izpitne naloge iz matematike 2 -...
TRANSCRIPT
Izpitne naloge iz Matematike 2
E-VS izredni, RI-VS izredni
FERI
dr. Iztok Peterin
Maribor 2008
V tej datoteki so zbrane izpitne naloge predmeta Matematika 2 na smerehE-VS in RI-VS za izredni studij na Fakulteti za elektrotehniko, racunalnistvoin informatiko iz solskih let 2002/03-2007/08. Naloge od 2003/04 vsebujejo
tudi resitve. Prosim, da morebitne napake med resitvami posredujete [email protected].
1
1. izpit 2002/03
1. Resi sistem
−5x2 + 6x3 + 11x4 = 16−x1 + 2x4 = 3
3x1 + 3x2 − 6x3 + 9x4 = 3−x1 + 3x2 − 4x3 − x4 = −3.
2. Poisci ekstreme funkcije f (x, y) = 2y3 + 5x2 + y2 + 6xy − 5y + 2x.
3. Izracunaj integrale
(a)∫ √
x−2x+3dx =;
(b)∫ π0
(x− π)2 sinxdx =;
(c)∫
cos 5x cos 2xdx =.
4. (E)Podana je tocka A (3, 1, 2) in premica
p :x− 1
3=y + 2
2=z − 6
4.
(a) Doloci premico, ki je vzporedna premici p in vsebuje tocko A.
(b) Doloci ravnino, ki je pravokotna na premico p in vsebuje tocko A.
5. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′ − 5y′ + 6y = 3e2x.
2
2. izpit 2002/03
1. (25)Resi homogen sistem enacb
2x+ 3y − z + 2t = 0−2x− 5y + 2z + t = 04x+ 10y − 4z + 2t = 0−6x− 5y + z − 11t = 0.
2. (20)Podane so tocke A(2, 1,−1), B(0, 3, 2) in C(5,−1, 2). Zapisi enacboravnine, ki jo dolocajo te tri tocke in izracunaj ploscino trikotnika4ABC.
3. Izracunaj integrale
(a) (10)∫
e2x
ex+1dx =;
(b) (10)∫ π0x2 cos 3xdx =;
(c) (10)∫
2x(x+1)dx =.
4. (25-E)Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = 10(10− x)(10− y)(x+ y − 10).
5. (25-R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′′ + 4y′ = 25xex + 8.
3
3. izpit 2002/03
1. (25)Resi sistem
3x− y + 2z − 2t = 23x− 2y − 6z + 3t = 1−12x+ 4y + 3z − t = 3
6x+ y − z − t = −1.
2. (20)Na kockiABCDEFGH (E je nadA) so bazni vektorji−−→AB = −→a ,
−−→AD =
−→b ,−→AE = −→c . Tocka P lezi na cetrtini daljice AC, tocka R deli daljico BH
v razmerju |BR| : |RH| = 1 : 2. Tocka Q je sredisce kvadrata AEHD.
Izrazi vektorje−→PR,
−−→PQ in
−−→QR ter narisi skico.
3. Izracunaj integrale
(a) (10)∫
sin2 xcos4 xdx =;
(b) (10)∫ π0x2 sin 2xdx =;
(c) (10)∫
2x(x2+1)dx =.
4. (25-E)Poisci definicijsko obmocje in ekstreme funkcije
f(x, y) =√−x2 − y2 + 4x− 6y − 15.
5. (25-R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′ + 2y′ − y = 2xe−x.
4
4. izpit 2002/03
1. (15) Resi sistem
3x+ 4y + z + t = 36x+ 8y + 2z + 5t = 7
9x+ 12y + 3z + 10t = 13.
2. (15) Izracunaj lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = y − xey + x.
3. Izracunaj:
(a) (10)∫xex
2dx =;
(b) (10)∫ π0x cos 3xdx =;
(c) (10) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = −x2 + 5x − 6 iny = −x+ 2.
4. (20-E) Poisci inverzno matriko matrike
A =
2 −3 14 −5 25 −7 3
.5. (20-R) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe x2y′ − xy = e−x.
6. Dane so tocke A(−4,−6, 1), B(−2, 3, 3) in C(4,−3,−2).
(a) (10) Poisci tocko D, da bo ABCD parelogram.
(b) (10) Zapisi enacbo ravnine, na kateri ta paralelogram lezi.
5
5. izpit 2002/03
1. (20) Resi sistem
x+ 2y + 3z = 5−2x− y + z = 1−3x− y + z = 4.
2. (15) Izracunaj lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x sin y.
3. Izracunaj:
(a) (10)∫x2exdx =;
(b) (10)∫
3x2+1x3+x dx =;
(c) (10) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = −x2 − 2x + 3 iny = x+ 3.
4. (20-R) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe xy′ − y = x3 − x2.
5. (15) Doloci enacbo ravnine in ploscino trikotnika, ki ju dolocajo tockeA(5, 2, 1), B(−2, 1, 3) in C(0, 1, 1).
6. (20-E) Resi matricno enacbo AX − 2AT = X, ce je
A =
2 −1 30 2 10 5 4
.
6
1. izpit 2003/04
1. Resi sistem
2x− 3y + z − 2t = 34x+ 2y − 3z − t = 0−6x+ y − z + t = −2
−4x+ 5y + 2z + 2t = 1.
2. (E)Podane so tockeA(4,−2,−5), B(−1, 0, 7) in C(4,−1, 8). Doloci dolzinestranic, notranje kote in ploscino trikotnika 4ABC.
3. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y − xy′ = y(
lny
x
)2
.
4. Izracunaj
(a)∫
x2+x(x−3)(x2+1)dx = ;
(b)∫
sin 4x cos 7xdx = ;
(c)∫ 4
0dx
3√x−2= .
