jan obdržálek 2013-03-25t14:00:00,000
DESCRIPTION
Jan Obdržálek 2013-03-25T14:00:00,000. Relativita graficky. U3V. 19.3.2012 U3V. Vztažná soustava; pojem absolutní a relativní Newtonovská mechanika Grafické zobrazení polohy a pohybu Galileiho transformace Idea STR (speciální teorie relativity) Dva principy STR Lorentzova transformace - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1. Vztažná soustava; pojem absolutní a relativní
2. Newtonovská mechanika3. Grafické zobrazení polohy a pohybu4. Galileiho transformace5. Idea STR (speciální teorie relativity)6. Dva principy STR7. Lorentzova transformace8. Konkrétní příklady; „paradoxy“9. Relativistická hmotnost: srážka10. Pohybové rovnice STR111 Konec 2
Program19.3.2012 U3V
Jak popsat polohu závisející na pozorovateli?1 1 bod – počátek O (origō), a z něj vycházejí1 3 osy (x, y, z) k sobě kolmé, se stupnicemi(René Descartes – Cartesius, 1596 – 1650)
I jiné soustavy: polární, sférická, ..., ale vždy: pro spojitý popis v prostoru 3D: (x, y, z) na ploše 2D: (x, y)
na čáře 1D: (x)„Předmět či událost nepatří žádné vztažné
soustavě“
3
Poloha: vztažná soustava S19.3.2012 U3V
1 Absolutní (nezávislý na pozorovateli, S)1 teplota T kamen1 síla F jako taková (nikoli její složky!)1 elektrický náboj Q apod.1 vzáj. vzdál. d v klidu (jsou 0,5 m od sebe)
1 Relativní (vůči pozorovateli, vůči S)1 Složka Fx
1 poloha r (vpředu, na 5. km nalevo)1 pojem klidu či pohybu (usneme ve vlaku) 1 rychlost v (na Zemi letící kolem Slunce)
4
Absolutní × relativní19.3.2012 U3V
• Další veličina: čas t• Pohyb: poloha r se mění v závislosti na
čase t– Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé– Relativistická fyzika: prostor a čas spolu
souvisejí a vytvářejí prostoročas• Popis pohybu bodu s polohou r
– matematický: funkce r = r(t)– grafický: 1 osa pro čas t, 1 osa pro polohu x
5
Popis pohybu19.3.2012 U3V
1 Existuje absolutní prostor AP (v něm: poloha);
Newton (klasická mechanika)
1 Existuje absolutní čas AČ (okamžik, doba); 1 1NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se volná částice rovnoměrně přímočaře (nebo stojí)
1 2NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se částice pod vlivem sil zrychleně.
m a = ∑ F nebolidp / dt = ∑ F (časová změna
hybnosti)1 3NZ: FAB= - FBA (zákon akce a reakce)
1 Galileův princip: inerciální vztažná soustava IS; i v ní platí stejné zákony jako v APČ
19.3.2012 U3V
7
x/km (kde je)
t/min (kdy tam je)
0 1-1-2 2 3 4 5
0
2
1
3
4
5
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 0 s ☼ ♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 1 s ☼ ♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 2 s ☼ ♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 3 s ☼ ♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 4 s ☼ ♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 5 s ☼♥
☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 6 s ♥☼6
19.3.2012 U3V
8
x/km (kde je)
t/min (kdy tam je) vlak
0 1-1-2 2 3 4 5
0
2
1
3
4
(nádraží)
5
(cíl)
stojí
jede
stojí
Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru.
19.3.2012 U3V
9
x/km (kde je)
t/min (kdy tam je) vlak rychlík
0 1-1-2 2 3 4 5
0
2
1
3
4
(nádraží)
5
(cíl)
stojí
jede
stojí
stojí
jede rychleji
19.3.2012 U3V
10
x/m (kde je)
t/s
0 1-1
-2
2 3 4 5
0
2
1
3
4
(nádraží)
5
1 s
2 s
3 s
4 s
5 s1 m
Přede mnou:0 m 2 m 3 m
(5 m; 4 s)B (3 m; 4 s)
CD
E
F
já ve vlaku
vůči Zemi
vůči Vlaku
xBZ = 5 tBZ = 4xBV = 3 tBV = 4
rychlost Vlaku vůči Zemi: VVZ
xBV = xBZ – VVZtBZ
tBZ = tBV
Galileiho trafo
CD: současné (vlak, Země) CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak)
