

aprofundeix l'enteniment en aquesta àrea. L‟alumnat aprèn a comunicar-se de

diferents maneres: relacionant activament materials físics, imatges i diagrames

amb idees matemàtiques; reflexionant sobre elles i clarificant el seu propi pen-

sament; establint relacions entre el llenguatge quotidià amb idees i símbols ma-

temàtics; i discutint idees matemàtiques amb els seus companys.

La resolució d'un problema (Mialaret, 1985) no ha de revestir un aspecte miste-

riós, màgic; ha de permetre una presa de consciència progressiva a les accions

executades i en un esforç continu per arribar a l'acord entre el pensament i l'ac-

ció. La iniciació a la resolució de problemes, tant en Preescolar com en els pri-

mers cursos de primària, ha de respectar les etapes següents:

Manipulativa: D'entrada, no se li ha de plantejar als alumnes problemes escrits.

La manipulació», «la concretització», és necessària perquè l'alumne percebi, a

través de les seves accions concretes, quines són les operacions aritmètiques

que ha d'utilitzar. És convenient, que els alumnes tradueixin, de manera verbal,

el que ha realitzat de manera manipulativa (la conducta del relat).

Gràfica: Representar el realitzat, de manera manipulativa, en forma de dibuixos

o esquemes gràfics.

Simbòlica (escrita): Valent-se dels símbols numèrics i del text escrit. Pel que fa

a l'etapa del problema escrit, cal tenir en compte les següents observacions:

Presentar cada dada numèric en una línia.

S'ha d'utilitzar un vocabulari d'ús habitual i significatiu per a l'alumne.

4 http://www.nctm.org/



No abusar de les formes verbals en la formulació dels problemes. És con-

venient repetir els substantius abans que la utilització de pronoms.

En un principi, presentar les dades en l'ordre que s'ha d'operar amb ells.

Més tard, es podran i hauran d'alterar les dades.

Com a resum, pel que fa a la redacció del problema, aquesta ha de ser:

Senzilla.

Clara.

Correcta.

Enunciar els fets cronològicament, com se succeeixen, per evitar dificultats

provinents de la seva lectura.

El Currículum d‟educació primària – Matemàtiques - Decret 142/2007 DOGC

núm. 4915, de la Generalitat de Catalunya, diu ben clar que “Les matemàtiques

són un instrument de coneixement i anàlisi de la realitat i al mateix temps cons-

titueixen un conjunt de sabers d‟un gran valor cultural, el coneixement dels

quals ha d‟ajudar a totes les persones a raonar, de manera crítica, sobre les

diferents realitats i problemàtiques del món actual...”, “...el currículum de mate-

màtiques a l‟educació primària es planteja amb la perspectiva d‟un aprenentat-

ge de les matemàtiques per a la vida diària, i unes matemàtiques que ajudin a

Exemple:

1. Un nen compra 5 quaderns a 92 cèntims cadascun i

2 bolígrafs a 34 cèntims cadascun.

Quants cèntims gastarà?

92 cèntims cadascun 5 X 92

34 cèntims cadascun 2 X 34

5 X 92 + 2 X 34=



interpretar el món que ens envolta...”, “..cal proporcionar en totes les classes de

matemàtiques oportunitats per tal que l‟alumnat aprengui a raonar matemàti-

cament, proposant activitats d‟aprenentatge on la resolució de problemes, en-

tesa en un sentit ampli, esdevingui el nucli de l‟ensenyament.” Pàgina 21.829.

Quan fa referència a com la competència matemàtica, contribueix a

l‟assoliment de totes les altres competències bàsiques, referint-se a l‟àrea de

llenguatge diu explícitament:

“Competència en comunicació lingüística. Les matemàtiques contribueixen a

aquesta competència aportant el coneixement d‟un llenguatge específic, ne-

cessari en el desenvolupament de les ciències i en la resolució de molts pro-

blemes quotidians. També, en el treball matemàtic, l‟ús de la llengua, tant oral

com escrita, és fonamental per descriure conceptes i processos, expressar ra-

onaments i argumentacions, i en concret, el llenguatge oral per a comunicar,

discutir, comparar i validar el treball realitzat.

Girondo (1993), exposa que ” el llenguatge verbal, vehicle fonamental en la

comunicació que també requerirà el coneixement de termes propis i la seva

utilització en situacions pertinents són llenguatges bàsics en la societat d’avui

en dia, però també necessaris en el mateix procés d’aprenentatge”. També en

aquest mateix sentit, Alsina i Planes (2008) destaquen algunes de les connexi-

ons existents entre la competència matemàtica i la competència lingüística, fan

esment dels següents aspectes: “incorporar el llenguatge matemàtic i la preci-

sió del seu ús en l’expressió habitual per millorar les destreses comunicatives; i

descriure verbalment raonaments i processos de resolució propis i escoltar ex-

plicacions dels altres per a fomentar la comprensió i l’esperit crític” (pp. 157). I,

per sense insistir més, Deulofeu (2008) diu en una conferència a l‟UAB: “ Pel

que fa a la comunicació, és clar que el desenvolupament del llenguatge és una

característica dels humans i que sabem que hi ha un lligam entre les capacitats

cognitives i les lingüístiques, però també cal tenir en compte que les matemàti-

ques han desenvolupat uns llenguatges característics que serveixen tant per fer

matemàtiques com per comunicar-les als altres, en definitiva, per poder com-

partir allò que fem.”



4. LA METODOLOGIA I EL PAPER DEL MESTRE EN LA

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

La metodologia és el factor més rellevant per al desenvolupament de les com-

petències. La manera d‟ensenyar condiciona la manera d‟aprendre. La manera

com l‟alumnat aprèn, és també un objecte d‟aprenentatge.

Desenvolupar unes competències suposa fer un aprenentatge per a la vida,

que ha de tenir la funcionalitat de donar resposta a situacions diverses, com-

plexes i imprevistes. Aquest procés depèn d‟un aprenentatge actiu en un con-

text acadèmicament significatiu, processualment generalitzable i emocional-

ment vinculant atès que el seu objectiu és preparar l‟alumnat per aprendre a

fer, per a aprendre a estar, per a aprendre a generar el coneixement que li cal i

aplicar-lo i, en conseqüència per a aprendre a ser. Caldran estratègies didàcti-

ques interactives com les que determina el marc curricular de referència (De-

cret 142/2007 DOGC núm. 4915): “El procés d‟ensenyament i aprenentatge de

les matemàtiques ha de tenir en compte els següents aspectes:

- Rellevància dels contextos.

- Equilibri, connexió entre els continguts i treball interdisciplinari.

- Valoració d‟actituds relacionades amb les matemàtiques.

- Diversitat en les formes de treball..

- L‟avaluació com a part del procés d‟ensenyament-aprenentatge, que in-

clou la reflexió sobre el què s‟aprendrà, s‟està aprenent o ja s‟ha après”

Aquests principis marquen altres aspectes metodològics com la gestió d‟aula,

del temps, l‟ús de materials didàctics, TIC.(Decret 142/2007 DOGC núm. 4915)

La interacció entre professorat i alumnat ha de ser l‟iniciador de l‟activitat. Cal,

per tant, planificar el procés que ha de provocar l‟activitat participativa a la

classe des del seu inici:



“El que es pot ensenyar és l’actitud correcta davant els problemes (...) El millor

mètode no és explicar coses als alumnes, sinó fer-los bones preguntes i millor

encara, instar-los a que es facin ells mateixos preguntes.” (Pòlya,G (1998))

L‟empatia i la confiança dels docents cap a l‟alumnat creen aquest marc emoci-

onal necessari on hi creixerà el coneixement:

“El professorat necessita comprendre els seus alumnes, confiar en ells, com

aprenents de matemàtiques i com a éssers humans, i ser curosos en l’elecció i

utilització d’estratègies pedagògiques i d’avaluació”5 (National Commision on

Teaching and America‟s Future (1996)).

La metodologia depèn absolutament de l‟equip de professorat qui amb la seva

planificació i actuació converteix en realitat totes aquestes bones intencions.

Deulofeu (2008) ho explica de la següent manera:

“El paper del mestre resulta essencial, ja que és ell qui condueix el procés, qui

possibilita, encoratja o limita l’ús de procediments personals per a resoldre les

tasques plantejades, qui valora el nivell de pertinença de les respostes donades

pels alumnes i qui proporciona elements per tal que aquestes respostes puguin

ser compartides pels altres. També és el mestre qui ha d’intentar establir, gra-

5 http://www.nctaf.org/



dualment, ponts entre les diverses realitzacions dels alumnes (que inclouen les

seves pròpies formes de representació) i les formes de raonament i sistemes

de representació propis de les matemàtiques, de manera que el treball realitzat

contribueixi realment a la construcció del coneixement matemàtic per part dels

alumnes”.6

Segurament no es tracta de canviar la manera de fer sinó de ser-ne conscients

per tal d‟adequar la intervenció pedagògica a les noves demandes. La podríem

concretar en les següents accions:

- Seleccionar bons problemes de diferent tipologia, adaptant problemes inte-

ressants o convertint en problemes algunes situacions viscudes a la classe

per assegurar la motivació, sabem que es construeix coneixement quan es

posa en marxa l‟activitat intel·lectual, la comprensió i l‟adequació dels resul-

tats.

- Presentar els problemes com un procés en el que l‟alumne es qüestioni, ex-

perimenti, faci estimacions, conjectures i suggereixi explicacions més que

com una situació que requereix una resposta única (que el mestre ja coneix i

que encamina cap allà)

Si plantegem un problema als nens donant a entendre que nosaltres ja sa-

bem la solució provocarem competició i sanció.

Si plantegem un problema de forma oberta i mostrant amb sinceritat que no

tenim la solució sinó que ajudarem a trobar-la provocarem curiositat i interès.

- Crear un ambient favorable sense inhibicions, ni competitivitat però si interès

en superar-se. Un ambient que estimuli la participació i l‟ intercanvi entre

iguals que tinguin ganes d‟aportar idees admetent que altres desenvolupin

les pròpies idees i col·laborant per a millorar les idees dels altres.

- Potenciar la participació; plantejant dubtes, finalitats que facilitin l‟establiment

de connexions.

6 Deulofeu,J. http://www.xtec.cat/sgfp/matematica/continguts/ponencies/aprenentatge.pdf

http://www.xtec.cat/sgfp/matematica/continguts/ponencies/aprenentatge.pdf



- Afavorir l‟autonomia reconduint les explicacions de part de l‟ensenyant cap a

les bones preguntes.

- Propiciar la comunicació oral o escrita del què s‟ha après.

- Animar l‟alumnat a adquirir confiança en les pròpies capacitats.

- Observar i guiar les estratègies que utilitzen per a obtenir informació de cada

alumne i fer explícits els procediments.

Cal trobar la forma justa d‟ajudar-los (si no els ajudem gens potser no progres-

sin si els ajudem massa no els deixem pensar):

- Gestionant l‟error no associant-lo a fracàs sinó a replantejament de la situa-

ció.

- Verbalitzant i compartint la manera com ell mateix es posa davant d‟un pro-

blema nou. Aquest fet fa que l‟alumne percebi la resolució com a tasca molt

mes complexa i humana.

- Ajudant a identificar les estratègies utilitzades.

- Ajudant a trobar similituds amb altres problemes coneguts.

- Ajudant a la transferència de conceptes.

- Gaudint resolent problemes.

- Diversificant les formes i objectes d‟avaluació potenciant l‟autoregulació.

"Espero que els vostres néts m’estiguin agraïts no només per les coses que els

he explicat sinó també per les que he obviat intencionalment a fi de deixar-los

el plaer de descobrir-les ". Descartes, R(1637)

“És important que el nen senti que el mestre és allà per ajudar-lo fomentant la

confiança en ell mateix i el seu equilibri”. SORANDO, J. Mª (1998)

L‟avaluació ha de ser formativa, ha de servir per a millorar la confiança de

l‟alumnat en les seves capacitats, li ha de permetre valorar la seva capacitat en

l‟ús de recursos heurístics, la capacitat de comprensió de les situacions, enun-

ciats i us de la informació i elaboració de conjectures, l‟ús d‟estratègies i tècni-

ques de resolució de problemes que fa servir, fins on és capaç de comprovar i

interpretar els resultats, i per a planificar, desenvolupar i controlar el procés. A



l‟ensenyant li ha de servir per esbrinar les possibilitats instructives de cada situ-

ació/problema i el grau d‟adequació de la proposta, també per poder fer l‟anàlisi

de com es gestiona l‟error, bé com un càstig, fracàs o com un procés que porta

cap a la resolució del repte.

L‟avaluació a de formar part del procés de la resolució de problemes: observant

l‟alumnat individualment, en petit grup i en les discussions o posades en comú

en gran grup, escoltant l‟alumnat en les discussions dels processos de resolu-

ció de problemes, analitzant els treballs escrits, proves, llibretes.

Creiem que la reflexió sobre la pròpia pràctica és el punt de partida per a la mi-

llora professional.

“Col·laborar regularment amb altres companys de professió per observar, ana-

litzar i discutir sobre la pròpia pràctica i sobre el pensament de l’alumnat és una

L’Ordre Ministerial ECI/3854/2007, de 27 de desembre, publicada al BOE 312, de 29 de

desembre de 2007 descriu les competències per als professionals de

l’ensenyament

Conèixer les àrees curriculars (objectius, continguts curriculars i criteris d’avaluació) i la relació interdisciplinària entre elles.

Dissenyar, planificar i avaluar processos d’ensenyament-aprenentatge (individualment i amb altres docents i professionals).

Abordar amb eficàcia situacions d’aprenentatge de llengües en contex-tos multiculturals i plurilingües.

Dissenyar i regular espais d’aprenentatge en contextos de diversitat i que atenguin a la igualtat i al respecte als drets humans.

Fomentar la convivència dintre i fora l’aula, resoldre problemes de disci-plina i contribuir a la resolució específica de conflictes. Estimular i valorar l’esforç, la constància i la disciplina personal en els estudiants.

Conèixer l’organització de l’escola. Assumir que l’exercici de la funció docent ha d’anar perfeccionant-se i adaptant-se als canvis, científics, pe-dagògics i socials al llarg de la vida.

Reflexionar en grup sobre l’acceptació de normes i el respecte als altres. Promoure l’autonomia i la singularitat de cada estudiant com factors d’educació de les emocions, els sentiments i els valors.

