ivan netuka matematickofyzikální fakulta univerzity...
TRANSCRIPT
![Page 1: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/1.jpg)
Konvexní geometrie
Ivan Netuka
Matematický ústav Univerzity Karlovy
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 2: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 3: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/3.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 4: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/4.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 5: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/5.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 6: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/6.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
5. O kouli a krychli
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 7: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/7.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
5. O kouli a krychli
6. Překvapení s řezy konvexních těles
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 8: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/8.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
5. O kouli a krychli
6. Překvapení s řezy konvexních těles
7. Záhada univerzální pokličky
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 9: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/9.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
5. O kouli a krychli
6. Překvapení s řezy konvexních těles
7. Záhada univerzální pokličky
8. Záludnost izoperimetrické úlohy
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 10: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/10.jpg)
Obsah
1. Konvexita kolem nás
2. Konvexní tělesa
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
4. Objem koule v Rd
5. O kouli a krychli
6. Překvapení s řezy konvexních těles
7. Záhada univerzální pokličky
8. Záludnost izoperimetrické úlohy
9. Obrazce a tělesa konstantní šířky
10. Konstantní šířka kolem nás
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 11: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Konvexita kolem nás
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 12: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Konvexita kolem nás
• medicína
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 13: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/13.jpg)
1. Konvexita kolem nás
• medicína
Menisky
. . . Rozeznává se na nich: horní konkávníplocha, stýkající se s kondyly femuru, spodníplocha, která je v kontaktu s periférií přísluš-né kloubní plochy tibie; zevní neboli obvo-dová plocha (základna prizmatu), která jekonvexní a velmi tlustá, připojená ke kloub-nímu pouzdru; vnitřní neboli centrální okraj,který je konkávní, ostrý a jehož konkavitaje obrácena ke středu styčné plochy.
z klasické Rouvierovy francouzské učebnice anatomie
kondyl = kloubní hrbol; femur = stehenní kost; tibie = holenní kost
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 14: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/14.jpg)
• umění
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 15: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/15.jpg)
• umění
Tato socha odráží vliv kubismuvzájemnou optickou provázanostíkonkávních a konvexních tvarůa ve využití prázdna k vyjádřeníhmoty.
z publikace Poklady Izraelského
muzea v Jeruzalému, Ženeva, 1985
Alexander Archipenko (1887–1964)
Žena, která si češe vlasy; bronz
Sbírky Izraelského muzea, Jeruzalém
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 16: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/16.jpg)
• architektura
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 17: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/17.jpg)
• architektura
Zámecká kaple Zjevení Páně
(Smiřice, 1699–1701,architekt Kryštof Dienzenhofer)
Kaple je ceněna jako velmi hodnot-ná barokní stavba. Její složitýkonkávně-konvexně zprohýbanýpůdorys má tvar mírně protáhléhoosmiúhelníku.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 18: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/18.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 19: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/19.jpg)
Kostel svatého Jana Nepomuckého
(Zelená hora, 1720–1722,architekt Jan Blažej Santini-Aichel;světové dědictví UNESCO)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 20: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/20.jpg)
• optika
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 21: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/21.jpg)
• optika
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 22: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/22.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 23: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/23.jpg)
• zajímavost: Konvexní hřebík
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 24: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/24.jpg)
• zajímavost: Konvexní hřebík
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 25: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/25.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 26: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Konvexní tělesa
Množina M ⊂ Rd se nazývá konvexní, jestliže pro každé x , y ∈ M
je úsečka {tx + (1− t)y ; 0 ≤ t ≤ 1} obsažena v M.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 27: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/27.jpg)
2. Konvexní tělesa
Množina M ⊂ Rd se nazývá konvexní, jestliže pro každé x , y ∈ M
je úsečka {tx + (1− t)y ; 0 ≤ t ≤ 1} obsažena v M.
Konvexní množina M ⊂ Rd se nazývá konvexní těleso (pro d = 2
konvexní obrazec), jestliže M je omezená a uzavřená (= kom-paktní) a má neprázdný vnitřek.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 28: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/28.jpg)
Archimédés (287–212 př. n. l.)
