joan carles martori ([email protected]) · 2013. 11. 20. · s'observa que la distribució...
TRANSCRIPT
Psicologia
Departament de Psicologia
.
Psicometria
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Joan Carles Martori ([email protected])
UVIC 2 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Introducció
En aquest Tema estudiarem el tractament de les dades unidimensionals, és ad ir el
trctament d’una sola variable.
En primer lloc veurem diferens maneres de presentar les dades, en forma de taula o en
forma de gràfic.
En segon lloc veurem els principals instruments per resumir i descirure el comporatmet de
la variable.
UVIC 3 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Continguts
Tema 2. Distribucions Unidimensionals
2.1. Distribució de freqüències
Freqüència absoluta d’un valor xi : és el nombre de vegades que és repeteix cada valor
de la variable xi i es simbolitza per ni
n1 + n2 + n3 + ... + nn = N ( Nombre total d’observacions)
Nnn
ii
1
Freqüència relativa d’un valor xi : és igual a la freqüència absoluta dividit pel nombre total
d’observacions, es simbolitza per fi
f1 + f2 + f3 + ... + fn = 1
11
n
iif ;
N
nf i
i
Freqüència absoluta acumulada d’un valor xi : és la suma de les freqüències absolutes
dels valors anteriors i igual al valor considerat; es simbolitza per Ni
Ni = n1 + n2 +n3 + ... + ni
Nn = N
Freqüència relativa acumulada d’un valor xi : és la suma de les freqüències relatives
dels valors anteriors i igual al valor considerat; es simbolitza per Fi
Fi = f1 + f2 +f3 + ... + fi
Fn = 1
N
NF i
i
UVIC 4 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Exemple:
El sou mensual de 20 persones és el següent:
Sou € (xi) ni fi Ni Fi
700
800
1000
1200
1300
2000
4
3
4
6
2
1
0,2
0,15
0,2
0,3
0,1
0,05
4
7
11
17
19
20
0,2
0,35
0,55
0,85
0,95
1
N = 20 1
2.2. Tipus de distribucions estadístiques
Distribucions tipus I: Es dóna quan hi ha pocs valors de la variable i no es repeteixen.
Exemple: Edat dels fills d’una parella ( sempre que no hi hagin bessons o trigèmins)
Distribucions tipus II: Es dóna quan hi ha pocs valors de la variable però es repeteixen.
Exemple: Un comerciant ha venut 200 camises de les talles 38, 39, 40 i 41, corresponent a
cada talla una venda de 40, 60, 75 i 25 peces.
Distribucions tipus III: Es dóna quan hi ha molts valors de la variable i es repeteixen. Al tenir
molts valors s’agrupen en intervals d’igual o diferent amplitud. El punt mig de cada interval
s’anomena marca de classe i es representa per “ci” , així transformem una distribució tipus
III en una distribució tipus II.
2
1 iii
LLc
; ai = amplitud de l’interval = 1 ii LL
On 1iL és el valor mínim de l’interval
iL és el valor màxim de l’interval
Exemple: les puntuacions en un test de 1.000 persones
UVIC 5 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Li-1 - Li ni ci fi Ni Fi
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
22-24
24-26
26-28
28-30
12
18
91
182
239
321
97
25
9
6
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
0,012
0,018
0,091
.
.
.
.
.
.
.
12
30
121
.
.
.
.
.
.
.
0,012
0,03
0,121
.
.
.
.
.
.
.
N = 1.000 1
2.3. Representacions gràfiques
Les representacions gràfiques més usuals són:
Si la variable té caràcter quantitatiu:
Diagrama de barres.
Histograma.
Gràfic de Caixa i bigotis.
Si la variable té caràcter qualitatiu:
Sector circular.
Gràfica de barres.
UVIC 6 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Diagrama de barres: en uns eixos de coordenades col·loquem les valors de la variable en
l’eix d’abscisses i en el d’ordenades les freqüències.
