jan obdržálek 2013-03-25t14:00:00,000

Jan Obdržálek 2013-03-25T14:00:00,000

25.3.2013 U3V

Relativita Obdržálek

1

Relativita graficky

U3V

1. Vztažná soustava; pojem absolutní a relativní

2. Newtonovská mechanika3. Grafické zobrazení polohy a pohybu4. Galileiho transformace5. Idea STR (speciální teorie relativity)6. Dva principy STR7. Lorentzova transformace8. Konkrétní příklady; „paradoxy“9. Relativistická hmotnost: srážka10. Pohybové rovnice STR111 Konec 2

Program19.3.2012 U3V

Jak popsat polohu závisející na pozorovateli?1 1 bod – počátek O (origō), a z něj vycházejí1 3 osy (x, y, z) k sobě kolmé, se stupnicemi(René Descartes – Cartesius, 1596 – 1650)

I jiné soustavy: polární, sférická, ..., ale vždy: pro spojitý popis v prostoru 3D: (x, y, z) na ploše 2D: (x, y)

na čáře 1D: (x)„Předmět či událost nepatří žádné vztažné

soustavě“

3

Poloha: vztažná soustava S19.3.2012 U3V

1 Absolutní (nezávislý na pozorovateli, S)1 teplota T kamen1 síla F jako taková (nikoli její složky!)1 elektrický náboj Q apod.1 vzáj. vzdál. d v klidu (jsou 0,5 m od sebe)

1 Relativní (vůči pozorovateli, vůči S)1 Složka Fx

1 poloha r (vpředu, na 5. km nalevo)1 pojem klidu či pohybu (usneme ve vlaku) 1 rychlost v (na Zemi letící kolem Slunce)

4

Absolutní × relativní19.3.2012 U3V

• Další veličina: čas t• Pohyb: poloha r se mění v závislosti na

čase t– Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé– Relativistická fyzika: prostor a čas spolu

souvisejí a vytvářejí prostoročas• Popis pohybu bodu s polohou r

– matematický: funkce r = r(t)– grafický: 1 osa pro čas t, 1 osa pro polohu x

5

Popis pohybu19.3.2012 U3V

1 Existuje absolutní prostor AP (v něm: poloha);

Newton (klasická mechanika)

1 Existuje absolutní čas AČ (okamžik, doba); 1 1NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se volná částice rovnoměrně přímočaře (nebo stojí)

1 2NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se částice pod vlivem sil zrychleně.

m a = ∑ F nebolidp / dt = ∑ F (časová změna

hybnosti)1 3NZ: FAB= - FBA (zákon akce a reakce)

1 Galileův princip: inerciální vztažná soustava IS; i v ní platí stejné zákony jako v APČ

19.3.2012 U3V

7

x/km (kde je)

t/min (kdy tam je)

0 1-1-2 2 3 4 5

0

2

1

3

4

5

☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 0 s ☼ ♥





☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 5 s ☼♥

☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 6 s ♥☼6

19.3.2012 U3V

8

x/km (kde je)

t/min (kdy tam je) vlak

0 1-1-2 2 3 4 5

0

2

1

3

4

(nádraží)

5

(cíl)

stojí

jede

stojí

Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru.

19.3.2012 U3V

9

x/km (kde je)

t/min (kdy tam je) vlak rychlík

0 1-1-2 2 3 4 5

0

2

1

3

4

(nádraží)

5

(cíl)

stojí

jede

stojí

stojí

jede rychleji

19.3.2012 U3V

10

x/m (kde je)

t/s

0 1-1

-2

2 3 4 5

0

2

1

3

4

(nádraží)

5

1 s

2 s

3 s

4 s

5 s1 m

Přede mnou:0 m 2 m 3 m

(5 m; 4 s)B (3 m; 4 s)

CD

E

F

já ve vlaku

vůči Zemi

vůči Vlaku

xBZ = 5 tBZ = 4xBV = 3 tBV = 4

rychlost Vlaku vůči Zemi: VVZ

xBV = xBZ – VVZtBZ

tBZ = tBV

Galileiho trafo

CD: současné (vlak, Země) CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak)

19.3.2012 U3V

1 Délka vozu = poloha začátku – poloha konce!! Pohybuje-li se vůz, je nutno měřit v tomtéž čase !!

11

Délka vozu; současnost

1 Dvě události A ≡ {rA, tA}; B ≡ {rB, tB} jsou1 současné, když tA = tB (např. v 7h ráno)

1 soumístné, když rA = rB (např. v mé pravé ruce)1 Klasická fyzika:

1 současnost je absolutní1 soumístnost je relativní

1 (Relativita: 1 současnost i soumístnost jsou relativní)

19.3.2012 U3V

Částice (hmotný bod): určena jen polohou r = r(t)

Volná částice (VČ): bez vnějších sil a bez vazeb

Inerciální soustava: vztažná soustava, vůči níž každá

VČ se pohybuje bez zrychlení; neboli VČ má stálou rychlost (směr i velikost); neboli VČ letí rovnoměrně přímočaře nebo stojí

Na grafikonu: světočárou VČ je přímka.