O kouli a válci; axióm 4
Konkávními na touž stranu nazývámtakové plochy, že když na nich vezmemelibovolné dva body, padnou přímé vedenémezi těmito body buď všechny na toužstranu plochy, anebo některé na toužstranu, některé na plochu, na druhoustranu však nepadne žádná.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 29: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/29.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 30: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/30.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 31: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/31.jpg)
Nechť F je uzavřená podmnožina Rd a x je bod hranice množiny
F . Nadrovina H = HF (x) se nazývá opěrná nadrovina množinyF v bodě x , jestliže F je obsažena v jednom z uzavřených polo-prostorů určených nadrovinou H.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 32: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/32.jpg)
Nechť F je uzavřená podmnožina Rd a x je bod hranice množiny
F . Nadrovina H = HF (x) se nazývá opěrná nadrovina množinyF v bodě x , jestliže F je obsažena v jednom z uzavřených polo-prostorů určených nadrovinou H.
Věta. Uzavřená množina F ⊂ Rd je konvexní, právě když v kaž-
dém bodě x hranice množiny F existuje (alespoň jedna) opěrnánadrovina.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 33: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/33.jpg)
Archimédés: O kouli a válci; axióm 3
Podobně jsou [konkávními na touž stranu] také některé ohraničenéplochy, které sice samy v rovině neleží, ale své hranice v roviněmají a které buď budou ležet celé na téže straně roviny, na níž majísvé hranice, nebo nic nemají na straně druhé.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 34: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/34.jpg)
Konvexní geometrie (= studium konvexních množin) je rozvinutáa respektovaná matematická disciplína.
Mathematical Reviews (MathSciNet) eviduje od roku 1940 v oddíle52 Convex and discrete geometry 19 540 publikací.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 35: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/35.jpg)
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
Množina M ⊂ R3 se nazývá konvexní mnohostěn, jestiže M je
průnikem konečně mnoha uzavřených poloprostorů a M je omezenámnožina s neprázdným vnitřkem.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 36: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/36.jpg)
3. Kouzlo pravidelných mnohostěnů
Množina M ⊂ R3 se nazývá konvexní mnohostěn, jestiže M je
průnikem konečně mnoha uzavřených poloprostorů a M je omezenámnožina s neprázdným vnitřkem.
Pravidelný mnohostěn: všechny stěny jsou shodné pravidelnémnohoúhelníky a v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 37: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/37.jpg)
Nechť M je pravidelný mnohostěn, jeho stěny jsou n-úhelníky(n ≥ 3) a v každém vrcholu se stýká k stěn (k ≥ 3).
Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníku je (1− 2n)π, tedy platí
k(1− 2n)π < 2π, neboli
1n
+1k
>12, (n − 2)(k − 2) < 4, n, k ≥ 3.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 38: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/38.jpg)
Nechť M je pravidelný mnohostěn, jeho stěny jsou n-úhelníky(n ≥ 3) a v každém vrcholu se stýká k stěn (k ≥ 3).
Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníku je (1− 2n)π, tedy platí
k(1− 2n)π < 2π, neboli
1n
+1k
>12, (n − 2)(k − 2) < 4, n, k ≥ 3.
Vyhovují pouze tyto dvojice {n, k}:
{3, 3} čtyřstěn{4, 3} krychle (šestistěn){3, 4} osmistěn{3, 5} dvanáctistěn{5, 3} dvacetistěn
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 39: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/39.jpg)
L. Euler (1707–1783)
Pro počet vrcholů (N0), hran (N1) a stěn (N2) konvexníhomnohostěnu v R
3 platí Eulerův vzorec (1752):
N0 − N1 + N2 = 2.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 40: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/40.jpg)
L. Euler (1707–1783)
Pro počet vrcholů (N0), hran (N1) a stěn (N2) konvexníhomnohostěnu v R
3 platí Eulerův vzorec (1752):
N0 − N1 + N2 = 2.
Protože N1 = n2N2, N0 = n
kN2, pro pravidelný mnohostěn opět
dostáváme (n − 2)(k − 2) < 4.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 41: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/41.jpg)
E. Steinitz (1871–1928)
Věta (E. Steinitz, 1906). Nechť N0, N1, N2 jsou přirozená čísla.Následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) existuje konvexní mnohostěn v R3 mající N0 vrcholů, N1 hran
a N2 stěn,
(ii) N0 − N1 + N2 = 2, N0 ≤ 2N2 − 4, N2 ≤ 2N0 − 4.
Analogie Steinitzovy věty pro mnohostěny v prostorech dimenzevětší než tři je otevřeným problémem.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 42: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/42.jpg)
4. Objem koule v Rd
Objem d-rozměrné koule o poloměru 1 označme vd .
Integrální počet:
vd =πd2
(d2)!