Exemple:
Xi ni
18
19
20
22
10
5
15
7
N = 37
Edats des alumnes
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18 19 20 22
Edat
Fre
qü
èn
cia
Histograma: S’utilitza en distribucions estadístiques del tipus III; és a dir distribucions en
intervals. Diferenciem dos tipus:
a) Si les amplituds dels intervals són constants, dibuixarem rectangles de base igual a
l’amplitud i alçada igual a la freqüència. Exemple:
UVIC 7 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Li-1 - Li ni
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
2
3
5
6
3
xi
1210864
Fre
cu
en
cia
6
5
4
3
2
1
0
Casos ponderados por ni
Media =8,53Desviación típica =2,48
N =19
b) Si les amplituds dels intervals són diferents, es dibuixen rectangles de base igual a
l’amplitud i l’alçada serà
i
ii
a
nh . D’aquesta manera les àrees seran igual a les
freqüències. Exemple:
UVIC 8 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Li-1 - Li ni ai hi
3-7
7-11
11-21
21-24
3
5
7
4
4
4
10
3
0,75
1,25
0,7
1,3
Gràfic de Caixa i bigotis
Tipus de gràfic, basat en els quartils, amb informació sobre la dispersió de la distribució, la
simetria i especialment sensible en detectar casos extrems o atípics (valors estremadament
alts o baixos respecte els valors centrals, que poden distorsionar l’anàlisi). Consisteix en
una caixa rectangular central (que mostra el 50% de les dades), amb uns bigotis ( o
patilles) que indiquen la dispersió de la distribució. Tipus de gràfic molt útil per comparar
diferents distribucions.
Exemple 1: en una enquesta feta a 105 famílies, el diagrama de caixa i bigotis del nombre
de fills per família té la següent expressió:
10 5N =
Nombre de fills
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
5
6
7
S'observa que la distribució és asimètrica a l'esquerra en la seva part central. A més, es
considera atípica un família que tingui 4 fills, i molt atípica, una família amb 5 o 6 fills.
Exemple 2. En el següent gràfic s'analitza l'edat dels 1847 votants en unes eleccions
municipals en funció del sexe i les preferències per un dels dos candidats a alcalde.
UVIC 9 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
12 767 7 47 856 5N =
VOT
Candidat BCandidat A
ED
AT
100
80
60
40
20
0
SEXE
dona
home
17 1512 62
12 2515 3818 331 110 9224 126 999 1
21 7
S'observa que la distribució d'edats dels votants del candidat B és semblant per les dones i
els homes. En canvi, en els votants del candidat A, els homes són, en general, més grans
que les dones. També s'observa que els votants del candidat B tenen, clarament, més edat
que els votants del candidat A. El 75% dels votants del candidat B supera els 50 anys
d'edat i, a més, els votants de 20 anys es consideren atípics.
Sector Circular. És un cercle dividit en sectors on cada sector representa el
percentatge del total que correspon a cada atribut. Exemple: companyies utilitzades
per un individu en 30 vitages.
Companyia ni
Lufthansa
Alitalia
Air-France
Iberia
8
3
7
12
UVIC 10 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Venda de bitllets d'avió
Lufthansa
27%
Iberia
40%
Air-France
23%
Alitalia
10%
Gràfica de barres.
Exemple: Comarca de procedència dels estudiants de primer curs:
Procedència ni
Osona
Com.properes Os.
Barcelonès
Altres
10
30
42
15
Procedència dels estudiants
0 10 20 30 40 50
Osona
Barcelonès
Com.properes
Osona
Altres
UVIC 11 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
2.4. Mesures de posició o tendència Central
Ara veurem una sèrie de mesures que consisteixen en substituir la taula estadística per uns
nombres que mesuren les característiques més importants de la distribució. Aquestes
mesures són:
Mitjana aritmètica.
Mediana.
Moda
Mitjana aritmètica ( X ): es defineix com la suma de tots els valors de la
distribució dividida pel nombre total d’observacions.
