jongleren met wiskunde - universiteit gentcage.ugent.be/~kn/lezing_jongleren.pdfstel dat een patroon...
TRANSCRIPT
-
Jongleren met Wiskunde
Karsten NaertUGent — Vakgroep Wiskunde
March 21, 2012
-
Wiskunde is:
I Abstractie maken van de werkelijkheid
I Redeneren met deze abstracte gegevens
(Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)Toegepast op jongleerpatronen:
I abstraheren = achterwege laten van details
I redeneren = meer te weten komen over jongleerpatronen
Gebaseerd op boek: ‘The Mathematics of Juggling’, door BurkardPolster
http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php
-
Hoe jongleerpatronen communiceren?(Meer algemeen: hoe complexe informatie overdragen?)
I Letterlijke weergave? Foto — video?I Schematische weergave?
I Nadeel: sommige dingen zijn niet te zienI Voordeel: andere dingen worden duidelijker!
-
Het jongleerdiagram:
I Een metronoom tikt oneindig lang.
I Op de even tikken werpt de linkerhand, op de oneven tikkenwerpt de rechterhand.
I We veronderstellen periodiciteit.
Het aantal tellen dat een bal in de lucht blijft tellen.
-
Een tweede voorbeeld: [441]
Een zekere essentie van het patroon wordt zichtbaar, andereaspecten worden onzichtbaar:
I Timing van de handen. (Hot patato versus lazy juggling)
I Beweging van de armen. (Bvb. Mill’s Mess)
-
Enkele vragen:
I Betekenis van een 0-worp?
I Betekenis van een 1-worp?
I Betekenis van een 2-worp?
I Even worpen versus oneven worpen?
I Hoe ziet [i], met i ∈ N eruit? (cascade / fountain)I Hoe noteert men ‘ballen in een cirkel gooien’?
I Bestaat een patroon dat begint met [98 . . . ]?
I Met hoeveel jongleerballen werpt men patroon [0123456]?
I Kunnen we ‘berekenen’ of een patroon jongleerbaar is?
-
Vraag
Waarin verschillen even worpen van oneven worpen?
I Even worpen gaan naar dezelfde hand.
I Oneven worpen gaan naar de andere hand.
-
Vraag
Waarin verschillen even worpen van oneven worpen?
I Even worpen gaan naar dezelfde hand.
I Oneven worpen gaan naar de andere hand.
-
Vraag
Hoe ziet een 1-worp eruit?
I [1] — lage worp
I [31] — 2-ball shower
I [441]
I [531]
-
Vraag
Hoe ziet een 1-worp eruit?
I [1] — lage worp
I [31] — 2-ball shower
I [441]
I [531]
-
Vraag
Hoe ziet een 2-worp eruit?
I [2] — rust
I [42] — twee in één hand met bal in andere hand
I [342]
-
Vraag
Hoe ziet een 2-worp eruit?
I [2] — rust
I [42] — twee in één hand met bal in andere hand
I [342]
-
Vraag
Hoe ziet een 0-worp eruit?
I [0] — leeg patroon
I [20], [40], [60] — één, twee, drie in één hand
I [4440] — twee in één hand, één in de andere
-
Vraag
Hoe ziet een 0-worp eruit?
I [0] — leeg patroon
I [20], [40], [60] — één, twee, drie in één hand
I [4440] — twee in één hand, één in de andere
-
Vraag
Hoe zien de patronen [531] en [513] eruit? Wat is het aantalballen?
-
Vraag
Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen?
Hieronder [3] en [4]:
Hoe ziet [5] eruit? [6]?
I Oneven: n-balwatervalI Even: n-balfontein (n/2 in elke hand, asynchroon)I Bemerk het verschil even versus oneven.
-
Vraag
Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen?
Hieronder [3] en [4]:
Hoe ziet [5] eruit? [6]?
I Oneven: n-balwatervalI Even: n-balfontein (n/2 in elke hand, asynchroon)I Bemerk het verschil even versus oneven.
-
Het patroon [7]
-
‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:
Vraag
Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?
I [31]: 2 ballen
I [51]: 3 ballen
I [71]: 4 ballen
I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen
-
‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:
Vraag
Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?
I [31]: 2 ballen
I [51]: 3 ballen
I [71]: 4 ballen
I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen
-
‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:
Vraag
Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?
I [31]: 2 ballen
I [51]: 3 ballen
I [71]: 4 ballen
I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen
-
‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:
Vraag
Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?
I [31]: 2 ballen
I [51]: 3 ballen
I [71]: 4 ballen
I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen
-
‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:
Vraag
Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?
I [31]: 2 ballen
I [51]: 3 ballen
I [71]: 4 ballen
I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen
-
Vraag
Is het patroon [98 . . . ] jongleerbaar?
Neen, meer algemeen: het patroon [(n + 1)n . . . ] bestaat niet!
-
Vraag
Is het patroon [98 . . . ] jongleerbaar?
