joan porti (uab) jornada riemann fme – upc 20 de febrer …geometria de riemann joan porti (uab)...
TRANSCRIPT
![Page 1: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/1.jpg)
Geometria de Riemann
Joan Porti (UAB)
Jornada Riemann
FME – UPC
20 de febrer de 2008
Geometria de Riemann – p.1/33
![Page 2: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/2.jpg)
Goettingen
Geometria de Riemann – p.2/33
![Page 3: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/3.jpg)
Goettingen
Uns mesos abans del 10 de juny de 1854
8:30 del matí
Geometria de Riemann – p.2/33
![Page 4: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/4.jpg)
Goettingen
Uns mesos abans del 10 de juny de 1854
8:30 del matí
Mathematischesinstitut Göttingen (Niedersachsen)
Geometria de Riemann – p.2/33
![Page 5: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/5.jpg)
Goettingen
Uns mesos abans del 10 de juny de 1854
8:30 del matí
Mathematischesinstitut Göttingen (Niedersachsen)
Herr Professor Gauß i Herr Doktor Riemann conversen
Geometria de Riemann – p.2/33
![Page 6: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/6.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 7: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/7.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 8: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/8.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 9: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/9.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Was magst du?
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 10: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/10.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Was magst du?
Ein anderes Buro?
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 11: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/11.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Was magst du?
Noch 10 D.Mark?Ein anderes Buro?
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 12: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/12.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Was magst du?
Noch 10 D.Mark?Ein anderes Buro?
Verstehen Sie?
Nein ?
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 13: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/13.jpg)
Herr Professor Gauss und Herr Doktor Riemann
Gutten Morgen
Herr ProfessorGauss
Gutten Morgen
Herr Doktor
Riemann
Was magst du?
Noch 10 D.Mark?Ein anderes Buro?
Verstehen Sie?
Nein ? Wir koennen
Katalanish sprechen!
Geometria de Riemann – p.3/33
![Page 14: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/14.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 15: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/15.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 16: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/16.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 17: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/17.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
I aquest què vol?
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 18: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/18.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
I aquest què vol?
Canviar de despatx?
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 19: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/19.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
I aquest què vol?
Diners altre cop?
Canviar de despatx?
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 20: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/20.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
I aquest què vol?
Diners altre cop?
Canviar de despatx?El mateix barret
espantòs de sempre.
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 21: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/21.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
\mathfrak
Bon diaCarl Friedrich
Bon diaBernhard
Com anem?
I aquest què vol?
Diners altre cop?
Canviar de despatx?El mateix barret
espantòs de sempre.
Canvia-te’l d’unavegada!
Geometria de Riemann – p.4/33
![Page 22: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/22.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Ja hauriesd’anar acabant
l’habilitació
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 23: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/23.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 24: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/24.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Actualment ésla meva prioritat
senyor
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 25: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/25.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Actualment ésla meva prioritat
senyor
i corregir examens,i preparar classes,
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 26: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/26.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Actualment ésla meva prioritat
senyor
i corregir examens,i preparar classes,
no siguis pilota
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 27: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/27.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Actualment ésla meva prioritat
senyor
i corregir examens,i preparar classes, i...comprar un gorro igual
que el teu
no siguis pilota
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 28: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/28.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Només faltal’Habilitations-
vortrag
Actualment ésla meva prioritat
senyor
i corregir examens,i preparar classes, i...comprar un gorro igual
que el teu
no siguis pilota
i deixa de mirar-me
el gorro fixament
Geometria de Riemann – p.5/33
![Page 29: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/29.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Dona’m trestítols per l’Habilita-
tionsvortrag
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 30: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/30.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Dona’m trestítols per l’Habilita-
tionsvortrag
1. Über die Zusammenhang
zwischen Elektricität, Galvanis-
mus, Licht und Schwere
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 31: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/31.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Dona’m trestítols per l’Habilita-
tionsvortrag
1. Über die Zusammenhang
zwischen Elektricität, Galvanis-
mus, Licht und Schwere
Bufar i fer ampollesés el meu preferit!...i sempre es tria
el primer
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 32: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/32.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
A veure el segon...
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 33: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/33.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
A veure el segon...
2. Über die Zusammenhang
zwischen Elektricität, Schwere
Galbanismus und Licht
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 34: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/34.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
A veure el segon...