19.3.2012 U3V
1 Délka vozu = poloha začátku – poloha konce!! Pohybuje-li se vůz, je nutno měřit v tomtéž čase !!
11
Délka vozu; současnost
1 Dvě události A ≡ {rA, tA}; B ≡ {rB, tB} jsou1 současné, když tA = tB (např. v 7h ráno)
1 soumístné, když rA = rB (např. v mé pravé ruce)1 Klasická fyzika:
1 současnost je absolutní1 soumístnost je relativní
1 (Relativita: 1 současnost i soumístnost jsou relativní)
19.3.2012 U3V
Částice (hmotný bod): určena jen polohou r = r(t)
Volná částice (VČ): bez vnějších sil a bez vazeb
Inerciální soustava: vztažná soustava, vůči níž každá
VČ se pohybuje bez zrychlení; neboli VČ má stálou rychlost (směr i velikost); neboli VČ letí rovnoměrně přímočaře nebo stojí
Na grafikonu: světočárou VČ je přímka.
12
Inerciální soustava S, S’,…
19.3.2012 U3V
Newton: „Hlavní inerciální soustavou“ je absolutní prostor a absolutní čas.
Ale: Již Galileo věděl, že je-li S inerciální a S’ se vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře, pak je také S’ inerciální.
Einstein: Všechny inerciální soustavy jsou si zcela rovnoprávné. Žádná nemá zvláštní nárok na označení „absolutní“.
13
První Newtonův zákon (1NZ)Existuje inerciální soustava.
19.3.2012 U3V
Díky Galileově principu nelze mechanickými jevy najít mezi inerciálními soustavami, která z nich je „absolutní prostor“ (a čas) – APČ .
14
Jak najít absolutní prostor a čas?
Elektromagnetismus: Rychlost světla (= vln v éteru) je podle Maxwellovy-Lorentzovy teorie rovna c0 = 1 / √(ε0μ
0) vůči éteru, tedy v soustavě, v níž je éter v klidu → APČ !Úkol pro fyziky: Měřte rychlost světla! Vyjde-li vám c = c0 – w, pohybujete se rychlostí w vůči éteru.
!?!?! Světlo má v každé IS tutéž rychlost c0!
19.3.2012 U3V
Princip stálé rychlosti světelné
Světelnou rychlostí c0 se rozumí rychlost světla ve vakuu, cca 300 000 km/s. (Zde jen c.)
15
Světelná rychlost je táž v každé IS.
Experiment: Rychlost světla je stejná ráno i večer (± 400 m/s), ale i na jaře a na podzim (± 30 km/s). Nezávisí na rychlosti zdroje.Ostatní fyzikové: Jak se chová světlo?
Einstein: Jak se chová prostor a čas?Nejde o vlastnost světla a materiálů
(Lorentz, Poincaré), ale o vlastnost prostoročasu.
19.3.2012 U3V
Klasická fyzika: Galileo x’ = x – V t v’ = v – V t’ = t
16
Přechod mezi S a S’ (mající vůči S rychlost V)
Relativita: Lorentz x’ = γ(x – Vt) γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2)
x’ γ (x – V t) v – V t’ = γ (t – Vx/ c2) = 1 – vV/ c2
Odtud plyne pro v = c opět v’ = c .
19.3.2012 U3V
x0 = ct – měříme délky a časy konzistentně, prostřednictvím vhodné „standardní rychlosti“ c.
17
Nové značení času v S: x0
Nyní přehledněji: β = V/c x0 = ct
x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – β x )y ’ = yz’ = z
Lorentz dříve: x’ = γ(x - Vt) γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2)
2 2 2
1 1=1- / 1-V c β
19.3.2012 U3V
18
Jedinečný Lorentz
Lze dokázat, že to jinou trafo nejde:
x’ = γ (x – B x0)
x0’ = γ (C x0 – D x)
2) Najdeme potřebné 4 parametry γ, B, C, D
ze 4 „přirozených“ podmínek .
1) Aby rovnoměrný přímočarý pohyb přešel opět v rovnoměrný přímočarý pohyb, musí být transformace lineární.
Zaveďme jistou rychlost c a značme β = V/c; x0 = ct.
19.3.2012 U3V
19
Podmínky pro trafo
x’ = γ (x – B x0)
x0’ = γ (C x0 – D x)
1. S’ má vůči S rychlost V2. S má vůči S’ rychlost –V3. Která rychlost c je samodružná?
(c = ∞: Galileo; c = 1: Lorentz)4. Zpětná trafo má tvar jako přímá s V↔ –V
19.3.2012 U3V
S’ má vůči S rychlost β: Počátek x’ = 0 ve všech časech x0’ vyhovuje podmínce
x = V t = β x0
20
Lorentzova trafo (odvození, 1.krok)
x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (C x0 – D x)x0’ = γ (C x0 – D x)
Hledáme 3 parametry γ, C, D.
