izvijanje

1

IZVIJANJE TLAČNO OPTEREĆENIH VITKIH ŠTAPOVA

Pri projektiranju konstrukcije potrebno je osigurati njenu:

čvrstoću

krutost

stabilnost

2

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno (tlačno) opterećenog pravocrtnog prizmatičnog štapa, prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):

materijal je homogen i izotropan

veza između normalnog naprezanja zσ i duljinske deformacije zε je linearna, tj. vrijedi Hookeov zakon (linearno-elastičan materijal):

z zEσ ε= (a)

ravnotežne se jednadžbe uspostavlju na nedeformiranoj geometriji nosača

pravocrtni štap pri opterećenju ne mijenja oblik, tj. uzdužna se os štapa samo skraćuje i ostaje pravocrtna ⇒ pravocrtna ravnotežna deformacijska forma štapa je stabilna

z

F

3

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal Krhki materijal

kr TF F A σ= = ⋅ kr MF F A σ= = ⋅

DIMENZIONIRANJE: Kriterij čvrstoće:

T Mz dop

T M

ili F

A f f

σ σσ σ= ≤ = (b)

Kriterij krutosti:

dop∆ ∆F l

l lA E

= ≤ (c)

4

Kod vitkih štapova aksijalna tlačna sila može uzrokovati i savijanje ⇒ IZVIJANJE

štapa (engl. buckling) ⇒ pravocrtna deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.

Kritična sila izvijanja ⇒ sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

5

Vitki štap:

Elastično izvijanje

(elastic buckling)

2

minkr 2

0

π EIF F

l= =

Fkr → Eulerova kritična sila izvijanja

l0 → slobodna duljina izvijanja

6

Slobodna (efektivna) duljina izvijanja:

l0 = l l0 = 0,7l l0 = 0,5l l0 = 2l l0 = l l0 = 2l

7

Srednje vitki štap:

Plastično izvijanje

(plastic buckling)

( )kr krF F A A a bσ λ= = ⋅ = ⋅ −

Fkr → Tetmajerova kritična sila izvijanja

8

1. Stabilna, nestabilna i neutralna ravnoteža

Problem određivanja stabilnosti ravnotežnih formi deformabilnih tijela analogan je određivanju stabilne ravnoteže krutih tijela:

STABILNA RAVNOTEŽA

NESTABILNA RAVNOTEŽA

NEUTRALNA RAVNOTEŽA

9

Kod tlačno opterećenog štapa:

∆F

F

z

F = Fkr

z

F

z

∆F

F < Fkr

z

F > Fkr

∆F

F

z z

STABILNA RAVNOTEŽA

NESTABILNA RAVNOTEŽA

NEUTRALNA RAVNOTEŽA

10

LEONARD EULER (1744) – analiza elastične stabilnosti tlačno opterećenog konzolnog stupa

stup zglobno vezan na oba kraja ⇒ EULEROV STUP

Fkr ⇒ Eulerova kritična sila izvijanja

TEORIJA STABILNOSTI KONSTRUKCIJA

11

2. Izvijanje štapa u elastičnom području (Eulerova kritična sila izvijanja)

Pretpostavke:

materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan

vrijedi Euler–Bernoulli–Navierova teorija savijanja

ravnotežne se jednadžbe uspostavljaju na deformiranoj geometriji štapa ⇒ nelinearna teorija (teorija drugog ili trećeg reda).

pomaci su mali → linearizacija zakrivljenosti elastične linije izvijena štapa:

2

2x

3 22x

d1 d

d1

d

M z

r EI

z

= = −

+

v

v

(teorija trećeg reda) (1)

↓ 2

x2

x

1 d

d

M

r EI z= ≅ −

v (teorija drugog reda) (2)

12

Metode rješavanja:

statičke

dinamičke

energijske

13

a) Štap zglobno vezan na oba kraja

Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa prema nelinearnoj teoriji:

x kr , ( )M F z= =v v v (3)

Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena štapa prema teoriji drugoga reda:

2

x x kr2

d

dEI M F

z= − = −

vv

2

kr2

x

d0

d

F

z EI+ =

vv (4)

z

z

y

Fkr

Fkr

v l = l0

14

Zamjena:

2 kr

x

Fk

EI= (5)

Iz izraza (4):

2

22

d0

dk

z+ =

vv (6)

Opće rješenje izraza (6) – pretpostavka:

( ) sin cosz A k z B kz= ⋅ + ⋅v (7)

15

Rubni uvjeti:

0, (0) 0

, ( ) 0

z

z l l

= = =

= = =

v v

v v (8)

Na osnovi prvog rubnog uvjeta, iz izraza (7) slijedi:

(0) 0 1 0A B B= ⋅ + ⇒⋅ =v (9)

( ) sinz A kz= ⋅v (10)

Na osnovi drugog rubnog uvjeta, iz izraza (10) slijedi:

( ) sin 0l A kl= = ⇒v sin 0kl =

π, 0,1,2,...kl n n= = (11)

16

Izraz (11) → izrazi (5) i (10):

kritična sila izvijanja:

2

2 2 xkr x 2

π EIF k EI n

l= = (12)

elastična linija izvijana štapa:

π

( ) sinn z

z Al

= ⋅v (13)

17

Iz izraza (12) i (13):

Fkr 4Fkr 9Fkr Fkr = 0

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

Fkr = 0 Fkr 4Fkr 9Fkr

18

Od praktičnog značenja n = 1 i Ix = I2 = Imin:

πkl = ⇒2

minkr 02

π EIF l l

l⇒= = (14)

π

sinz

Al

= ⋅v (15)

l0 – slobodna (efektivna) duljina izvijanja

Izrazom (15) određena je deformacijska forma izvijanja.

Elastična linija prema približnom izrazu (2) ⇒ progib v i konstanta A neodređeni!

19

v

F

F Fkr=bifurkacija

idealništap

plastifikacije

realništap

v0

0

početak

z

y

Fkr

Fkr

v l

z

20

b) Štap zglobno vezan na jednom kraju, a ukliješten na drugom kraju

Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa:

( )x krM F Q l z= − −v (16)

Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena štapa:

( )2

x x kr2

d

dEI M F Q l z

z= − = − + −

vv

( )2

kr2

x x

d

d

F Ql z

z EI EI+ = −

vv (17)

z

y

z

Fkr

Fkr

v

l

l0 = 0,7l

Q

Q

lQM =

21

Zamjena iz izraza (5):

2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (17):

( )2

2 22

kr

d

d

Qk k l z

z F+ = −

vv (18)

Opće rješenje izraza (18):

( )kr

( ) sin cosQ

z A kz B kz l zF

= ⋅ + ⋅ + −v (19)

22

Rubni uvjeti:

0

d d0, (0) 0, 0

d d

, ( ) 0

z

zz z

z l l

=

= = = = =

= = =

v vv v

v v

(20)

Izraz (20) → izraz (19):

kr kr

(0) 0 1 0Ql Ql

A B BF F

⇒= ⋅ + ⋅ + = = −v (21)

0 kr kr

d1 0 0

d z

Q QAk B k A

z F kF=

= ⋅ − ⋅ − = = ⇒

v (22)

( ) sin cos 0l A kl B kl= ⋅ + ⋅ =v (23)

23

Vrijednosti iz izraza (21) i (22) → izraz (23):

kr kr

( ) sin cos 0 tanQ Ql

l kl kl kl klkF F

⇒= ⋅ − ⋅ = =v (24)

Grafičko rješenje transcedentne jednadžbe iz izraza (24):

y = kl

y

kl

1,5π 0,5π

kl = 4,493

π 2π

y = tan kl

0

24

4,493kl =

( )