5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = ex2+y2
na vezi x2 + y2 = 4x.
7
2. izpit 2003/04
1. Preveri ali so vektorji−→a = (3,−2, 4,−5),−→b = (2, 0,−1, 7), −→c = (1,−1, 4, 8)
in−→d = (1,−1, 3, 1) linearno neodvisni. Izracunaj se kot med vektorjema
−→a in−→b .
[Resitev: vektorji so linearno odvisni; α = arccos(− 1118 ).]
2. (E)Podana je funkcija f(x) = x2 + 2x− 3 + 10x . Izracunaj f(A), ce je
A =
−1 1 3−1 −3 11 −3 1
.
[Resitev: f(A) =
−2 −16 124 −6 −48 0 2
.]
3. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ − 5y′ + 4y = ex + x.
[Resitev: y = C1e4x + ex(C2 − 1
3x) + 14x+ 5
16 .]
4. Izracunaj
(a)∫
x3√
1−x2 dx = ;
[Resitev: 13 (1− x2)
32 +√
1− x2 + C.]
(b)∫x2 sin 2xdx = ;
[Resitev: ( 14 −
x2
2 ) cos 2x+ x2 sin 2x+ C.]
(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = x2 − 5x+ 4 in y = 4− x2.[Resitev: 125
24 .]
5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = ln(x2y) + 3xy − 2x2.
[Resitev: T1( 12 ,−
32 ) in T2(− 1
2 ,23 ), oba sta maksimuma.]
8
3. izpit 2003/04
1. Podane so tocke A(3,−2, 4), B(2, 0,−1) in C(1,−1, 4).
(a) Izracunaj ploscino 4ABC.[Resitev:
√34.]
(b) Doloci ravnino, ki jo dolocajo A, B in C.[Resitev: 5x+ 10y + 3z = 7.]
(c) Za vektor−→d = (m, 1,m2− 1) doloci m tako, da bo
−→d pravokoten na
vektor−−→AB.
[Resitev: m1 = −1+√
1412 in m2 = −1−
√141
2 .]
2. (e)Resi sistem
3x− 2y + 4z − 5t = 0 (1)2x− z + 7t = 0 (2)
x− y + 4z + 8t = 0x− y + 3z + 3t = 0.
[Resitev: sistem ima le trivialne resitve x = y = z = t = 0.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
xy′ − y = x2 sinx.
[Resitev: linearna; y = Cx− x cosx.]
4. Izracunaj
(a)∫
xx2+3dx = ;
[Resitev: 12 ln(x2 + 3) + C.]
(b)∫x coshxdx = ;
[Resitev: x sinhx− coshx+ C.]
(c) volumen vrtenine krivulje y =√
sinx cos 2x.[Resitev: V = 2
3π(√
2− 1).]
5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2y2−y2−2x2y+2y na vezi x2+y2 = 2y.
[Resitev: T1(0, 0), T2(0, 2), T3(1, 1) in T4(−1, 1) so minimumi; T5( 1√2, 1 +
1√2), T6( 1√
2, 1− 1√
2), T7(− 1√
2, 1+ 1√
2) in T8(− 1√
2, 1− 1√
2) so maksimumi.]
9
4. izpit 2003/04
1. Resi matricno enacbo XA−A2 = XB −B2, ce sta
A =
1 −1 20 3 10 0 −1
in B =
2 −1 30 2 −10 0 2
.
[Resitev: X =
3 0 − 113
0 1 − 43
0 0 −1
.]
2. (e)Podane so tocke A(−1, 1, 3), B(2, 1, 0) in C(0, 1,−2).
(a) Zapisi enacbo premice p skozi tocki A in B.[Resitev: p : x+1
3 = z−3−3 , y = 1.]
(b) Zapisi enacbo ravnine π skozi tocke A, B in C.[Resitev: π : y = 1.]
(c) Zapisi enacbo premice q skozi tocko C, ki je pravokotna na ravninoπ.[Resitev: q : x = 0, z = −2, y ∈ R.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ + 4y = xe2x.
[Resitev: y = C1 sin 2x+ C2 cos 2x+ ( 18x−
116 )e2x.]
4. Izracunaj
(a)∫
arcsinxdx = ;[Resitev: x arcsinx+
√1− x2 + C.]
(b)∫tet
2dt = ;
[Resitev: 12et2 + C.]
(c)∫∞1
x2−1x2(x2+1)dx = .
[Resitev: π2 − 1.]
5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2y2
2 − 3xy2 + 5y2
2 − 3x2y+ 18xy− 15y.
[Resitev: T1(3,−6), T2(5, 6), T3(1, 6), T4(5, 0) in T5(1, 0) so kandidati zaekstreme, nihce pa ni ekstrem.]
10
5. izpit 2003/04
1. Resi sistem:
4x+ 7y − 3z − 2t = 52x+ y − 3z − 2t = 1x− 2y + z − 3t = 2−5x+ y + z + t = 0.
[Resitev: x = − 2418145 , y = − 1214
145 , z = − 35529 in t = − 137
29 .]
2. (e)Poisci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike
A =
3 −1 1−1 5 −11 −1 3
.[Resitev: λ1 = 2, λ2 = 3 in λ3 = 6;
−→h1 = (−1, 0, 1),
−→h2 = (1, 1, 1) in
−→h3 = (1,−2, 1).]
3. (r)Poisci posebno resitev y(1) = 1 diferencialne enacbe
(x3 − 3xy2 + 2)dy + (3x2y − y3)dx = 0.
[Resitev: 2 = x3y − xy3 + 2y.]
4. Izracunaj
(a)∫ √
xx−2dx = ;
[Resitev: − ln(√
xx−2 − 1
)+ 1√
xx−2−1
+ ln(√
xx−2 + 1
)+ 1√
xx−2+1
+
C.]
