JADAD 11. klass

Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö

Koolitaja E. Tarro, 5. kursus

Näiteid jadadest

Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala.

Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30. ruudu pindala 900, n-nda ruudu pindala on n²

Ruudu nr.

1 2 3 4 5 6

Pindala 1 4 9 16 25 36

JADADE LIIGITUS

Jadad

Tõkestatud Tõkestamata

Lõpmata suured MuudHääbuvad Muud

Tõkestamatult kasvavad

Tõkestamatult kahanevad

Muud

Tõkestatud jada hääbuv jada konstantne jada

Tõkestamata jada tõkestamatult kasvav tõkestamatult kahanev

Näited

1,½,⅓,¼,…, 3,3,3,…,3,…

6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6

3,0 -3,-6,-9,…

JADAD

Jadad ehk progressioonid

Aritmeetiline jada mõiste: jada, milles iga

liikme ja temale eelneva liikme vahe on jääv suurus.

seda jäävat suurust nimetatakse jada vaheks ja tähistatakse tähega d.

an+1= an+d

Geomeetriline jada mõiste: jada, milles iga

liikme ja temale eelneva liikme jagatis on jääv suurus.

seda jäävat suurust ni- metatakse jada teguriks ja tähistatakse tähega q.

an+1= an·q

VALEMID

Aritmeetiline jada üldliikme valem

an= a1+( n-1)d Summa valem

Sn= (a1+an)n :2

(Viide C.Fr.Gaussile)

Geomeetriline jada üldliikme valem

an=a1qn-1

Summa valem

Sn=a1(qn–1): (q -1)

(legend malelauast)

Carl Friedrich Gauss

Saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777 – 1855 Lugu 9-aastasest

koolipoisist Gaussist, kes õpetaja korralduse: leida kõikide naturaal-arvude summa, täitis silmapilkselt.

Legend malelauast

1 2 4 8 16 32 64Teatavasti leiutati male Indias. Legend: rikas vürst lubas täita mängu leiutaja soovi anda talle malelaua 1.ruudu eest ühe nisutera, 2. eest kaks, 3. eest neli – iga järgmise eest kaks kor-da rohkem teri kui eelmise eest. Kuigi soov tundus ole-vat tagasihoidlik, ei olnud seda võimalik täita. Miks?

Täida tabel aritmeetilise jada kohta

Ül.nr. a1 d n an Sn

1 1 2 10

2 3 12 36

3 23 10 5

4 4 25 75

5 -16 20 28

6 8 -17 -80

7 4 7 63

Täida tabel geomeetrilise jada kohta

Ül.nr. a1 q n an Sn

1 2 -3 4

2 2 6 32

3 1 3 40

4 0,5 5 -8

5 -0,5 6 -0,125

Aritmeetiline jada – test

Küsimus1) Aritmeetiliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga liige alates teisest võrdub

Valikvastused1) eelneva liikme ja jääva teguri korrutisega;

2) eelneva liikme ja jääva arvu summaga;

3) kahe järgneva liikme aritmeetilise keskmisega

Aritmeetiline jada – test

2) Aritmeetilise jada üldliikme arvutamise valem

1) an = a1 + nd

2) an = a1 + (n – 1)d

3) an = a1d

Aritmeetiline jada – test

3) Jadas 3; 7; 11; 15, … on jada vahe

4) Aritmeetilise jada n esimese liikme summa arvutamise valem

1) -4; 2) 3;

3) 4; 4) 5

1) Sn= (a1+an)n :2;

2) Sn= (2a1+an)n :2;

3) Sn= (a1+(n-1)d)n :2

Aritmeetiline jada – test

5) Kui aritmeetilises jadas a1>0 ja 0<d<1, siis jada on

1) positiivsete liikmetega ja kahanev;

2) positiivsete liikmetega ja kasvav;

3) negatiivsete liikmetega ja kahanev;