Reflexionar sobre les pràctiques de l’aula per innovar i millorar la tasca docent. Adquirir hàbits i destreses per l’aprenentatge autònom i coopera-tiu i promoure’l entre els estudiants.



manera poderosa, i sovint poc aprofitada, de desenvolupament professional en

els centres educatius”. (STIGLER Y HIEBERT, (1999))



5. METODOLOGIA.

5.1. QÜESTIONS PRELIMINARS: L’APLICATIU ARC CERCA-

MAT.

La nostra llicència ha estat avalada pel CREAMat (Centre de Recursos per a

l’Ensenyament i Aprenentatge de les Matemàtiques) dintre el Projecte de reco-

briment del currículum de matemàtiques la qual cosa ha fet que es treballés

conjuntament amb un Pla de Treball establert.

S‟ha constituït un grup de treball format per l‟equip de CREAMat, les diferents

persones que portem a terme llicències retribuïdes pel Departament d‟Educació

relacionades amb l‟àmbit de l‟Ensenyament- Aprenentatge de les Matemàtiques

a Primària i a Secundària i dos tècnics informàtics.

Hem preparat un conjunt de problemes contextualitzats, amb TAC i per aules

LIC que anomenem ELEMENTS, competencialment rics per les seves caracte-

rístiques i per la metodologia d‟aplicació i de gestió d‟aula.

Per poder etiquetar i determinar les paraules clau per a les entrades de contin-

guts i processos es va fer un anàlisi del currículum, tant de Primària com de

Secundària.

Es va preparar una proposta per al disseny del cos tenint en compte les dife-

rents llicències i el seu element específic: contes, problemes, contextos, refe-

rències històriques i materials.

Després de diverses sessions amb el grup de treball s‟ha establert:

La terminologia comuna:

Element: cada una de les propostes que vagin formant el recobriment.

Recobriment del currículum de matemàtiques al conjunt. En l‟ús habitual

emprarem únicament el terme: “Recobriment”.

Blocs: blocs de contingut establerts en el currículum.

Paraules clau: termes que utilitza habitualment el professorat per referir-se

als continguts.



Tipus : les diferents menes d‟elements que formaran el recobriment.

L‟estructura del suport informàtic: Aplicatiu ARC CercaMat. (ARC: Aplicatiu

pel Recobriment Curricular). Ha de permetre tres opcions de cerca:

- per etapa/ cicle o curs / Blocs / paraula clau / Tipus / element

( L‟estructura d‟aquest cerca s‟esquematitza al final del present apartat)

- directament a partir d‟una paraula clau.

- directament des d‟un bloc del currículum.

L‟estructura interna del tipus d' element situació/problema:

Cada un dels elements ha de tenir, com a mínim, els següents camps:

Etiqueta curricular segons un sistema de numeració decimal de continguts

(en el cas de l‟ESO també s‟hi inclouran les connexions interdisciplinàries i

les referències històriques). El primer símbol d‟aquests codis serà “I” per a

l‟educació infantil, “P” per a l‟educació primària, “E” per a l‟ESO i “B” per al

batxillerat. L‟etiqueta estarà formada bàsicament per les següents dades:

o Etapa/es

o Curs o cursos a qui va dirigit



o Bloc o blocs de contingut a què fa referència

o Paraules clau. Si es refereix a més d‟un bloc almenys una per bloc.

o Format: doc, pdf, imatge...

o Tipus

o Descripció breu

o Imatge (Si s‟escau)

Dades d’autoria: En el lloc corresponent de cada element hi haurà de cons-

tar les dades d‟autoria o col·laboració (per ser mostrada a qui consulti) i de

validació (d‟ordre intern).

El cos de l’element: haurà de dissenyar-se, en cada cas, tenint present les

característiques específiques del tipus (el cos pot ser diferents per a situa-

ció- problema, per a contes, per a materials, per a referències històriques...).

Aquest aspecte haurà de ser proposat per les persones que es facin càrrec

de cada tipus d‟elements.

Així mateix, de manera optativa, aquest cos, podrà contenir també:

o Anàlisi argumentat de competències i processos que es posen en joc.

o Guions d’aula.

o Connexions: internes, interdisciplinàries, amb la vida quotidiana o trans-

versals.

o Referència sobre possible utilització per a l‟atenció a alumnat amb ne-

cessitats educatives especials, escoles d‟educació especial, aules

d‟acollida..

- Els "codis d' estil", comuns a tots, en tres àmbits:

o Un codi d' estil del cos dels elements.

o Un codi d' estil de la descripció curta que consta a l' etiqueta.

o Un codi d' estil de les frases clau.

- L‟estructura de la cerca per etapa/ cicle o curs / Blocs / paraula clau / Tipus /

element: Tots els elements, aquí presentats, es poden trobar recollits a la

seva base de dades a l‟Aplicatiu per a la recerca curricular anomenat ARC

Cercamat a l‟adreça següent: http://phobos.xtec.cat/CREAMat/cercamat/

http://phobos.xtec.cat/creamat/



L‟experimentació d‟aquests materials s‟ha dut a terme sobre una mostra forma-

da per tres grups de tots els nivells de primària de les escoles on treballem els

tres participants d‟aquesta llicència (que a partir d‟aquest moment anomena-

rem: escola 1, escola 2 i escola 3). Han col·laborat els ensenyants tutors de tots

els nivells educatius i els equips directius dels centres.

5.2. MATERIALS.

5.2.1. QÜESTIONARI SOBRE L‟ENSENYAMENT/APRENENTATGE DE LES MATEMÀTI-

QUES REFERIDES A LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

Està destinat als companys de les escoles mostra, perquè manifestin les seves

creences sobre diferents aspectes de l‟encensament/aprenentatge de les ma-

temàtiques:

1. Creences sobre l‟àrea de matemàtiques dirigides a la seva utilitat.

2. Creences sobre l‟aprenentatge de les matemàtiques.

3. Creences sobre el rendiment matemàtic i l‟avaluació.

4. Creences sobre la metodologia per a l‟ensenyament de les matemàtiques

5. Creences sobre les noves directrius curriculars i de competències.

6. Creences sobre el concepte de problema.



A l‟Annex 1 s‟hi poden trobar els documents del buidatge del qüestionari passat

als companys de les escoles 1, 2 i 3 i el model de qüestionari. La valoració de

les opinions expressades la podem trobar a l‟apartat 6.1 d‟aquest document.

5.2.2. ELEMENT

Anomenem element a cadascuna de les situacions/problema fent encís en

l‟expressió lingüística, plantejades com a reptes a assolir, interessants i relacio-

nades amb el currículum.

Cada element ha estat escollit tenint en compte que:

Permetin la participació de tot l‟alumnat en un repte, admetent diferents ni-

vells de resolució.

Que facilitin i ajudin en el procés de resolució l‟ús del llenguatge matemàtic

apropiat i el de comunicació en l‟alumnat nouvingut..

Permetin: cercar informació, manipular, experimentar, construir i argumen-

tar. i

Convidin al debat: exposar, tant oral com per escrit, el procés seguit en la

resolució del repte plantejat.

A l‟Annex 2 s‟hi poden trobar els 12 elements que s‟han utilitzat per al treball de

camp. S‟hi explicita: l‟enunciat, els processos i les competències que s‟hi treba-

llen. També, els blocs que s‟hi poden relacionar i el text curricular a que es fa

referència així com, un conjunt d‟aspectes metodològics i d‟atenció a la diversi-

tat i una descripció detallada del seu desenvolupament i de la gestió d‟aula.

A l‟ ANNEX 3 s‟hi poden trobar un conjunt exhaustiu de situacions/problema

per treballar el llenguatge que fan referència a tots els blocs de contingut curri-

cular: numeració i càlcul, relacions i canvis, mesura, espai i forma i estadística i

atzar.

5.3. MOSTRA L‟escola 2 és un CEIP de titularitat pública, de doble línia situada en un po-

ble/ciutat d‟uns 30.000 habitants. En aquesta localitat hi ha 4 escoles més de



titularitat pública i 3 més de concertades a més de 3 Instituts públics i 3 de con-

certats i una escola superior de Belles Arts.

És una localitat amb uns sector de producció molt variat: vàries industries del

sector tèxtil, càrniques i químiques, comparteixen amb el sector primari de

l‟agricultura i ramaderia, així com amb el sector de la construcció, a part d‟un

bon sector comercial.

Com a la resta de Catalunya, l‟onada d‟immigració també ha arribat, donada

l‟oferta laboral existent fins el moment..

Això incideix de una manera directa amb el perfil socioeconòmic i cultural de la

població de l‟entorn de l‟escola 2, així :

El 73% de les famílies són autòctones i el 86 % són famílies foranies.

La llengua emprada per la comunitat educativa es reparteix de la següent

manera:

- Llengua de les famílies autòctones: 80% català, i 20% castellà.

- Llengua de les famílies nouvingudes: 30% àrab, 30% castellà/sud-

americà, 20% soninké, 8% panjabi, 4% romanès, 4% xinès, 2% fula, 1%

polonès, 1% ucraïnès.

Treball: Els pares treballen principalment al sector secundari (indústries de

la carn i del suro), el sector primari (agricultura i ramaderia) i el sector ser-

veis ( treballs domèstics i atenció a la gent gran). Aquest darrer sector ocu-

pa, amb treballs temporals, a algunes mares d' alumnes.

Procedència de la població: La seva

procedència és diversa. Fa uns 20 anys

la gran onada d‟immigració provenia

bàsicament del continent africà: del

Magrib, Senegal i Gàmbia. Aquesta ha

anat en augment i des de fa uns 8 anys

si ha sumat la procedent de països de

l‟Est com Ucraïna, Polònia i Romania,

1. PROCEDÈNCIA

Magrib 40%

Àrea sub-sahariana 22%

Pakistan i Índia 8%

Xina 4%

Països de l’Est 6%

Continent Sud-americà 30%



Nivell A B Alumnes

mostra

1er 17 19 17

2on 23 23 23

3er 24 21 24

4art 19 22 22

5è 23 22 23

6è 22 23 23

entre altres; de Mali, també de l‟Índia, de la Xina i de pràcticament tots els

països sud-americans.

Motivacions culturals: L' oferta cultural del poble és força àmplia: excursio-

nisme, coral, música, belles arts, teatre i també entitats esportives: de futbol,

bàsquet, hoquei, natació, tenis.... La majoria dels alumnes participen en al-

guna d‟aquestes activitats, tant culturals com esportives. Hi ha una bona

oferta de grups d‟esplai, que participen de manera molt activa en el procés

d‟immersió de la població infantil nouvinguda.

Majoritàriament es tracta de nens/es ben adaptats a l' entorn social i esco-

lar. I els casos puntuals estan seguits pels serveis comarcals de Benestar

Social.

L‟escola 2 té cura de la integració i acceptació de la diversitat. En el Projec-

te educatiu del centre es manifesta com una escola integradora que vol faci-

litar la convivència de tothom evitant la discriminació per qualsevol motiu o

procedència.

L‟alumnat de mostra és el de

primària i es distribueix segons

ens mostra la graella adjunta.

El Claustre, conscient de la impor-

tància de la integració de l‟alumnat a

la vida normalitzada del centre, ha

desenvolupat un Pla Estratègic so-

bre la Multiculturalitat, amb la finalitat

d‟afavorir la integració multicultural

dels alumnes i, en especial, de les

seves famílies al centre, i prioritzar les actuacions per l‟assoliment de les com-

petències bàsiques de l‟àmbit lingüístic i social, amb activitats que afavoreixin la

participació en la vida del centre de les famílies nouvingudes, i la seva integra-

ció i implicació en aquestes activitats obertes que porta a terme el centre, jun-

tament amb la col·laboració de l‟AMPA: el projecte del Pessebre Vivent, i la

Festa de l‟Escola. És una escola conscienciada de que ha d‟estar en connexió



amb l‟entorn més proper i en les T.I.C, fet que es percep en les activitats com-

plementàries programades per un aprenentatge més significatiu.

A l‟actualitat, conscient el claustre de la importància de millorar l‟aprenentatge

en les llengües i les matemàtiques, te plantejats sobre la taula programes per

atendre la lectura i la seva comprensió, i la resolució de problemes. Això com-

porta una major dedicació horària a aquestes programes i a l‟aplicació de diver-

ses metodologies que facilitin llur aprenentatge.

Composició del Claustre de l’escola 2:

Educació infantil: 6 mestres/tutor + 1 mestre cicle + 1 TEI

Cicle Inicial: 4 mestres/tutor + 1 mestre Cicle + 1 mestre de religió

Cicle Mitjà: 4 mestres/tutor + 1 mestre Cicle

Cicle Superior: 4 mestres/tutor + 2 mestre Cicle

Especialistes d‟Educació Física: 2 mestres

Especialista de música: 1 mestre + Cap d‟Estudis

Especialista d‟anglès: 1 mestre + Director

Especialista d‟Educació Especial: 1 mestre

Aula d‟Acollida: 1 mestre

Programa de Biblioteca: 1 mestre

5.4. ELEMENTS.

Els elements de la mostra són les situacions problema que s‟han passat a les

aules. Són situacions que pretenen presentar uns reptes davant l‟alumnat a

partir de situacions properes i conegudes i que facilitin la interacció entre

l‟alumnat a fi de poder intercanviar parés, raonament explicant els “per quès” de

les seves decisions, utilitzant cada cop més el llenguatge científic propi de l‟ària

de matemàtica, bandejant el llenguatge col·loquial.

S‟han passat dos elements a cada classe de la mostra de primer a sisè de pri-

mària.



ELS 12 ELEMENTS DEL TREBALL DE CAMP

Nivell Nombre d’alumnes

SITUACIÓ/PROBLEMA Qui passa el problema

1a

inte

rve

nci

ó a

l’au

la primer 17 “El més gran i el més petit”

L’ensenyant

amb llicència

segon 23 “L’aparcament”

tercer 24 “Com gastar-se un milió?”

quart 22 “Torns de pati”

cinquè 24 “Simetries aritmètiques”

sisè 23 El jardí botànic -pressupost

1a

inte

rve

nci

ó a

l’au

la primer 17 “El més gran i el més petit”

L’ensenyant /

tutor

segon 23 “La balena blava”

tercer 24 “La sabata d’en Pau Gasol”

quart 22 “El camí de l’escola”

cinquè 24 “Col·loca les xifres”

sisè 23 “El jardí botànic” – El cost

[Escriba una cita del documento o del resumen de un punto interesante. Puede

situar el cuadro de texto en cualquier lugar del documento. Utilice la ficha Herra-

mientas de cuadro de texto para cambiar el formato del cuadro de texto de la cita.]