Odtud plyne B = β (ostatní γ, C, D zatím libovolná).
19.3.2012 U3V
S má vůči S’ rychlost – β: Počátek x = 0 ve všech časech x0 vyhovuje podmínce
x’ = – V t’ = – β x0 ’
21
Lorentzova trafo (odvození, 2.krok)
x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (x0 – D x) x0’ = γ (C x0 – D x)
Hledáme 2 parametry γ, D.
Odtud plyne C = 1 (ostatní γ, D zatím libovolná).
19.3.2012 U3V
Rychlost c = 1 se zachovává: x/x0 = 1 → x’/x0’ = 1
22
Lorentzova trafo (odvození, 3.krok)
x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (x0 – β x) x0’ = γ (C x0 – D x)
Hledáme 1 parametr γ.
x’ γ (x – β x0) (x – β x0) (1 – β)
x0’ = γ (x0 – D x) = (x0 – D x) = (1 – D)
Odtud plyne D = β (γ zatím libovolné).
19.3.2012 U3V
Zpětná transformace má stejný tvar jako přímá
23
Lorentzova trafo (odvození, 4.krok)
γ (x ’ + β x0’) = x γ2(1 – β2) inverzní trafo
γ (x0 ’ + β x’) = x0 γ2(1 – β2)
pokud γ 2 = 1 /(1 – β2 ), má zpětná trafo stejný tvar
jako přímá (se záměnou β za – β, x za x’, x0 za x0’ ).
x’ = γ (x – β x0) × 1 × β
x0’ = γ (– β x + x0) × β × 1 x’ + β x0’ = γ x (1 – β2)
β x’ + x0’ = γ x0(1 – β2)prohodíme nalevo členy 2. rovnice a roznásobíme obě rovnice γ :
(levá strana napravo)
19.3.2012 U3V
Přímá Lorentzova transformace:x’ = γ (x– β x0) = γ ( x – β x0)
x0’ = γ (x0– β x) = γ (– β x + x0)
24
Lorentzova trafo (shrnutí)
Inverzní Lorentzova transformace: β’ = – β
x = γ (x’+ β x0’) = γ ( x’+ β x0’)
x0 = γ (x0’+ β x’) = γ ( β x’ + x0’)
Označme
2 2 2
1 1=1- / 1-V c β
(Lorentzův činitel)
19.3.2012 U3V
25
Relativistická kinematika graficky
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světloSS’
19.3.2012 U3V
26
Jednotky na osách
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světlo
jednotka
1
1
11
1
1
x02 – x2 = ±
1
0
11
19.3.2012 U3V
27
Metrová tyč stojící
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světlo
1
11
1
0
11
19.3.2012 U3V
28
Metrová tyč letící
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světlo
1
1
11
1
1
11
19.3.2012 U3V
29
Hodiny stojící
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světlo
11
1
1
1
1
11
19.3.2012 U3V
30
Hodiny letící
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)
světlo
1
1
11
1
1
11
19.3.2012 U3V
31
„Paradox dvojčat“
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’(tam)
x’; současnost (tam)
světlo
1
1
1
11
1
1
1
22-
x’ současnost (zpět)
x’0=ct’(zpět)
19.3.2012 U3V
32
„Dlouhé auto v krátké garáži“
x0=ct
x; současnost
x’0=ct’
x’; současnost
1
1
1
1
1
1
1
1
garáž
19.3.2012 U3V
1 Čtverec intervalu (> 0: prostoru, < 0: času podobný) I2 = x2 +y2 +z2 – c2t2
33
Invarianty Lorentzových trafo
1 I2 = x2 +y2 +z2 – x02 x0 = c t
1 I2 = x2– x02
1 H. Minkowski:I2 = x2 +y2 +z2+ x4
2 x4 = i c t
1 Pseudoeuklidovská metrika (I2AB = 0 i pro různé události A, B).
19.3.2012 U3V
1 Čtyřvektor polohy R (posunutí ∆R ): R = {x; y; z; ict}
34
Vektor vůči Lorentzovým trafo
1 R = {x1; x2; x3; x4}1 R = {x1; i x0}1 Pozor: čas t není invariant! Je jen jednou ze
složek.Invariantem je ale vlastní čas τ = t / γ.
