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Jorge A. Bertolotto, Ernesto Farías de la Torre, Graciela B. Roston
Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,Universidad Nacional de La Pampa, Santa Rosa (LP), Argentina
ECUACIÓN DE FOKKER-PLANCK APLICADA AL EATUDIO DE LAS PROPIEDADES ELECTROÓPTICAS
DEL ADN
BirrefringenciaBirrefringencia elelééctricactrica
La birrefringencia eléctrica se define
como la diferencia ente los dos
índices de refracción n// y n⊥
Las moléculas de ADN son ópticamente anisotrópicas. En soluciones diluidas tales
moléculas adoptan una distribución con su orientación al azar y el medio es
isotrópico. La aplicación de un campo eléctrico externo induce orden y la anisotropía
inherente a las moléculas se manifiesta, como birrefringencia del sistema.
Para un haz de luz con el campo eléctrico E// (E⊥⊥⊥⊥) el índice de refracción será n//
(n⊥⊥⊥⊥).
⊥−=∆ nnn //
Cuando a una solución macromolecular se le aplica un pulso eléctricorectangular, la birrefringencia cambian con el tiempo como se muestra en la figura. La birrefringencia aumenta hasta que alcanza un estado estacionario y decae al cortar el campo eléctrico.
A través de las medidas de birrefringencia eléctrica en el estado estacionario en función de la intensidad del campo eléctrico, y del estado transitorio cuando se suprime el campo eléctrico, y usando modelos y teorías adecuadas, se obtienen parámetros eléctricos, ópticos e hidrodinámicos. Estos parámetros son muy útiles para analizar la estructura y dinámica de macromoléculas y coloides en solución.
Transitorios de birrefringencia y dicroísmo eléctricos
Dicroísmo lineal eléctrico reducido para solución acuosa de fragmentos de ADN de 179 pb
Modelos para fragmentos de ADN
Z
Y
X
R
Modelo de varilla arqueada
Las moléculas de ADN con longitud mayores que 500Å y menores que 2000Å, se puede representar mediante un modelo de arco con radio de curvatura variable.
( )321 ,, µµµµ =r
=E
E
E
E
33
22
11
00
00
00
α
α
α
αt
Tensor Polarizabilidad Óptica
Tensor Polarizabilidad Eléctrica
Parámetros molecularesÓptico, eléctricos e hidrodinámico
Tensor de Difusión Rotacional
Tensor de DifusiónAcoplamiento Traslación-Rotación
=
00
00
000
32
23
P
PPt
Momento dipolar eléctrico permanente
=O
O
O
O
33
22
11
00
00
00
α
α
α
αt
=
33
22
11
00
00
00
R
R
R
Rt
Mecanismos de orientación en experimentos electro-ópticos de fragmentos de ADN en solución acuosa:
1. Interacción entre el momento inducido en la molécula y el campo eléctrico aplicado.
2. El debido a la electroforesis de moléculas con carga eléctrica. El movimiento de las moléculas bajo la acción del campo eléctrico producen torques en moléculas con un tensor de Difusión Acoplamiento Traslación-Rotación no nulo.
El mecanismo de orientación por electroforesis puede explicarse con un simple ejemplo.
Mecanismo de orientación por Electroforesis
• La partícula se traslada y rota simultáneamente. Porque el Tensor de Difusión Acoplamiento Traslación-Rotación es no nulo.
• Tiende a una velocidad terminal sin spin con la bisectriz paralela a E
Cuando una varilla quebrada macroscópica, con una distribución uniforme de carga se arroja en un fluido en reposo, y forma un cierto ángulo con la dirección del campo eléctrico:
Ecuación de Fokker-Planck
• Escribimos la ecuación de Fokker-Planck para el
sistema con el fin de obtener la función de distribución
orientacional.
• Esta función es independiente de las coordenadas de
posición y puede escribirse como f(θ,φ,ψ,t).
• El campo eléctrico introduce una simetría cilíndrica
en el sistema tal que f se hace independiente de la
coordenada φ.