(b)∫ ln 2
0t2e−tdt = ;
[Resitev: − 12 (ln 2)2 − ln 2 + 1.]
(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = x2 − 4 in 3y − 4x = −5[Resitev: 49
24 .]
5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = arctan(xy) na vezi x2 + y2 = 4.
[Resitev: T1(√
2,√
2) in T2(−√
2,−√
2) sta maksimuma in T3(−√
2,√
2)in T4(
√2,−√
2) sta minimuma.]
11
1. izpit 2004/05
1. Poisci a tako, da bo imel homogen sistem enacb netrivialno resitev insistem tudi resi:
x+ 2y + 3z = 02x− y + 5z = 0
5x+ ay + 3z = 0.
[Resitev: a = −50, x = 13y, z = −5y in y ∈ R.]
2. (e)Podane so tockeA(3,−2, 5), B(0, 2, 1) in C(2, 1,−1). Izracunaj ploscinotrikotnika ABC in poisci ravnino, ki jo dolocajo te tri tocke.
[Resitev: pl4 =√
3652 , 12x+ 14y + 5z = 33.]
3. (r)Poisci robno nalogo y(0) = 0 in y( 3π4 ) = − 1
2 za diferencialno enacbo
y′′ + 4y = 8x3 + 2x2 − 1.
[Resitev: y = 9π32 (3π2 + π − 8) sin 2x+ 1
2 cos 2x+ 2x3 + 12x
2 − 3x− 12 .]
4. Izracunaj:
(a)∫
xdxx3−x2+4x−4 ;
[Resitev: 15 ln |x− 1| − 1
10 ln |x2 + 4|+ 25 arctan x
2 + C.]
(b)∫
sin2 x cosxdx;[Resitev: 1
3 sin3 x+ C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 − 2 in y = −x2 + 4x− 2.
[Resitev:∫ 2
0(−2x2 + 4x)dx = 8
3 .]
5. Na vezi x2 + y2 = 4 poisci ekstreme funkcije
f (x, y) =x2
2.
[Resitev: T1(0, 2) in T2(0,−2) sta minimuma, T3(2, 0) in T4(−2, 0) stamaksimuma.]
12
2. izpit 2004/05
1. Resi sistem:
x+ 3y − 4z + 2t = 13x− y + 2z + t = 0−2x− 5y + z − t = 25x+ 3y − z + 3t = 4.
[Resitev: x = 134, y = −29, z = −102 in t = −227.]
2. (e)Podan je vektor −→a = (x, 3x2, 1− x). Doloci x tako, da bo −→a
(a) pravokoten na vektorju−→b = (2,−1, 2);
[Resitev: x1 =√
32 in x2 = −
√32 .]
(b) vzporeden z vektorjem −→c = (1, 3, 0).[Resitev: x = 1.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
xy′ − y = y2 lnx.
[Resitev: Bernoulijeva, y = xc+x−x ln x .]
4. Izracunaj:
(a)∫ (x5+x2)dxx6+7x3+6 ;
[Resitev: 13 ln |x3 + 6|+ C.]
(b)∫xe3xdx;
[Resitev: e3x(x3 −19 ) + C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x3 in x = y2.
[Resitev:∫ 1
0(√x− x3)dx = 5
12 .]
5. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x, y) = (x+ y)ex2+y2
.
[Resitev: ni lokalnih ekstremov.]
13
3. izpit 2004/05
1. Resi matricno enacbo 2X +B = AX − 3A, ce sta
A =
5 4 10 1 20 3 3
in B =
4 2 1−1 3 05 2 1
.
[Resitev: X = 17
29 5/3 −56/311 16 142 29 28
.]
2. Podana je ravnina π : 3x − 2y + z = 6 in tocke A(1, 1,−2), B(3, 1, 0)in C(1,−1, 4). Poisci ravnino σ, ki jo dolocajo tocke A,B in C. Ali staravnini π in σ pravokotni? Poisci se premico p, ki je vzporedna z obemaπ in σ in gre skozi tocko D(2, 1, 0).
[Resitev: σ : x−3y−z = 0, π in σ nista pravokotni, p : x−25 = y−1
4 = − z7 .]
3. Izracunaj:
(a)∫ (1+ln2 x)dx
x ;
[Resitev: ln |x|+ 13 (ln |x|)3 + C.]
(b)∫ π−π x
2 sin 2xdx;[Resitev: 0 (integral lihe funkcije na simetricnem intervalu).]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = 2x+ 3, y = −3x+ 5 in y = 0.[Resitev: 611
60 .]
4. Na vezi x2 + y2 = 9 poisci ekstreme funkcije
f (x, y) = 3x+ 8y − 9.
[Resitev: T1
(9√73, 24√
73
)je maksimum in T2
(− 9√
73,− 24√
73
)je minimum.]
14
4. izpit 2004/05
1. Izracunaj f(A), ce sta f(x) = x3 − x2 + 2x in
A =
1 0 12 1 4−3 2 3
.
[Resitev: f(A) =
−13 10 13−54 42 6419 26 53
.]
2. Ali so vektorji −→a = (3, 2, 1,−1),−→b = (−2, 1, 0, 3), −→c = (5, 1, 0,−1) in
−→d = (2, 3, 5, 4) linearno neodvisni?
[Resitev: so linearno neodvisni.]
3. Izracunaj:
(a)∫
dx√−x2−4x
;
[Resitev: arcsin x+22 + C.]
(b)∫ π/2−π/2 sin 2x cos 3xdx;
[Resitev: 0.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y2 = x+ 5, y = x+ 1 in y = 0.
[Resitev: (11+√
17)3/2
3√
2− 13+3
√17
4 .]
4. (e) Na vezi x2 − 4x+ y2 + 2y = 0 poisci ekstreme funkcije
f (x, y) = x2 + y2.
