微信：zjjsks qq 群：229871630 - offcn.comzj.offcn.com/dl/2018/0313/20180313043000547.pdf ·...

微信：zjjsks QQ 群：229871630

学员专用，请勿外泄

2018上半年全国教师资格笔试重要分析

（高中数学）

考点·级数的敛散性

1．定义

若数项级数的部分和数列的极限存在，即，则称级数收敛，

否则就称级数发散．当级数收敛时，称极限值为此级数和，称

为级数的余项或余和．

2．几个重要级数

（1）几何级数（等比级数）

当时收敛，当时发散．

（2）级数

当时收敛，当时发散．

3．数项级数的基本性质

（1）如果级数 1

n

n

u

收敛，其和为S ， k 为常数，则级数 1

n

n

ku

也收敛，其和为kS ．

（2）若级数 1

n

n

u

与级数 1

n

n

v

分别收敛于与，则级数 1

( )n n

n

u v

收敛于．

（3）添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变．

（4）两边夹定理： n n nu v w 而 1

n

n

u

与 1

n

n

w

都收敛，则级数 1

n

n

v

也收敛．

（5）级数收敛的必要条件：若级数 1

n

n

v

收敛，则

lim 0nn

v

．

4．柯西收敛原理

1

i

i

u

{ }nS lim n

nS S

1

i

i

u

1

i

i

u

1

i

i

u

lim nn

S S

1 2n n n nr S S u u

0

n

n

q

1q 1q

p

0

1p

n n

1p 1p



级数收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数，总存在正整数 N，使得当

时，对于任意的正整数，都有成立．

5．正项级数收敛判定

设级数，若，则称为正项级数．

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界．

（1）比较法

设和均为正项级数，且，

如果级数收敛，则级数也收敛；如果级数发散，则级数也发

散．

（2）比值法

设是一个正项级数，如果，则

当时，级数收敛；当或时，级数发散；当时，级数可能

收敛，也可能发散（不用此法判断）．

（3）根值法

如果，则

6．交错级数收敛判别

莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件：（1）；

（2），则级数收敛，且其和，其余项的绝对值．

1

n

n

u

n N p 1 2n n n pu u u

1

n

n

u

0( 1,2, )nu n 1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

v

( 1,2, )n nu v n

1

n

n

v

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

v

1

n

n

u

1lim n

nn

u

u

1 1

1lim n

nn

u

u

1

punn

n

lim 1

1,

1,

1.