Element 1: “El més gran el més petit” (per l’alçada)

Cicle Inicial. Nivell 1er. 17 alumnes: 12 alumnes autòctons, 1 xinés i 4 subsa-

harians.

Bloc: Relacions i canvis.

Presentació:

A “primer” tots els nenes i nenes

creixen molt i molt ràpid. Ara

anem a esbrinar els més grans i

els més petits.

Ens posarem de quatre en quatre,

i ens posarem en filera de “més

gran a més petit”.

Primer ho escriurem en un paper, l’ordre en que creiem que ens hem de posar.



Descripció: Es tracta de com l’alumnat per grups és capaç d’ordenar-se de

“més gran a més petit” per l’alçada. L’alumnat busca estratègies per aconseguir

fer la filera d’acord a la seva alçada de més gran a més petit.

Text curricular: Selecció, classificació i ordenació d’objectes segons diferents

criteris.

- - - - - - - - - - -

5.4.1. Element 2: “El més gran el més petit” (per l’edat)

Cicle Inicial. Nivell 1er. 17 alumnes: 12 alumnes autòctons, 1 xinés i 4 subsa-

harians.

Bloc: Relacions i canvis.

Presentació:

Ja sabem qui són els més grans d’alçada, ara

anem a veure qui és el més gran d’edat. Fa-

rem el mateix, ens posem de quatre en quatre

hi fem la fila del “més gran d’edat al més pe-

tit”, hem de tenir en compte el mes en el que

es va néixer.

Descripció: Es tracta de com l’alumnat fa una ordenació segons l’edat.

L’alumnat per grups busca estratègies per aconseguir ordenar-se segons l’edat

de cadascú

Text curricular: Selecció, classificació i ordenació d’objectes segons diferents

criteris.

- - - - - - - - - - -

5.4.2. Element 3: “L’aparcament ple”.

Cicle Inicial. Nivell 2n. 23 alumnes: 18 alumnes autòctons, 1 panjabi, 1 ma-

grebí i 3 subsaharians.

Bloc: Espai i forma.



Presentació:

Quants cotxes com aquest podrem posar en

aquest aparcament?

Descripció: Es tracte d‟incloure la longitud d‟un cotxe en un rectangle (par-

quing). Sobre el plànol rectangular d’un solar, s’ha de dibuixar els apartats per

posar-hi el màxim de cotxes, com el de la figura.

Text curricular: Descripció i interpretació de posicions relatives a l‟espai, en

referència a un mateix i a altres punts.

- - - - - - - - - - -

5.4.3. Element 4: “La balena blava”.

Cicle Inicial. Nivell 2n. 23 alumnes: 18 alumnes autòctons, 1 panjabi, 1 ma-

grebí i 3 subsaharians.


Presentació:

No fa gaire, es varen trobar un seguit de bale-

nes a la platja que s’havien despistat de la

seva ruta habitual, i es van quedar atrapades

a la sorra de la platja de l’Escala. Com que

eren moltes, l’Ajuntament va demanar qui vo-

lia o podia emportar-se’n una, perquè els vete-

rinaris la poguessin cuidar. Nosaltres ens en podríem quedar una, però… ens

cabria a la pista grisa?

Descripció: Aprofitant una noticia sobre el perill que corren les balenes blaves,

prendre consciència de la seva mida fent la comparació amb el pista del pati de



l’escola. Esbrinar la possibilitat de posar una balena blava a la pista del pati de

l’escola.

Text curricular: Descripció, nominació i interpretació de posicions relatives a

l‟espai, en referència a un mateix i a altres punts.

- - - - - - - - - - -

5.4.4. Element 5: “Com em gasto un milió d’euros”.

Cicle Mitjà. Nivell 3r. 24 alumnes: 17 alumnes autòctons, 1 panjabi, 2 magrebí

i 4 subsaharians.

Bloc: Numeració i Càlcul.

Presentació:

En un concurs de televisió, en el que s’havien

d’inventar tantes paraules estranyes com pogués-

sim, la classe de 3r vàrem guanyar 1.000.000

d’euros. Com ens podem gastar un milió d’euros?

Organitzem les propostes de la més cara a la més

barata.

No hi ha cap proposta que el seu cost acabi en

“0”.

Només hi poden haver dues propostes que pas-

sen dels 100.000 €.

Hi poden haver 3 propostes en les quals el seu valor estigui entre 50.000 € i 30.000 €.

No n’hi cap que tingui un valor dintre les 9 desenes de miler.

Descripció: La classe de 3r guanya 1.000.000 d’euros en un concurs,

ara se’ls planteja el repte de com gastar-lo. Fer una proposta de despesa

utilitzant la descomposició del número, seguint unes pautes.

Text curricular: Ús i contrast de diferents models per comparar i ordenar els

nombres fins al milió.

- - - - - - - - - - -



5.3.6. Element 6: “La sabata d’en Pau Gasol”.

Cicle Mitjà. Nivell 3r. 24 alumnes: 17 alumnes autòctons, 1 panjabi, 2 magrebí

i 4 subsaharians.

Bloc: Càlcul i Mesura.

Presentació:

En Pau Gasol, ens ha deixat la seva sabata.

Quant alt deu ser en Pau Gasol si fa servir

aquesta sabata?

Descripció: Des de la mesura gegantina d’una sabata d’en Pau Gasol, fer un

seguit de referències i relacions amb altres conceptes matemàtics i d’altres àre-

es (Socials i naturals). Com deu ser físicament? Quina deu ser la seva alçada?

Fins on arribaria si vingués a la classe?

Text curricular: Comprensió de la funcionalitat del càlcul i l’estimació. Ús de

models i expressions matemàtiques per representar les relacions.

- - - - - - - - - - -

5.4.6. Element 7: “Repartiment del pati de l’escola”.

Cicle Mitjà. Nivell 4t. 22 alumnes: 17 alumnes autòctons, 2 panjabi, 1 magrebí

i 2 subsaharians.

Bloc: Relacions i Canvi.

Presentació:

Al cole sempre hi ha problemes per culpa dels

torns de pati. Com ho faríeu vosaltres per repartir

els dies de torns de pati, de manera que tothom

en disposi igual.

Descripció: Es tracta de distribuir les utilitza-

cions del pati de l’escola entre els espais i els cursos. Es planteja que del treball



en grups surti més d’una opció per debatre la més idònia i que es faci

l’estratègia que es cregui més oportuna, ja que després s’haurà d’explicar a la

classe per poder fer la tria.

Text curricular: Resolució de problemes: Planificació, elaboració, creació,

construcció, comprovació.

- - - - - - - - - - -

5.4.7. Element 8: “Per on passo per anar a l’escola”.

Cicle Mitjà. Nivell 4t. 22 alumnes: 17 alumnes autòctons, 2 panjabi, 1 magrebí

i 2 subsaharians.


Presentació:

Per on passo per anar a l’escola?

A quans metres visc de l’escola?

Descripció: Marcar l’itinerari per anar de casa a l’escola. Partint de la realitat

que l’escola està al bell mig de la ciutat i per tant hi venen alumnes de tots els

indrets i barris, es fa el plantejament d’esbrinar qui és l’alumne que ve de més

lluny.

Text curricular: Creació i ús de sistemes de coordenades per localitzar dis-

tàncies entre dos punts i descriure camins.

Realització, interpretació i ús de plànols d‟itineraris coneguts utilitzant diferents

suports.

- - - - - - - - - - -



1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

5.4.8. Element 9: “Simetria aritmètica”.

Cicle Superior. Nivell 5è. 23 alumnes: 19 alumnes autòctons, 1 polonès, 1

xinés, 1 magrebí i 1subsaharians.

Bloc: Numeració i Càlcul. Geometria.

Presentació:

Hem de descobrir COM CONTINUAR aquestes seriacions aritmètiques seguint i/o de-

duint del model.

Descripció: Visualització del power point “SIMETRIES ARITMÈTIQUES”, es fa esment

com els nombres col·locats d’una determinada manera tenen un efecte estètic: la si-

metria (sondeig de l’assoliment del concepte simetria), a part de que compleixen un

seguit de propietats aritmètiques. Es tracta de descobrir el resultat d‟unes seriaci-

ons aritmètiques seguint i/o deduint un model.

Text curricular: Exploració i comprensió de propietats de les operacions i ela-

boració de conjectures.

- - - - - - - - - - -

5.4.9. Element 10: “Col·loca les xifres”.

Cicle Superior. Nivell 5è. 23 alumnes: 19 alumnes autòctons, 1 polonès, 1

xinés, 1 magrebí i 1subsaharians.


Presentació: Posa els números de manera que

la suma dels quadres blaus sigui la del quadres

rosa que hi ha entre mig.



Descripció: Estratègia de càlcul dintre la seriació de l’1 al 9. Consisteix en

col·locar les xifres de l’1 al 9 en dues fileres de manera que la suma de les x i-

fres de la primera fila sumin de dos en dos les xifres de la segona filera.

Text curricular: Raonament matemàtic, Ús de les tècniques matemàtiques

bàsiques.

- - - - - - - - - - -

5.4.10. Element 11: “El Jardí Botànic”.

Cicle Superior. Nivell 6è. 23 alumnes: 19 alumnes autòctons i 4 subsaharians.


Presentació (1):

L’AMPA de l’escola ens ha fet una oferta: ens

regala una excursió a “El Jardí Botànic” de

Lloret, si som capaços de presentar un pres-

supost. La idea ens entusiasma, i ens posem

a la feina...

Per on comencem?Què hem de fer?Què hem

de saber?

Presentació (2):

Ja tenim tot el que hem de fer, ens falta el cost to-

tal.

L’autocar cobra 25cts d’€ per quilòmetre.

L’entrada al “Jardí Botànic” val 2,5€ per persona

per un grup de 20, si es passa cada ú, el seu preu

serà de 3€.

Ara que ja ho teníem ens arriben 2 companys nous,

un de Barcelona que els seus pares han vingut a buscar feina aquí a Olot, i l’altre de

Colombia, el seu pare ja fa anys que viu a Olot. Ells també poden venir a l’excursió.

Què haurem de refer?

Descripció: Elaboració del pressupost per anar al Jardí Botànic de Lloret des

d’Olot. Exposició d’un cas hipotètic per part del mestre, de l’oferta de l’AMPA de



l’escola de poder fer una excursió al Jardí Botànic de Lloret, si som capaços de

fer un pressupost del cost de l’excursió. Per tant, es planteja buscar tot allò que

ens fa falta per l’excursió i veure que és el que tenim o no per poder calcular el

pressupost. L’alumnat incorpora en el seu llenguatge la paraula “pressupost”, i

les que s’hi relacionen: “partides pressupostàries”, “balanç”. Com es pot resol-

dre de vàries maneres han de contrastar entre ells les diferents estratègies i

defensar-les.

Text curricular: Resolució de problemes.



5.5. DISSENY I PROCEDIMENT S‟han programat dues intervencions pràctiques a l‟aula per a cadascun dels

nivells de 1er a 6è d‟educació primària amb dues entrevistes a l‟ inici i final del

procés i una trobada d‟anàlisi i reflexió.

5.5.1. PRIMERA INTERVENCIÓ

L‟objectiu de la primera intervenció ha estat la modelització. Ha consistit en una

entrevista prèvia amb l‟ensenyant tutor i una pràctica a l‟aula.

Entrevista prèvia: exposició de la intenció de l‟activitat en el marc de la llicèn-

cia d‟estudis.

Presentació de la situació problemàtica, el tipus de problema, els conceptes

matemàtics que s‟hi relacionen, què esperem que descobreixi l‟alumnat, quines

estratègies potenciarem i quines competències es treballen.

Presentació de la fitxa de l‟element on s‟hi troben explícits tots aquests as-

pectes.

Planificació de la intervenció i el paper de cadascú.



1era pràctica a l’aula: L‟ensenyant en llicència porta l‟activitat i l‟ensenyant

tutor fa l‟observació. Tots dos recullen per escrit els diàlegs dels alumnes i les

seves produccions. S‟enregistra en vídeo la posada en comú.

5.5.2. SEGONA INTERVENCIÓ

L‟objectiu de la segona intervenció ha estat l‟observació de la pràctica docent.

Ha consistit en una segona entrevista amb l‟ensenyant tutor i una pràctica

d‟aula.

La segona entrevista ha tingut lloc abans de la pràctica d‟aula amb següents

objectius :

Anàlisi i valoració de l‟activitat realitzada tenint en compte les característi-

ques de la situació/problema proposat i la metodologia utilitzada (Indicadors

CREAMAT).

Anàlisi de les produccions de l‟alumnat.

Preparació de la segona intervenció que ha de dur a terme l‟ensenyant.

Anàlisi de l’estructura i contingut de l‟element.

2ona pràctica d’aula: L‟ensenyant tutor porta a terme l‟activitat i l‟ensenyant en

llicència fa l‟observació. Es recullen les aportacions més rellevants i les produc-

cions de l‟alumnat. S‟enregistra en vídeo la posada en comú.

5.5.3. ENTREVISTA FINAL

L‟objectiu d‟aquesta darrera trobada és el de valorar l‟activitat portada a terme

per l‟ensenyant tutor, analitzar les produccions de l‟alumnat fent atenció a les

estratègies que ha utilitzat l‟alumnat i quines hem potenciat.

- Creus que aquesta activitat afavoreix el treball de les CB? Quines? Per

què?

- Quins conceptes matemàtics s’han posat en joc?

- Quines característiques destacaries de l’activitat realitzada?

- Quins trets trobes rellevants de la gestió d’aula i de la metodologia?

Al final hem convidat l‟ensenyant a fer una valoració escrita sobre els materials

elaborats (elements); poden ser útils i aplicables? contenen la informació sufici-

ent?



Amb aquest disseny pretenem contrastar amb un grup d‟ensenyants una mos-

tra de materials elaborats, que segons nosaltres són especialment rics per tre-

ballar competències i una metodologia apropiada per desenvolupar-les.

Els elements que proposem poden esdevenir més o menys rics competencial-

ment depenent de la manera que es treballin a l‟aula. Per això en el procedi-

ment tindrem en compte, a més de les teories socioconstructivistes sobre

l‟ensenyament- aprenentatge i els processos mentals que es desenvolupen en

la resolució de problemes a l‟aula, el mètode dels 4 passos que planteja (Pólya

1944).