2 22

22

4,493 π

0,7k

l l= ≈

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

π0,7

0,7

EIF l l

l= ⇒ = (25)

25

c) Štap ukliješten na oba kraja


x krM F M= −v (26)

Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena štapa:

2

x x kr2

d

dEI M F M

z= − = − +

vv

2

kr2

x x

d

d

F M

z EI EI+ =

vv (27)

z

y

z

Fkr

Fkr

v l l0 = 0,5l

M

M

26


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (27):

2

2 22

kr

d

d

Mk k

z F+ =

vv (28)


kr

( ) sin cosM

z A k z B kzF

= ⋅ + ⋅ +v (29)

27

Rubni uvjet na donjem kraju:

0

d d0, (0) 0, 0

d d z

zz z =

= = = = =

v vv v (30)


kr kr

(0) 0 1 0M M

A B BF F

⇒= ⋅ + ⋅ + = = −v (31)

0

d1 0 0 0

d z

Ak B k Az =

= ⋅ − ⋅ = =

⇒

v (32)

28


( )kr

( ) 1 cosM

z kzF

= −v (33)

Rubni uvjet na gornjem kraju:

, ( ) 0z l l= = =v v (34)


( )kr

( ) 1 cos 0 cos 1 0, 2π, 4π,...M

l kl kl klF

⇒ →= − = = =v (35)

Od praktičnog značenja samo slučaj kl = 2π.

29

π

2π0,5

kl = =

( )

22

2

π

0,5k

l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

π0,5

0,5

EIF l l

l= =⇒ (25)

30

d) Štap na jednom kraju ukliješten, a na drugom kraju slobodan (konzolni stup)


( )x krM F δ= − − v (37)

Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena stupa:

( )2

x x kr2

d

dEI M F

zδ= − = −

vv

2

kr kr2

x x

d

d 2

F F

z EI EI

δ+ = ⋅

vv (38)

z

y

z Fkr

v

20ll =

Fkr δkrFM =

δ

31


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (38):

2

2 22

d

dk k

zδ+ =

vv (39)


( ) sin cosz A k z B kz δ= ⋅ + ⋅ +v (40)

32


0

d d0, (0) 0, 0

d d z

zz z =

= = = = =

v vv v (41)


(0) 0 1 0A B Bδ δ= ⋅ + ⋅ = ⇒+ = −v (42)

0

d1 0 0 0

d z

Ak B k Az =

= ⋅ − ⋅ = =

⇒

v (43)


( )( ) 1 cosz kzδ= −v (44)

33


, ( )z l l δ= = =v v

Iz izraza (44) za z = l:

( )1 cos klδ δ= − (45)

Izraz (45) bit će zadovoljen samo onda ako je:

( )π

cos 0 2 1 , 0,1,2,...2

kl kl n n =⇒= = + (46)

Od praktičnog značenja samo slučaj n = 0.

34

π

2kl =

( )

22

2

π

2k

l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

π2

2

EIF l l

l=⇒= (47)

35

e) Obostrano ukliješten štap s jednim pomičnim uklještenjem


x kr 2M F

δ = − −

v (48)


2

x x kr2

d

d 2EI M F

z

δ = − = −

vv

2

kr kr2

x x

d

d

F F

z EI EIδ+ =

vv (49)

z

y

z

v

0ll =

Fkr 2krδ

FM =

δ Fkr

2krδ

FM =

36


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (49):

2

2 22

d

d 2k k

z

δ+ =

vv (50)


( ) sin cos2

z A k z B kzδ

= ⋅ + ⋅ +v (51)

37


0

d d0, (0) 0, 0

d d z

zz z =

= = = = =

v vv v (52)


(0) 0 1 02 2

A B Bδ δ

= ⋅ + ⋅ + = = −⇒v (53)

0

d1 0 0 0

d z

Ak B k Az =

= ⋅ − ⋅ = =

⇒

v (54)