n

n

p

u p

p

收敛，

发散，

不确定，

1

1

( 1)n

n

n

u

1s u nr 1n nr u



7．绝对收敛与条件收敛

定理：如果级数收敛，则级数也收敛．

定义：如果级数收敛，则级数也收敛，此时称绝对收敛；如果

发散，而级数收敛，此时称条件收敛．

考点·矩阵的特征值和特征向量

1．定义

（1）设为数域上的阶方阵，如果存在数域上的数和非零向量，使得

，则称为的一个特征值（特征根），而称为的属于特征值的一

个特征向量．

（2）设为阶方阵，则矩阵称为的特征矩阵，其行列式称为

的特征多项式，记为，即，称

为的特征方程．

2．性质

（1）若是的任一特征值，非零向量为的属于特征值的特征向量，即满足

，则必有一定是的特征值（为正整数）．

（2）若是的任一特征值，非零向量为的属于特征值的特征向量，若

为任一多项式，则有是的特征值．

（3）若是的任一特征值，非零向量为的属于特征值的特征向量，则

A ( )f A TA

1A

*A

1P AP

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

1

n

n

u

A F n F 0

0Aξ ξ 0 A ξ A

ij naA

n E - A A A

f

f 0 E - A A

i A ξ A i

ξAξ ik

i kA k

i A ξ A i

n

nn axaxaxf 1

10 if Af

i A ξ A i



( )f 1

| |A

（4）如果是的属于特征值的一个特征向量，那么的任何一个非零倍数k 也

是的属于特征值的特征向量．即特征向量不是被特征值所唯一决定的．相反，特

征值确实被特征向量所唯一决定的．一个特征向量只能属于一个特征值．

注：属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

3．矩阵特征值和特征向量的求法

（1）根据定义，构造，求得的特征值，及属于特征值的一个特

征向量．

（2）设为阶方阵，则由可以求出矩阵的全部特征值，

再根据齐次线性方程组求出属于的特征向量．其中，基础解系即

为属于的线性无关特征向量，通解即为属于的全体特征向量（不包含 0向

量）．

考点·线性空间

1．线性空间的定义与简单性质．

（1）线性空间的定义

设V 是一个非空集合，P 是一个数域，在集合V 的元素，，之间的加法，在数

域 P中任意数，与集合V 的元素之间的数量乘法，如果满足下述规则，那么V 称

为数域P上的线性空间．

① ．

② ．

③ ．

④ ．

⑤ ．

⑥ ．

ξ A ξ

A

0Aξ ξ A 0 A

ξ

ij naA

n 0 E - A A i

0 XAEi A i

A i A i



⑦ ．

⑧ ．

（2）线性空间的性质

①零元素是唯一的．

②负元素是唯一的．

③ ；；．

④如果，那么或．

2．维数、基与坐标

（1）线性组合

设V 是数域P上的一个线性空间，，，，是V 中的一组向量，

，，，是数域P 中的数，那么向量

称为向量组，，，的一个线性组合．有时我们也说向量可以用向量组

，，，线性表示．

（2）线性相（无）关

线性空间V 中的向量，，，称为线性相关，如果在数域P 中的有

个不全为零的数，，，，使．当且

仅当时，成立，则

，，，称为线性无关．

（3）维数

如果在线性空间V 中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，

那么V 就称为n维空间；如果在线性空间V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那

么V 就称为无限维．

（4）基与坐标



在 n维线性空间V 中，n个线性无关的向量 1 2 n，，，ε ε ε 称为一组基．设是V 中任一

向量，于是，，，，线性相关，因此可以被基线性表

示：

其中系数，，，是被向量和基，，，唯一确定的，这组数

就称为在基，，，下的坐标，记为，，，．

3．基变换和坐标变换的关系

设，，，与，

，，

是 n维线性空间 V中两组基，它们的关系

是

（1）．

设向量在这两组基下的坐标分别为，，与，

，，

，即

向量

（2）．

（1）式可写成

，

，，

，，，

（3）．

矩阵

称为由基，，，到基

，

，，

的过渡矩阵．它是可逆矩阵．

（2）式写成，，，

，

，，

．将

（3）式代入得

，，，

1 2 n ，，...



，，，

．

由基向量的无关性得

，

或

．

4．线性子空间及其判定．

（1）线性子空间

数域P上线性空间V 的一个非空子集合W ，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上

的线性空间．那么非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（简称子空间）．

（2）线性子空间的判定

如果线性空间V 的非空子集合W 满足下面两个条件，那么W 就是一个子空间．

①对于W 中的任一向量，数域P 中的与的数量乘积也在W 中．

②对于W 中的向量与，向量与的和也在W 中．

考点·向量组的极大线性无关组及矩阵的秩

1．基本概念

（1）极大线性无关组

一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关

的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性

相关．

注：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．

（2）向量组的秩



向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．

注：考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，因此一向量组线性无关

的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同．

（3）矩阵的秩

矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为矩阵的秩．

2．基本性质

（1）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．

（2）等价的向量组必有相同的秩．（秩相同的向量组未必等价）

（3）矩阵 A的秩是r 的充分必要条件为 A中有一个r 阶子式不为零，同时所有 +1r 阶

子式全为零．

考点·线面位置关系

1．两个平面间的关系

，则

∥ ；

；

的夹角（法向量间的夹角，不大于 90度）满足

．

2．两条直线间的关系

设，，则

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2: 0, : 0A x B y C z D A x B y C z D