Creiem que l‟alumnat ha de tenir un paper rellevant en la construcció de conei-

xements i per tant, ha de ser part activa en el procés de resolució de proble-

mes i també que el paper de l‟ensenyant ha de ser el de mediador – acompa-

nyant d‟aquest procés d‟ensenyament – aprenentatge. El clima d‟aula ha

d‟ajudar a potenciar i a establir relacions entre els diferents membres del grup

perquè l‟intercanvi entre iguals afavoreix el desenvolupament de les capacitats i

habilitats individuals i ajuda tant a l‟adquisició de competències relacionades

amb el coneixement com les de caire més social.

Hem organitzat els continguts entorn a problemes o reptes a assolir(elements)

per afavorir la implicació i la responsabilitat de l‟alumnat en el propi procés i el

que és més important, perquè aquest aprenentatge sigui significatiu i l‟ajudi a

establir connexions entre el que ja sap i el que vol aprendre tenint en compte la

seva zona de desenvolupament proper. Per tant l‟atenció a la diversitat bé do-

nada tant pels diferents agrupaments de l‟alumnat (grups heterogenis, grups

homogenis segons afinitats de personalitat, de nivell acadèmic, de forma de

treballar, escollits per l‟alumnat, proposats per l‟ensenyant) i les seves interrela-

cions com per les intervencions de l‟ensenyant que seran amb preguntes ober-

tes més que amb explicacions.

La capacitat de treballar en grup implica responsabilitat i respecte: intervenir

fent aportacions argumentades però també saber escoltar els raonaments dels

altres, contrastar els resultats obtinguts i arribar a acords sobre la presentació

de resultats. Perquè per a respectar i potenciar les aportacions individuals és



necessari crear un entorn adequat en el que siguin acceptades formes diverses

de representació (comunicació no verbal, esquemes, dibuixos, etc.) i solucions

també diverses.

Per presentar la situació problemàtica i buscar que l‟alumnat entomi el repte

plantejat, ens cal tenir molt en compte la motivació. Aquesta ha de ser el motor

d‟aprenentatge en tant que posi en marxa l‟activitat intel·lectual. Utilitzarem

doncs tot tipus de materials: imatges, vídeos, materials manipulatius entre

d‟altres, procurant establir relacions amb la realitat.

Atenent a la diversitat de l‟aula cal assegurar que l‟alumnat entengui la situació

problemàtica. S‟intervindrà amb preguntes com aquestes:

Entens què es demana?

Pots explicar-ho amb les teves paraules?

Quines dades necessites?

Aquest problema s‟assembla a algun altre que hagis resolt abans?

Tens prou informació?

Un cop assegurada la comprensió s‟ha d‟incidir en la cerca la estratègia més

adequada per a la resolució.

Aquí proposem les estratègies que planteja Pólya pel què fa a la resolució de

problemes . Escollir una o altra o fins i tot més d‟una dependrà de la seva ido-

neïtat davant la resolució de la situació- problemàtica:

Assaig error (fer una conjectura i després provar-la)

Buscar un patró

Fer una llista

Resoldre un problema de forma més senzilla, amb nombres més petits...

Dibuixar-ho

Fer un diagrama

Raonar directament



Raonar indirectament

Utilitzar propietats dels nombres

Resoldre un problema equivalent

Començar pel final i recular

Utilitzar casos

Usar un model

Utilitzar coordenades

Utilitzar simetries

L‟ensenyant, amb les seves intervencions, ajudarà a l‟alumnat a adquirir confi-

ança en les pròpies capacitats: quan un pren consciència de les seves possibili-

tats augmenta la seva capacitat d‟elaborar i planificar estratègies.

Sovint cal reconduir les reflexions dels alumnes amb preguntes aclaridores:

Has entès bé de què es tracte?

M‟ho podries explicar amb les teves paraules?

Què és el que et demanen?

T‟has trobat abans amb una situació semblant?

Com ho faràs?

També és fa necessària la mediació de l‟ensenyant per gestionar l‟error que es

pot produir. Cal estimular a l‟alumnat amb preguntes que portin cap a noves

reflexions i fins i tot cap a noves estratègies de resolució.

Perquè ho creus això?

Què et fa pensar aquest resultat?

Com ho veuen els altres?

L‟error no implica fracàs sinó replantejament de la situació davant els resultats

obtinguts.



Durant tot el procés de resolució l‟ensenyant procurarà que l‟alumnat faci ús

d‟un llenguatge matemàtic cada vegada més acurat. Les matemàtiques tenen

un llenguatge unívoc i universal que l‟alumnat ha d‟aprendre a usar. Cal propo-

sar activitats que ajudin a comprendre la relació entre els llenguatges natural,

simbòlic i formal.

Un cop obtingut el resultat o resultats l‟alumnat ha d‟explicar el procés seguit i

validar la certesa i l‟eficàcia de la solució. També li cal veure l‟aplicabilitat

d‟aquest resultat a d‟altres situacions. Això implica la verbalització del procés i

de l‟estratègia emprada . El que hom sap és el que sap fer i explicar. Una ca-

pacitat a desenvolupar és la de transmetre informacions i raonaments matemà-

tics de forma clara i ordenada . L‟alumnat ha d‟aprendre a utilitzar el llenguatge

matemàtic i l‟ensenyant la d‟ajudar, si cal, en la seva construcció. Cal exposar

els resultats de manera sintètica i consistent.

Està prevista també l‟atenció a la diversitat:

Actuació prevista per a potenciar i respectar les aportacions individuals:

Diferents agrupaments proposats per l‟ensenyant i segons el tipus

d‟element.

Motivació: Presentació de l‟enunciat en diferent format: imatge, text,...

Comprensió de l‟enunciat i la seva estructura amb treball específic i intenci-

onat. Cal assegurar que tot l‟alumnat comprengui el què i el com es dema-

na .

Acceptació de diverses formes de representació: comunicació no verbal,

esquemes, dibuixos, etc.).

Gestió de l‟error amb intervenció de l‟ensenyant amb preguntes obertes.

Recursos TIC que ajudin en el procés de resolució.

Donar el temps necessari per el desenvolupament del procés.

Deixar temps a l‟alumnat pel diàleg i el contrast.

Acceptació de les aportacions individuals creant un clima de respecte entre

tots els membres de la comunitat educativa.



1. Acceptació de diverses solucions del mateix problema com a vàlides re-

conduint les diferents aportacions.

2. Analitzar el treball de l‟alumnat atenent a les seves capacitats i al seu asso-

liment competencial segons els 6 nivells que proposa l‟Informe PISA en

quan a l‟adquisició de la competència matemàtica.



6. RESULTATS. El treball de camp s‟ha dut a terme amb la finalitat de complir amb els objectius

que ens havíem marcat al principi de la llicència:

6.1. RESULTATS DE L’OBJECTIU 1. QÜESTIONARI.

El qüestionari es va presentar als claustres de les escoles 1, 2 i 3. Al cap d‟uns

dies es va anar a recollir. El qüestionari, com ja s‟ha explicat, vol recollir les

creences que el professorat té sobre el procés d‟ensenyament/aprenentatge de

les matemàtiques i el paper que hi juga la resolució de problemes.

6.1.1. RESUM DE LA MOSTRA DEL QÜESTIONARI.

Resum de la mostra a que hem passat el qüestionari:

Qüestionaris repartits .......... 43

Qüestionaris retornats....... 29

Franges d’edat de la mostra:

menys 30 ....... 1 1

30 a 40 ........... 15 13

41 a 55........... 26 14

més de 55 .... 1 1

Nivell en el qual s’està treballant:

Ed. Infantil...... 7 6

C. Inicial.......... 5 5

C. Mitjà............ 5 5

C. Superior..... 6 6

A. Acollida...... 3 3

Especialistes. 7 3

Altres.............. 10 1

En aquest moment s’està ensenyant matemàtiques:

SÍ ........... 13 16

NO ......... 30 13



Antiguitat en el centre:

1 a 5 anys:.................. 10

6 a 10 anys:............... 7

11 a 20 anys:............. 5

20 a 30:..................... 4

Més de 30:............... 3

En els darrers 5 cursos has participat en algun tipus de formació en

matemàtiques:

SÍ .............................. 9

NO ............................ 20

6.1.2. VALORACIÓ DEL QÜESTIONARI SOBRE LES CREENCES EN L’ENSENYAMENT /

APRENENTATGE DE LES MATEMÀTIQUES REFERIDES A LA RESOLUCIÓ DE PRO-

BLEMES.

1. Creences sobre l’àrea de matemàtiques dirigides a la seva utilitat.

Les matemàtiques tenen un valor pràctic que ajuden a resoldre problemes

quotidians de diferents maneres i que ajuden a descobrir situacions noves.

L'aprenentatge de rutines i estratègies afavoreixen el treball amb les mate-

màtiques.

2. Creences sobre l’aprenentatge de les matemàtiques.

Majoritàriament els mestres estan en que pràctica i el contrast entre els al-

tres alumnes dona lloc a de les matemàtiques, però es pot veure, al mateix

temps, que encara te un paper important la idea del mestre com a font de

coneixements i que un cop assolits l'alumnat és més autònom en la resolució

de problemes.

3. Creences sobre el rendiment matemàtic i l’avaluació.

El rendiment matemàtic no manté correlació amb la capacitat intel·lectual, ni

el sexe dels alumnes, ni l‟ètnia, però si l'actitud davant l‟aprenentatge. L'ava-

luació aporta informació, tant al mestre com a l'alumne sobre el procés de

l'aprenentatge de les matemàtiques, tot i que, en un percentatge prou impor-

tant encara te a veure en la reproducció dels coneixements.



4. Creences sobre la metodologia per a l’ensenyament de les matemàtiques

Un entorn en que s'estimuli el pensament crític, que permeti treballar en

col·laboració, establint objectius adequats a la diversitat de l'alumnat, i se

suposa que la gestió d'aula incorpora estratègies eficaces per poder aplicar

aquesta metodologia.

5. Creences sobre les noves directrius curriculars i de competències.

Sembla que hi ha molta part del professorat que no s'ha llegit el currículum,

però entre les opinions donades, cal ressaltar que s'està força d'acord en els

punts claus del currículum per l'aprenentatge de les matemàtiques: canvi de

metodologia i la resolució de problemes.

6. Creences sobre el concepte de problema.

Els problemes son un recurs per treballar els coneixement i les habilitats,

estimulen la curiositat i la creativitat, impliquen raonament i la seva justifica-

ció, la presentació del problema és important perquè l'alumnat entomi el rep-

te. Els problemes ajuden a l'alumnat en la seva confiança i autonomia.

6.2. RESULTATS DELS OBJECTIUS 2,3.

6.2.1. INTERVENCIÓ A L‟AULA DE 1R.

Entrevista prèvia.

El mestre d‟aula i l‟ensenyant amb llicència es troben per posar-se d‟acord amb

els següents punts: data de les sessions, característica de la sessió (amb tot el

grup o amb grup partit), com es duran a terme les sessions,... . S‟acorda que

s‟aprofitarà l‟horari de classe en el que està programat fer resolució de proble-

mes i que es fa amb la classe sencera; es faran les dues sessions amb un in-

terval d‟una setmana entre mig, en les quals es posaran dos reptes a l‟alumnat,

en les que s‟estarà més pendent de l‟estratègia que fan servir els alumnes, els

comentaris i l‟exposició a la resta de companys dels seus procediments.

S‟acorda també que en la primera intervenció a l‟aula l‟ensenyant amb llicència

farà de mestre guia per fer la modelització, i que el mestre d‟aula observarà i



prendrà nota del que s‟ha acordat (l‟observació es farà amb vídeo o amb foto-

grafia).

Primera intervenció

Presentació de la situació/problema.

Es presenta la situació /

problema com un fet real

a l‟aula de primer: “Tots

els nens i nenes creixen

molt ràpid, i es vol esbri-

nar quin és el més gran i

el més petit de la classe”.

Anunciat del problema:

“Ara anem a esbrinar els més gran i el més petit”

Es donen les instruccions sobre paper i es fa llegir a uns quans alumnes el text,

mentre els altres segueixen la lectura. Es fa un col·loqui debat per afermar la

comprensió del que s‟ha de fer. Se‟ls repeteix oralment les instruccions escri-

tes i es posa un temps de 10 „ per que facin el que se‟ls ha demanat.

Gestió de l‟aula.

Es fan grups heterogenis de quatre alumnes, es recalca que cada alumne faci

la seva proposta i la compari amb la dels seus companys, i entre tots que surti

la que més agradi i convingui, i que l‟escriguin en el full que se‟ls ha donat,

després han de fer la comprovació i posar-se en filera.

Comunicació envers de la situació/problema.

Tots els alumnes s‟ho prenen amb molt

d‟entusiasme, comencen a fer les previsions i

les escriuen, la relació amb el mestre guia és

que se‟ls ha de recordar que primer ho han

d‟escriure al full, abans de fer les provatures.

Molts segueixen l‟estratègia del “cop d‟ull,



d‟altres es posen un a costat l‟altre, algun grup es posen tots en filera i un els

va posant segons l‟alçada. Un cop tots els grups ho han aconseguit, anem a fer

la filera de la classe, amb l‟ordre de més gran a més petit.

Primer es busquen estratègies, entre tots, algú proposa fer-ho per les edat, pe-

rò un alumne proposa ordenar primer tots els més grans de cada grup, els al-

tres no l‟entenen, massa, se li proposa que ho exemplifiqui, fet així, tots i

col·laboren, tot i que algú protesta de la seva poca alçada.

Produccions alumnes.



A l‟hora de produir sobre el paper tot el

procés, és quan surten les dificultats en

aquells alumnes que els falta destresa en

l‟escriptura, es nota la diferència entre

ells, fins i tot alguns ho deixen en blanc,

perquè no saben què han d‟escriure. A

continuació un parell d‟exemples de les

fitxes realitzades.

Posada en comú.

Un cop s‟ha fet la fila de la classe i hem pogut veure que tots els primers de

cada grup estaven generalment al davant de la filera, hem ressaltat el significat

de les paraules comparació i comprovació. Primer se‟ls ha donat la paraula als

alumnes que feien de secretaris, després a la resta. Tots han volgut participar,

volien explicar la seva experiència a l‟hora de trobar el seu lloc.