( )( ) 1 cos2

z kzδ

= −v (55)

38


, ( )z l l δ= = =v v

Iz izraza (55) za z = l:

( )1 cos2

klδ

δ = − (56)

Izraz (56) bit će zadovoljen samo onda ako je:

cos 1 π, 1,3,5,...kl kl n n= = =⇒− (57)


39

πkl =

2

22

πk

l=

Iz izraza (5):

2

minkr 02

π EIF l l

l⇒= = (58)

40

f) Štap zglobno oslonjen na jednom kraju i učvršćen na drugom kraju s pomičnim uklještenjem


x krM F= v (59)


2

x x kr2

d

dEI M F

z= − = −

vv

2

kr2

x

d0

d

F

z EI+ =

vv (60)

z

y

z

v

20ll =

Fkr

δ Fkr

δkrFM =

41


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (49):

2

22

d0

dk

z+ =

vv (61)


( ) sin cosz A k z B kz= ⋅ + ⋅v (62)

42


0, (0) 0z = = =v v (63)


(0) 0 1 0 0A B B= ⋅ ⋅ = ⇒+ =v (64)

Vrijednosti iz izraza (64) → izraz (62):

( ) sinz A kz= ⋅v (65)

43


d d

, ( ) , 0d d z l

z l lz z

δ=

= = = = =

v vv v (66)


( ) sinl A kl δ= =v (67)

d

cos 0d z l

Ak klz =

= ⋅ =

v (68)

Iz uvjeta (68):

( )π

cos 0 2 1 , 0,1,2,...2

kl kl n n =⇒= = + (69)


44

2πkl =

( )

22

2

π

2k

l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

π2

2

EIF l l

l=⇒= (70)

45

g) Kritično naprezanje

Eulerova kritična sila izvijanja – opći oblik:

2

minkr 2

0

π EIF

l= (71)

Kritično naprezanje:

2

kr minkr 2

0

πF EI

A l Aσ = = (72)

Polumjer inercije:

2 minmin

Ii

A=

46

Izraz (72):

2 22 min

kr 20

ππ

i EE

lσ

λ

= =

(73)

λ → vitkost štapa:

0

min

l

iλ = (74)

47

Izraz (73) u dijagramu ( )krσ λ− možemo prikazati u obliku hiperbole (Eulerova

hiperbola)

kr P const.Eσ σ =→≤

Pσ

Eulerova hiperbola

krσ

Pλ λ

Pσ – naprezanje na granici

proporcionalnosti

48

Granična vitkost štapa:

kr P

PP min P

πEσ σ

λλ λ λ σ

= ⇒ =

= = (75)

Izrazi (71) – (73) vrijede samo za Pλ λ>

49

3. Izvijanje štapa u neelastičnom (plastičnom) području

P const.Eσ σ> ≠→

tE – tangentni modul elastičnosti

t

d

dE

σ

ε= (76)

1

1

E

Pσ

σ

ε

tE

50

Engesser (1889) je predložio da se i u plastičnom području ( Pλ λ< ) zadrži izraz (73)

za kritično naprezanje, stim da se modul elastičnosti zamijeni s tangentnim modulom elastičnosti:

2

tkr 2

π Eσ

λ= (77)

Engesserov postupak se rijetko primjenjuje u praksi zbog njegove složenosti, jer je za njega potrebno imati precizan dijagram σ ε− , a i analiza je tog dijagrama dosta složena.

Izraz (77) zanemaruje činjenicu da se plastifikacija poprečnog presjeka pri izvijanju odvija postupno, tj. postoji dio poprečnog presjeka koji je plastificiran i dio poprečnog presjeka koji se još uvijek ponaša elastično.

51

Stoga je Engesser uveo modificirani izraz (77):

2

rkr 2

π Eσ

λ= (78)

rE – reducirani modul elastičnosti

Vrijednost reduciranog modula elastičnosti ovisi o veličini kritičnog naprezanja krσ i obliku poprečnog presjeka.