2. Über die Zusammenhang
zwischen Elektricität, Schwere
Galbanismus und Licht
Aquest està xupat:és el mateix d’abans!...si igualment tria
el primer
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 35: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/35.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
I el tercer ?
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 36: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/36.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
I el tercer ?
3. Uber die Hypothesen
welche der Geometrie
zu Grunde liegen
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 37: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/37.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
I el tercer ?
3. Uber die Hypothesen
welche der Geometrie
zu Grunde liegen
Dificilíssim!Quin mal de cap
si el tria!
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 38: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/38.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
I el tercer ?
3. Uber die Hypothesen
welche der Geometrie
zu Grunde liegen
Dificilíssim!Quin mal de cap
si el tria!
Aquest
m’agrada!
Geometria de Riemann – p.6/33
![Page 39: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/39.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Trio el...
Geometria de Riemann – p.7/33
![Page 40: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/40.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Trio el...
And the
winner is...
Geometria de Riemann – p.7/33
![Page 41: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/41.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Trio el...tercer
And the
winner is...
Geometria de Riemann – p.7/33
![Page 42: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/42.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Trio el...tercer
And the
winner is...
Geometria de Riemann – p.7/33
![Page 43: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/43.jpg)
Gauss i Riemann (apòcrif)
Trio el...tercer
Excel·lent el·leció
Carl Friedrich
And the
winner is...
Geometria de Riemann – p.7/33
![Page 44: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/44.jpg)
Habilitationvortrag
10 de JUNY de 1854:
Conferència d’habilitació
Publicada pòstumament
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 45: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/45.jpg)
Habilitationvortrag
10 de JUNY de 1854:
Conferència d’habilitació
Publicada pòstumament
• Inesperadament Gauß escollí el tercer títol proposat per Riemann,que estava interessat en electricitat.
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 46: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/46.jpg)
Habilitationvortrag
• Posa les bases del que serà la geometria de Riemann.
En particular la curvatura de Riemann.
• Forma actual de la geometria de Riemann (tensors, connexions):Christoffel, Ricci-Curbastro, Levi-Civitta.
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 47: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/47.jpg)
Habilitationvortrag
• Dedekind escriu sobre la impressió de Gauß:
...va sobrepassar totes les seves expectatives, amb gran so rpresa,
i tornant de la facultat va parlar a Wilhem Weber sobre la
profunditat de les idees presentades per Riemann, amb una gr an
apreciació i amb una animació rara per ell.
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 48: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/48.jpg)
Habilitationvortrag
• Trigà temps en ser comprès.
• Poincaré:Les geometries de Riemann, tan interessants en molts camps,
mai no seran, però, altra cosa que ens purament analítics,
i no conduiran a demostracions anàlogues a les de Euclides.
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 49: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/49.jpg)
Habilitationvortrag
Text adreçat a un públic ampli,sense cap càlcul
QUÈ SE N’HA FET DELS CÀLCULS DE RIEMANN?
Geometria de Riemann – p.8/33
![Page 50: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/50.jpg)
Antecedent: Gauß i superfícies a l’espai
k1
k2
K = k1k2
R3
K curvatura de Gauß k1, k2 curvatures principals
Teorema Egregi
La curvatura de Gauß és invariant per isometries.
Geometria de Riemann – p.9/33
![Page 51: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/51.jpg)
Antecedent: Gauß i superfícies a l’espai
Teorema Egregi
La curvatura de Gauß és invariant per isometries.
Superfícies isomètriques
K ≡ 0Geometria de Riemann – p.9/33
![Page 52: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/52.jpg)
Què entem actualment per geometria de Riemann
En el tangent de cada punt, tenim un producte escalar.
u
v〈u, v〉
Geometria de Riemann – p.10/33
![Page 53: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/53.jpg)
Què entem actualment per geometria de Riemann
En el tangent de cada punt, tenim un producte escalar.
u
v〈u, v〉
En coordenades (x1, . . . , xn), gij(x) = 〈∂i, ∂j〉 ∂i = ∂∂xi
u = ui∂i
v = vj∂j
9
=
;
〈u, v〉 =P
uigij(x)vj = (u1 · · ·un)
0
B
B
B
@
g11(x) · · · g1n(x)
......