• Omitiendo detalles de cálculo, la ecuación diferencial
relativa al sistema del laboratorio resulta:
( )( )( ) ( )+
∂
∂+−
θ
ψθθψθψθψθθ
tfqPdREdER
kT
E ,,sinsinsincossinsincossin 23
2
2311
222
3122
( )( )( )
+∂
∂++−
θ
ψθψθθθψψθ
tfdRRdEdER
kT
E ,,sinsincossinsincossin 23112231
23
1233
( )( ) ( )−
∂
∂−+
θ
ψθθψθ
tfqPPPq
kT
E ,,coscossin 323223
2 ( ) ( ) ( ) ++− tfPPqkT
E,,sinsin 2332
3 ψθψθ
( ) ( )( ) ( ) )1(,,sincoscossincos21sinsin 222
2311
23
1233
2
+−++− tfdRdRkT
Eψθθψθθψθθ
( )( ) ( ) ++− tfdRkT
E,,sinsincossinsin 222
3122
2
ψθψθθθθ ( )( )
+∂∂
∂∂
+θθ
ψθ
ψψθ
tf
RR
,,
sincossin 2
22
2
11
2
( )
( )
+∂
∂
∂∂
++ψ
ψ
ψθ
θψθψθ
tf
RRR
,,
sincoscossincos 33
2
22
22
11
22 ( ) ( )−
∂
∂+
θ
ψθψψθθ
tfRR
,,cossincossin
2
22
2
11
( )( ) ( ) ( )
( )( )
t
tf
tf
RRtf
RR∂
∂=
∂∂
∂∂
−+∂
∂+−
,,
,,
sincoscossin2,,
1coscossin 1122
2
1122
ψθ
ψθ
ψθ
ψψθθψ
ψθθψψ
Donde k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta, Rii para i = 1, 2, 3 son los términos del
tensor difusión rotacional, P23 y P32 son los términos no nulos del tensor de difusión de acoplamiento rotación-
traslación,
d12 = aE11 – aE
22, d23 = aE22 – aE
33 y d31 = aE33 – aE
11 , siendo los aEii para i = 1, 2, 3, los términos
principales del tensor polarizabilidad eléctrica.
Ecuación de Fokker-Planck
Aplicamos un método de perturbación [8] con un parámetro ε en los términos que involucran al
campo eléctrico E y suponemos que la solución puede desarrollarse en potencias de ε
),,(),,(8
1),,( 2
2tsthtf ψθεψθε
πψθ ++=
A fin de satisfacer las condiciones de normalización tenemos
0sin),,(
0sin),,(
1sin),,(
2
0
2
0 0
2
0
2
0 0
2
0
2
0 0 0
=
=
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
φψθθψθ
φψθθψθ
φψθθψθ
π π π
π π π
π π π
dddts
dddth
dddtf
(2)
(3)
Cuando ε =1 tenemos la ecuación diferencial original. Por otro lado, cuando ε = 0, tenemos la
ecuación diferencial sin perturbar, que describe la diffusion rotatoria de la particular en ausencia de
campo eléctrico E. En este caso, la partícula tiene una orientación aleatoria y la función de
distribución ),,(0 tf ψθ es independiente de θ y ψ , dando el resultado 20
8
1
π
f = .
MMéétodotodo de de ResoluciResolucióónn
A fin de obtener la solución para ),,( th ψθ usamos resultados de trabajos previos [1,2,4,5] donde ambas
funciones ),,( th ψθ y ),,( ts ψθ fueron obtenidas para el caso del estado estacionario empleando
métodos por desarrollos en serie de Fourier. En el presente trabajo permitimos a los coeficientes variar
como una función del tiempo. Por lo tanto podemos escribir para
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψθθψψθψθ 2cos2cos2cos2cossinsin),,( 22200211100 tatatatbtath hhhh ++++= (6)
ψθψθψθθ
ψψθθψψθ
4cos4cos)(2cos4cos)(4cos2cos)(4cos)(
4cos)(2cos2cos)(2cos)(2cos)()(),,(
44422440
0422200200
tatatata
tatatatatats
ssss
sssss
+++
+++++=
(7)
Reemplazando le Ec.(2) en la Ec.(1) e igualando los coeficientes de ε y ε2 obtenemos las
ecuaciones diferenciales correspondientes
( )t
tsQtLs s
∂
∂=+
),,(sin),,( 2 ψθ
θψθ
( )
t
thQtLh h
∂
∂=+
),,(sin),,( 2 ψθ
θψθ (4)
(5)
Reemplazando las Ec. (6) y (7) en Ec. (4) y después de hacer las respectivas diferenciaciones
involucradas (Ver Ecuación (4)) podemos agrupar los términos de acuerdo a las funciones
trigonométricas. Así obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de primer
orden para
y )(),(),(),(),(),(),(),(),( 444224400422200200 tatatatatatatatata sssssssss
Una vez obtenidos todos los coeficientes, podemos escribir ),,( th ψθ y ),,( ts ψθ y entonces
reemplazar en la Ecuación (2).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tatatatbta hhhh 22200211100 ,,,,
Teniendo la función de distribución orientacional podemos calcular la birrefringencia eléctrica
usando la siguiente expresión
∫ ∫ −−−−=∆π π
ψθθψθθψθπ 2
0
22020
0
1 sin))1sin2)(cos1(4
3)1cos3(
2(),,(
2dd
BAtf
n
cn (13)
con
( ) ( )2
cos2 200
//
0
11
0
220
χαααα ⊥−−=−=B
y (14)
( ) ( )
−−=−−= ⊥ 1
2sin3
2
1 200
//
0
22
0
11
0
330
χαααααA
siendo 0
ijα las componentes del tensor polarizabilidad óptica, n el índice de refracción de la
solución y c1 el número de moléculas por unidad de volumen.