N
x
X
n
i
i 1
Si hi ha freqüències: N
nx
X
n
i
ii 1
*
Si treballem amb intervals: N
nc
X
n
i
ii 1
*
Exemples: Edat dels pacients:
xi ni xi ni
18
20
22
23
10
15
20
7
180
300
440
161
N = 52 1081
anysanysX 2178,2052
1081
UVIC 12 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Hores d’estudi setmanal dels alumnes:
Li-1 - Li ni ci ci ni
3-5
5-9
9-11
11-13
13-15
3
5
10
4
2
4
7
10
12
14
12
35
100
48
28
N = 24 223
horesX 29,924
223
Propietats de la mitjana aritmètica:
1. La suma de les desviacions dels valors de la variable respecte de la mitjana és zero.
0).(1
i
n
i
i nxx
2. Si a tots els valors de la distribució els hi sumem ( o restem) una constant k, aleshores la
mitjana resultant serà la suma ( o la resta) de la mitjana inicial més la constant k.
( xi , ni ) x
( x’i , ni ) = ( xi + k, ni ) kxx '
3. Si tots els valors de la variable els multipliquem ( o dividim) per una constant k, la nova
mitjana quedarà multiplicada ( o dividida) per aquesta constant
( xi , ni ) x
( x’i , ni ) = ( xi . k, ni ) kxx .'
Observació: quan existeixen un o varis valors clarament alts o baixos respecte de la resta, la
mitjana aritmètica s’altera molt i perd representativitat; és molt sensible als valors extrems. En
aquest cas és millor utilitzar la mediana, que veurem més endavant.
UVIC 13 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Mitjana aritmètica ponderada: Quan tots els valors de la variable no tenen la mateixa
importància, la mitjana aritmètica es calcula multiplicant a cada valor de la variable per un factor (
pes) que es representa per wi.
n
i
i
n
i
ii
w
wx
X
1
1
*
Exemple: Notes dels exàmens:
xi : 6,5,7,3,6 25,5x
wi : 1,2,2,2,1
Mediana: (Me ) : és aquell valor de la distribució (ordenada sempre de menor a major) que deixa a
la seva esquerra i a la seva dreta el mateix nombre de freqüències, és a dir el valor que ocupa el
lloc central, suposant un nombre parell de dades. Si el nombre de dades és parell la mediana és la
mitjana aritmètica dels dos valors centrals.
Exemples:
1. xi : 2,5,,6,8,11,15,18 Me = 8
2. xi : 2,5,,6,8,11,15 Me = (6+8 ) / 2 = 7
Si treballem amb freqüències la Me serà aquell valor x tal que N 2
N però, si N =
2
N
aleshores la Me serà: Me = 2
1 ii xx
UVIC 14 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Exemples:
xi ni Ni
3
4
5
6
10
6
4
8
10
16
20
28
Me = 4
N = 28
xi ni Ni
2
3
4
5
6
5
3
2
6
4
5
8
10
16
20
Me = 4,5
N = 20
En una distribució tipus III la Mediana serà:
i
i
ii a
n
NNLMe *
2/ 11
on Li-1 és el primer interval tal que Ni> N/2
UVIC 15 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Li-1 - Li ni Ni
15-20
20-25
25-35
35-50
50-65
65-100
3
5
7
10
12
16
3
8
15
25
37
53
N = 53
Me = 51,875
Moda: ( Mo ) : és el valor de la variable que és repeteix més vegades, és a dir, aquell valor de
més freqüència. En una distribució tipus I no hi ha Moda. En una distribució hi pot haver més
d’una moda ( bimodal, trimodal....)
xi ni
1
2
5
7
3
7
4
2
Mo = 2
Per calcular la Mo en distribucions tipus III hem de diferenciar:
Si els intervals són d’amplitud constant: La Mo es trobarà en l’interval de màxima
freqüència.
i
ii
i
i ann
nLMo *
11
1
1
UVIC 16 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Si els intervals són d’amplitud diferent: La Mo es trobarà en l’interval de màxima altura (
i
ii
a
nh )
i
ii
i
i ahh
hLMo *
11
1
1
Exemples:
Li-1 - Li ni
0-25
25-50
50-75
75-100
20
40
100
60
Mo = 65
Li-1 - Li ni ai hi
0-25
25-50
50-100
100-150
150-200
20
140
180
40
20
25
25
50
50
50
0,8
5,6
3,6
0,8
0,4
Mo = 45,45
UVIC 17 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
2.5. Mesures de posició no centrades
Són mesures de posició semblants a la mediana però que divideixen la distribució amb més
de dues parts iguals.