12

Inerciální soustava S, S’,…

19.3.2012 U3V

Newton: „Hlavní inerciální soustavou“ je absolutní prostor a absolutní čas.

Ale: Již Galileo věděl, že je-li S inerciální a S’ se vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře, pak je také S’ inerciální.

Einstein: Všechny inerciální soustavy jsou si zcela rovnoprávné. Žádná nemá zvláštní nárok na označení „absolutní“.

13

První Newtonův zákon (1NZ)Existuje inerciální soustava.

19.3.2012 U3V

Díky Galileově principu nelze mechanickými jevy najít mezi inerciálními soustavami, která z nich je „absolutní prostor“ (a čas) – APČ .

14

Jak najít absolutní prostor a čas?

Elektromagnetismus: Rychlost světla (= vln v éteru) je podle Maxwellovy-Lorentzovy teorie rovna c0 = 1 / √(ε0μ

0) vůči éteru, tedy v soustavě, v níž je éter v klidu → APČ !Úkol pro fyziky: Měřte rychlost světla! Vyjde-li vám c = c0 – w, pohybujete se rychlostí w vůči éteru.

!?!?! Světlo má v každé IS tutéž rychlost c0!

19.3.2012 U3V

Princip stálé rychlosti světelné

Světelnou rychlostí c0 se rozumí rychlost světla ve vakuu, cca 300 000 km/s. (Zde jen c.)

15

Světelná rychlost je táž v každé IS.

Experiment: Rychlost světla je stejná ráno i večer (± 400 m/s), ale i na jaře a na podzim (± 30 km/s). Nezávisí na rychlosti zdroje.Ostatní fyzikové: Jak se chová světlo?

Einstein: Jak se chová prostor a čas?Nejde o vlastnost světla a materiálů

(Lorentz, Poincaré), ale o vlastnost prostoročasu.

19.3.2012 U3V

Klasická fyzika: Galileo x’ = x – V t v’ = v – V t’ = t

16

Přechod mezi S a S’ (mající vůči S rychlost V)

Relativita: Lorentz x’ = γ(x – Vt) γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2)

x’ γ (x – V t) v – V t’ = γ (t – Vx/ c2) = 1 – vV/ c2

Odtud plyne pro v = c opět v’ = c .

19.3.2012 U3V

x0 = ct – měříme délky a časy konzistentně, prostřednictvím vhodné „standardní rychlosti“ c.

17

Nové značení času v S: x0

Nyní přehledněji: β = V/c x0 = ct

x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – β x )y ’ = yz’ = z

Lorentz dříve: x’ = γ(x - Vt) γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2)

2 2 2

1 1=1- / 1-V c β

19.3.2012 U3V

18

Jedinečný Lorentz

Lze dokázat, že to jinou trafo nejde:

x’ = γ (x – B x0)

x0’ = γ (C x0 – D x)

2) Najdeme potřebné 4 parametry γ, B, C, D

ze 4 „přirozených“ podmínek .

1) Aby rovnoměrný přímočarý pohyb přešel opět v rovnoměrný přímočarý pohyb, musí být transformace lineární.

Zaveďme jistou rychlost c a značme β = V/c; x0 = ct.

19.3.2012 U3V

19

Podmínky pro trafo

x’ = γ (x – B x0)

x0’ = γ (C x0 – D x)

1. S’ má vůči S rychlost V2. S má vůči S’ rychlost –V3. Která rychlost c je samodružná?

(c = ∞: Galileo; c = 1: Lorentz)4. Zpětná trafo má tvar jako přímá s V↔ –V

19.3.2012 U3V

S’ má vůči S rychlost β: Počátek x’ = 0 ve všech časech x0’ vyhovuje podmínce

x = V t = β x0

20

Lorentzova trafo (odvození, 1.krok)

x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (C x0 – D x)x0’ = γ (C x0 – D x)

Hledáme 3 parametry γ, C, D.