[Resitev: T1(0, 0) je minimum in T2(4,−2) maksimum.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ − 3y′ + 2y = 3ex.
[Resitev: y = ex(C1 − 3) + C2.]
15
5. izpit 2004/05
1. Izracunaj lastni vrednosti in lastna vektorja matrike
A =[
3 −34 −5
].
[Resitev: λ1 = −3 in λ2 = 1;⇀
h1 = (1, 2) in⇀
h2 = (3, 2).]
2. (e) Podana je kockaABCDEFGH (E je nadA) in njeni vektorji−→a =−−→AB,
−→b =
−−→AD in −→c =
−→AE. Tocka M je sredisce kvadrata CGHD, tocka N
deli rob BF v razmerju |BN | : |NF | = 4 : 1 in tocka O deli rob EH vrazmerju |EO| : |OH| = 3 : 1. Izrazi vektorje
−−→MN ,
−−→MO in
−−→ON z vektorji
−→a ,−→b in −→c in izracunaj skalarni in vektorski produkt vektorjev
−−→MN in−−→
MO.
[Resitev:−−→MN =
−→a2 −−→b + 3−→c
10 ,−−→MO = −
−→a2 −
−→b4 +
−→c2 in
−−→ON = −→a − 3
−→b4 −
−→c5 ;
−−→MN ·
−−→MO = 3|−→a |
20 in−−→MN ×
−−→MO = − 17−→a
40 −11−→b
20 −3−→c8 .]
3. Izracunaj:
(a)∫
dxx2(x2+1) ;
[Resitev: 1x + arctanx+ C.]
(b)∫ π−π x cos 5xdx;
[Resitev: 0, saj integriramo liho funkcijo na simetricnem intervalu.]
(c) ploscino manjsega obmocja, ki ga omejujejo y = −x2 + 3x − 1, y =−x− 6 in y = 0.[Resitev: pl =
∫ 0
−1(−x2 + 3x− 1 + x+ 6)dx = 8
3 .]
4. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x, y) = y ln(x2).
[Resitev: T1(1, 0) in T2(−1, 0) sta kandidata, vendar nista ekstrema; torejfunkcija nima lokalnih ekstremov.]
5. (r) Poisci zacetno nalogo y(1) = 1 diferencialne enacbe
x2y′ − xy = x3 sinx.
[Resitev: y = (1 + cos 1− cosx)x.]
16
6. izpit 2004/05
1. Podane so tocke A(2, 0, 1), B(3, 1, 1) in C(1,−1, 0). Trikotniku 4ABCdoloci dolzine stranic, velikosti kotov in ploscino.
[Resitev: pl =√
22 , a = 3, b =
√3 in c =
√2, α = arccos −
√2√
3, β =
arccos 2√
23 in γ = arccos 5
3√
3.]
2. (e) Resi sistem
x− 3y + 2z − t = 82x− 5y + z + t = 3−3x+ y − 3t = 1−4x+ y − 3z = 2.
[Resitev: x = 856 , y = 1
6 , z = 32918 in t = 125
9 .]
3. Izracunaj:
(a)∫
dx√x2−2x+2
;
[Resitev: ln(x− 1 +
√x2 − 2x+ 2
)+ C.]
(b)∫
1√x
tan√xdx;
[Resitev: −2 ln | cos√x|+ C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = x3 in y = 4x.[Resitev: 8.]
4. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x, y) = arctan(xy).
[Resitev: stacionarna tocka je T (0, 0), ki pa ni ekstrem.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
xy′ + xy = y lnx.
[Resitev: locljive spremenljivke, y = 12e
1−x lnx.]
17
1. izpit 2005/06
1. Glede na a resi sistem
x+ y − z − t = 22x+ y + 3z − 5t = 24x+ 3y + z − t = 1
2x+ y + 3z − 2t = a.
[Resitev: za a 6= − 12 ni resitve; za a = − 1
2 je resitev t = − 56 , y = 5z + 9
2 ,x = −4z − 10
3 in z ∈ R.]
2. (e)Podane so tocke A(3, 1, 2), B(4,−1, 1) in C(2, 0, 1). Izracunaj ploscinotrikotnika ABC, dolzine nejgovih stranic in velikosti njegovih kotov.
[Resitev: pl =√
142 , a =
√5, b =
√3 in c =
√6, α = arccos
√2
3 , β =arccos 4√
30in γ = π − α− β.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
2y′ + 4y = e−2x sinx.
[Resitev: linearna, y = e−2x(C − 12 cosx).]
4. Izracunaj:
(a)∫
x2dx(x−2)3
;
[Resitev: ln |x− 2|+ 6−4x(x−2)2 + C.]
(b)∫
arcsinxdx;[Resitev: x arcsinx+
√1− x2 + C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = x+ 1, y = 2x− 2 in y = 0.
[Resitev: pl =∫ 1
−1(x+ 1)dx+
∫ 3
1(x+ 1− 2x+ 2)dx = 4.]
5. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x, y) = x3 + x2y + y2 + 6.
[Resitev: kandidata sta T1(0, 0) in T2(3,− 92 ) vendar noben ni ekstrem.]
18
2. izpit 2005/06
1. Izracunaj lastne vrednosti in lastne vektorje za matriko
A =
2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2
.[Resitev: λ1 = 0 in λ2,3 = 3;
−→h1 = (1, 1, 1),
−→h3 = (1,−1, 0) in
−→h3 =
(1, 0,−1).]
2. Podana sta vektor −→a = (5m + 2, 3,m2 − 1) in premica p : x−1−2 = y+2
−3 =z −√
3. Doloci m tako, da bosta −→a in p
(a) pravokotna;[Resitev: m = 0.]