, d sudé vd =2d+12 · π d−12
1 · 3 · ... · d , d liché
vd =πd/2
Γ(d2
+ 1), d ∈ N, kde Γ(t) :=
∫ ∞
0
e−xx t−1dx , t > 0.
Platí: Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 43: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/43.jpg)
Snadné: v1 < v2 < · · · < v5, dále v5 > v6 > v7 . . .
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 44: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/44.jpg)
Snadné: v1 < v2 < · · · < v5, dále v5 > v6 > v7 . . .
Stirlingův vzorec (A. de Moivre, J. Stirling, 1730):
Γ(d
2+ 1
)
∼√2πe−
d2
(d
2
)d+12
.
Tedy: vd ∼(√
2πed
)d
→ 0 pro d → ∞.
Objem koule B(r) o poloměru r je roven vold(
B(r))
= vd rd .
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 45: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/45.jpg)
Snadné: v1 < v2 < · · · < v5, dále v5 > v6 > v7 . . .
Stirlingův vzorec (A. de Moivre, J. Stirling, 1730):
Γ(d
2+ 1
)
∼√2πe−
d2
(d
2
)d+12
.
Tedy: vd ∼(√
2πed
)d
→ 0 pro d → ∞.
Objem koule B(r) o poloměru r je roven vold(
B(r))
= vd rd .
Jaký je poloměr koule B mající objem 1?
Poloměr B je ∼√
d2πe .
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 46: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/46.jpg)
Nechť H je nadrovina procházející počátkem. Pak řez B ∩ H je(d − 1)-dimenzionální koule o poloměru ∼
√
d2πe , tedy její
(d − 1)-dimenzionální objem je
∼ vd−1(
√
d
2πe
)d−1
=(
√
d
d − 1)d−1
→√e pro d → ∞,
neboť
limn→∞
√
(
1+1n
)n
=√e.
Pro velká d je tedy vold−1(B ∩ H) ∼ √e >
√2.
Opatrnější počítání dává tento odhlad (k zapamatování):
vold−1(B ∩ H) >√2 pro d ≥ 10.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 47: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/47.jpg)
5. O kouli a krychli
Otázka: Pro kterou nadrovinu H procházející počátkem má řez(= průnik K ∩ H) krychle K := [−1
2, 12]d maximální
(d − 1)-dimenzionální objem?
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 48: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/48.jpg)
5. O kouli a krychli
Otázka: Pro kterou nadrovinu H procházející počátkem má řez(= průnik K ∩ H) krychle K := [−1
2, 12]d maximální
(d − 1)-dimenzionální objem?
Pro d = 2 je odpověď√2.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 49: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/49.jpg)
5. O kouli a krychli
Otázka: Pro kterou nadrovinu H procházející počátkem má řez(= průnik K ∩ H) krychle K := [−1
2, 12]d maximální
(d − 1)-dimenzionální objem?
Pro d = 2 je odpověď√2.
Pro d = 3 se nabízí rovina H procházející počátkem kolmá natělesovou úhlopříčku. Řez K ∩ H je šestiúhelník o obsahu 3
4
√3.
Obdélníkový řez, jehož dvě protilehlé strany splývají s protilehlý-mi hranami krychle má obsah
√2 > 3
4
√3.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 50: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/50.jpg)
Domněnka: Pro všechna d je maximum vold−1(
K ∩H)
rovno√2.
V roce 1986 ji K. Ball dokázal metodami teorie pravděpodobno-sti (!) a Fourierovy analýzy.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 51: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/51.jpg)
Domněnka: Pro všechna d je maximum vold−1(
K ∩H)
rovno√2.
V roce 1986 ji K. Ball dokázal metodami teorie pravděpodobno-sti (!) a Fourierovy analýzy.
H má rovnici∑dj=1 ajxj = 0,
∑dj=1 a
2j = 1
vold−1(
K ∩ H)
=1π
∫ ∞
−∞
sin a1ta1t
· ... · sin ad tad t
dt
a1π
∫ ∞
−∞
∣
∣
∣
sin tt
∣
∣
∣
p
dt ≤√2√p, p ≥ 2
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 52: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/52.jpg)
Otázka: Jakou část objemu zaujímá koule vepsaná do krychle?
Výpočtem: 52,2% v R3, v R
8 však již méně než 2% (!)
Vysvětlení (?): vrchol krychle v K má od středu krychle vzdálenost√d2, takže koule opsaná K má poloměr
√d2a tato koule má objem
vd(
√d2
)d → ∞ pro d → ∞.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 53: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/53.jpg)
6. Překvapení s řezy konvexních těles
Problém (H. Busemann, C. M. Petty, 1956): Nechť C , D jsoukonvexní symetrická tělesa v R
d taková, že pro každou nadrovinuH procházející počátkem je
vold−1(
C ∩ H)
≤ vold−1(
D ∩ H)
.