Quartils ( Qr)
Decils (Dr )
Centils o Percentils ( Cr )
Quartils : Són tres valors que divideixen la distribució en 4 parts iguals.
Si treballem sense intervals:
Q1 és el valor xi tal que 4
NN i
Q2 és el valor xi tal que 2
NN i
Q3 és el valor xi tal que 4
3NN i
Si treballem amb intervals:
i
i
ii a
n
NNrLQr *
4/* 11
r : 1, 2,3
on 1iL és l’interval tal que Ni > r*N/4
Decils: Són 9 valors que divideixen la distribució en 10 parts iguals, és a dir, en 10 intervals
estan inclosos el 10% dels valors de la distribució:
Si treballem sense intervals:
D1 és el valor xi tal que 10
NN i
D2 és el valor xi tal que 10
2NN i
D9 és el valor xi tal que 10
9NN i
Si treballem amb intervals:
i
i
ii a
n
NNrLDr *
10/* 11
r : 1,2......9
on 1iL és l’interval tal que Ni > r*N/10
Centils o Percentils: Són aquells valors de la distribució que la divideixen en 100 parts iguals,
per tant, hi haurà 99 centils.
UVIC 18 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Si treballem sense intervals:
C1 és el valor xi tal que 100
NN i
C2 és el valor xi tal que 100
2NN i
C99 és el valor xi tal que 100
99NN i
Si treballem amb intervals:
i
i
ii a
n
NNrLCr *
100/* 11
r : 1,2......99
on 1iL és l’interval tal que Ni > r*N/100
2.6. Mesures de dispersió
Les mesures de dispersió tracten de mesurar quina és la variabilitat de les dades respecte
la mesura de posició central que les representa. A més dispersió menys representativitat de
la mesura de posició central. Aquestes mesures poden ser:
Absolutes: Depenen de les unitats de mesura:
Recorregut
Rang interquartil
Variància
Desviació tipus (tipica o estàndard)
Relatives: estan definides per un quocient i no depenen de les unitats de mesura
Coeficient de variació de Pearson
Recorregut ( R) : és la diferència entre el valor més gran i més petit de la distribució,
R = xn – x1
Rang Interquartil (IQR) : ens expressa la diferència entre els valors extrems del 50% de
les dades.
IQR = Q3 – Q1
Variància: (Sx2 ) :és la mitjana aritmètica dels quadrats de les desviacions dels valors de
la distribució respecte de la mitjana aritmètica.
UVIC 19 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
21
2
2
*
XN
nx
S
n
i
ii
Desviació tipus ( Sx ) : és l’arrel quadrada de la variància
2SS
Propietats de la variància i la desviació tipus
1. La variància mai pot ser negativa.
2. Si sumem ( o restem) una constant a tots els valors de la distribució ni la variància ni
la desviació tipus varien.
( xi , ni ) xx SS ,2 '22
xx SS
( x’i , ni ) = ( xi + k, ni ) ','2
xx SS 'xx SS
3. Si tots els valors de la variable els multipliquem per una constant k, la nova variància
quedarà multiplicada pel quadrat d’aquesta constant i la desviació típica només
multiplicada per la constant.
( xi , ni ) xx SS ,2 222 .' xx SkS
( x’i , ni ) = ( xi. .k, ni ) ','2
xx SS xx SkS .'