Segona entrevista.

El mestre d‟aula es mostra satisfet pels resultat que ha observat, la actitud par-

ticipativa dels alumnes, sobretot dels alumnes amb retard d‟aprenentatge i nou-

vinguts, especialment una nena xinesa recent arribada, just uns dies abans,

que per l‟enrenou de l‟aula va adonar-se del que es pretenia fer i va participar

col·locant els alumnes del seu grup correctament.

S‟acorda que la 2a sessió la portarà a terme el mestre d‟aula, mentre que

l‟ensenyant amb llicència farà les observacions amb fotos i vídeos.

Segona intervenció


Es passa un petit reportatge de la sessió anterior en la que es veu la filera feta

tenint en compte l‟alçada. Ara es proposa fer el mateix però segons l‟edat. Es

reparteix el full de les instruccions, que es llegida per uns quant alumnes, i

comentades en grup, per assegurar que tots entenen el que se‟ls demana.



Anunciat de la situació/problema:

“Ja sabem qui són els més

grans d’alçada, ara anem a

veure qui és el més gran

d’edat.”

Gestió de l‟aula.

S‟organitzen grups de qua-

tre però de diferent com-

posició, tot i que segueixen

sent heterogenis, en quant al ritme d‟aprenentatge. Les propostes de cada

alumne son posades en consens en el seu grup i s‟acorda la llista del grup.

Després es situen davant la taula amb l‟ordre proposat, el mestre d‟aula com-

prova per la data de naixement de cada ú, la filera formada.


En aquest cas la comunicació amb el

mestre d‟aula ha estat més fluida, els

alumnes li feien preguntes del tipus si

havien de tenir en compte el mes i el dia

en que havien nascut, el mestre d‟aula fa

notar que la data i el mes fa que els nai-

xement s‟ordenin un darrere l‟altra. Un

cop fetes i comprovades les fileres de

cada grup es passa a fer la filera d‟aula,

en aquest cas, ja no hi ha cap problema

en fer-la, s‟ordenen seguint l‟ordre de ca-

da grup, ordenant els primers, després els

segons i així fins el final. En cop feta la

filera, es torna a passar el reportatge de

l‟altre dia, per fer la comparació de les



dues fileres, s‟adonen, que excepte en alguns cassos, coincideixen força, les

fileres de l‟alçada i la de l‟edat.

Produccions alumnes.

Aquesta cop s‟ha notat com els alumnes han fet servir estratègies emprades en

la sessió anterior, i arribar a conclusions els ha estat més fàcil. Es continua no-

tant la dificultat de l‟escriptura en aquells alumnes que no han assolit la destre-

sa de l‟escriptura. Notar per altra banda com l‟alumna xinesa, recent incorpora-

da no té dificultat en fer la producció escrita, tot i ajudant-se dels companys de

taula.

Posada en comú

Com l‟altra vegada s‟ha donat el torn de paraula als secretaris de cada grup.

Tots han ressaltat que aquesta vegada els ha resultat més fàcil, fer la filera de

la classe. Tots han mostrat molt

d‟entusiasme, el mestre d‟aula ha fet que

quedés ben clar els conceptes de filera,

comparació, ordenar i comprovar. Els alum-

nes d‟una manera o altra han manifestat que

s„ho havien passat molt divertit fent

l‟activitat..



Entrevista final

El mestre d‟aula ha considerat que val la pena fer activitats d‟aquests tipus per

la fàcil motivació de l‟alumnat i la implicació de tots, podent així atendre la di-

versitat de l‟aula. Normalment ja intenta fer activitats d‟aquests tipus en la seva

aula, tot i que de manera esporàdica, bé per falta de temps, bé per no caure en

la rutina i perdre l‟atractiu de la novetat.

6.2.2. INTERVENCIÓ A L‟AULA DE 2N.

Entrevista prèvia.


els següents punts: data de la sessió; s‟aprofitarà la sessió setmanal de l‟aula

destinada a resolució de problemes; amb tota la classe en ple; es farà en dues

sessions, on es posaran dos reptes als alumnes. Es tracta de veure les estra-

tègies que utilitzen els alumnes i fins a quin punt son capaços de treballar coo-

perativament. A la primera sessió l‟ensenyant amb llicència farà de mestre guia

de l‟activitat fent el seguiment i donant el suport quan faci falta, mentre que, el

mestre d‟aula està fent l‟observació de tot el procés i fent alguna que altra foto-

grafia o presa de vídeo.

1a Intervenció.


Es presenta el supòsit real que a

l‟escola li fan falta places

d‟aparcament, i l‟ajuntament els

dona un solar rectangular, i

l‟escola s‟ha d‟espavilar per fer la

distribució de les places

d‟aparcament. Se‟ls passa unes

diapositives d‟uns aparcaments

reals de la ciutat, i se‟ls demana que facin una proposta a la direcció del centre

de com es podria utilitzar el solar com aparcament. Es dona a cada alumne un



full on hi ha un rectangle amb dues cares obertes i el dibuix d‟un cotxe com a

model, per saber el nombre que hi cabran.

Anunciat de la situació problema: “Quants cotxes com aquest podrem posar en

aquest aparcament?”

Gestió d‟aula.

Es fan grups heterogenis de quatre alumnes, es

recalca que cada alumne faci la seva proposta i

la compari amb la dels seus companys, i entre

tots que surti la que més agradi i convingui. Han

de nomenar un secretari del grup.


Tots els alumnes s‟ho prenen amb molt d‟entusiasme, comencen a fer provatu-

res, que se‟ls fa adonar de si compleix o no les normes de l‟aparcament, primer

ho fan a ull, un alumne de l‟aula d‟acollida, molt tímid i poc participatiu, pren la ini-

ciativa de mesurar amb els dits la llargada del

cotxe model i fer separacions en els rectangle

d‟acord a la mesura, els companys del grup se-

gueixen la iniciativa però ho fan amb el regle. La

resta de grups s‟adonen de la situació i també es

posen a fer-ho, en aquest moment el mestre

guia, fa explicar a l‟alumne que ha iniciat tot el procés, de perquè ho ha fet, tot i

ser tímid ho explica als companys.

Producció dels alumnes.

A partir d‟aquí, tots ja fan els seus invents per fer

les places de l‟aparcament, en les intervencions

del mestre guia se‟ls fa adonar que molts d‟ells no

tenen en compte la mobilitat dels cotxes en

l‟aparcament.



Posada en comú.

Es fa una posada en comú, per veure les diferents propostes, tots estan satis-

fets d‟haver-ho aconseguit, el que més cotxes hi havia col·locat eren 12, els

altres 10 cotxes.

2a Entrevista.

El mestre d‟aula es mostra satisfet pels resultat que ha observat, la actitud par-

ticipativa dels alumnes, sobretot dels alumnes amb retard d‟aprenentatge i nou-

vinguts, que normalment tenen por a participar havien estat implicats, i que da-

vant l‟error, esborraven i continuaven intentant trobar la millor solució.



2a Intervenció.


Es presenta un vídeo de

les notícies de TV3, so-

bre l‟encallament de

unes balenes a Austràlia,

se‟ls demana si saben on

és Austràlia, algú diu a

l‟altra part de la Terra.

Se‟ls explica una anèc-

dota imaginària: “No fa



gaire, es varen trobar un seguit de balenes a la platja que s‟havien despistat de

la seva ruta habitual, i es van quedar atrapades a la sorra de la platja de

l‟Escala. Com eren moltes, l‟Ajuntament va demanar qui volia o podia emportar-

se‟n una, perquè els veterinaris la poguessin cuidar. Es presenta el repte de

poder tenir cura d‟una balena, i se‟ls demana els

possibles inconvenients que això comportaria,

però que si estaven interessats, podríem veure

que hi podríem fer.”

Anunciat de la situació/problema: “Nosaltres ens

en podríem quedar una, però… ens cabria a la

pista grisa?”

Gestió d‟aula.

En gran grup, es van fent les demandes dels in-

convenients que mica en mica el mestre d‟aula va

canalitzant fins a portar-los a poder prendre mesu-

res per atendre la balena. Es fan dos grups, un

que cerqui informació sobre les balenes i l‟altre

que surti al pati a esbrinar quina llargada i ampla-

da fa la pista del pati. Un grup va al racó d‟informàtica de l‟aula i l‟altre amb la

cinta mètrica va al pati.


En tot moment la comunicació ha estat fluida i

dirigida cap a la solució del repte, preguntes com

no sabem si hi cabrà a la pista, o fora de l‟aigua

se‟ns morirà, anaven sent respostes per la recer-

ca dels mateixos alumnes.




Els alumnes amb una cinta mètrica de 20 me-

tres, varen sortir a la pista a prendre les mides

de llargada i d‟amplada, mentre uns altres cerca-

ven la informació a l‟aula al racó d‟informàtica.

Posada en comú.

No s‟ha pogut fer una posada en comú com a cloenda de l‟activitat, però vist la

falta de temps el mestre d‟aula anava fent preguntes sobre el que estaven fent i

el per què, al mateix temps l‟alumnat ha mostrat molt d‟interès durant tota la

sessió. Han manifestat voler saber més de les balenes blaves

Entrevista final.

El mestre d‟aula ha considerat que malgrat que comporta molta feina, val la

pena fer activitats d‟aquests tipus per la motivació fàcil dels alumnes i la impli-

cació de tots, podent així atendre la diversitat de l‟aula. I que a més el repte els

porta a voler seguir investigant en altres sessions.

Els grups en la sessió de les balenes, va puntualitzar, potser hauria estat millor

fer-los més petits, ja que a l‟hora de sortir al pati es va muntar una mica

d‟aldarull.



6.2.3. INTERVENCIÓ A L’AULA DE 3R.

Entrevista prèvia.






perativament.

A la primera sessió l‟ensenyant amb llicència farà de mestre guia de l‟activitat

fent el seguiment i donant el suport quan faci falta, mentre que, el mestre d‟aula

està fent l‟observació de tot el procés i fent alguna que altra fotografia o presa

de vídeo.

1a Intervenció.


Es presenta la situació proble-

ma, fent un seguit de preguntes

sobre inventar-se paraules, des

de paraules conegudes, quan

els alumnes estan en el joc,

se‟ls explica la historia de la si-

tuació problema, en la que su-

posadament han guanyat un

milió d‟euros en un concurs i

que se l‟han de gastar en el que

vulguin, això si han de complir

unes quantes condicions. Se‟ls

dona un full on hi ha les instruc-

cions que s‟han de seguir per fer

les despeses.




“En un concurs de televisió, en el que s’havien d’inventar tantes de paraules

rares com poguéssim, la classe de 3r vàrem guanyar 1.000.000 d’euros. Com

ens podem gastar un milió d’euros?

- Organitzem les propostes de la més cara a la més barata.

- No hi ha cap proposta que el seu cost acabi en “0”.

- Només hi poden haver dues propostes que passen dels 100.000 €.

- Hi poden haver 3 propostes que el seu valor estigui entre 50.000€ i 30.000€.

- No n’hi cap que tingui un valor dintre les 9 desenes de miler.”

Gestió d‟aula.

Es posen en parelles, i comencen a fer el llistat

de les possibles coses que volen comprar, els

costa una mica perquè la quantitat la troben des-

coneguda.


El mestre guia els va conduint a la comprensió

de la quantitat del milió, fent-los un supòsit amb

una quantitat més petita.


Donada la dificultat, l‟activitat s‟ha anat conduint oral-

ment, fent-la participativa, o bé per iniciativa dels

alumnes o per la proposta del mestre guia.

Posada en comú.

Els ha agradat fer-la, perquè era diferent.



2a Entrevista.

El mestre troba l‟activitat interessant, perquè en comptes de demanar-los que

responguin a una pregunta se‟ls porta a inventar estratègies, buscades i discu-

tides amb els companys i a testejar-les i modificar-les. El fet de treballar-la amb

nombres grans a fet que els alumnes es trobessin insegurs.



2a Intervenció.


El mestre d‟aula aprofitant la sessió anterior en

que hi havia lectura lliure i que un dels alumnes

havia estat llegint una llegenda de gegants,

aprofita la situació per introduir la història de la

sabata d‟en Pau Gasol, es presenta la sabata

d‟un jugador de bàsquet: “Un bon dia trobem a la

classe una sabata del nº 54. Dins la sabata hi trobem un missatge, és una carta

del jugador de bàsquet Sr. Pau Gasol. La llegim. El sr. Gasol sembla molt sim-

pàtic. Com deu ser físicament? Per ser jugador de bàsquet cal ser molt alt!

Quina deu ser la seva alçada? Fins on arribaria si vingués a la classe? Mar-

quem al costat de la porta un senyal de l‟alçada que ens sembla que deu fer.”


“En Pau Gasol, ens ha deixat la seva saba-

ta. Quant alt deu ser en Pau Gasol si fa ser-

vir aquesta sabata?”



Gestió d‟aula.

Es fan parelles d‟alumnes perquè resolguin el repte presentat, però un alumne

afeccionat al bàsquet diu que en Pau Gasol fa 2m 24 cm., aleshores com el

factor sorpresa s‟ha perdut, el mestre d‟aula

recorre amb enginy de calcula l‟alçada de

cada ú, ja que tots tenen sabates i alçada.

Això provoca un bon enrenou, doncs diuen

que l‟aparell de mesurar les alçades que hi

ha al gimnàs, és molt senzill. El repte consis-

teix ara en que sense fer-lo servir hem de fer

una aproximació a l‟alçada per comprovar-ho després. A algú se li acut la idea

de comparar la mida de la sabata amb l‟alçada d‟en Pau Gasol, a un altre que

això també ho podria fer amb la seva, i mica a mica arriben a la conclusió que

l‟alçada d‟una persona és 5 vegades i una mica més la llargada de la sabata,

comencen a fer càlculs i fan una fila d‟acord als resultats que han sortit, i és

força fidel, aleshores fan la comprovació amb l‟aparell.


Ha estat en tot moment molt distesa, i els alum-

nes han entrat fàcilment en el joc i la comunica-

ció ha estat en tot moment de guiatge cap les

estratègies que anaven sortint.




Posada en comú.

Els alumnes han manifestat que han descobert que moltes coses les poden

saber fent comparacions, i que s‟ho havien passat molt bé.

Entrevista final.