Odtud plyne B = β (ostatní γ, C, D zatím libovolná).

19.3.2012 U3V

S má vůči S’ rychlost – β: Počátek x = 0 ve všech časech x0 vyhovuje podmínce

x’ = – V t’ = – β x0 ’

21


x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (x0 – D x) x0’ = γ (C x0 – D x)

Hledáme 2 parametry γ, D.

Odtud plyne C = 1 (ostatní γ, D zatím libovolná).

19.3.2012 U3V

Rychlost c = 1 se zachovává: x/x0 = 1 → x’/x0’ = 1

22


x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (x0 – β x) x0’ = γ (C x0 – D x)

Hledáme 1 parametr γ.

x’ γ (x – β x0) (x – β x0) (1 – β)

x0’ = γ (x0 – D x) = (x0 – D x) = (1 – D)

Odtud plyne D = β (γ zatím libovolné).

19.3.2012 U3V

Zpětná transformace má stejný tvar jako přímá

23


γ (x ’ + β x0’) = x γ2(1 – β2) inverzní trafo

γ (x0 ’ + β x’) = x0 γ2(1 – β2)

pokud γ 2 = 1 /(1 – β2 ), má zpětná trafo stejný tvar

jako přímá (se záměnou β za – β, x za x’, x0 za x0’ ).

x’ = γ (x – β x0) × 1 × β

x0’ = γ (– β x + x0) × β × 1 x’ + β x0’ = γ x (1 – β2)

β x’ + x0’ = γ x0(1 – β2)prohodíme nalevo členy 2. rovnice a roznásobíme obě rovnice γ :

(levá strana napravo)

19.3.2012 U3V

Přímá Lorentzova transformace:x’ = γ (x– β x0) = γ ( x – β x0)

x0’ = γ (x0– β x) = γ (– β x + x0)

24

Lorentzova trafo (shrnutí)

Inverzní Lorentzova transformace: β’ = – β

x = γ (x’+ β x0’) = γ ( x’+ β x0’)

x0 = γ (x0’+ β x’) = γ ( β x’ + x0’)

Označme

2 2 2

1 1=1- / 1-V c β

(Lorentzův činitel)

19.3.2012 U3V

25

Relativistická kinematika graficky

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světloSS’

19.3.2012 U3V

26

Jednotky na osách

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světlo

jednotka

1

1

11

1

1

x02 – x2 = ±

1

0

11

19.3.2012 U3V

27

Metrová tyč stojící

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světlo

1

11

1

0

11

19.3.2012 U3V

28

Metrová tyč letící

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světlo

1

1

11

1

1

11

19.3.2012 U3V

29

Hodiny stojící

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světlo

11

1

1

1

1

11

19.3.2012 U3V

30

Hodiny letící

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

x0’ = γ(x – β x0)x’ = γ(x0 – β x)

světlo

1

1

11

1

1

11

19.3.2012 U3V

31

„Paradox dvojčat“

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’(tam)

x’; současnost (tam)

světlo

1

1

1

11

1

1

1

22-

x’ současnost (zpět)

x’0=ct’(zpět)

19.3.2012 U3V

32

„Dlouhé auto v krátké garáži“

x0=ct

x; současnost

x’0=ct’

x’; současnost

1

1

1

1

1

1

1

1

garáž

19.3.2012 U3V

1 Čtverec intervalu (> 0: prostoru, < 0: času podobný) I2 = x2 +y2 +z2 – c2t2

33

Invarianty Lorentzových trafo

1 I2 = x2 +y2 +z2 – x02 x0 = c t

1 I2 = x2– x02

1 H. Minkowski:I2 = x2 +y2 +z2+ x4

2 x4 = i c t

1 Pseudoeuklidovská metrika (I2AB = 0 i pro různé události A, B).

19.3.2012 U3V

1 Čtyřvektor polohy R (posunutí ∆R ): R = {x; y; z; ict}

34

Vektor vůči Lorentzovým trafo

1 R = {x1; x2; x3; x4}1 R = {x1; i x0}1 Pozor: čas t není invariant! Je jen jednou ze

složek.Invariantem je ale vlastní čas τ = t / γ.