gn1(x) · · · gnn(x)
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
v1
...
vn
1
C
C
C
A
És un exemple de tensor
Geometria de Riemann – p.10/33
![Page 54: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/54.jpg)
Què entem actualment per geometria de Riemann
En coordenades (x1, . . . , xn), gij(x) = 〈∂i, ∂j〉 ∂i = ∂∂xi
u = ui∂i
v = vj∂j
9
=
;
〈u, v〉 =P
uigij(x)vj = (u1 · · ·un)
0
B
B
B
@
g11(x) · · · g1n(x)
......
gn1(x) · · · gnn(x)
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
v1
...
vn
1
C
C
C
A
Element de línia: ds =√∑
gijdxidxj L =∫
ds
Geometria de Riemann – p.10/33
![Page 55: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/55.jpg)
Què entem actualment per geometria de Riemann
En coordenades (x1, . . . , xn), gij(x) = 〈∂i, ∂j〉 ∂i = ∂∂xi
u = ui∂i
v = vj∂j
9
=
;
〈u, v〉 =P
uigij(x)vj = (u1 · · ·un)
0
B
B
B
@
g11(x) · · · g1n(x)
......
gn1(x) · · · gnn(x)
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
v1
...
vn
1
C
C
C
A
Element de línia: ds =√∑
gijdxidxj L =∫
ds
Curvatura de Riemann, de Ricci, escalar i seccional.Geometria de Riemann – p.10/33
![Page 56: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/56.jpg)
Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
Geometria de Riemann – p.11/33
![Page 57: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/57.jpg)
Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
Noció de magnitud de n graus d’extensió
Geometria de Riemann – p.11/33
![Page 58: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/58.jpg)
Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
Varietats de dimensió n
Geometria de Riemann – p.11/33
![Page 59: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/59.jpg)
Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
Varietats de dimensió n
Geometria Riemanniana
Geometria de Riemann – p.11/33
![Page 60: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/60.jpg)
Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
Varietats de dimensió n
Geometria Riemanniana
Aplicació a l’espai (físic)
Geometria de Riemann – p.11/33
![Page 61: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/61.jpg)
Part I: noció de varietat n dimensional
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Größe
• Riemann tenia clar que una varietat es localment homeomorfaa l’espai Euclidià.
Geometria de Riemann – p.12/33
![Page 62: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/62.jpg)
Part I: noció de varietat n dimensional
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Größe
• Riemann tenia clar que una varietat es localment homeomorfaa l’espai Euclidià.• Les varietats de dim n + 1 s’obtenen variant amb un paràmetre
les de dim n.
Geometria de Riemann – p.12/33
![Page 63: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/63.jpg)
Part I: noció de varietat n dimensional
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Größe
• Riemann tenia clar que una varietat es localment homeomorfaa l’espai Euclidià.• Les varietats de dim n + 1 s’obtenen variant amb un paràmetre
les de dim n.• Els conjunts de nivell de certes funcions són varietats d’una
dimensió menys. Això dóna les coordenades locals.
Geometria de Riemann – p.12/33
![Page 64: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/64.jpg)
Part I: noció de varietat n dimensional
I. Begriff einer nfach ausgedehnten Größe
• Riemann tenia clar que una varietat es localment homeomorfaa l’espai Euclidià.• Les varietats de dim n + 1 s’obtenen variant amb un paràmetre
les de dim n.• Els conjunts de nivell de certes funcions són varietats d’una
dimensió menys. Això dóna les coordenades locals.
Geometria de Riemann – p.12/33
![Page 65: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/65.jpg)
Part I: noció de varietat n dimensional
n coordenades locals.
..havent construit la noció de varietat
n-dimensional i donat que la seva característica
essencial és el fet que la posició es redueix a la
determinació de n valors numèrics,...
Geometria de Riemann – p.13/33
![Page 66: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/66.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
• Es restringeix a corbes en que “les raons de les quantitats delsdx varia continuament” (Classe C1 en llenguatge actual).
Geometria de Riemann – p.14/33
![Page 67: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/67.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
• Es restringeix a corbes en que “les raons de les quantitats delsdx varia continuament” (Classe C1 en llenguatge actual).