Do izraza (78), neovisno o Engesseru, došao je i Theodore von Karman (1909), pa se reducirani modul često naziva i Engesser-Karmanov modul.

52

U praksi se vrlo često koriste empirijski obrasci za kritično naprezanje, a kod kojih

se krivulja ( )krσ λ− u plastičnome području aproksimira:

pravcem (Tetmajer, Jasinski)

parabolom (Tetmajer, Johnson)

hiperbolom (Rankine, Gordon)

53

Tetmajerov izraz za kritično naprezanje:

pravac:

krkr

Fa b

Aσ λ= = − (79)

parabola:

2krkr

Fa b c

Aσ λ λ= = − + (80)

a, b, c – koeficijenti dobiveni eksperimentalnim putem

54

Materijal Tetmajerov izraz

krσ (MPa)

Č.0360 310 1,14λ−

Č.0460 335 0,62λ−

Č.0560 470 2,3λ−

krom-molibden čelik

1000 5,4λ−

duraluminij 380 2,185λ−

sivi lijev 2776 12 0,053λ λ− +

drvo 40 0,203λ−

55

4. Dimenzioniranje

I. područje: Tλ λ<

Štapovi se proračunavaju na tlačnu čvrstoću, a izvijanje se ne uzima u obzir.

II. područje: T Pλ λ λ< <

Štapovi se proračunavaju na izvijanje s pomoću Tetmajerova izraza ili nekog drugog empirijskog izraza.

III. područje: Pλ λ>

Štapovi se proračunavaju na izvijanje s pomoću Eulerova izraza.

Temajerov pravac

I II III

Pσ

Eulerova hiperbola

krσ

Pλ λ

Tλ

Tσ

56

Pri tome mora biti zadovoljen uvjet:

krz kr, dop

kr

F

A f

σσ σ= ≤ = (81)

F – stvarno opterećenje štapa

krf – faktor sigurnosti protiv izvijanja (koeficijent stabilnosti)

čelik: 1,5 – 3 i više lijevano željezo: 4,5 – 5,5 i više drvo: 2,5 – 3,5 i više.

57

U praksi se često koristi i tzv. omega postupak, kod kojeg se proračun izvijanja štapa svodi na proračun tlačnog opterećenja prema kriteriju čvrstoće, uvođenjem faktora

( )M , 1ω ω σ λ= ≥ , tj.

T Mz dop

ν M

iliF

A f f

σ σωσ σ

⋅= ≤ = (82)

dopσ – dopušteno tlačno naprezanje

Tσ – granica tečenja (granica plastičnosti)

Mσ – granica čvrstoće (vlačna čvrstoća)

fν – faktor sigurnosti u odnosu na granicu tečenja

Mf – faktor sigurnosti u odnosu na granicu čvrstoće

58

λ Čelik σM= 370 MPa Čelik σM= 520 MPa Drvo Sivi lijev

0 1,00 1,00 1,00 1,00 10 1,01 1,01 1,09 1,01 20 1,02 1,03 1,20 1,05 30 1,05 1,07 1,33 1,11 40 1,10 1,13 1,47 1,22 50 1,17 1,22 1,65 1,39 60 1,26 1,35 1,87 1,67 70 1,39 1,54 2,14 2,21 80 1,59 1,85 2,49 3,50 90 1,88 2,39 2,95 4,43

100 2,36 3,55 3,60 5,45 110 2,86 4,29 4,43 - 120 3,40 5,11 5,36 - 130 4,00 5,99 6,39 140 4,63 6,95 7,53 - 150 5,32 7,98 8,78 - 160 6,05 9,08 - - 170 6,83 10,25 - - 180 7,66 11,49 - - 190 8,53 12,80 - - 200 9,46 14,18 - -

izvijanje

Documents