1 Vlastní čas τ = t / γ je invariantní vůči Ltrafo.
19.3.2012 U3V
1 Časová změna čtyřpolohy podle τ: w = ∆R/ ∆ τ = γ ∆ R/ ∆ t = {γ v; iγc}
35
Čtyřrychlost w
1 Obyčejná rychlost: v = {v1; v2; v3}1 Velikost čtyřrychlosti je konstantní:1 w2 = γ2v2 – γ2c2 = γ2c2 (v2/c2 – 1) = –c2
1 Proto je čtyřzrychlení vždy kolmé na čtyřrychlost.
19.3.2012 U3V
1 Zkoumejme zde jen hmotnost setrvačnou. Ta se vyskytuje v klasické mechanice hlavně
1 v hybnosti p = mv, 1 ve 2NZ: ma = ∑F anebo dp/dt = ∑F
36
Hmotnost m1 Hledáme relativistický ekvivalent klasické
veličiny hmotnost m. Uvažme proto, kde se hmotnost vyskytuje.
1 Jak známo, hmotnost se vyskytuje 1 v gravitačním zákoně jako hmotnost gravitační,1 v pohybových rovnicích jako hmotnost setrvačná.
19.3.2012 U3V
37
Hmotnost m1 Vyřešíme nepružnou srážku dvou stejných
částic, a to 1 v soustavě S, v níž stojí druhá koule, 1 v soustavě S’, v níž stojí první koule.
1 Obě řešení pak porovnáme Lorentzovou transformací.
S S’
v
u
-v
-u
časmv m0
Mu
mv m0
Mu
19.3.2012 U3V
1 Předpokládejme při popisu srážky v kterékoli IS toto:1 částice má hmotnost mv, která závisí na rychlosti: mv = mv
(v), 1 zachovává se celková hmotnost M = ∑mv ;
1 zachovává se celková hybnost P = ∑p , kde p = mvv,
38
Nepružná srážka dvou částic
1 V soustavě S má první koule rychlost v, druhá koule rychlost 0 a po srážce mají obě koule společnou rychlost u.
1 Soustava S’ má vůči S rychlost v.
19.3.2012 U3V
39
Nepružná srážka dvou částic
1 p = mvv + m00 = Muu1 Mu = mv + m0 , takže
1 mvv = (mv + m0)u,
odkud
1 u = vmv /(mv + m0)
Lorentzova transformace:
u vu
uvc
uvu v u
c
2
2
1
1
S S’
v
u
-v
-u
mv m0
Mu Mu
mv m0
19.3.2012 U3V
40
Nepružná srážka dvou částic
2
20 0 0
1v v v
v v v
m m mvv v v
m m c m m m m
20
1 v
v
muvu v u u v
c m m
2
020
1 vv v v
v
mvm m m m
c m m
( )
2
0 0 02v v v v
vm m m m m m m
c
22 2
021v
vm m
c
0
2
21v
mm m
vc
Relativistická hmotnost m:
19.3.2012 U3V
41
Klidová hmotnost m01 Veličinu mv značíme prostě m. Platí m = γ
m0 a hraje v relativitě roli (setrvačné) hmotnosti m částice z klasické mechaniky, měřené při rychlosti v.
1 V různých systémech S je m různě velká; nejmenší je v systému, kde částice stojí (v = 0).
1 Tato veličina m0=m/γ , tj. klidová hmotnost, je proto nezávislá na rychlosti v částice pohybující se vůči S, a je tedy invariantem.
19.3.2012 U3V
42
Čtyřhybnost p = m0 w1 Veličina p = m0w (čtyřvektor s
„prostorovou složkou“ γm0u) hraje v relativitě roli hybnosti p částice z klasické mechaniky. 1 Protože vlastní čas τ je invariantem (je stejně velký v různých systémech S), je časová změna (počítaná podle vlastního času) čtyřhybnosti částice čtyřvektorem, a má stejný význam v každém S.
1 Toto nám umožňuje formulovat relativisticky invariantní pohybovou rovnici relativistické mechaniky:
19.3.2012 U3V
43
Další pohybové zákony STR1 2NZ: Časová změna čtyřhybnosti
částice (podle vlastního času) je rovna výsledné čtyřsíle působící na částici. 1 Druhý Newtonův zákon (s časovou změnou čtyřhybnosti) tedy platí i ve STR.
1 Pro úplnost: 3NZ (zákon akce a reakce) zůstává rovněž v platnosti, pokud akce i reakce působí v tomtéž místě.
1 „Přesouvání sil“ v rámci tuhého tělesa však není možné, protože STR vylučuje pojem tuhého tělesa
19.3.2012 U3V