El mestre d‟aula va constatar que el fet de donar una oferta oberta, fa que els

alumnes facin provatures i que descobreixen per ells mateixos les relacions que

existeixen entre les diferents mesures del cos, cosa que el adults normalment

no els hi permetem.

En una altra ocasió va fer el problema del milió amb quantitats més petites i li

va sortir millor.

És del parer que situacions problemàtiques d‟aquests tipus no s‟està acostumat

a presentar-ne, potser perquè s‟hi ha d‟invertir massa temps, a més que la dis-

tribució horària rígida i el seu compliment ho fan difícil d‟aplicar.

6.2.4. INTERVENCIÓ A L‟AULA DE 4T.

Entrevista prèvia.






perativament.




de vídeo.



1a Intervenció.

Presentació de la situació / pro-

blema.

A rel dels problemes que sempre

comporta la distribució de les

pistes entre els cursos, en que

sempre sembla que el futbol i el

bàsquet i els grans surten gua-

nyen al llarg de la setmana en

detriment dels altres, es proposa

fer una nova distribució. Es

reparteix un full amb el plànol del

pati de l‟escola amb la indicació

de la utilització de cada un.


“Al cole, sempre hi ha problemes per culpa dels torns de pati. Com ho faríeu

vosaltres per repartir els dies de torns de pati, de manera que tothom en disposi

igual. “

Gestió d‟aula.

Es planteja que del treball en grups surtin més d‟una opció per debatre la més

idònia i que es faci l‟estratègia que es cregui més oportuna, ja que després

s‟haurà d‟explicar a la classe per poder fer la tria.


Els costa molt trobar una estratègia original, algú fa la proposta de fer servir la

graella de la classe on hi ha la distribució actual. Després de parlar-ne de com

s‟ha elaborat, es passa a fer la pròpia.




Posada en comú.

No es pot fer una posada en comú. Molts alumnes han quedat despenjats de

l‟activitat. Tot i que han verbalitzat que era difícil, han dit que s‟ho han passat

bé.

2a Entrevista.

El mestre d‟aula evidència que el grup classe no està avesat a aquestes situa-

cions/problema i que si se‟ls hagués presentat el repte amb la graella segura-

ment haguessin arribat a alguna solució.



2a Intervenció.


Partint de la realitat que l‟escola està al bell mig de la ciutat i per tant hi venen

alumnes de tots els indrets i barris, es fa el plantejament d‟esbrinar qui és

l‟alumne que ve de més de lluny.

En un plànol gegant de la

ciutat, es localitza l‟escola, i

de manera general i participa-

tiva, cadascú va dient on viu,

en quin barri i on està situat

en el plànol (les coordena-

des).



Es reparteix un plànol de la ciutat a cada alumne, en format més assequible i

manipulable, en el que hi ve plantejat el repte.


“Per on passo per anar a l’escola? A quans metres visc de l’escola?”

Gestió d‟aula.

Primer per parelles, intenten trobar on viu cada ú

en el plànol, i després dibuixen l‟itinerari per arri-

bar a l‟escola. Fins aquí tot va bé, s‟han anat aju-

dant l‟un a l‟altre.


A l‟hora de fer els càlculs per saber la distància

d‟un lloc a l‟altre, és quan s‟han perdut, algú deia

una distància aproximada perquè tardava molt o

poc per arribar a l‟escola. Se‟ls ha fet notar la

llegenda al peu esquerre del plànol, què voldria

dir? Algú ho ha identificat com l‟escala, i també han sabut explicar-ho, però no

així la seva aplicació, la qual s„ha hagut d‟explicar. El mestre d‟aula ho ha expli-

cat a partir de la unitat de mesura, que en aquest cas era el segment marcat a

l‟escala.




Posada en comú.

No ha donat temps a fer el tancament de la sessió. Tot i que es veia que els

alumnes s‟ha havien passat bé, perquè molts havien pogut esbrinar la distància

de casa seva a l‟escola.

Entrevista final.

El mestre d‟aula tot i estar d‟acord que la dinàmica de treball és l‟adequada per

posar els alumnes en situacions reals i quotidianes, manifesta que s‟ha d‟haver

treballat abans molts dels conceptes que surten en els reptes. Sobre tot en

l‟últim que no havien treballat el plànol.

6.2.5. INTERVENCIÓ A L‟AULA DE 5È.

Entrevista prèvia.






perativament.




de vídeo.

1a Intervenció.


Visualització del powerpoint “SIMETRIA MATE-

MÀTICA”. Aquesta visualització es fa en dues

passades, a la segona es fa esment com els

nombres col·locats d‟una determinada manera

tenen un efecte estètic: la simetria (es fa un



sondeig de l‟assoliment del concepte simetria), a part de que compleixen un

seguit de propietats aritmètiques, l‟activitat consisteix en que els alumnes vagin

descobrint individualment aquestes propietats que fan que els nombres formin

les simetries.

Se‟ls reparteix de manera aleatòria a cada alumne un model de les simetries

visualitzades, incomplertes.

Anunciat situació/problema:

“Descobrir COM CONTINUAR aquestes seriacions aritmètiques seguint i/o de-

duint del model.”

Gestió d‟aula.

Individualment han de completar les diferents

seriacions repartides. Després per grups, tots els

que tenen el mateix exemplar fan un grup, faran

un contrast entre ells, s‟explicaran com ho han

aconseguit els resultats i consensuaran la mane-

ra de fer públic la seva estratègia.




Un alumne de cada grup, el portaveu, ha fet les

explicacions del procés consensuat per aconse-

guir les respostes. Un alumne nouvingut, sense

el llenguatge de comunicació assolit, ha fet

l‟activitat correctament, tot i que no l‟ha explicat,

ha seguit l‟estratègia adequada.


Posada en comú.

Els alumnes, remarquen que l‟activitat els ha agradat perquè l‟han trobada di-

vertida i diferent.

2a Entrevista.

El mestre d‟aula ha manifestat que activitats com aquesta ajuden a fer raonar e

interactuar, sense descuidar, però, els conceptes que s‟han d‟aprendre a cada

nivell. Queda constància que als alumnes els falta exactitud a l‟hora

d‟expressar els seus raonaments.





2a Intervenció.


Es presenta la “fitxa col·loca les

xifres.doc”. On apareixen dues file-

res de quadrats, una amb cinc

quadrats blaus i l‟altra, a sota, in-

tercalats quatre quadrats de color

rosa, al peu de pàgina hi ha nou

cercles amb les xifres de l‟1 fins al

9. El repte consisteix en col·locar

les xifres de l‟1 al 9 en les dues fileres de manera que la suma de les xifres de

la primera fila sumin de dos en dos les xifres de la segona filera.

S‟explica que hi pot haver més d‟una solució. Es demana si hi ha algun dubte

sobre el que s‟ha de fer.

Es reparteix la fitxa a cada alumne, se‟ls dona un temps per fer l‟observació de

l‟¡activitat i es demana es faci una previsió de la dificultat per resoldre el repte.

S‟apunta aquesta previsió en un full. Després es passa a resoldre la situació.


“Posa els números de manera que la suma dels quadres blaus sigui la del qua-

dres rosa que hi ha entre mig.”

Gestió d‟aula.

Es treballa per parelles, on cadascú fa la seva

proposta que la contrasta amb el company, des-

prés d‟escriure l‟estratègia que han seguit cadas-

cú, la contrasten amb una altra parella, fet això

es verbalitza davant el gran grup.




Aquí la relació mestre/alumne, és molt puntual i més per aclarir mal entesos,

que no pas per donar cap guiatge.

La posada en comú, dona com a resultat que dels 22 alumnes, només 5 l‟han

aconseguit per si mateixos, i que un cop s‟ha trobat la solució, la majoria ha

pogut trobar una manera de resoldre el repte. Només 3 alumnes no han partici-

pat activament en el repte.


Posada en comú.

No hi ha tancament de sessió.

Entrevista final.

El mestre accepte que aquesta manera de plantejar situacions problema, no és

la que estan acostumats els seus alumnes. La seva inèrcia és de treball indivi-

dual i preestablert. Davant de situacions com les que s‟han plantejat es veuen

una m,ica desbordats i com fora de lloc. Donat que sembla positiu, s‟hauria de

començar en trencar les inèrcies d‟escola i de casa (de les famílies).



6.2.6. INTERVENCIÓ A L‟AULA DE 6È.

Entrevista prèvia.




sessions, a la primera es buscaran totes les partides pressupostàries que fan

falta per esbrinar el cost real de la sortida. A la segona sessió es dedicarà a

cercar preus i a fer els càlculs.




de vídeo.

1a Intervenció.


Es presenta la situació problemàtica oralment de la següent manera. L‟AMPA

de l‟escola, suposadament, està disposada a finançar una sortida al Jardí Bo-

tànic a Lloret de Mar, sempre i quan els alumnes els presentin un pressupost

ben fet. S‟especifica que la situació no és real, és fictícia, l‟AMPA no finança

cap excursió, però aconseguir-ho ens permetrà estar preparats per si fos el

cas.

Sobre paper es presenta el repte que comporta la situació plantejada.


“L’AMPA de l’escola ens ha fet una oferta: ens regala una excursió a “El Jardí

Botànic” de Lloret, si som capaços de presentar un pressupost. La idea ens

entusiasma, i ens posem a la feina...



Per on comencem?

Què hem de fer?

Què hem de saber?

Ja tenim tot el que hem de fer?”

Gestió d‟aula.

L‟aula consta de 22 alumnes,

es fan grups de 4 alumnes,

dos estaran formats per 5

alumnes, per tant la classe

queda dividida en 5 grups.

S‟explica que en cada grup

s‟ha d‟assenyalar un alumne

que farà de secretari i un altre

de portaveu. El secretari

s‟encarregarà de prendre nota

de tot el que es diu i fa, i el

portaveu, és l‟enllaç del grup

amb la resta de la classe i amb el mestre/guia.

Tal i com s‟havia quedat, en la primera sessió el mestre guia és el mestre ob-

servador, mentre, el mestre d‟aula està fent el seguiment de tot el procés i fent

alguna que altra fotografia o presa de vídeo.

Els alumnes suposadament amb dificul-

tats d‟aprenentatge, són considerats en el

mateix nivell que els altres, formen part

del grup amb les mateixes condicions. El

mestre guia, però, en fa un seguiment

més proper.




El mestre/guia fa el seguiment de la compren-

sió per part de l‟alumnat del repte que es pre-

senta amb aquesta situació, ha d‟explicar el

concepte de pressupost i en què consisteixen

les partides pressupostàries, partint de les

aportacions que fan els mateixos alumnes. Les

intervencions del mestre/guia sempre són a demanda de l‟alumnat, mai inter-

venint pel seu compte, provocant, amb preguntes orientatives que siguin els

alumnes els qui troben la resposta.

Cada grup comença a fer la seva llista de par-

tides, es van donant pautes perquè s‟adonin

de les possibles despeses que comporta un

viatge, què és el que han de tenir en compte.

Apareixen les primeres disquisicions entre ells

sobre si el dinar entrava o no amb la proposta

de l‟AMPA, doncs alguns són socis i se‟ls hi fa un preu especial, d‟altres són del

menjador i se‟ls hi fa un pic-nic, que si el visatge es comptava per viatgers, per

quilometratge o per despesa de combustible. Coses totes elles que s‟han hagut

de consensuar, ja que la proposta era fictícia.

El secretari passa els seus apunts al portaveu, i es posen d‟acord amb el que

s‟ha de dir.

Quan falta uns deu minuts per acabar la ses-

sió, es fa una posada en comú, cada grup, per

mitjà del portaveu, dona la seva llista de possi-

bles partides pressupostàries, el mestre guia

les va apuntant a la pissarra, quan troba amb

alguna partida que està repetida, però expres-



sada amb paraules diferents, ho fa constar per poder consensuar el redactat de

la definitiva, així entre tots s‟apunten la llista definitiva de partides al full que

se‟ls ha entregat i que han de formar part del pressupost.




Posada en comú.

Els alumnes han manifestat que s‟ho han passat molt bé, i que el temps se‟ls

ha passat volant.

2a Entrevista.

Es fa una primera valoració de la sessió, tenint en compte l‟actitud de l‟alumnat

davant del repte presentat, es constata pel mestre d‟aula que estaven més mo-

tivats que altres vegades, i que potser s‟havia de donar més informació sobre el

que era un pressupost, doncs mai s‟havia tractat. Es recull el reportatge gràfic,

per una posterior valoració.

Es marquen les pautes per la següent sessió, a la propera setmana al mateix

dia de la setmana i hora. Les intervencions seran amb els papers intercanviats,

en aquesta sessió el mestre d‟aula serà qui porti l‟activitat, i l‟ensenyant amb

llicència qui faci l‟observació.

2a Intervenció.


És la continuació del repte de la

sessió anterior. És el mestre d‟aula

qui fa un repàs de la situació per

ubicar l‟alumnat en el repte presen-

tat en la sessió anterior, ara és el

moment de fer els càlculs per es-

brinar les demandes que se‟ns fa.

Anunciat de al situació/problema

actual:

“Ja tenim tot el que hem de fer, ens

falta el cost total.

L’autocar cobra 25cts d’€ per qui-lòmetre.

L’entrada al “Jardí Botànic” val 2,5€ per persona per un grup de 20, si



es passa cada ú, el seu preu serà de 3€.

Ja sabem què hem de fer, Ho fem…

Ara que ja ho teníem ens arriben 2 companys nous, un de Barcelona que els

seus pares han vingut a buscar feina aquí a Olot, i l’altre de Colòmbia, el seu

pare ja fa anys que viu a Olot. Ells també poden venir a l’excursió.

Què haurem de refer?

Gestió d‟aula.

Es mantenen els mateixos grups que en la pri-

mera sessió. El mestre d‟aula va intervenint

mentre se li demana la seva intervenció, mai,

com s‟ha quedat pren la iniciativa en les inter-

vencions, procura fer-ho amb preguntes més

que en explicacions, tot i que n‟ha de fer, per

aclarir situacions, com saber la distància a recórrer, se‟ls indica que hi ha ma-

pes i l‟ordinador per saber-ho, en aquest punt, hi ha una mica d‟aldarull, doncs

tots volen anar a l‟ordinador, es fa torns, un component assignat de cada grup

hi anirà, mentre la resta fan el planteig per la resolució del repte.


Els alumnes fan intervencions demanant orien-

tació sobre el que s‟ha de fer, van molt perduts i

costa una mica posar-los en la situació, sobre tot

a l‟hora de calcular el preu de grup i per persona.