Platí pak vold(
C ) ≤ vold(
D)?
My už odpověď známe: obecně NE!
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 54: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/54.jpg)
Protipříklad: d ≥ 10, C := [−12, 12]d , D := koule o středu v po-
čátku o objemu nepatrně menším než 1. Pak
vold−1(
C ∩ H)
≤√2 < vold−1
(
D ∩ H)
a vold(C ) > vold(D).
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 55: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/55.jpg)
Protipříklad: d ≥ 10, C := [−12, 12]d , D := koule o středu v po-
čátku o objemu nepatrně menším než 1. Pak
vold−1(
C ∩ H)
≤√2 < vold−1
(
D ∩ H)
a vold(C ) > vold(D).
negativní odpověď: d ≥ 12 (1975), d ≥ 10 (1988), d ≥ 7 (1990),d ≥ 5 (1992, 1994)
pozitivní odpověď: d = 2 (snadné), d = 3 (1994), d = 4 (1999)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 56: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/56.jpg)
Protipříklad: d ≥ 10, C := [−12, 12]d , D := koule o středu v po-
čátku o objemu nepatrně menším než 1. Pak
vold−1(
C ∩ H)
≤√2 < vold−1
(
D ∩ H)
a vold(C ) > vold(D).
negativní odpověď: d ≥ 12 (1975), d ≥ 10 (1988), d ≥ 7 (1990),d ≥ 5 (1992, 1994)
pozitivní odpověď: d = 2 (snadné), d = 3 (1994), d = 4 (1999)
Překvapení: Do dimenze 4 včetně má problém pozitivní řešení,dimenzí 5 počínaje negativní.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 57: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/57.jpg)
7. Záhada univerzální pokličky
Pro omezenou neprázdnou množinu M ⊂ Rd definujeme průměr M
rovnostídiamM := sup{| x − y |: x , y ∈ M}.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 58: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/58.jpg)
7. Záhada univerzální pokličky
Pro omezenou neprázdnou množinu M ⊂ Rd definujeme průměr M
rovnostídiamM := sup{| x − y |: x , y ∈ M}.
Věta. Nechť C je konvexní obrazec v R2 o průměru ≤ 1. Potom
pro obsah C platí vol2(C ) ≤ π4(= obsah kruhu o průměru 1).
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 59: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/59.jpg)
7. Záhada univerzální pokličky
Pro omezenou neprázdnou množinu M ⊂ Rd definujeme průměr M
rovnostídiamM := sup{| x − y |: x , y ∈ M}.
Věta. Nechť C je konvexní obrazec v R2 o průměru ≤ 1. Potom
pro obsah C platí vol2(C ) ≤ π4(= obsah kruhu o průměru 1).
Polární souřadnice:
vol2(C ) = 12
∫
π
2
0
(
r2(θ) + r2(θ − π2))
dθ
Pýthagorova věta:
OP2 + OQ2 = PQ2 ≤ 1
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 60: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/60.jpg)
Konvexní obrazec K se nazývá univerzální poklička, jestližekaždou množinu o průměru 1 lze přikrýt shodnou kopií obrazce K .
H. Lebesgue (1875–1941)
Problém (H. Lebesgue, 1914): Jaký je minimální obsah univerzálnípokličky?
Dodnes nevyřešeno!
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 61: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/61.jpg)
Konvexní obrazec K se nazývá univerzální poklička, jestližekaždou množinu o průměru 1 lze přikrýt shodnou kopií obrazce K .
H. Lebesgue (1875–1941)
Problém (H. Lebesgue, 1914): Jaký je minimální obsah univerzálnípokličky?
Dodnes nevyřešeno!
Komentář: Poklička musí pokrýt kruh o průměru 1 (dolní odhad);není těžké dokázat, že pravidelný šestiúhelník o délce strany 1√
3je
univerzální poklička (horní odhad):
0, 785.=
π
4≤ vol2(K ) ≤
√32
∼ 0, 886
2015: 0, 832 ≤ vol2(K ) ≤ 0, 844Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 62: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/62.jpg)
8. Záludnost izoperimetrické úlohy
Problém: Mezi rovinnými obrazci daného obvodu L najít obrazecs největším obsahem A.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 63: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/63.jpg)
8. Záludnost izoperimetrické úlohy
Problém: Mezi rovinnými obrazci daného obvodu L najít obrazecs největším obsahem A.