• La longitud d’una corba es la integral de l’element de línia ds:∫
γds
Geometria de Riemann – p.14/33
![Page 68: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/68.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
• Es restringeix a corbes en que “les raons de les quantitats delsdx varia continuament” (Classe C1 en llenguatge actual).
• La longitud d’una corba es la integral de l’element de línia ds:∫
γds
• L’expressió que proposa per un element de línia és l’actual:
ds =√
gij(x) dxidxj
Geometria de Riemann – p.14/33
![Page 69: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/69.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
• Es restringeix a corbes en que “les raons de les quantitats delsdx varia continuament” (Classe C1 en llenguatge actual).
• La longitud d’una corba es la integral de l’element de línia ds:∫
γds
• L’expressió que proposa per un element de línia és l’actual:
ds =√
gij(x) dxidxj
ds =l’arrel quadrada d’una funció sempre positiva,
homogènia de segon grau en les quantitats dx
i amb coeficients funcions de x.
Per l’espai amb coordenades rectilínies tenim ds =p
P
dx2,
l’espai és el cas més senzill.
Geometria de Riemann – p.14/33
![Page 70: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/70.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
Problema: Canvi de coordenades
• Dues mètriques gij(x) són equivalents si podem passar d’unaa l’altre per un canvi de coordenades.
• Varietats planes: Les que són equivalents a
ds =√
Σdx2i , (gij = δij)
Geometria de Riemann – p.15/33
![Page 71: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/71.jpg)
Part II: geometria de Riemann. 1. Element de línia
Problema: Canvi de coordenades
• Dues mètriques gij(x) són equivalents si podem passar d’unaa l’altre per un canvi de coordenades.
• Varietats planes: Les que són equivalents a
ds =√
Σdx2i , (gij = δij)
• Riemann veurà que la curvatura és una obstrucció a la platitud.
Geometria de Riemann – p.15/33
![Page 72: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/72.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 73: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/73.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 74: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/74.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 75: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/75.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 76: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/76.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 77: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/77.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 78: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/78.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 79: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/79.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 80: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/80.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 81: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/81.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 82: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/82.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 83: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/83.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 84: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/84.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 85: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/85.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 86: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/86.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 87: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/87.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 88: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/88.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 89: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/89.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 90: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/90.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 91: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/91.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 92: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/92.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 93: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/93.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 94: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/94.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 95: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/95.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 96: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/96.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 97: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/97.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 98: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/98.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 99: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/99.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 100: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/100.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 101: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/101.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 102: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/102.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Comencem escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Geometria de Riemann – p.16/33
![Page 103: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/103.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
• Coordenades geodèsiqes o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Coordenades normals←→ coordenades rectilínies del tangentGeometria de Riemann – p.17/33
![Page 104: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/104.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Riemann veu que en coordenades geodèsiques:
1. A l’origen ds2 val∑
(dxi)2 (és a dir, gij(0) = δij)2. No hi ha terme de primer ordre en la sèrie de Laurent.3. El de 2n ordre és combinació de (x1dx2 − x2dx1), (x1dx3 − x3dx1)
Geometria de Riemann – p.18/33
![Page 105: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/105.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
Riemann veu que en coordenades geodèsiques:
1. A l’origen ds2 val∑
(dxi)2 (és a dir, gij(0) = δij)2. No hi ha terme de primer ordre en la sèrie de Laurent.3. El de 2n ordre és combinació de (x1dx2 − x2dx1), (x1dx3 − x3dx1)
En llenguatge actual:
gij(x) = δij + 13Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
Riαβj = −Riαjβ = −Rαiβj = Rβjiα, Riαβj + Riβjα + Rijαβ = 0.
Aquests simetries equivalen a 3.
Riαβj = curvatura de Riemann
Geometria de Riemann – p.18/33
![Page 106: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/106.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 2. Curvatura
En coordenades geodèsiques:
gij(x) = δij +1
3Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
I Riemann troba la curvatura de Gauß K per superfícies:
K = R1212 = −R1221 = −R2112 = R2121
El factor 1/4 prové d’una normalització en els càlculs...
Geometria de Riemann – p.18/33
![Page 107: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/107.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 3 , 4 i 5
3. (Curvatura seccional): curvatura de superfícies que sónimatge per l’exponencial de plans.