Coeficient de Variació de Pearson (Vx ) : Per resoldre el problema de comparació de
mitjanes aritmètiques de dues distribucions que poden ser en unitats diferents i en les que
les mitjanes no siguin iguals, s’utilitza el coeficient de Variació de Pearson.
Vx : és el quocient entre la desviació tipus i la mitjana aritmètica, expressat en percentatge.
100*X
SV Si Vx=0 No hi ha dispersió
Vx més baix Menys dispersió Mitjana més representativa
Vx més alt Més dispersió Mitjana menys representativa
UVIC 20 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Exercicis
1. Les edats de 80 alumnes de 1er curs d'una universitat són:
18 19 20 18 19 20 18 21 19 23 24 25 22 18 19 20 29 21 20 18 20 20 18 19 19 19 22 21 22 21 19 19 19 19 20 18 18 19 22 30 21 20 19 19 18 19 21 20 18 19 19 20 20 21 22 19 28 19 22 23 24 23 21 20 21 24 27 23 21 19 20 25 22 24 23 19 18 22 21 25
Construïu una taula de freqüències i contesteu les següents preguntes:
a) Quants alumnes tenen més de 20 anys? b) Quants alumnes tenen entre 19 i 21 anys? c) Quin percentatge d'alumnes té 18 anys? d) Quin percentatge d'alumnes té menys de 22 anys? e) Quin percentatge d'alumnes supera els 25 anys?
2. Els pesos en quilograms de cadascun dels alumnes de l'exercici anterior són:
59 47 61 60 56 61 53 53 56 74 71 67 60 57 53 61 71 65 51 62 56 62 52 68 67 53 63 60 61 54 58 64 64 61 66 60 66 48 69 76 73 63 61 73 65 57 72 63 67 60 69 65 67 72 69 68 76 68 71 71 72 66 72 61 65 81 71 75 65 68 60 70 63 68 65 65 71 62 71 70
Agrupeu les dades en intervals d'una amplitud de 5 quilograms, començant pel valor
45, i construïu la taula de freqüències. Dibuixeu l'histograma de freqüències. Si els 40
primers alumnes són dones i els 40 restants homes, dibuixeu l'histograma per a cada
grup. Que s'observa clarament?
3. Les qualificacions obtingudes en l'assignatura d'estadística han estat:
A N N S E NP NP N S N N A S S A E
A E N S S A NP NP NP A A N E N N N
A S A E NP E A N S S A A A A N S
S A A N NP E S E A N N A N A S S
S A A N A NP NP A A A A NP N NP NP A
Representeu gràficament aquesta informació. Determineu quin és el percentatge de no
presentats (NP), de suspensos (S), i dels que varen superar l’examen (A,N,E).
4. En la següent taula de freqüències completeu la informació que hi falta tenint en compte que l'extrem final de cada interval coincideix amb l'inici del següent:
UVIC 21 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Li-1 - Li ni Ni fi Fi ai ci hi
0,25 2
3- 17 0,425 4
16 4
40 11
5. Calculeu la mitjana, la mediana, la moda, els quartils i la desviació típica de les dades dels exercicis 1 i 2.
6. La distribució d’edats en una unitat hospitalària al llarg de l’últim any ha estat la següent:
Edats
Nº de dies
0-3 3-6 6-9
9-12 12-15 15-18 18-21
92 26 25 19 15 35 83
Trobeu la mitjana aritmètica, mediana, moda i percentil 80, interpretant el significat de cadascun dels valors obtinguts.
7. El nombre d'unitats d'un determinat producte adquirides anualment per 110 consumidors entrevistats es distribueix de la manera següent:
Nombre d'unitats
Nombre de Consumidors
20-30 30-40 40-50 50-60
60-100
25 20 35 15 15
a) Quin és el nombre mínim d'unitats adquirides pel 25% de consumidors que més unitats adquireixen?
b) Quin és el nombre màxim d'unitats adquirides pel 15% de consumidors que menys unitats adquireixen?
c) Quin és el nombre d'unitats anuals que amb més freqüència s'ha adquirit per els consumidors?