Crecimiento de la birrefringencia eléctricaDatos característicos del ADN en solución acuosa pero sin
polarizabilidad eléctrica, L= 100nm, c=145º, Carga 12% de los grupos fosfatos ionizados.
0.0001 0.0002 0.0003 0.0004tês
-2.¥ 10-8
-1.¥ 10-8
1.¥ 10-8
2.¥ 10-8
3.¥ 10-8Dn
Modelo de arco
q
kTb
q
εξ
2
=
θ
sR =
2
aR
Ri
−
= ξξ
2.4=ADNξ
Densidad de carga adimensional
a
2
aR
Re
−
= ξξ
×= −
iib
ξ
ξ8104.3
×= −
ieb
ξ
ξ8104.3
Radio de curvatura
Densidad de carga adimensional de los dos arcos
Distancias entre cargas contiguas en cada varilla
Teoría de condensación de contraiones de G. Manning
( ) ( )eb
eee egelκξθ −−−= 1ln1
2
Trabajo de cargar los grupos fosfatos contra la repulsión electrostática mutua. Se obtiene sumando la energía repulsiva amortiguada entre los grupos fosfatos en un arreglo lineal.
( ) ( )ib
iii egelκξθ −−−= 1ln1
2
=
cVpgmix
e
eee
θθ
310ln
=
cVpgmix
i
iii
θθ
310ln
Energía libre dependiente de q dada por la mezcla de cationes libres, cationes ligados y moléculas del solvente. La magnitud Vp es el volumen de la región que rodea el poli nucleótido dentro del cual los cationes están ligados
q Es el número de contraiones condensados por grupo fosfato
La última energía libre describe el acoplamiento electrostático de las dos varillas.
( )( ) ( )aKg iee κθθξ 0112int −−=
Finalmente se obtiene la energía libre total y se minimiza
intggmixgmixgelgelg ieie ++++=
0=∂
∂
e
g
θ0=
∂
∂
i
g
θy
Para s = 600Ǻ , a=24 Ǻ , q =116º se obtiene qi =0.816 y qe =0.668.
Cálculo del momento dipolar eléctrico permanente
i
i
i
i
iq
R
s
R
s
Rxi
2
2sin
=
R
s
R
s
RxM
2
2sin
=
e
e
e
e
eq
R
s
R
s
Rxe
2
2sin
=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]ie
qMiqMeoxxexxe
A
s−−−−−
= θθµ 11
4.3
Se calcula el momento con respecto al centro de masa del sistema.
Con respecto al centro de curvatura el centro de masa se escribe
Los centros de carga de los dos arcos resultan
Y el momento dipolar eléctrico se expresa
Se obtiene el siguiente resultado m = 4.2 10-27Cm
Referencias
1. J. A. Bertolotto, G. B. Roston, M. E. Ascheri, M. G. Campo. Birefringence due to
free electrophoresis. Physica A 327 (2003)185-189.
2. J. A. Bertolotto, G. B. Roston, M. E. Ascheri. Electo-optical properties of DNA.
Prog. Colloid Polym Sci 128 (2004) 25-29.
3. J. A. Bertolotto. Electric birefringente and dichroism of DNA fragments in aqueous
solutions. Physica A, 373 (2007) 29-42.
4. J.A. Bertolotto, G. B: Roston, M. E. Ascheri, G. M. Corral, Reduced electric linear
dichroism of DNA fragments in aqueous solutions, XV Conference on Nonequilibrium
Statistical Mechanics and Nonlinear Physics, AIP Conference Proceedings, (2007) pág.
151-156.