4. En el cas de curvatura seccional constant α
ds =1
1 + α4 Σx2
i
√Σidx2
i
(Les coordenades no són geodèsiques)
Geometria de Riemann – p.19/33
![Page 108: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/108.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 3 , 4 i 5
4. En el cas de curvatura seccional constant α
ds =1
1 + α4 Σx2
i
√Σidx2
i
(Les coordenades no són geodèsiques)
Geometria de Riemann – p.19/33
![Page 109: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/109.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 3 , 4 i 5
4. En el cas de curvatura seccional constant α
ds =1
1 + α4 Σx2
i
√Σidx2
i
(Les coordenades no són geodèsiques)
gij =δij
(1 + α4 Σx2
i )2
= δij(1−α
2Σx2
i + O(|x|4))
Geometria de Riemann – p.19/33
![Page 110: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/110.jpg)
Part II: geometria de Riemann, 3 , 4 i 5
4. En el cas de curvatura seccional constant α
ds =1
1 + α4 Σx2
i
√Σidx2
i
(Les coordenades no són geodèsiques)5. Superfícies de curvatura constant
Geometria de Riemann – p.19/33
![Page 111: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/111.jpg)
Part III: aplicacions a l’espai
1 Com determinar la geometria de l’espai.Si és homogeni i isòtrop, té curvatura constanti utilitzem triangles per saber la curvatura.
2 Il·limitat i/o infinit (sense fontera i/o no compacte).Cas de curvatura constant positiva (ha de ser compacte).
3 Infinitament petit. Física.
Geometria de Riemann – p.20/33
![Page 112: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/112.jpg)
Tensors i connexions
Els tensors, les connexions i el transport paral·leldel llenguatge actual arriben amb
Christoffel Ricci-Curbastro Levi-Civita
1829-1900 1853 - 1925 1873 - 1941
Com a tensor, Riαβj = R(∂i, ∂α, ∂β , ∂j)
Geometria de Riemann – p.21/33
![Page 113: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/113.jpg)
Tensors i connexions
En coordenades geodèsiques:
gij(x) = δij +1
3Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
Riαβj = R(∂i, ∂α, ∂β , ∂j)
En general Si X, Y, Z, T són camps qualsevols, es defineix:
R(X, Y, Z, T ) = g(∇X∇Y Z −∇Y∇XZ +∇[X,Y ]Z, T )
Geometria de Riemann – p.21/33
![Page 114: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/114.jpg)
Curvatures en coordenades geodèsiques
En coord. geodèsiques: gij(x) = δij + 13Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
• Curvatura de Ricci (Té el mateix ordre que la mètrica gij):
Rij =∑
α,β
Rαiβj = −∑
α,β
Riαβj
• Curvatura escalar:
s =∑
i
Rii
• Curvatura seccional del pla de coordenades i i j:
Kij = Rijij
En coordenades no geodèsiques, les fòrmules són méscomplicades
Geometria de Riemann – p.22/33
![Page 115: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/115.jpg)
Equació d’Einstein
Rij −1
2s gij = Tij
Tij = tensor d’impulsió energiaRij = curvatura de Ricci, s = curvatura escalar
gij és una mètrica de Lorentz a l’espai temps(no es un producte escalar perquè té signatura (3,1))
Geometria de Riemann – p.23/33
![Page 116: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/116.jpg)
Comparació: curvatura seccional
Triangles en curvatura constant K.
K < 0 K = 0 K > 0
Geometria de Riemann – p.24/33
![Page 117: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/117.jpg)
Comparació: curvatura seccional
Triangles en curvatura constant K.