(b) vzporedna.[Resitev: m1,2 = 5±
√38.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ + y′ = x+ e3x.
[Resitev: y = C1 + C2e−x + 1
2x2 − x+ 1
12e3x.]
4. Izracunaj:
(a)∫x2dxx3−1 ;
[Resitev: 13 ln |x3 − 1|+ C.]
(b)∫x2e2xdx;
[Resitev: e2x(x2
2 −x2 + 1
4 ) + C.]
(c)∫ 2
02x√4−x2 dx.
[Resitev: 4.]
5. (e)Na vezi x2 + 9y2 = 9 poisci ekstreme funkcije
f (x, y) = 2xy + x2 + y2 + 3.
[Resitev: T1( 9√10, 1√
10) in T2(− 9√
10,− 1√
10) sta maksimuma in T3( 3√
10,− 3√
10)
in T4(− 3√10, 3√
10) sta minimuma.]
19
3. izpit 2005/06
1. Resi sistem:
x+ y − t = 3x+ 2y + z + t = −2
2x+ 3y + 3z − t = −12x+ 4y + 2z + t = −1.
[Resitev: x = − 72 , y = 7
2 , z = − 52 in t = −3.]
2. Zapisi enacbo ravnine Σ, ki vsebuje tockeA(5, 2,−1), B(4,−1, 1) in C(3, 0, 1).Doloci se premico p skozi tocko D(2, 5, 1), ki je pravokotna na Σ.
[Resitev: Σ : x+ y + 2z = 5 in p : x− 2 = y − 5 = z−12 .]
3. Izracunaj
(a)∫
dx√3−2x−x2 ;
[Resitev: arcsin x+12 + C.]
(b)∫x sin 5xdx;
[Resitev: −x5 cos 5x+ 125 sin 5x+ C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 + 2x in y = x3.
[Resitev: pl =∫ 0
−1(x3 − x2 − 2x)dx+
∫ 2
0(x2 + 2x− x3)dx = 29
12 .]
4. Na vezi x2 + y2 = 4y poisci ekstreme funkcije
f (x, y) = 2x2 + y + 3.
[Resitev: minimuma sta T1(0, 0) in T2(0, 4), maksimuma pa sta T3( 3√
74 , 9
4 )in T4(− 3
√7
4 , 94 ).]
20
4. izpit 2005/06
1. Za funkcijo f(x) = x2 − 5x+ 3− 2x izracunaj f(A), ce je
A =
1 2 22 −1 23 2 5
.
[Resitev: f(A) =
3 −10 10− 20
3493
103
353
203
293
.]
2. Podana so ogljisca trikotnikaA(5, 2,−1), B(3,−1, 0) in C(2, 0, 5). Izracunajnjegovo ploscino, dolzine stranic in velikosti kotov.
[Resitev: pl =√
3622 , a =
√27, b = 7 in c =
√14, α = arccos 18
7√
14,
β = arccos −4√14√
27in γ = π − α− β.]
3. (r)Poisci zacetno nalogo y(1) = 0 za diferencialno enacbo
3xyy′ +x
y=x2
y+ xy′ sin y.
[Resitev: locljive spremenljivke, (x− 1)2 = 2y3 + 2 cos y − 2 sin y.]
4. Izracunaj:
(a)∫
sin 3x cos 5xdx;[Resitev: 1
4 cos 2x− 116 cos 8x+ C.]
(b)∫x−
12 arcsin
√xdx;
[Resitev: 2√x arcsin
√x+ 2
√1− x+ C.]
(c) ploscino lika, ki ga omejujejo y = 1, y = −x+ 3 in y = −2x+ 2.
[Resitev: pl =∫ 2
−1(−x+ 3)dx−
∫ 12−1
(−2x+ 2)−∫ 2
1dx = 11
4 .]
5. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x, y) = x arctan y − x− y.
[Resitev: stacionarna tocka je T (2, 1), vendar v njej ni dosezen ekstrem.]
21
5. izpit 2005/06
1. Resi sistem
x+ z = 52x+ y + z + 3t = −2
3x+ 2y + 2z + 4t = 24x+ 3y − 2z = 1.
[Resitev: x = 23 , y = 7
3 , z = 133 in t = − 10
3 .]
2. Izracunaj lokalne ekstreme funkcije
f(x, y) = y sinx+y2
2.
[Resitev: stacionarne tocke so T1,k(kπ, 0) in T2,k(π2 + kπ, (−1)k); v T1,k niekstrema, v T2,k so lokalni minimumi.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ − y′ − 6y = sin 3x.
[Resitev: y = C1e3x + C2e
−2x − 572 sin 3x− 1
72 cos 3x.]
4. Izracunaj:
(a)∫x2 lnxdx;
[Resitev: x3
3 lnx− x3
9 + C.]
(b)∫
dx(x+2)(x2+4)dx;
[Resitev: 18 ln |x+ 2| − 1
16 ln(x2 + 4) + 18 arctan x
2 +D.]
(c) ploscino lika, ki ga omejujejo y = x2, y = 2− x in y = 6− x.
[Resitev: p =∫ −2
−3(6− x− x2)dx+
∫ 1
−2(6− x− 2 + x)dx+
∫ 2
1(6− x−
x2)dx = 493 .]
5. (e)V trapezu ABCD, kjer je −→a = AB,−→b = AD in
−−→DC = 3
4−→a deli tocka
M stranico AB v razmerju |AM | : |MB| = 1 : 3 in tocka N stranico DC vrazmerju |DN | : |NC| = 1 : 2. Oznacimo z S presecisce MN z diagonaloAC. Izracunaj razmerje |AS| : |SC|.[Resitev: |AS| : |SC| = 1 : 2.]
22
6. izpit 2005/06
1. Resi matricno enacbo A2X +B = A2 −BX, ce sta
A =
2 5 −10 1 40 0 3
in B =
−1 2 30 1 50 2 2
.