1 21 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

1 2 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C

1 2

1 21 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosn n A A B B C C

n n A B C A B C

1 1 11

1 1 1

:x x y y z z

Ll m n

2 2 2

2

2 2 2

:x x y y z z

Ll m n



∥ ，且不满足的方程；

；

的夹角（方向向量间的夹角，不大于 90度）满足

．

3．直线与平面的位置关系

直线和它在平面投影直线所夹锐角称为直线与平面的夹角．当直线与平面垂直时，

规定夹角为．

，，

，

则 L∥ ，即且；

L⊥ ∥ ，即；

L与的夹角，

．

考点·正态分布

1．定义

若随机变量的概率密度函数为，其中参数

，则称服从正态分布，记为．特别地，将称为

1L 2L1 1 1

2 2 2

l m n

l m n

1 1 1( , , )x y z 2L

1 2 1 2 1 2 1 2 0L L l l m m n n

1L 2L

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cosl l m m n n

l m n l m n

2

0 0 0:x x y y z z

Ll m n

: 0Ax By Cz D

{ , , }, { , , }s l m n n A B C

s n 0Al Bm Cn 0 0 0 0Ax By Cz D

s n

A B C

l m n

,

2s n

2 2 2 2 2 2sin

Al Bm Cn

A B C l m n

X

2

221

2

x

f x e x R

, 0R X2~NX （ , ） 0,1N



标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记作与

．

2．常用性质

（1），则．该公式揭示了求解正态分布问题的一个重

要思路：标准化．

（2）正态分布具有对称性，也即其概率密度是关于直线对称的．特别

地，标准正态分布的概率密度是偶函数；该性质也可以概括成等式：

．

考点·教学设计

1．根据新课改的要求，教学目标要从知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观三

个维度进行书写．

2

21

( )2

x

x e

2

21

( )2

tx

x e dt

2~NX （ , ）~N

X

（0,1）

2,N x

1x x

课题名称

一、教学目标

知识与技能：

过程与方法：

情感、态度与价值观：

二、教学重难点

重点：

难点：

三、教学准备

（教具、学具、教法、学法）（可选）

四、教学过程

1．创设情境，导入新课

2．师生互动，探索新知

3．知识剖析，深化理解

4．生生合作，巩固提高



（1）知识与技能目标

知识与技能目标=行为主体+行为动词+行为条件（可选）+表现程度（可选）+学生行

为所对应的内容．

（2）过程与方法目标

所谓过程，其本质是以学生认知为基础的知、情、意、行的培养和发展过程，是以智

育为基础的德、智、体全面培养和发展的过程，是学生的兴趣、能力、性格、气质等

个性品质全面培养和发展的过程．所谓方法，是指学生在学习过程中采用并学会的方

法、或问题探究的方法、或问题的观察方法、或思维发散的方法、或合作交流的方

法、或解决问题的方法等．

（3）情感、态度与价值观目标

情感是指人的社会性需要是否得到满足时所产生的态度体验；态度这里不仅指学习态

度和对学习的责任，它还包括乐观的生活态度，求实的科学态度，宽容的人生态度

等．价值观本指对问题的价值取向的认识，这里也可指学生对教学中问题的价值取向

或看法．

2．教学重、难点的确定

（1）重点：①课题分析法；②例题分析法；③地位作用分析法．

（2）难点：知识远离学生生活实际，学生缺乏相应的感性知识；知识较为抽象，学生

难以理解．

3．常见的课堂导入方法

（1）直接导入法

（2）复习导入法

（3）事例导入法

（4）类比导入法

（5）情境导入法

4．新课讲授：新授环节分为“生成新知⇒深化新知⇒应用新知”