Algun grup se‟n va de la situació i provoca més

aldarull que participació.


Els alumnes han anat molt dispersos, els ha costat fer una proposta concreta.

Posada en comú.

No s‟ha entrat en el tercer repte de la situació, no hi ha hagut prou temps.

No s‟ha fet el tancament de la sessió.



Entrevista final.

Com a resultat de la entrevista cal destacar que:

- El mestre d‟aula ha acceptat que activitats d‟aquests tipus afavoreixen la mo-

tivació inicial dels alumnes per la contextualització de la situació molt propera

als alumnes, doncs una sortida sempre és una activitat que els motiva per ella

mateixa, que permet fer significatius els aprenentatges adquirits anteriorment,

que facilita la participació de tots els alumnes en la recerca de la resposta, in-

clòs els alumnes amb dificultats d‟aprenentatges, que poden aportar punts

d‟estratègia o de procés.

- S‟evidencia la capacitat de l‟alumnat en perseverar malgrat les dificultats,

permet donar valor a l‟error, doncs no és més important l‟encert en el resultat

que tot el procés de resolució, aquí hi més possibilitats d‟èxit, el que s‟ha fet te

valor perquè es pot explicar, fer partícips a la resta d‟alumnes de la classe.

- S‟ha de tenir en compte, fer servir conceptes entesos pels alumnes, a no ser

que siguin aquets l‟objecte de l‟aprenentatge, exemple el concepte pressupost.

- S‟evidencia la falta de costum de fer activitats col·lectives en grup, i l‟actitud

participativa que han mostrat en general tots els alumnes.

6.3. RESULTATS DE L’OBJECTIU 4.

En les diferents intervencions que s‟han fet a les aules s‟ha constatat que:

1. Es verbalitzen els coneixements previs, creences, etcètera en quan a:

DISPOSICIÓ A LA REFLEXIÓ SOBRE LA PRÒPIA PRÀCTICA.

Es percep una disposició més formal que compromesa.

EXPECTATIVES SOBRE LES CAPACITATS DE L ‟ALUMNAT.

En general hi ha un baix grau de confiança en les capacitats de l’alumnat per a

resoldre de problemes.



CAUSES DE LES DIFICULTATS DETECTADES.

Aquestes es descriuen sovint focalitzant-les en elements externs: ratios eleva-

des, baix nivell de comprensió lectora, manca de temps de dedicació...

Es manifesta una manca de seguretat en la pròpia capacitació: Especialització,

adjudicació de llocs de treball en cursos de CI, poc domini de continguts de

l’àrea...

PERCEPCIÓ SOBRE LA DIVERSITAT.

La diversitat s‟entén des de les dificultats de comunicació i comprensió pel baix

domini que té l‟alumnat de la llengua. Altres capacitats es valoren en segon

lloc.

RELLEVÀNCIA DEL PROCÉS DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN L‟ENSENYAMENT DE

LES MATEMÀTIQUES.

No es dóna prioritat al procés. Hi ha una matemàtica formal: algorismes, càlcul

mental,... que s’ha de donar. La resolució de problemes es troba, en molts ca-

sos, situada en la franja horària de sisena hora

MOTIVACIÓ PROFESSIONAL.

Ens constaten diferents graus de motivació que van des de la curiositat i interès

per aprofundir en el nou currículum fins a l’ indiferència.

2. S’interactua amb els altres i amb un mateix: Actuació i aten-ció a l’actuació ( faig i observo el que faig).

EXPECTATIVES DE L ‟ALUMNAT.

L‟alumnat mostra curiositat i motivació davant el repte proposat.

GESTIÓ D‟AULA.

S‟ha plantejat el treball en petits grups heterogenis o en parelles. L‟ambient ha

estat en la majoria de casos favorable. L‟alumnat s‟ha mostrat desinhibit, parti-

cipatiu i amb interès per a superar-se.



S’ha procurat plantejar les situacions de forma oberta. S’ha donant a entendre

que nosaltres no teníem la solució sinó que ajudaríem a trobar-la.

S‟ha verbalitzat i compartit la manera com nosaltres mateixos ens posem da-

vant un problema nou.

S‟han plantejat preguntes per ajudar a avançar en el procés de resolució.

TREBALL COOPERATIU

L‟alumnat intervé en el debat intern del grup amb naturalitat. S‟observa com

alumnes, altrament més cohibits, fan aportacions vàlides al grup.

ESTRATÈGIES MATEMÀTIQUES

L‟estratègia més utilitzada ha estat l‟assaig error. És objecte d‟aprenentatge la

diversificació i adequació d‟estratègies.

PERCEPCIÓ DE LES PRÒPIES CAPACITATS.

L‟alumnat ha verbalitzat l‟augment de confiança en les pròpies capacitats per la

superació del repte plantejat com a resultat del treball cooperatiu.

Els ensenyants han identificat més estratègies i conceptes relacionats amb els

problemes. Han pres consciència de la importància de fer bones preguntes pe-

rò també de la seva dificultat.

3. Conscienciació d’aspectes essencials: Anàlisi i presa de consciència del què s’ha fet, del per què faig el que faig (Contrast amb els altres i amb la teoria ):

DISPOSICIÓ A LA REFLEXIÓ SOBRE LA PRÒPIA PRÀCTICA.

En augment.

EXPECTATIVES SOBRE LES CAPACITATS DE L ‟ALUMNAT.

Les possibilitats reals de resolució de problemes de l‟alumnat han superat les

expectatives. Ha millorat la percepció de les capacitats de l‟alumnat. S‟ha valo-

rat la motivació com a factor clau que posa en marxa l‟activitat intel·lectual.



CAUSES DE LES DIFICULTATS DETECTADES.

S‟han detectat causes intrínseques: poca diversificació de la tipologia de pro-

blemes, acompanyament de l‟ensenyant a partir de preguntes més que explica-

cions, donar el temps necessari, poca dedicació en les fases de resolució dels

problemes.

PERCEPCIÓ DE LA DIVERSITAT.

El treball cooperatiu dóna nous horitzons. Tot l‟alumnat pot participar d‟una o

altra manera.

RELLEVÀNCIA DEL PROCÉS DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN L‟ENSENYAMENT DE

LES MATEMÀTIQUES.

Utilitat de la RP per a introduir nous conceptes necessaris .

Presa de consciència de les funcions reals de la RP.

Desviació de la importància del resultat cap al procés.

Valoració de la RP per a conèixer diferents formes de processar la informació.

MOTIVACIÓ PERSONAL.

La motivació professional determina la predisposició al canvi. Altres factors són:

la necessitat de formació per part de l‟administració, els canvis en la gestió

d‟aula que implica canvis necessaris en l‟avaluació, sistema existent, poc co-

neixement de la competència matemàtica.

4. Assaig de millora: Coconstruir, contrastar i reconstruir co-neixements. Regular i autoregular el propi coneixement.

EXPECTATIVES DE L ‟ALUMNAT:

Es destaca la importància de les fases de resolució dels problemes. Concreta-

ment: dedicar temps per a comprendre el problema.

EXPECTATIVES DE L ‟ALUMNAT.

La resposta positiva de l‟alumnat davant el repte en la resolució de problemes,

esperona al professorat a utilitzar-la com un bon recurs didàctic.



GESTIÓ D‟AULA.

Els ensenyants han estat conscients de la necessitat de plantejar bones pre-

guntes. Han verbalitzat la necessitat de la pròpia autoavaluació. Fer per tant,

les oportunes regulacions.

TREBALL COOPERATIU.

Tot i veure la part positiva del treball cooperatiu, el professorat manifesta algu-

nes pors per la creença d‟oposar-se a l‟aprenentatge individualitzat.

ESTRATÈGIES MATEMÀTIQUES.

S‟observa la diversitat d‟estratègies utilitzades per l‟alumnat.

PERCEPCIÓ DE LES PRÒPIES CAPACITATS.

Les dinàmiques existents no predisposen, de manera significativa, a unes acci-

ons de canvis que portin a una millora.

Fent una comparativa de les creences tant per part del professorat com de

l‟alumnat, respecte a la resolució de problemes, es veuen aspectes en es com-

parteixen aquestes creences, tot i així s‟observa un grau més d‟optimisme en

l‟alumnat que no pas en els ensenyants.

PUNTS FORTS I PUNTS FEBLES DE LA PRÀCTICA DOCENT I DE L’ALUMNAT

EN LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES A L’EDUCACIÓ PRIMÀRIA

ABANS DE LES INTERVENCIONS. CREENCES PREDISPOSICIÓ.

ELS DOCENTS L‟ALUMNAT

Es percep una disposició més formal que

compromesa.

Els problemes són molt sovint exercicis

d‟aplicació dels continguts treballats.

Es percep emoció i bona disposició davant una

situació nova.

ESPECTATIVES SOBRE LES CAPACITATS DE L‟ALUMNAT PER A RP

En general hi ha un baix grau de confian-

ça en les capacitats de l‟alumnat per a

resoldre de problemes.

L‟alumnat mostra un nivell baix de confiança en

les seves capacitats per a resoldre la situació

que es planteja.



CARACTERÍSTIQUES DE LA SITUACIÓ PROBLEMA

La tipologia de situació plantejada és con-

siderada poc freqüent en la pràctica

d‟aula.

Es destaca la motivació que provoca així

com la millora de la comprensió i funciona-

litat.

L‟alumnat coincideix que els problemes que se‟ls

plantegen a classe són gairebé sempre aritmè-

tics.

L‟alumnat mostra curiositat i motivació davant el

repte proposat.

No hi ha gaires dificultats per a identificar

l‟adequació dels resultats.

GESTIÓ D‟AULA

El treball en petits grups heterogenis o en

parelles és freqüent en moltes aules.

L‟ambient ha estat en la majoria de casos

favorable

ÚS DEL TEMPS

No es dedica tant de temps a una sola

situació

ÚS DELS MATERIALS

Es valora l‟ús de materials manipulatius

alhora que es reconeix el poc ús.

L‟alumnat es mostra desinhibit, participatiu i amb

interès per a superar-se. Valora molt positiva-

ment el fet de treballar en grup perquè se sent

acompanyat, segur i tranquil.

El temps d‟una sessió ha estat en molts casos

insuficient. L‟alumnat mostra interès per acabar

el problema.

Quan hi ha material a disposició molts alumnes

l‟utilitzen lliurement.

PERCEPCIÓ DE LA DIVERSITAT

Existeix, en general, una percepció de la

diversitat segons les dificultats de comuni-

cació i comprensió que suposa un baix

domini de la llengua. Es valoren en segon

lloc altres capacitats.

En general l‟alumnat intervé en el debat intern

del grup amb naturalitat. S‟observa com alum-

nes, altrament més cohibits, fan aportacions

vàlides al grup.


La diversificació i adequació d‟estratègies

no es té molt clar que és objecte

d‟aprenentatge.

L‟estratègia més utilitzada és l‟assaig error.

COMUNICACIÓ

No es dedica temps a la comunicació dels

resultats obtinguts; no hi ha temps per a

verbalitzar allò que s‟ha après.

Es valora com a molt necessari.

L‟alumnat participa activament en la verbalitza-

ció. La majoria sap explicar allò que ha après.

CAUSES DE LES DIFICULTATS DETECTADES

Es descriuen sovint focalitzant en ele-

ments externs (ràtios elevades, baix nivell

de comprensió lectora, manca de temps

de dedicació...

Es manifesta una manca de seguretat en

la pròpia capacitació (especialització, ad-

judicació de llocs de treball en cursos de

CI, poc domini de continguts de l‟àrea...)

Hem pogut detectar que hi ha alumnes que no

els agrada resoldre problemes perquè no els

saben resoldre, i, fins i tot, alguns es dediquen a

destorbar.



RELLEVÀNCIA DEL PROCÉS RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN L‟ENSENYAMENT DE

LES MATEMÀTIQUES

No es dóna prioritat al procés. Hi ha una

matemàtica formal (algorismes, càlcul

mental,...) i la resolució de problemes es

troba en molts casos situada en la franja

horària de sisena hora,

Els alumnes viuen la RP com una experiència

desagradable, és la matèria dura de l‟escola.

DESPRÉS DE LES INTERVENCIONS. CONSCIENCIACIÓ D’ASPECTES ESSENCIALS

ESPECTATIVES SOBRE LES CAPACITATS DE L‟ALUMNAT

Les possibilitats reals de resolució de pro-

blemes de l‟alumnat superen les expecta-

tives.

Es valora la motivació com a factor clau

que posa en marxa l‟activitat intel·lectual.

L‟alumnat verbalitza l‟augment de confiança en

les pròpies capacitats com a resultat del treball

cooperatiu per la superació del repte plantejat

GESTIÓ D‟AULA

Els ensenyants són conscients de la ne-

cessitat de plantejar bones preguntes però

també de la dificultat que suposa. Han

verbalitzat la necessitat de la pròpia auto-

avaluació i fer, per tant, les oportunes

regulacions.

Part del professorat, tot i veure la part

positiva del treball cooperatiu, manifesta

algunes pors per la creença d‟oposar-se a

l‟aprenentatge individualitzat.

L‟alumnat expressa com a positiu el fet de poder

participar en l‟elaboració de la solució del repte.

PERCEPCIÓ DE LA DIVERSITAT

El treball cooperatiu en la RP dóna nous

horitzons. Tot l‟alumnat pot participar

d‟una manera o altra.

L‟alumnat es mostra satisfet del què ha après.

En les diferents posades en comú, la majoria

d‟alumnes tenen la percepció que han après i

poden explicar-ho.


Els ensenyants identifiquen més estratè-

gies i conceptes relacionats amb els pro-

blemes.

L‟alumnat utilitza les estratègies que els sugge-

rim.

COMUNICACIÓ

S‟introdueix el temps dedicat a exposar

els resultats. Es troben maneres pràcti-

ques perquè cada grup pugui participar.

L‟alumnat gaudeix a l‟hora de poder expressar

com ha anat el procés de resoldre el repte.

CAUSES DE LES DIFICULTATS DETECTADES

En aquest moment del procés es detecten

causes intrínseques: poca diversificació

de la tipologia de problemes, acompa-

L‟ alumnat es mostra motivat, no es bloqueja i

troba estratègies per a resoldre les diferents

situacions.



nyament de l‟ensenyant a partir de pre-

guntes més que explicacions, donar el

temps necessari, poca dedicació en les

fases de resolució dels problemes.