[Resitev: X = (A2 +B)−1(A2 −B) =
5/3 451/30 −173/300 −21/10 13/100 1/5 2/5
.]
2. (e)Na vezi x+ y = 5 izracunaj ekstreme funkcije
f(x, y) = arctanxy.
[Resitev: v T ( 52 ,
52 ) je maksimum.]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
x3y′ + 2y = y3/2e−1/(2x2).
[Resitev: Bernoulijava, y = e1/x2
(C+ 14x2 )2
.]
4. Izracunaj:
(a)∫x3 sinx2dx;
[Resitev: − 12x
2 cosx2 + 12 sinx2 + C.]
(b)∫
dxx2−2x−1 ;
[Resitev: 12√
2ln x−1−
√2
x−1+√
2+ C.]
(c) volumen vrtenine y =√
x−1x+3 na intervalu [1, 5].
[Resitev: V = π∫ 5
1x−1x+3dx = 4π(1− ln 2).]
5. Skozi presecisce premic p : x−24 = 2y+1
−2 = z−12 in q : 2x+1
3 = y−1−3 = z+5
15doloci premico, ki je pravokotna na p in q.
[Resitev: r : x6 = y38 = z
7 .]
23
1. izpit 2006/07
1. Resi sistem
x+ y − t = 3x+ 2y + z + t = −2
2x+ 3y + 3z − t = −12x+ 4y + 2z + t = −1.
[Resitev: x = − 72 , y = 7
2 , z = − 52 in t = −3.]
2. Izracunaj:
(a)∫ π/30
x2 sin 3xdx;
[Resitev: π2−427 .]
(b)∫
x2
x3−8dx;
[Resitev: 13 ln |x3 − 8|+ C.]
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 − 2x− 8 in y = −3x− 6.
[Resitev: pl =∫ 1
−2(−x2 − x+ 2)dx = 9
2 .]
3. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ − 5y′ − 14y = x2 − ex.
[Resitev: y = C1e7x + C2e
−2x − 114x
2 + 598x−
391372 + 1
18ex.]
4. (e)Podane so tocke A(2, 1,−1), B(−1, 0, 3) in C(0, 1, 1). Doloci ranino π,ki jo dolocajo te tri tocke in izracunaj obseg in ploscino trikotnika ABC.
[Resitev: π : x+ y + z = 2, pl =√
3 in ob =√
26 +√
2 + 2√
2..]
5. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.
[Resitev: stacionarni tocki sta T1(0, 0) (ni ekstrem) in T2(1, 1) (je mini-mum).]
24
2. izpit 2006/07
1. Izracunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike
A =
3 2 33 4 50 0 1
.[Resitev: λ1 = 6 in λ2,3 = 1,
−→` 1 = (2, 3, 0),
−→` 2 = (−1, 1, 0) in posplosen
lastni vektor−→` 3 = (−9, 1, 5).]
2. Poisci presecisce premic p : x−12 = y + 1 = z−2
−6 in q : 2− x = y − 1 = z−15
in doloci ravnino, ki vsebuje p in q.
[Resitev: presecisce je T (3, 0,−4) in ravnina je 11x− 4y + 3z = 21.]
3. Izracunaj:
(a)∫
arccosxdx;[Resitev: x arccosx−
√1− x2 + C.]
(b)∫x ln 1
x2+1dx;
[Resitev: − 12 (x2 + 1) ln(x2 + 1) + 1
2 (x2 + 1) + C.]
(c) ploscino, ki je omejena z y = 3, y = −x+ 3 in y = 2x− 6.
[Resitev: pl =∫ 3
0xdx+
∫ 9/2
3(9− 2x)dx = 27
4 .]
4. Poisci lokalne eksteme funkcije f(x, y) = xex−y2
+ y2.
[Resitev: v T (−1, 0) je minimum.]
25
3. izpit 2006/07
1. Izracunaj f(A), ce je f(x) = x2 − 3x+ 2− 4x in je
A =
1 4 −1−5 0 12 2 −1
.
[Resitev: f(A) =
−24 −8 119 −15 5−26 6 26
.]
2. (e)V trapezu ABCD velja−−→DC = 3
4
−−→AB. Doloci v kaksnem razmerju seka
diagonala BD diagonalo AC.
[Resitev: |AE| : |EC| = 4 : 3.]
3. Izracunaj:
(a)∫x5dxx6+1 ;
[Resitev: 16 ln(x6 + 1) + C.]
(b)∫x2e2xdx;
[Resitev: e2x(x2 − x2 + 1
4 ) + C.]
(c) ploscino, ki je omejena z 2y + x = 1 in y = −x2 + 4x− 3.
[Resitev: pl =∫ 7/2
1(−x2 + 9
2x−72 )dx = 181
6 .]
4. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x3y3 na vezi 4x2 + y2 = 1.
[Resitev: T1( 12√
2, 1√
2) in T2(− 1
2√
2,− 1√
2) sta maksimuma in T3( 1
2√
2,− 1√
2)
in T4(− 12√
2− 1√
2) sta minimuma.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′′ + y′ = sin 2x.
[Resitev: y = C1 + C2 sinx+ C3 cosx+ 16 cos 2x.]
26
4. izpit 2006/07
1. Resi sistem:
2x− 4y + 2z − 6t = 3−2x+ 3y − 2z + 3t = 2
3x− 5y + 3z − 6t = −12
5x+ 2y − z + 2t = −1.
[Resitev: x = 16 t+ 1
12 , y = −5− 3t, z = − 10312 −
196 t in t ∈ R.]
2. Tetraeder ABCD je dolocen z vektorji−−→AB = −→a ,
−→AC =
−→b in
−−→AD = −→c .