1 Vlastní čas τ = t / γ je invariantní vůči Ltrafo.

19.3.2012 U3V

1 Časová změna čtyřpolohy podle τ: w = ∆R/ ∆ τ = γ ∆ R/ ∆ t = {γ v; iγc}

35

Čtyřrychlost w

1 Obyčejná rychlost: v = {v1; v2; v3}1 Velikost čtyřrychlosti je konstantní:1 w2 = γ2v2 – γ2c2 = γ2c2 (v2/c2 – 1) = –c2

1 Proto je čtyřzrychlení vždy kolmé na čtyřrychlost.

19.3.2012 U3V

1 Zkoumejme zde jen hmotnost setrvačnou. Ta se vyskytuje v klasické mechanice hlavně

1 v hybnosti p = mv, 1 ve 2NZ: ma = ∑F anebo dp/dt = ∑F

36

Hmotnost m1 Hledáme relativistický ekvivalent klasické

veličiny hmotnost m. Uvažme proto, kde se hmotnost vyskytuje.

1 Jak známo, hmotnost se vyskytuje 1 v gravitačním zákoně jako hmotnost gravitační,1 v pohybových rovnicích jako hmotnost setrvačná.

19.3.2012 U3V

37

Hmotnost m1 Vyřešíme nepružnou srážku dvou stejných

částic, a to 1 v soustavě S, v níž stojí druhá koule, 1 v soustavě S’, v níž stojí první koule.

1 Obě řešení pak porovnáme Lorentzovou transformací.

S S’

v

u

-v

-u

časmv m0

Mu

mv m0

Mu

19.3.2012 U3V

1 Předpokládejme při popisu srážky v kterékoli IS toto:1 částice má hmotnost mv, která závisí na rychlosti: mv = mv

(v), 1 zachovává se celková hmotnost M = ∑mv ;

1 zachovává se celková hybnost P = ∑p , kde p = mvv,

38

Nepružná srážka dvou částic

1 V soustavě S má první koule rychlost v, druhá koule rychlost 0 a po srážce mají obě koule společnou rychlost u.

1 Soustava S’ má vůči S rychlost v.

19.3.2012 U3V

39


1 p = mvv + m00 = Muu1 Mu = mv + m0 , takže

1 mvv = (mv + m0)u,

odkud

1 u = vmv /(mv + m0)

Lorentzova transformace:

u vu

uvc

uvu v u

c

2

2

1

1

S S’

v

u

-v

-u

mv m0

Mu Mu

mv m0

19.3.2012 U3V

40


2

20 0 0

1v v v

v v v

m m mvv v v

m m c m m m m

20

1 v

v

muvu v u u v

c m m

2

020

1 vv v v

v

mvm m m m

c m m

( )

2

0 0 02v v v v

vm m m m m m m

c

22 2

021v

vm m

c

0

2

21v

mm m

vc

Relativistická hmotnost m:

19.3.2012 U3V

41

Klidová hmotnost m01 Veličinu mv značíme prostě m. Platí m = γ

m0 a hraje v relativitě roli (setrvačné) hmotnosti m částice z klasické mechaniky, měřené při rychlosti v.

1 V různých systémech S je m různě velká; nejmenší je v systému, kde částice stojí (v = 0).

1 Tato veličina m0=m/γ , tj. klidová hmotnost, je proto nezávislá na rychlosti v částice pohybující se vůči S, a je tedy invariantem.

19.3.2012 U3V

42

Čtyřhybnost p = m0 w1 Veličina p = m0w (čtyřvektor s

„prostorovou složkou“ γm0u) hraje v relativitě roli hybnosti p částice z klasické mechaniky. 1 Protože vlastní čas τ je invariantem (je stejně velký v různých systémech S), je časová změna (počítaná podle vlastního času) čtyřhybnosti částice čtyřvektorem, a má stejný význam v každém S.

1 Toto nám umožňuje formulovat relativisticky invariantní pohybovou rovnici relativistické mechaniky:

19.3.2012 U3V

43

Další pohybové zákony STR1 2NZ: Časová změna čtyřhybnosti

částice (podle vlastního času) je rovna výsledné čtyřsíle působící na částici. 1 Druhý Newtonův zákon (s časovou změnou čtyřhybnosti) tedy platí i ve STR.

1 Pro úplnost: 3NZ (zákon akce a reakce) zůstává rovněž v platnosti, pokud akce i reakce působí v tomtéž místě.

1 „Přesouvání sil“ v rámci tuhého tělesa však není možné, protože STR vylučuje pojem tuhého tělesa

19.3.2012 U3V

44

Děkuji vám za pozornost

19.3.2012 U3V

jan obdržálek 2013-03-25t14:00:00,000

Documents