K < 0 K = 0 K > 0
Triangle ABC ; Triangle de comparació A′B′C′
a la superfície de curvatura constant κ
|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C′|, |CA| = |C′A′|
AB
C
A′
B′
C′
Geometria de Riemann – p.24/33
![Page 118: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/118.jpg)
Comparació: curvatura seccional
Triangle ABC ; Triangle de comparació A′B′C′
a la superfície de curvatura constant κ
|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C′|, |CA| = |C′A′|
AB
C
A′
B′
C′
Teorema de
Toponogov, 1959En una varietat de curvatura ≥ κ,
els angles de ABC ≥ angles de A′B′C′
Geometria de Riemann – p.24/33
![Page 119: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/119.jpg)
Comparació: curvatura de Ricci
B(p, r) = bola de centre p i radi r.v(n, κ, r) = volum de la bola de radi r a l’espai de curvatura constant κ
Rij i gij es poden comparar com a formes quadràtiques
Geometria de Riemann – p.25/33
![Page 120: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/120.jpg)
Comparació: curvatura de Ricci
B(p, r) = bola de centre p i radi r.v(n, κ, r) = volum de la bola de radi r a l’espai de curvatura constant κ
Rij i gij es poden comparar com a formes quadràtiques
Teorema Bishop-Cheeger-Gromov
(Mn, g) varietat completa, (Rij) ≥ (n− 1)κ(gij), aleshores
r 7→ vol B(p,r)v(n,κ,r)
és una funció no creixent que tendeix a 1 quan r → 0
Geometria de Riemann – p.25/33
![Page 121: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/121.jpg)
Comparació: curvatura de Ricci
B(p, r) = bola de centre p i radi r.v(n, κ, r) = volum de la bola de radi r a l’espai de curvatura constant κ
Rij i gij es poden comparar com a formes quadràtiques
Teorema Bishop-Cheeger-Gromov
(Mn, g) varietat completa, (Rij) ≥ (n− 1)κ(gij), aleshores
r 7→ vol B(p,r)v(n,κ,r)
és una funció no creixent que tendeix a 1 quan r → 0
Geometria de Riemann – p.25/33
![Page 122: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/122.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 123: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/123.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 124: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/124.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 125: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/125.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 126: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/126.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 127: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/127.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 128: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/128.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 129: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/129.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 130: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/130.jpg)
Topologia i curvatura positiva
Un exemple:
Teorema de Myers:
(Mn, g) Riemanniana completa
Si (Rij) ≥ (n− 1)c(gij) aleshores diam(Mn) ≤ π√c
En particular M es compacta amb π1(M) finit.
“Les geodèsiques s’ajunten en curvatura positiva”
Geometria de Riemann – p.26/33
![Page 131: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/131.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 132: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/132.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 133: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/133.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 134: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/134.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 135: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/135.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 136: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/136.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 137: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/137.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 138: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/138.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 139: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/139.jpg)
Topologia i curvatura negativa
Un exemple:
Teorema de Cartan-Hadamard:(M, g) Riemanniana completa
Si K ≤ 0 aleshores
L’aplicació exponencial TpM →M és un recobriment
El particular M̃ ∼= Rn i π1(M) infinit.
“les geodèsiques s’aparten en curvatura no positiva”
Geometria de Riemann – p.27/33
![Page 140: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/140.jpg)
Espais mètrics i teoria geomètrica de grups
Les propietats de comparació s’agafen com a
definició de curvatura ≥ κ o ≤ κ per a espais metrics.
Geometria de Riemann – p.28/33
![Page 141: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/141.jpg)
Espais mètrics i teoria geomètrica de grups
Les propietats de comparació s’agafen com a
definició de curvatura ≥ κ o ≤ κ per a espais metrics.
Un espai té curvatura ≤ 0 si els trianglessón més “prims” que els Euclidians de comparació
AB
C
A′
B′
C′
|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C′|, |CA| = |C′A′|.Comparem la distancia dels punts mitjos dels segments
Geometria de Riemann – p.28/33
![Page 142: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/142.jpg)
Espais mètrics i teoria geomètrica de grups
Les propietats de comparació s’agafen com a
definició de curvatura ≥ κ o ≤ κ per a espais metrics.
En teoria geomètrica de grups G = 〈γ1, . . . , γk | rj〉
Graf de Cayley Γ
Vèrtexs↔ elements de G
Arestes adjacents a 1↔ γi
Γ és un espai mètric (arestes de longitud 1).
Propietats algebraiques de G↔ Propietats de curvatura de Γ
Geometria de Riemann – p.28/33
![Page 143: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/143.jpg)
Espais mètrics i teoria geomètrica de grups
Graf de Cayley de 〈a, b, c | a2 = b2 = c2 = (ab)2 = (bc)3 = (ca)7〉
És un exemple de grup hiperbòlic (curvatura < δ < 0).