(a) Izrazi vektor−−→EC, ce je E razpolovisce roba BD.
(b) Izrazi vektor−−→TD, ce je T tezisce trikotnika ABC.
[Resitev:−−→EC = − 1
2−→a +
−→b − 1
2−→c in
−−→TD = − 1
3−→a − 1
3
−→b +−→c .]
3. Izracunaj:
(a)∫ (x+2)dx
(x−1)2(x+1) ;
[Resitev: ln(x+1x−1
)1/4
− 32(x−1) +D.]
(b)∫x cos 3xdx;
[Resitev: x3 sin 3x+ 1
9 cos 3x+ C.]
(c) ploscino, ki je omejena z y = x3 in x = y2.
[Resitev:∫ 1
0(√x− x3)dx = 5
12 .]
4. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + y2 sinx.
[Resitev: kandidati so T1(0, 0), Tk((2k−1)π,±√
(4k − 2)π) in T−k(2kπ,±√
4kπ),kjer je k ∈ N, vendar nimamo nobenega ekstrema.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
xy′ + y = cosx.
[Resitev: linearna, y = C+sin xx .]
27
5. izpit 2006/07
1. Resi matricno enacbo AX −B = BX +A, ce sta
A =
5 1 06 2 42 3 −1
in B =
1 4 −1−5 0 12 2 −1
.
[Resitev: X = (A−B)−1 (B +A) =
61 68 −304 5 −2−226 −252 113
.]
2. Podana sta vektorja −→a = (x, 1 − x, 3) in−→b = (1, 2,−3). Doloci x tako,
da bosta −→a in−→b .
(a) pravokotna;[Resitev: x = −7.]
(b) enako dolga;[Resitev: x1 = 2 in x2 = −1.]
(c) vzporedna.[Resitev: ni resitve.]
3. Izracunaj:
(a)∫
dx√−x2+4x−3
;
[Resitev: arcsin(x− 2) + C.]
(b)∫ π/2−π/2 x
2 sin 2xdx;
[Resitev: 0.]
(c) ploscino, ki je omejena z y = x− 4 in y = x2 + 3x− 12.
[Resitev:∫ 2
−4(x− 4− x2 − 3x+ 12)dx = 36.]
4. Poisci lokalne ekstreme funkcije
f(x, y) = y√x3 + x
√y3.
[Resitev: edini kandidat je T = (0, 0), ki je na robu definicijskega obmocjain ni lokalni ekstrem.]
28
6. izpit 2006/07
1. Resi sistem
5x− 3y + 4z + 2t = −1x− 2y + 3z − 4t = 23x+ y + 2z − t = 1−x+ y + z − 2t = 2.
[Resitev: x = − 35107 , y = 44
107 , z = 67107 in t = − 34
107 .]
2. Izracunaj dolzine stranic, velikosti kotov in ploscino trikotnika ABC, ceso A(1,−1, 2), B(3, 0,−4) in C(2, 1, 1). Poisci se ravnino π, ki jo dolocajote tri tocke.
[Resitev: π : 11x− 4y+ 3z = 21, pl =√
1462 , a =
√41, b =
√6 in c =
√27,
α = arccos 10√41√
6, β = arccos 31√
41√
27in γ = π − α− β.]
3. Izracunaj:
(a)∫
dx4+sin2 x
;
[Resitev: 12√
5arctan
(√5
2 tanx)
+ C.]
(b)∫ π/2−π/2
√2
5−xdx;
[Resitev: −4√
5−x2 + C.]
(c) ploscino, ki je omejena z x-osjo in funkcijama y = sinx in y = cosxna intervalu
[0, π2
].
[Resitev: pl =∫ π/40
sinxdx+∫ π/2π/4
cosxdx = 2−√
2.]
4. (e) Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2+2xy+y2 na vezi 4x2+(y−1)2 =1.
[Resitev: maksimuma sta T1( 12√
2, 1+√
2) in T2(− 12√
2, 1+√
2), minimumapa T3(0, 0) in T4(− 2
5 ,25 ).]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′ − 3y′ − 4y = 8x2 − 3.
[Resitev: y = C1e4x + C2e
−x − 2x2 + 3x− 52 .]
29
1. izpit 2007/08
1. Na vezi x+ y = 1 poisci ekstreme funkcije f (x, y) = xy.
[Resitev: v T ( 12 ,
12 ) je maksimum.]
2. (e)Podane so tocke A(1, 2,−1), B(0, 3, 2) in C(2,−1, 1).
(a) Doloci enacbo ravnine π, ki jo dolocajo te tocke.
(b) Izracunaj ploscino M ABC.
(c) Skozi tocko B zapisi premico p, ki je vzporedna premici skozi tockiA in C.
[Resitev: π : 11x+ 5y+ 2z = −19; pl = 12
√150 in p : x− 2 = y+1
−3 = z−12 .]
3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
5y′′ + 3y′ − 8y = −16x2 − 12x+ 69.
[Resitev: y = C1ex + C2e
−8x/5 + 2x2 + 3x− 5.]
4. Izracunaj:
(a) Ia =∫
xdx(x+1)(2x+1) ;
(b) Ib =∫
sin x(1−cos x)2 dx;
(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = 2x− x2 in x+ y = 0.
[Resitev: Ia = ln |x + 1| − 12 ln |2x + 1| + C; Ib = 1
cos x−1 + C in pl =∫ 3
0(2x− x2 − (−x))dx = 9
2 .]
5. Resi matricno enacbo AX −B2 = 3X, ce sta
A =
2 0 11 2 11 1 1
.
[Resitev: X = (AT − I)−1(A2 + A) =
1 −1 0−1 1 11 0 −1
7 1 46 7 55 4 4
= 1 −6 −14 10 52 −3 0
.]