4) negatiivsete liikmetega ja kasvav

Aritmeetiline jada – test

6) Aritmeetiline jada on kahanev ainult siis, kui jada vahe

1) 0<d<1;

2) -1<d<1;

3) d<0;

4) d<1

Aritmeetiline jada – test

7) Kui aritmeetilises jadas a2= 4 ja d = -1, siis a5=

8)Järgnevatest jadadest

2; -4; 6, -8; 10; …

2; 4; 6; 8; …

1; 3; 9; 27;…

4; 2; 0; -2; …

on aritmeetilised jadad

1) 1; 2) 0;

3) 7; 4) -1

1) ainult teine ja kolmas;

2) ainult teine ja neljas;

3) ainult esimene, teine ja kolmas;

4) kõik neli jada.

Geomeetriline jada – test

Küsimused

1) Geomeetriliseks

jadaks nimetatakse

arvujada, milles iga liige

alates teisest võrdub

Valikvastused

1) eelneva liikme ja jääva teguri korrutisega;

2) eelneva liikme ja jääva arvu summaga;

3) kahe järgneva liikme jagatisega

Geomeetriline jada – test

2) Geomeetrilise jada n esimese liikme summa arvutamise valem on

1) Sn=a1(1-qn): (q -1)

2) Sn=a1(qn-1): (q -1)

3) Sn=a1qn-1: (q -1)

4) Sn=(a1qn-1): (q -1)

Geomeetriline jada – test

3) Geomeetriline jada, milles a1= 3 ja q = ½, on

4) Geomeetriline jada on hääbuv, kui jada tegur on

1) 3; 3½; 4; 4½; …;

2) 3; 6; 12; 24; …;

3) 3; 3,5; ¾;⅜; …;

4) 3; 2½; 2; 1½; …;

1) q<1; 2) |q|<1;

3) q<0; 4) q ≤ 1.

Geomeetriline jada – test

5) Geomeetrilise jada

3; -6; 12; -24; …

tegur q on

1) -2;

2) 2;

3) -½;

4) ½.

6) Kui geomeetrilise jada tegur q >0, siis on

1) jada alati kasvav;

2) jada liikmed sama märgiga,

3) jada liikmed sama märgiga, kui a1>0

ning jada liikmed vahelduvate märkidega, kui a1<0;

4) jada liikmed alati positiivsed.

Geomeetriline jada – test

Geomeetriline jada – test

7) Järgnevatest jadadest

-5; -10; -20; -40; …

-5; -3; -1; 1; …

-5; 2,5; -1,25; 0,625; …

-5; -2,5; 1,25; -0,625; …

on geomeetrilised jadad

1) kõik esitatud jadad;

2) ainult esimene ja kolmas;

3) ainult esimene, kolmas ja

neljas;

4) ainult esimene, teine ja kolmas.

Kontrolltöö – aritmeetiline jada

1. Aritmeetilises jadas on а1= 2 ja а7= 17. Leia а11.2. Aritmeetilises jadas on а1= 3 ; d = 4. Leia S10 .3. Leia kõigi kahekohaliste paaritute arvude

summa. 4. Leia а5, kui а2+ а8=36. 5. Jada on antud valemiga аn= 4+3n. Leia selle

jada kaheksa esimese liikme summa.6. Kirjuta arvude -8 ja 10 vahele viis arvu nii, et

nad koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada.

Kontrolltöö - geomeetriline jada

1. Geomeetrilises jadas on a1= 2 ja a6=64. Leia a8.

2. Geomeetrilises jadas on a1= -3 ja q= -2. Leia a6

3. Leia summa: 1+2+22+…+26 = 4. Leia geomeetrilises jadas a5, kui a3 a 7=81

5. Kirjuta arvude (-2) ja 54 vahele kaks arvu nii, et

nad koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada jada.6. Jada on antud valemiga an=2 ·3n

Leia selle jada viie esimese liikme summa.