新课程倡导独立探索、合作交流、动手实践等学习方式，既要求教师的“讲授”，也要

求师生的“对话”、生生的“合作”．探究环节的处理方法可以百花齐放，不拘一格，但其

教学的核心是“探究”而非“接受”．

5．课堂提问的原则

（1）目的性原则

（2）启发性原则

（3）适度性原则

（4）兴趣性原则

（5）循序渐进性原则

（6）全面性原则

（7）充分思考性原则

（8）及时评价性原则

6．巩固强化

练习是数学课堂教学的一个重要组成部分，它不仅有助于学生对知识的理解，巩固形

成熟练的技能、技巧，而且对学生智力发展和能力提高起着重要作用．巩固练习要遵

循以下几点

（1）练习要有目的性，要围绕教学目标进行．

（2）练习要及时，使学生对当堂所获得信息反复循环，实现记忆层次的转化（瞬时记

忆——短时记忆——长时记忆）．

（3）练习要有层次性．

（4）练习要多样化，为巩固概念，选编基础变式题；为纠正差错选编判断、选择题；

为拓宽思路，选编多变、多解题等等．

（5）练习中要有反馈．

7．小结作业

（1）小结一般是回顾教学内容，紧扣教学重点．



（2）作业要满足不同学生，分层次留作业．

笔试要上岸，少不了冲刺直播课

考前密押，高频考点解析，助力提分，靠的就是它！

班次名称讲授科目上课安排价格报名入口

冲刺

预测班

【中小幼】综合素

质 3 月 14 日 9.9 元

（扫码报班）

【幼儿】科目二

3 月 15 日

9.9 元

【小学】科目二 9.9 元

【中学】科目二 9.9 元

笔试当天再度提分的秘密

考场 Yi 直播课

考前直播预测，考后轻松对答案

直播时间如下：

3 月 17 日 7:40-8:20 考前心理辅导+科目一预测



3 月 17 日 11:40-12:30 科目一答案解析+科目二预测

3 月 17 日 16:00-17:00 幼儿、小学科目二答案解析

3 月 17 日 19:00-20:00 中学科目二答案解析

直播入口

（扫码后，选择对应学段进入一直播房间听预测，对答案哦！）

考完即可知成绩，笔试估分等你来！

估分时间：3 月 17 日 12 点后

估分方式：扫码关注中公教师官方微信，回复“估分”即可估分

（扫码，关注微信，回复“估分”查成绩）

估好分数，继续看，下面有惊喜！



2018 上教资面试直播课

赢在起跑线·早备考·才有底

开班前报班 199 元，授课时长 45 课时，全学科学段，包邮讲义哦，还等什

么，赶快来报名吧！

（扫码选择对应学科学段报班）

笔试要上岸，少不了冲刺直播课

考前密押，高频考点解析，助力提分，靠的就是它！

班次名称讲授科目上课安排价格报名入口

冲刺

预测班

【中小幼】综合素

质 3 月 14 日 9.9 元

（扫码报班）

【幼儿】科目二

3 月 15 日

9.9 元

【小学】科目二 9.9 元

【中学】科目二 9.9 元



教师资格笔试密押卷预约

（扫码直接填写信息预约）

笔试当天再度提分的秘密

考场 Yi 直播课

考前直播预测，考后轻松对答案

直播时间如下：

3 月 17 日 7:40-8:20 考前心理辅导+科目一预测

3 月 17 日 11:40-12:30 科目一答案解析+科目二预测

3 月 17 日 16:00-17:00 幼儿、小学科目二答案解析

3 月 17 日 19:00-20:00 中学科目二答案解析



直播入口

（扫码后，选择对应学段进入一直播房间听预测，对答案哦！）

考完即可知成绩，笔试估分等你来！

估分时间：3 月 17 日 12 点后

估分方式：扫码关注中公教师官方微信，回复“估分”即可估分

（扫码，关注微信，回复“估分”查成绩）

估好分数，继续看，下面有惊喜！

2018 上教资面试直播课

赢在起跑线·早备考·才有底



开班前报班 199 元，授课时长 45 课时，全学科学段，包邮讲义哦，还等什

么，赶快来报名吧！

（扫码选择对应学科学段报班）

更多教师资格笔试及面试备考资讯，请关注中公教师官方微信：zjjsks 也可以加入 QQ 交流群

（229871630）与小伙伴一起备考学习哦，2018 中公教育，与您同行！

中公浙江教师事业部总部

地址: 杭州市石祥路 71-8 号杭州新天地商务中心望座东侧 4幢 3 至 6 层

电话: 0571-86483577、86483588

微信：zjjsks qq 群：229871630 - offcn.comzj.offcn.com/dl/2018/0313/20180313043000547.pdf ·...

Documents