30
2. izpit 2007/08
1. Poisci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike
A =
3 −1 1−1 5 −11 −1 3
.[Resitev: lastne vrednosti so λ1 = 2, λ2 = 3 in λ3 = 6, pripadajoci lastnivektorji so
−→`1 = (−1, 0, 1),
−→`2 = (1, 1, 1) in
−→`3 = (1,−2, 1).]
2. Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y.
[Resitev: v T (1, 0) je lokalni minimum.]
3. Izracunaj:
(a) Ia =∫
e2x
1+ex dx;
(b) Ib =∫
sinx sin 2x sin 3xdx;
(c) ploscino lika, ki ga omejuje funkcija y = x(x− 1)2 in x-os.
[Resitev: Ia = 1+ex−ln(1+ex)+C, Ib = 124 cos 6x− 1
16 cos 4x− 18 cos 2x+C,
pl =∫ 1
0x(x− 1)2dx = 1
12 .]
4. Podana sta vektorja −→a = (r2, 4, r− 1) in−→b = (2, r, 5). Ce obstaja, doloci
r tako, da bosta vektorja −→a in−→b
(a) pravokotna;
(b) vzporedna.
[Resitev: za r1 = −5 in r2 = 12 sta vektorja pravokotna, medtem ko za
vsak r nista vzporedna.]
31
3. izpit 2007/08
1. Poisci resitve sistema
−3x+ 4y + 3z + t = 1−x+ y + z + 2t = 2−x+ 2y + z + 3t = −1
2x+ 4y − z − t = 2.
[Resitev: x = 613 , y = − 10
3 , z = 25 in t = 13 .]
2. (e)Poisci presecisce premic p : x−22 = y−3
4 = z+25 in q : x−2
−2 = y−103 = z−7
4in ravnino π, ki jo razpenjata premici p in q.
[Resitev: .presecisce je A(4, 7, 3) in π : x− 18y + 17z = −80.]
3. Izracunaj:
(a) Ia =∫
dxsin x cos x ;
(b) Ib =∫x arctanxdx;
(c) volumen vrtenine funkcije y =√xex na intervalu [0, 1].
[Resitev: Ia = ln | tanx| + C, Ib = 12 (x2 + 1) arctanx − x
2 + C in V =π∫ 1
0xe2xdx = 1
4 (e2 + 1).]
4. Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ex sin y + x.
[Resitev: stacionarne tocke so Tk(0, π2 + (2k − 1)π), vendar v njih ni ek-stremov.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′′′ + 9y′′ = 7 cos 2x.
[Resitev: y = C1 + C2x+ C3e−9x − 63
340 cos 2x− 7140 sin 2x.]
32
4. izpit 2007/08
1. Resi matricno enacbo XA = A2 − 2XBT , ce sta
A =
3 2 −40 3 25 1 1
in B =
−1 1 −1−1 −1 02 −2 0
.
[Resitev: X = A2(A+ 2BT )−1 = 13
−85 20 4−66 3 30−35 31 11
.]
2. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + y
3 na vezi x2 + y2 = 1.
[Resitev: T1( 3√13, 2√
13) je maksimum in T2(− 3√
13,− 2√
13) je minimum.]
3. Izracunaj:
(a) Ia =∫
dxx2+2x+3 ;
(b) Ib =∫x sin 2xdx;
(c) povrsino rotirajoce ploskve za y = 13x
3 na intervalu [0, 2].
[Resitev: Ia = arctan x+12 + C, Ib = −x2 cos 2x + 1
4 sin 2x + C in S =2π∫ 2
0x3
3
√1 + x4dx = π
9 (173/2 − 1).]
4. Podane so tocke A(4, 7, 3), B(−2, 3, 4) in C(2, 3,−2) ter premica p : x+13 =
y−5−1 = z + 1. Doloci ravnino π, ki jo dolocajo tocke A, B in C ter poisci
presecisce ravnine π in premice p.
[Resitev: π : 3x− 4y + 2z = 10 in π ∩ p = {(6, 83 ,
43 )}.]
33
5. izpit 2007/08
1. Poisci resitve homogenega sistema
2x+ 2y − 3z + 5t = 0−3x− y + z + 2t = 0
x+ y + z − t = 0x− y − 3z + 3t = 0.
[Resitev: x = y = z = t = 0.]
2. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ex(2x+ y2).
[Resitev: v T (−1, 0) je minimum.]
3. Izracunaj:
(a) Ia =∫
ln(x2 + 1)dx;
(b) Ib =∫x2 5√x3 + 2dx;
(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y2 = −8x+16 in y2 = 24x+48.
[Resitev: Ia = x ln(x2 + 1)− 2x+ 2 arctanx+ C, Ib = 518 (x3 + 2)6/5 + C
in p = 8√
63 .]
4. V trikotniku ABC izracunaj dolzine stranic, velikosti kotov in njegovoploscino, ce so A(1,−2, 3), B(3, 1, 2) in C(−1, 1,−3).
[Resitev: a =√
41, b = 7 in c =√
14, α = arccos 117√
14, β = arccos 3√
14√
41
in γ = π − α− β, p = 12
√565.]
5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y′ − 1xy = x.
[Resitev: linearna, y = Cx+ x2.]
Dodatna literatura• M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladic, Resene naloge iz Analize I, DMFA
1987, Ljubljana.
34
• B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize : z namigi, nasveti in rezultati,DMFA 2000, Ljubljana.
• P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja I. del,Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 2001, Ljubljana.
• P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja II. del,Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 1989, Ljubljana.
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletnaizdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/analiza2.pdf
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/mat2rvs.pdf
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletnaizdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/analiza1.pdf
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 1, FERI, Maribor 2005, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 1, FERI, Maribor 2005, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/mat1rvs.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/mat2izr.pdf
35