Poznámka: Stačí uvažovat konvexní obrazce.
Řešení: Kruh (s obvodem L).
Jeho poloměr r je L2π , jeho obsah je πr2 = L2
4π ≥ A.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 64: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/64.jpg)
Izoperimetrická nerovnost
L2 − 4πA ≥ 0 a rovnost nastává, právě když obrazec je kruh.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 65: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/65.jpg)
Izoperimetrická nerovnost
L2 − 4πA ≥ 0 a rovnost nastává, právě když obrazec je kruh.
J. Steiner (1736–1863)
Úvaha J. Steinera (1838, 1842):
Steiner ukázal: pro každý konvexní obrazec, který není kruh,existuje (geometrická) metoda, pomocí níž lze najít konvexníobrazec o stejném obvodu a větším obsahu.
Steinerův závěr: Řešením izoperimetrické úlohy je kruh.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 66: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/66.jpg)
Izoperimetrická nerovnost
L2 − 4πA ≥ 0 a rovnost nastává, právě když obrazec je kruh.
J. Steiner (1736–1863)
Úvaha J. Steinera (1838, 1842):
Steiner ukázal: pro každý konvexní obrazec, který není kruh,existuje (geometrická) metoda, pomocí níž lze najít konvexníobrazec o stejném obvodu a větším obsahu.
Steinerův závěr: Řešením izoperimetrické úlohy je kruh.
Chybný závěr!
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 67: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/67.jpg)
Dokáži Vám: Mezi přirozenými čísly je číslo 1 největší. (!)
“Důkaz” (O. Perron, 1913): Pro každé přirozené číslo, které není1, existuje metoda, pomocí níž lze najít větší přirozené číslo (stačívzít druhou mocninu). Závěr (stejně tak chybný !): číslo 1 jenejvětší přirozené číslo.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 68: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/68.jpg)
Dokáži Vám: Mezi přirozenými čísly je číslo 1 největší. (!)
“Důkaz” (O. Perron, 1913): Pro každé přirozené číslo, které není1, existuje metoda, pomocí níž lze najít větší přirozené číslo (stačívzít druhou mocninu). Závěr (stejně tak chybný !): číslo 1 jenejvětší přirozené číslo.
Poučení: Slovo největší (nejmenší) je v matematice nebezpečné!Nelze zaměňovat supremum (infimum) za maximum (minimum)!
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 69: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/69.jpg)
Dokáži Vám: Mezi přirozenými čísly je číslo 1 největší. (!)
“Důkaz” (O. Perron, 1913): Pro každé přirozené číslo, které není1, existuje metoda, pomocí níž lze najít větší přirozené číslo (stačívzít druhou mocninu). Závěr (stejně tak chybný !): číslo 1 jenejvětší přirozené číslo.
Poučení: Slovo největší (nejmenší) je v matematice nebezpečné!Nelze zaměňovat supremum (infimum) za maximum (minimum)!
Důkaz existence (pro izoperimetrickou úlohu) je v zásaděanalogický důkazu, který z analýzy známe z 1. ročníku.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 70: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/70.jpg)
Věta. Nechť f : [a, b] → R je spojitá funkce. Potom existujex0 ∈ [a, b] takové, že f (x) ≤ f (x0), x ∈ [a, b]. Jinak řečeno: funkcef nabývá v bodě x0 maxima.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 71: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/71.jpg)
Věta. Nechť f : [a, b] → R je spojitá funkce. Potom existujex0 ∈ [a, b] takové, že f (x) ≤ f (x0), x ∈ [a, b]. Jinak řečeno: funkcef nabývá v bodě x0 maxima.
Důkaz. Nechť s := sup{f (x) : x ∈ [a, b]} a nechť sn < s a sn ր s.Existují body xn ∈ [a, b], takové, že f (xn) ≥ sn.Podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty existují indexyn1 < n2 < . . . a bod x0 ∈ [a, b] takové, že xnk → xo . Protože f jespojitá funkce, je f (xnk ) → f (x0). Protože f (xnk ) ≥ snk , jef (x0) = s.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 72: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/72.jpg)
W. Blaschke (1885–1962)
Pro konvexní tělesa: Zavede se vzdálenost dvou konvexníchobrazců, dokáže se tzv. Blaschkeho věta o vybrané posloupnostia dokáže se, že obsah konvexního obrazce je spojitá funkce.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 73: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/73.jpg)
9. Obrazce a tělesa konstantní šířky
Nechť C ⊂ Rd je konvexní těleso a w > 0. Jestliže vzdálenost
každých dvou (různých) opěrných nadrovin tělesa C je rovna w ,pak C se nazývá těleso (pro d = 2 obrazec) konstantní šířky w .
