JG, UiO

17.11.2020

Mek2200. Oppgave om skalering av Navier-Stokes ligning (bokas kap. 10.4) og dy-namisk similaritet (bokas kap. 17).

Oppgave 1. Skriv opp Navier-Stokes ligning der tyngdekraften er tatt med.

Oppgave 2. La L være lengdeskala, U være hastighetsskala og L/U tidsskala.

a) Multipliser Navier-Stokes ligning med L/U2. Innfør dimensjonsløse koordinater,hastigheter og trykk. Skriv ligningen pa dimensjonsløs form. Innfør Reynoldstallet ogFroudetallet.

b) Hva uttrykker Reynoldstallet?

c) Hvilken fysisk dimensjon har den kinematiske viskositetskoeffisienten ν?

d) Hva uttrykker Froudetallet?

Oppgave 3. En horisontal plate langs x-aksen svinger med hastighet (U(t) = U0 cos(ωt)der ω er frekvens (og U0 er en reell hastighet). Over plata, dvs. for y > 0 ligger et lagmed fluid.

a) Anta at hastigheten i fluidet er pa formen v = u(y, t)i. Vis hvordan man kan kommefram til at bevegelsen tilfredsstiller:

∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2. (1)

b) Formuler kinematisk randbetingelse ved y = 0. Formuler kinematisk randbetingelsefor y →∞, nar vi antar at bevegelsen dør ut i det fjerne.

c) La U0 være hastighetsskala, 1/ω tidsskala, og (ν/ω)1/2 lengdeskala. Innfør dimen-sjonsløs tid, hastighet og lengde. Vis hvordan man kan komme fram til at ligningenmed randbetingelser kan skrives:

∂u∗

∂t∗=∂2u∗

∂y∗2, (2)

med u∗y∗=0 = cos t∗, og u∗ → 0 nar y∗ →∞.

Prøv med løsning av ligningen pa formen

u∗ = Re[eit∗+(a+ib)y∗ ]. (3)

Bruk randbetingelsene bade ved y∗ = 0 og y∗ →∞. Bestem konstantene a og b.1

d) Løsningen frambringer et grensesjikt der hastigheten er forskjellig fra null. Hvor storer den fysiske tykkelsen pa grensesjiktet, nar vi definerer grensesjiktet der hastighetener oppad begrenset til 1% av u0? Sett inn følgende verdier: ν = 10−6 m2/sek. og ω = 11/sek.

Oppgave 4

Figure 1: Dragkoeffisient for kule i strøm. Fra JN Newman (1977), Marine Hydrody-dynamics. MIT Press.

Figuren viser dragkoeffisienten for en kule med diameter d, radius 2R = d. Kulen stari en strøm med hastighet U . Fluidets tetthet er ρ, dynamisk viskositetskoeffisient er µog kinematisk viskositetskoeffisient er ν.

a) Følg boka og definer Reynoldstallet.

b) Dragkoeffisienten er definert ved (skal ikke vises)

Cd =D

(1/2)ρU2S, (4)

der D er motstandskraften pa kulen og S = πd2/4 er kulens frontalareal.

For sma Reynoldstall, dvs. Re ∼ 1, gjelder Stokes’ motstandsformel. Denne kanskrives:

D = 6πµUR. (5)2

Vis at Cd = 24/Re i dette tilfellet (dette Reynoldstallomradet).

c) Vi skal diskutere motstanden ved sakalt kritisk motstand. Dvs. der Re ∼ 105.5 '3.2 · 105.

Vi skal bruke eksempler fra hva som kan kalles sportshydrodynamikk, eller ’ball’-hydrodynamikk.

Vi skal lage en oversikt over hastighet, balldiameter, Reynoldstall som kan gjelde forgolf, tennis, fotball.

Følgende oversikt kan frambringes for balldiameter og en største fart i golfslag, serve(tennis) og straffespark (fotball):

diameter=4.3 cm, fart=35 m/sek. (golf)

diameter=6.7 cm, fart=70 m/sek. (tennis)

diameter=22 cm, fart 51 m/sek. (fotball)

Fluidet vi betrakter er luft ved 20 grader Celcius, der kinematisk viskositetskoeffisienter ν = 1.5 · 10−5 m2/sek.

Bestem Reynoldstallet for golfballen, tennisballen og fotballen.

d) Bruk figuren til a bestemme dragkoeffisienten i de tre forskjellige tilfellene.

e) En amatørspiller klarer a sla disse ballene i med fart pa 30 % av de profesjonellespillerne.

Bestem Reynoldstallet for amatørspllerne i golf, tennis og fotball.

f)Bruk figuren til a bestemme dragkoeffisienten ogsa for amatørspillerne.

3