jheickson noguera, analisis de señales forier
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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Asignación de Análisis de Señales
NOMBRE Y APELLIDO Jheickson Romario Noguera Torin CEDULA: v.22.313.717
PARTE I
1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a ≠ 0 es una función periódica con período T/a ∗ Una señal 𝑓(𝑡) es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 ± 𝑇) para todos los
valores de 𝑇 . En otras palabras, una señal periódica tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento en el tiempo.
Por teoría sabemos que para 𝑓(𝑎𝑡) si a esta 0 < 𝑎 < 1 la función se ensancha en su periodo pero si 𝑎 > 1 la función se comprime dependiendo
del número que tenga 𝑎 .
Como la señal es periódica con periodo 𝑡 y tomando el teorema ∗ podemos decir
Aca podemos observar que la señal se repite cada
(periodo)
2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de período T para cualquier valor positivo de T, Sabemos que 𝑓(𝑡) = 𝑐 , donde c es ctte.
Por teorema conocemos que una función es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) este caso se cumple para una función constante ya que para cualquier valor de T la función 𝑓(𝑡 + 𝑇) valdrá el mismo valor. 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que
También es periódica con periodo T Esta integral, tiene un parecido al valor promedio de una señal f(t) la cual es la componenete DC de una señal f(t) viene expresada por:
Solo que T=2ª y el intervalo de integración va de t-a a t+a
Claramente se puede observar que también tiene periodo T.
PARTE II
1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para – π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).
Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis tenemos que:
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
Por propiedad:
Para el valor medio de la señal
Para K=1
Para K=2
Para K=3
Para K=4
Para K=5
Graficando Ak obtenemos
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:
Por propiedad sin(wt)=
2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo
(- π, π) y f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 2).
Estamos en presencia de una señal periódica
Por la ecuación de análisis tenemos que:
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
Resolviendo la integral
Así, sustituyendo el valor de a se tiene que
Por propiedad
Para el valor medio de la señal
Para K=1
Para K=-1
Para K=2
Para k=3
Para K=4
Graficando Ak se obtiene
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:
Por propiedad
3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo
(- π, π) y f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 3).
Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis, se tiene que
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
Resolviendo la integral
Obtenemos así, la solución de la integral
Por propiedad
Para el valor medio de la señal
Para K=1
Para K=-1
Para k= 2
Para k=--2
Para k=3
Para k=-3
Graficando Ak obtenemos
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:
Por propiedad