Geometria de Riemann – p.28/33
![Page 144: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/144.jpg)
Flux de Ricci (Hamilton 1982)
∂gij
∂t= −2Rij
• En coordenades geodèsiques:
gij(x) = δij +1
3Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
Rij =∑
α,β
Rαiβj = −∑
α,β
Riαβj = −∆gij(0)
No és una equació de difussió perquè només és laplacià en un punt...
Geometria de Riemann – p.29/33
![Page 145: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/145.jpg)
Flux de Ricci (Hamilton 1982)
∂gij
∂t= −2Rij
• En coordenades harmòniques {xi}, ∆xi = 0.
∂gij
∂t= ∆(gij) + Qij(g
−1,∂g
∂x)
on
∆(gij) = laplacià de la funció escalar gij
Qij = expressió quadràtica
És una equació de difussió-reacció.
Geometria de Riemann – p.29/33
![Page 146: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/146.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposición canònica: suma conexa de Knesser (1929)i tors de Jaco-Shalen i Johannson (1979).
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.
Geometria de Riemann – p.30/33
![Page 147: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/147.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposición canònica: suma conexa de Knesser (1929)i tors de Jaco-Shalen i Johannson (1979).
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.
• A princips dels 1980, Hamilton l’havia demostrada quan (Rij) ≥ 0.i desenvolupà un programa per demostrar-la en general.
Geometria de Riemann – p.30/33
![Page 148: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/148.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposición canònica: suma conexa de Knesser (1929)i tors de Jaco-Shalen i Johannson (1979).
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.
• A princips dels 1980, Hamilton l’havia demostrada quan (Rij) ≥ 0.i desenvolupà un programa per demostrar-la en general.
• Heurística del programa de Hamilton:Com que l’equació del flux de Ricci és de difussió-reacció,“O bé g(t) convergeix a una mètrica loc. homogènia o bé creasingularitats corresponent a la descomposició canònica".
Geometria de Riemann – p.30/33
![Page 149: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/149.jpg)
Singularitats
• Exemple S3 amb un “coll":
S2×I
coll
Geometria de Riemann – p.31/33
![Page 150: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/150.jpg)
Singularitats
• Exemple S3 amb un “coll":
S2×I
coll
Geometria de Riemann – p.31/33
![Page 151: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/151.jpg)
Singularitats
• Exemple S3 amb un “coll":
S2×I
coll
• Aquesta singularitat hauria de correspondre a una suma connexa.
• Hamilton (ningú) no sabia controlar el radi d’injectivitat.
• Perelman 2002: introdueix noves idees i el controla.Completa el programa el 2003, que ara ja està acceptat.
Geometria de Riemann – p.31/33
![Page 152: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/152.jpg)
Hamilton i Perelmann ( TOTALMENT APÒCRIF )
Geometria de Riemann – p.32/33
![Page 153: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/153.jpg)
Hamilton i Perelmann ( TOTALMENT APÒCRIF )
Ho he resolt!Soc el millor,evidentment.
Geometria de Riemann – p.32/33
![Page 154: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/154.jpg)
Hamilton i Perelmann ( TOTALMENT APÒCRIF )
Ho he resolt!Soc el millor,evidentment.
Em retiraré
per ser més famós, i
sortir al Buenafuente
Geometria de Riemann – p.32/33
![Page 155: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/155.jpg)
Hamilton i Perelmann ( TOTALMENT APÒCRIF )
Geometria...?Ho provaré ambels meus mètodes
Ho he resolt!Soc el millor,evidentment.
Em retiraré
per ser més famós, i
sortir al Buenafuente
Geometria de Riemann – p.32/33
![Page 156: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/156.jpg)
Hamilton i Perelmann ( TOTALMENT APÒCRIF )
Geometria...?Ho provaré ambels meus mètodes
Ho he resolt!Soc el millor,evidentment.
Em retiraré
per ser més famós, i
sortir al Buenafuente
Que difícil, sense
Riemanniana, abans arri-
ba l’AVE a França
Geometria de Riemann – p.32/33
![Page 157: Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer …Geometria de Riemann Joan Porti (UAB) Jornada Riemann FME – UPC 20 de febrer de 2008 Geometria de Riemann – p.1/33](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022120/5e8795ea4cbf42287837cba4/html5/thumbnails/157.jpg)
Crèdits
Gràcies a l’Eva Mirandaper la col·laboració amb els còmics!
Geometria de Riemann – p.33/33