UVIC 22 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
8. Trobeu la mediana de les següents dades:
4,1, 5,4, 2,3, 3,8, 1,4, 6,6, 3,2, 1,9, 2,5, 7,1, 3,3, 4,2, 6,1, 4,9, 2, 5,1
a) Sumeu 10 a cada observació i torneu a calcular la mediana. Què observeu? b) Multipliqueu per 10 totes les dades originals i torneu a calcular la mediana. Què
observeu? c) Afegiu una observació amb valor 20 a les dades originals i torneu a calcular la
mediana. Ha canviat gaire? I si a més, hi afegim una observació amb valor 30?
9. En un estudi social estem analitzant com està organitzada una empresa que té 2 factories. Les seves distribucions de salaris són:
Salaris (€ / mes)
Factoria A (nombre de treballadors)
Factoria B (nombre de treballadors)
600-800 800-1000
1000-1200 1200-1400
5 13 15 7
2 10 8 5
a) Quina factoria té un salari mitjà més representatiu? b) Quin és el salari mínim que cobren els treballadors de la factoria A, per a
considerar-se entre el 20% que més cobren?
10. Les distribucions de les puntuacions en una prova psicotècnica que es va fer als executius d'una important companyia telefònica van ser:
Filial Nord-americana
Puntuacions 20 30 40 50 60
Nombre d'executius
5 15 10 5 5
Filial Europea
Puntuacions 40 50 60 70 80
Nombre d'executius
5 15 10 5 5
a) Quina de les dues distribucions presenta menys dispersió absoluta al voltant de la mitjana?
b) Quina de les dues distribucions presenta menys dispersió relativa al voltant de la mitjana?
11. En una enquesta feta a 215 famílies aquestes es classifiquen segons unes determinades característiques en famílies tipus A i famílies tipus B. El nombre de fills per família es distribueix de la següent manera:
UVIC 23 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Nombre de fills
Famílies tipus A
Famílies tipus B
0 30 5
1 40 45
2 25 30
3 10 15
4 3 5
5 1 2
6 1 3
Es demana:
a) En quin tipus de família el nombre de fills presenta més dispersió relativa? Com ho interpreteu?
b) En les famílies tipus A, quin percentatge de famílies tenen menys de 3 fills? c) En les famílies tipus B, quants fills ha de tenir com a mínim una família per a que
es pugui considerar en el grup del 25% de les famílies amb més fills? d) En les 215 famílies conjuntament, quan val la mediana? Com s'interpreta? e) Quants fills tenen en total aquestes 215 famílies?
Solucionari
1. a) 35 b) 45 c) 13,75% d) 70% e) 5%
5. Exercici 1: Mitjana: 20,8; Mediana: 20; Moda: 19; 1rQuartil: 19; 2nQuatil: 20; 3rQuartil: 22; Desviació: 2,58
Exercici 2: Mitjana: 64; Mediana: 63,91; Moda: 62,83; 1rQuartil: 59,23; 2nQuatil: 63,91; 3rQuartil:
69,41; Desviació: 7,13
6. Mitjana: 10.306,78€; Mediana: 9.710,53€; Moda: 0-3000€; Percentil 80: 18.867,47€
7. a) 51,6 b) 20-30 c) 44,29
8. Mediana: 3,95
9. a) La Factoria B b) 1186,6€
10. a) Totes dues presenten la mateixa dispersió absoluta. b) La filial europea presenta menys dispersió relativa. 11. a) Les famílies tipus A presenten més dispersió relativa.
b) 86,36% c) 2 d) 1 e) 341
Problemes Resolts
1. Una empresa en expansió necessita contractar 100 nous venedors. Per tal de dur a terme la selecció dels aspirants s'han realitzat unes proves, a partir de les quals s'ha obtingut la taula següent, que recull les qualificacions dels candidats:
UVIC 24 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Qualificació Nre. candidats
0-5
5-6
6-9
9-10
50
40
90
20
a) Quin gràfic seria adequat per representar aquesta distribució de freqüències? b) Quina és la qualificació mitjana dels aspirants? c) Quina serà la qualificació mínima necessària per estar entre els seleccionats? d) Un candidat ha obtingut una qualificació de 7,5 i insisteix a dir que es troba entre el 25%
millor classificat. Té raó? Justifica la resposta.