Els elements externs (ratios elevades,

baix nivell de comprensió lectora, manca

de temps, manca de problemes interes-

sants “que no surten als llibres i són de la

vida quotidiana” segueixen tenint força.

RELLEVÀNCIA DEL PROCÉS RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN L‟ENSENYAMENT DE

LES MATEMÀTIQUES

Hi ha un augment de presa de consciència

de les funcions reals de la RP i també es

veu la utilitat de la RP per a introduir

nous conceptes necessaris

Hi ha un inici de desviació de la importàn-

cia del resultat cap al procés.

Es valora la RP per a conèixer diferents

formes de processar la informació.

Les dinàmiques existents no predisposen,

de manera significativa, a unes accions de

canvis que portin a una millora.

L‟alumnat manté l‟interès en la resolució del rep-

te, no es bloqueja davant l‟error, intenta una altra

alternativa, escolta, discuteix amb els altres,

decideix i pren consciència de grup, identifica el

repte com una situació pròpia.



7. CONCLUSIONS.

La recerca educativa, tant nacional com internacional, dóna al professorat un

paper rellevant en la seva pròpia formació. En els programes de formació per-

manent s‟està impulsat la introducció de nous models de formació basats en la

Practica reflexiva. Es parteix de la pròpia pràctica docent de la qual se‟n fa

una observació i anàlisi. Després del contrast amb els altres ( professorat), es

plantegen objectius de millora per portar-los a la pràctica a l‟aula.

Es segueix un cicle reflexiu en el que s‟hi destaquen els següents punts:

Esquema de Àngel Alsina, Oriol Busquets, Olga Esteve i Montserrat Torra, Revista Biaix, nº25.

Les intervencions realitzades als centres i la posterior reflexió conjunta amb els

diferents ensenyants ens ha demostrat que el treball a partir de problemes és

una activitat inclusiva perquè tot l‟alumnat pot realitzar aprenentatges. La con-

textualització i la forma de presentació de les situacions com a reptes a assolir

tenen un alt grau d‟influència en l‟ interès i la implicació de tot l‟alumnat i millo-

ren l‟adquisició de competències.

No totes les situacions problema tenen la mateixa potencialitat, aquesta depèn

de les característiques i sobretot de les estratègies metodològiques utilitzades.

En síntesi, el treball de competències matemàtiques es potencia quan l‟alumnat

Experiències prèvies, creences, preconcepcions

Interacció amb els altres, amb un mateix i amb la teoria

CONTRAST

Amb un mateix i amb els altres, entre la pràctica i la teoria

Coconstrucció

Conflictes cognitius Reconstrucció



reconeix conceptes matemàtics en situacions concretes contextualitzades, in-

tegra i connecta conceptes de diferents àmbits del coneixement , experimenta i

descobreix relacions, quan treballa en grup provocant així una discussió i la

necessitat de comunicar conclusions, quan es dona la possibilitat d‟aplicar els

continguts apresos, autoregulant el procés d‟aprenentatge, quan l‟alumnat con-

fia en les pròpies capacitats i és conscient de les estratègies utilitzades.

Hem presentat els diferents elements de moltes maneres i no tan sols a partir

d‟un enunciat escrit. El treball de comprensió dels enunciats escrits ha de ser

específic i intencionat. Si els enunciats són escrits i volem assegurar-ne la

comprensió aquests han de ser molt senzills i en canvi creiem que es poden

treballar problemes més complexes, a partir de materials manipulatius, audiovi-

suals, jocs o presentats oralment.

Aprofitant situacions que es donen de forma natural a la classe, a través de

preguntes que suggereix l‟adult o l‟ alumnat, es poden plantejar problemes

competencialment més rics.

Plantejar i resoldre problemes és quelcom natural en l‟alumnat d‟ Educació

Primària. El treball matemàtic a tota l‟etapa ha de garantir el manteniment d‟

aquesta bona disposició. L‟alumnat ha d‟ explorar, arriscar-se, compartir fra-

cassos i èxits, fer-se preguntes i fer-ne als altres desenvolupant així la compe-

tència matemàtica.

En definitiva, hem d‟assegurar que l‟alumnat confia en les seves capacitats, té

voluntat per a comprometre‟s i explorar tota mena de problemes i té ganes de

continuar aprenent.

Durant aquest període de llicència, he experimentat un enriquiment professio-

nal a diversos nivells que revertirà en el meu treball tant en la meva pràctica

docent com en les activitats de formació permanent que realitzi a partir

d‟aquests moments.

El curs 09-10 tinc la intenció de portar a terme la posada en pràctica, juntament

amb un grup de companys, la resolució de problemes atenent el material

d‟aquesta llicència. Fer-ne un treball de debat intern per veure com poden ser



incorporada a la dinàmica del centre la resolució de problemes com un recurs

per facilitar la competència lingüística de l‟alumnat tant e l‟autòcton com el nou-

vingut.

L‟aprenentatge ha estat múltiple:

En el treball d‟equip de llicència hem incorporat la reflexió sobre la pràctica do-

cent com una forma de millora professional i hem aplicat aquesta metodologia,

també, a la recerca. Els ensenyants col·laboradors han compatit amb nosaltres

algunes de les creences més arrelades sobre el procés de resolució de pro-

blemes i com es relaciona amb el treball de competències, les possibilitats

d‟aplicació de la reflexió sobre la pròpia practica en els equips de treball i

l‟aprofundiment sobre el significat ple del terme competència i les metodologies

que afavoreixen el seu desenvolupament.

Hem aprofundit en el coneixement de les bases del nou currículum, hem actua-

litzat coneixements sobre matemàtica i també sobre didàctica de l‟àrea.

Hem percebut les grans dificultats que hi ha a l‟escola per trobar espais per a la

reflexió i la planificació en equips d‟ensenyants. Tot i que es considera impor-

tant i necessari, hi ha una cultura més basada en analitzar el què fem no pas

com ho fem.

Podem dir que en aquests moments encara hi ha un coneixement poc profund

de les aportacions que fa el nou currículum. Existeixen un conjunt de creences

“tradicionals” que només la reflexió i el contrast amb altres ensenyants facilitarà

els replantejaments i les reconstruccions

Crec que el treball realitzat pot ajudar a adequar les actuacions a les noves in-

tencions educatives i contribuir a millorar la pràctica de la resolució de proble-

mes per a treballar competències.

El material elaborat es troba a la web http://probos.xtec.cat/creamat/crecamat ;

cada situació contextualitzada presenta el treball de competències que pot

desenvolupar-se i dóna una sèrie d‟orientacions metodològiques que enriquei-

xen l‟activitat per a la millora de les competències bàsiques.

http://probos.xtec.cat/creamat/crecamat



8. BIBLIOGRAFIA.

Alsina, A. (1993). Ensenyament innovador de la matemàtica. Guix núm 185, pp

69-71.

Alsina, À.; Cascajo, R.M.; Vila, E.; Xargay, G. (1998). Ep, mestres! Sabeu que

en pensen els alumnes de la resolució de problemes?. Perspectiva escolar,

núm 223, pp 43-53.

Alsina, À. y Canals, Mª. A. (2000). La enseñanza de las matemáticas en la

educación primaria. Barcelona: Editorial Onda.

Alsina, A. (2002). De los contenidos a las competencias numéricas en la ense-

ñanza obligatoria. Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, núm 29, pp

55-66.

Alsina, A.(2004). Desarrollo de competencias matemáticas con recursos lúdico-

manipulativos: para niños y niñas de 6 a 12 años. Madrid: Narcea, editorial.

Alsina, A (2006). “¿Para qué sirven los problemas en la clase de matemáti-

cas?”. Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, núm 43, pp. 113-118.

Alsina, A y Planas, N. (2008). Matemática Inclusiva. Propuestas para una edu-

cación matemàtica accesible. Madrid: Ediciones Narcea.

Burón, J. (1997). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición. Recur-

sos e instrumentos psicopedagógicos. Bilbao: Ediciones Mensajero.

Canals, MA. (març 1998). La resolució de problemes, tema actual. Perspectiva

escolar, núm 223, pp 2-11.

Chevallard, Y. ( 1989) Aritmètica, àlgebra, modelització : Etapes d'una recerca.

Marseille : IREM-D'Aix.

Dalmau,S.; Pla, R.; Reverter,R.; Sotelo, C. i Teixidor,T. (1998). La resolució de

problemes matemàtics i la diversitat dels alumnes a l‟aula. Perspectiva escolar,

núm 223, pp 22-33.

http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?tipo_busqueda=CODIGO&clave_revista=2009

http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2029756

http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2029756

http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?tipo_busqueda=CODIGO&clave_revista=2009



DEPARTAMENT D'EDUCACIÓ. Decret 142/2007, de 26 de juny, pel qual s'es-

tableix l'ordenació dels ensenyaments de l'educació primària. DOGC núm. 4915

- 29/06/2007. Generalitat de Catalunya.

DEPARTAMENT D'EDUCACIÓ. Desplegament del Currículum a l‟Educació

Primària. Direcció General de l‟Educació Bàsica i el Batxillerat. Generalitat de

Catalunya.

DEPARTAMENT D‟ENSENYAMENT. GENERALITAT DE CATALUNYA.

(2003). Curs per a l‟actualització de l‟ensenyament/aprenentatge de la matemà-

tica. Materials de formació.

Descartes, R(1637). . Madrid: Alianza editorial

Deulofeu, J. (2008). "L‟aprenentatge de les matemàtiques a l‟Educació Infantil i

Primària: Com podem ajudar a desenvolupar les capacitats dels nostres infants.

Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències. UAB. Barce-

lona.

Dubet, F.( 2005) La escuela de las oportunidades ¿Qué es una escuela justa?.

Barcelona: Ed. GEDISA.

Esteve, O.; Carandell, Z. (2006). "El portafolis en la formació de professorat: un

instrument al servei de la reflexió en i sobre la pràctica docent". Articles de di-

dàctica de la llengua i de la literatura. nº 39.

Garcia, J.A. (2002) Resolución de problemas. La resolución de problemas en

matemática. Teoría y experiencias: Claves para la innovación educativa, núm

12, , pp. 27 - 33.

Giménez, J; Girondo, L. (1993). Cálculo en la escuela: reflexiones y propuestas

para la enseñanza primaria. Barcelona: Editorial Graó.

Girondo, L. (1998). Factors a considerar en treballar els problemes a primària.

Perspectiva escolar, núm. 223, pp 12-21.

Hargreaves, A. (2001). Aprender a cambiar. La enseñanza más allá de las ma-

terias y los niveles. Barcelona: Ortoedro.



INCANOP, (1997). Les Competències clau : la formació al segle XXI : actes de

la jornada del 27 de novembre de 1996. Barcelona : Generalitat de Catalunya.

Institut Català de Noves Professions.

Kamii, C.K. (1985). El niño reinventa la aritmética. Implicaciones de la teoría de

Piaget. Madrid: Aprendizaje Visor.

Kamii, C.K. (1989). Reinventando la aritmética II. Implicaciones de la teoría de

Piaget. Madrid: Aprendizaje Visor, 1992

Kamii, C.K. (1994). Reinventando la aritmética III. Implicaciones de la teoría de

Piaget. Madrid: Aprendizaje Visor, 1995.

Martí, E. (2002) Comprensión matemática: Forma y significado. La resolución

de problemas en matemática. Teoría y experiencias: Claves para la innovación

educativa, núm 12, pp. 13-25.

Martínez, C.(2001). La resolució de problemes en les primeres edats. Biaix,

núm 18, pp 9-12.

Mialaret, Gastón. (1985). La resolución de problemas matemáticos.Psicología

Educativa, N° 9.

Nicolau, F. (2000). La matemàtica i els matemàtics. Barcelona: Editorial Claret.

Niss, M. (2003). Mathematical competencies and learning of mathematics: The

Danish Kom Project. IMFUFA, Denmark: Roskilde University.

OCDE (2005). Definition and Selection of Competencies (DeSeCo).

http://www.oecd.org/document/17/0,3343,en_2649_39263238_2669073_1_1_1

_1,00&&en-USS_01DBC.html

Pólya, G. (1944). Cómo plantear y resolver problemas. México. Trillas, 2002

Pozo, J.I. (1993). Teorías cognitivas del aprendizaje. Madrid: Ediciones Morata.

Sociedad Andaluza de Educación Matemàtica THALES. PRINCIPIOS y ES-

TÁNDARES para la EDUCACIÓN MATEMÁTICA (NCTM).

Resnick B.L.; Ford W.W. (1981). La enseñanza de las matemáticas y sus fun-

damentos psicológicos. Barcelona: Paidós/MEC, 1990.



Rychen D.S.i Hersh, L.(2002). Definición y Selección. de Competencias (De-

SeCo): Fundamentos teóricos y conceptuales de competencias. OCDE,(París)

Segarra, LL. (2002) Juego y matemática. La resolución de problemas en ma-

temática. Teoría y experiencias: Claves para la innovación educativa, número

12, pp 35-41..

Serra, T.; Batlle, I.; Torra, M. (2002) Experimentos en clase de matemáticas de

primaria. Teoría y experiencias: Claves para la innovación educativa, núm 12,

pp. 63-75.

Santaló, LL. A. (1993). La matemàtica: una filosofia i una tècnica. Vic: Editorial

Eumo.

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic

Press.

Sorando, J.M (1998). Vivir y sufrir las matemáticas. Boletín de la Sociedad Ara-

gonesa Pedro Sánchez Ciruelo de profesores de Matemáticas, nº 1, pp. 27-31.

Zaragoza.

Stigler, J W.; Hiebert, J. Teaching Is a Cultural Activity. American Educator

Tonucci, F. (1983). Amb ulls de nen. Barcelona: Barcanova.

Torra, M; Serra, T; Batlle, I. (1995) Matemàtiques a la carta. Materials curricu-

lars de matemàtiques. Primària. CI.

Vygotsky, L. S. (1978) Mind in Society. Development of Higher Psychological

Processes. San Diego (EEUU): University of California.

Zabala, A. (1999) Enfocament globalitzador i pensament complex. Una respos-

ta per a la comprensió i intervenció en la realitat. Biblioteca Guix, núm 115. Edi-

torial Graó.

josep m martínez torrents supervisor: Àngel alsina pastells. · pràctica reflexiva. presentem la...

Documents