Neen, meer algemeen: het patroon [(n + 1)n . . . ] bestaat niet!
-
Het aantal ballen
[n]→ n[(2n − 1)1]→ n
[(2n)0]→ n[531]→ 3[441]→ 3
[4440]→ 3
Algemene regel?
-
De gemiddelden-stelling
Stelling
Als [a1, a2, . . . , an] een jongleerpatroon is, dan is het aantal ballengelijk aan het gemiddelde van de cijfers a1 tot an.
Bewijs
-
De gemiddelden-test
Gegeven is een rij cijfers [a1, a2, . . . , an]. Is dit een geldig(jongleerbaar) patroon?
De test
Als [a1, a2, . . . , an] een jongleerpatroon is, dan moet
a1 + a2 + · · ·+ ann
een geheel getal zijn.
Voorbeeld: [7435] is geen jongleerpatroon want 7+4+3+54 =194 is
geen geheel getal.
Maar: ook [987] zou een patroon zou kunnen zijn:9+8+7
3 =243 = 8; we zagen al dat dit niet het geval is.
-
Site-swapping en cyclisch permuteren
Doel: jongleerpatronen omzetten in andere jongleerpatronen. Tweemethodes:
I Cyclisch permuteren, bvb. [531]→ [315] (Let op: niet [513],enkel cyclisch.)
I Site-swap uitvoeren: [ab . . . ]→ [(a− 1)(b + 1) . . . ]Idee achter site-swap is: twee worpen van plaats veranderen
-
Siteswap, illustratie
-
Site-swapping en cyclisch permuteren
Opmerkingen:
I Siteswap en cyclische permutaties zetten jongleerbarepatronen om in jongleerbare patronen — en niet-jongleerbarepatronen in niet-jongleerbare
I De som van de cijfers en het aantal cijfers blijven hetzelfde naeen cyclische permutatie en na een siteswap
-
Het verplattingsalgoritme
We krijgen een patroon gegeven en willen bepalen of dit patroonjongleerbaar is. Doorloop volgend algoritme:
1. Zijn alle cijfers gelijk?
ja: het patroon is jongleerbaarnee: ga naar stap 2
2. Voer een cyclische permutatie uit, zodanig dat het eerstecijfer van het patroon zo groot mogelijk wordt en het tweedecijfer verschilt van het eerste. Het patroon begint nu met[ab . . . ]. Is nu a = b + 1?
ja : het patroon is niet jongleerbaarnee: ga naar stap 3
3. Voer een siteswap uit van de eerste twee posities. Als hetpatroon [ab . . . ] was, wordt het [(a− 1)(b + 1) . . . ]. Ga naarstap 1.
-
Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclischepermutaties):
642 =⇒ 552 −→ 525 =⇒ 345 −→ 534 =⇒ 444
514 =⇒ 424 =⇒ 334 −→ 433
Waarom werkt dit?
Het aantal ’grootste cijfers’ neemt elke siteswap af; maar de somvan de cijfers blijft hetzelfde. Dus we kunnen maar een eindigaantal stappen doorlopen en moeten vroeg of laat in één van detwee eindpunten (patroon is jongleerbaar of niet) terecht komen.
-
Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclischepermutaties):
642 =⇒ 552 −→ 525 =⇒ 345 −→ 534 =⇒ 444
514 =⇒ 424 =⇒ 334 −→ 433
Waarom werkt dit?
Het aantal ’grootste cijfers’ neemt elke siteswap af; maar de somvan de cijfers blijft hetzelfde. Dus we kunnen maar een eindigaantal stappen doorlopen en moeten vroeg of laat in één van detwee eindpunten (patroon is jongleerbaar of niet) terecht komen.
-
Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden.
‘Bewijs’
Stel dat een patroon jongleerbaar is. Doorloop dan hetplatslageralgoritme met dit patroon.
I De som van de cijfers verandert niet.
I Het aantal cijfers verandert niet.
I Dus het gemiddelde van de cijfers is hetzelfde voor en na hetdoorlopen van het algoritme
I Het aantal ballen blijft hetzelfde.
Na het doorlopen van het algoritme, is het patroon van de vorm
[aaaa . . . ]
Dus is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan het aantal ballen.Dus was dit ook vóór het doorlopen van het algoritme al het geval.
-
Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden.
‘Bewijs’
Stel dat een patroon jongleerbaar is. Doorloop dan hetplatslageralgoritme met dit patroon.
I De som van de cijfers verandert niet.
I Het aantal cijfers verandert niet.
I Dus het gemiddelde van de cijfers is hetzelfde voor en na hetdoorlopen van het algoritme
I Het aantal ballen blijft hetzelfde.
Na het doorlopen van het algoritme, is het patroon van de vorm
[aaaa . . . ]
Dus is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan het aantal ballen.Dus was dit ook vóór het doorlopen van het algoritme al het geval.