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 74: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/74.jpg)
9. Obrazce a tělesa konstantní šířky
Nechť C ⊂ Rd je konvexní těleso a w > 0. Jestliže vzdálenost
každých dvou (různých) opěrných nadrovin tělesa C je rovna w ,pak C se nazývá těleso (pro d = 2 obrazec) konstantní šířky w .
Příklad: koule v Rd
F. Reuleaux (1829–1905)
• Reuleauxův trojúhelník v R2 (šířky w)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 75: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/75.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 76: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/76.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 77: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/77.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 78: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/78.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 79: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/79.jpg)
• pro n liché; Reuleauxův n-úhelník, analogie Reuleauxovatrojúhelníku
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 80: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/80.jpg)
• pro n liché; Reuleauxův n-úhelník, analogie Reuleauxovatrojúhelníku
Obvod kruhu o průměru w je roven πw .
J. E. Barbier (1839–1889)
Věta (J. E. Barbier, 1860). Je-li C obrazec konstantní šířky w , pakje obvod C roven πw .
Důsledek izoperimetrické nerovnosti: Mezi všemi konvexnímiobrazci konstantní šířky w má kruh o průměru w největší obsah.
Nejmenší obsah?
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 81: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/81.jpg)
• pro n liché; Reuleauxův n-úhelník, analogie Reuleauxovatrojúhelníku
Obvod kruhu o průměru w je roven πw .
J. E. Barbier (1839–1889)
Věta (J. E. Barbier, 1860). Je-li C obrazec konstantní šířky w , pakje obvod C roven πw .
Důsledek izoperimetrické nerovnosti: Mezi všemi konvexnímiobrazci konstantní šířky w má kruh o průměru w největší obsah.
Nejmenší obsah?
Věta (H. Lebesgue, 1914, W. Blaschke, 1915). Mezi všemikonvexními obrazci konstantní šírky w má Reuleauxův trojúhelníko průměru w nejmenší obsah.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 82: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/82.jpg)
Situace v R3
Reuleauxův čtyřstěn?
NE, nemá konstantní šířku (šířka kolísá v rozmezí 2,5%)
E. Meissner (1883–1939)
V roce 1911 navrhl modifikaci, jejímž výsledkem je tělesokonstantní šířky, tzv. Meissnerovo těleso.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 83: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/83.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 84: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/84.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 85: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/85.jpg)
Domněnka: Meissnerovo těleso minimalizuje objem mezi všemitrojdimenzionálními konvexními tělesy dané konstantní šířky.
Otevřený problém!
Domněnka pro rotační tělesa konstantní šířky: řešením je tělesozískané rotací Reuleauxova trojúhelníku.
Potvrzena až v roce 2009 (!).
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 86: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/86.jpg)
10. Konstantní šířka kolem nás
• gotické okno (Bruges)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 87: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/87.jpg)
• trojúhelníková budova (Kolín nad Rýnem)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 88: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/88.jpg)
• mapa světa (Leonardo da Vinci)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 89: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/89.jpg)
• trsátko
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 90: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/90.jpg)
• mince
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 91: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/91.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 92: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/92.jpg)
• knoflíky
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 93: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/93.jpg)
• trojúhelníkové tužky
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 94: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/94.jpg)
• logo
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 95: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/95.jpg)
• krytka vodního ventilu (San Francisco)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 96: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/96.jpg)
• Wankelův motor
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 97: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/97.jpg)
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 98: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/98.jpg)
• posun filmového pásu
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 99: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/99.jpg)
• posun filmového pásu
• vrtání čtvercových otvorůhttps://www.youtube.com/watch?v=L5AzbDJ7KYI
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie
![Page 100: Ivan Netuka Matematickofyzikální fakulta Univerzity Karlovykdm.karlin.mff.cuni.cz/konference2018/uploads/Konference/...Konvexní geometrie Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053111/60842d140e6ea4570a599896/html5/thumbnails/100.jpg)
Děkuji za pozornost.
Děkuji prof. Martině Bečvářové za grafické ztvárnění prezentace.
Ivan Netuka Matematický ústav Univerzity Karlovy
Konvexní geometrie