SOLUCIÓ
a) Com la variable és quantitativa contínua, el millor gràfic serà un histograma de freqüències.
b) Cal calcular la mitjana a partir de la marca de classe (xi) dels intervals:
puntsxnn
X ii 05,6200
12101
c) Coincideix amb la mediana, ja que hi ha 200 candidats. La mediana es troba a l’interval [6-9):
puntscn
NN
LMe i
i
i
i 33,6390
9010062
1
1
d) Cal trobar el percentil 75 o tercer quartil. Aquest es troba ubicat a l’interval [6-9):
punts8390
901506c
n
N4
N3
LQ i
i
1i
1i3
Per tant, el candidat no té raó. No es troba entre el 25% millor classificat.
2. La taula adjunta representa les notes d’Estadística obtingudes per 100 alumnes
Qualificacions Freqüència absoluta Freqüència relativa
Suspensos - 0.05
UVIC 25 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
Aprovats 65 -
Notables 20 -
Excel·lents - -
Quines són les freqüències absolutes de suspensos i excel·lents ?
a) suspensos = 10 i excel·lents = 5 b) suspensos = 5 i excel·lents = 10 c) suspensos = 10 i excel·lents = 10 d) no es pot saber
3. La següent taula recull la distribució del temps (en minuts) d’atenció als malalts d’un
centre d’assistència primària per part dels facultatius que hi treballen, calculada a partir
d’una mostra de 200 consultes:
Temps 0-10 10-20 20-30 30-40
Freqüència 60 90 40 ?
a) Calculeu mediana i mitjana. b) Calculeu la variància i el coeficient de variació. Què mesura aquest segon? c) Si el temps s'expressés en hores, quins serien els valors de la mitjana i la variància
de la nova distribució? d) Per sobre de quin temps es troba el 10% de les visites més llargues?
a) (1Q=8.33; Mediana=19.44; 3Q=25) Efectivament:
33.8)10*60
050(01
Q 44.14)10*
90
60100(10
Mediana
15200
3000
200
)10*35()40*25()90*15()60*5(
X
La proximitat dels estadístics mitjana i mediana indica que la distribució és bastant
simètrica.
b)
70200
4000400006000
200
10*)1535(40*)1525(90*)1515(60*)155(
1
)( 22222
2
n
nXXS
ii
557773.015
70
X
SCV
El coeficient de variació és una mesura relativa de la dispersió d’una distribució.
UVIC 26 Grau de Psicologia
Tema 2. Distribucions unidimensionals
c) La mitjana quedaria dividida per 60 i la variància dividida pel quadrat d’aquesta constant (3600).
d) 5.27)10*40
150180(2090
P
4. D’un conjunt de dades hem obtingut la mitjana aritmètica, la desviació estàndard i la
mediana. Els seus valors respectius han estat: 8, 1.60 i 7. Si a cadascuna de les dades
li sumem el valor 2, quan valen la mitjana, desviació estàndard i mediana.
10, 1,60, 9
5. Quina de les següents distribucions té una mitjana aritmètica més
representativa?Justifica la teva resposta.
a) =10 i Sx=100
b) =1000 i Sx=100
c) =10 i Sx=1000
d) =100 i Sx=100
6. Els següents diagrames de caixa i bigotis mostren com s'han distribuït les
notes de 4 grups d'estadística. Justifica la teva resposta.
a) En quin grup ha aprovat més del 50% dels alumnes? A b) Quin grup presenta més variabilitat en les notes més baixes? A c) Quin grup té més dispersió en termes de rang interquatil? C d) Quin grup té menys variabilitat en les notes altes ? D