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ITEM ANALYSIS TABLE
A table of item-difficulty and item discrimination indices for given proportions of success in the highest 27 per cent and the lowest 27 per cent of a normal bivariate population
CHUNG-TEH FAN
Preface
With the increasing use of the high-low-27-per-cent group method of item analysis there has developed a need for a ready means of translating the observed proportions of success in the two extreme groups into measures of item difficulty and item discrimination. The present table has been prepared to provide estimates of these rieftwo measures.
In the table, the values of p are the proportions of correct responses in the total (100 per cent) sample which were estimated from pH and pL, the proportions of correct responses in the highest 27 per cent and lowest 27 per cent, respectively. The estimation of p introduces a special problem. A rough estimates of p could be made by averaging the values pH and pL, as has been done in other tables of the present type. It has been observed, however, that this estimate is subject to systematic error, particularly in the cases of extreme values of p and high values of the discrimination index. For a normal distribution, the mean of pH and pL 0verestimates values of p less than .50 and underestimates values of p greater than .50. Accordingly, the values of p in the present table have been computed from tables of the normal bivariate distribution, and are thus free from this type of error.
The discrimination index, r, is the correlation which corresponds to the given values of pH and pL in a normal bivariate distribution. It is the correlation between the criterion, which forms the basis for the selection of the high and low 27-per-cent groups, and the continuous score assumed to underlie responses to the items.
Inasmuch as this table was originally prepared for use by the Educational Testing Service, where item difficulty is expressed in terms of “delta” (), a brief explanation of this statistic is given here. Delta is related in the following manner to the normal deviate, x, corresponding to p:
= 13 + 4x,
Where x is taken as positive for p’s less than .50 and negative for p’s greater than .50. Thus delta increases with increasing item difficulty. The parameters, 13 and 4, are arbitrary numbers which serve to eliminate negative values and to provide a sufficiently broad range that only integral values could be used if desired. The principal advantage of delta over p lies in the fact that equal increments in delta, unlike p, may reasonably be assumed to represent equal increments in difficulty. This characteristic of linearity of delta permits comparisons to be made between groups taking different test forms.
Every precaution has been taken to ensure the accuracy of this table. Major calculations were performed by means of punched-card procedures. Later, large-scale graphs were employed, and each reading therefrom was made by two individuals, the
author and a trained computer. All the entries in the table were originally recorded to at least three significant figures, then rounded.
Special acknowledgement is due Dr. Ledyard R. Tucker and Dr. Frances Swineford for numerous helpful suggestions.
C. T. Fan
Example
Given an item for which pH = .58, pL = .20
On page 12 (for pL = .16 - .20) in the row for pH = .58 and the columns for pL = .20 we find
p = .38, r = .40 = 14.2
If pL is greater than pH, as for example. PH = .20, pL = .58, use the same figures found from the example above, but change the sign of r. Thus we have
p = .38, r = .40, = 14,2
pL = 0,01 pL = 0,02 pL = 0,03 pL = 0.04 pL = 0,05
pH p r p r p r p r p r
0,99 0,50
0,93 13,0 0,52
0,92 12,8 0,54
0,92 12,6 0,55
0,91 12,5 0,57
0,90 12,3
0,98 0,48
0,92 13,2 0,50
0,91 13,0 0,52
0,90 12,8 0,53
0,89 12,7 0,54
0,89 12,6
0,97 0,46
0,92 13,4 0,48
0,90 13,2 0,50
0,89 12,8 0,51
0,88 12,9 0,53
0,87 12,7
0,96 0,45
0,91 13,5 0,47
0,89 13,3 0,49
0,88 13,1 0,50
0,87 13,0 0,51
0,86 12,9
0,95 0,43
0,90 13,7 0,46
0,89 13,4 0,47
0,87 13,3 0,49
0,86 13,1 0,50
0,85 13,0
0,94 0,42
0,90 13,8 0,45
0,88 13,5 0,46
0,87 13,4 0,48
0,86 13,2 0,49
0,84 13,1
0,93 0,41
0,89 13,9 0,44
0,87 13,6 0,45
0,86 13,5 0,47
0,85 13,3 0,48
0,84 13,2
0,92 0,41
0,89 14,0 0,43
0,87 13,7 0,44
0,85 13,6 0,46
0,84 13,4 0,47
0,83 13,3
0,91 0,40
0,88 14,0 0,42
0,86 13,8 0,44
0,85 13,6 0,45
0,83 13,5 0,46
0,82 13,4
0,90 0,39
0,88 14,1 0,41
0,86 13,9 0,43
0,84 13,7 0,44
0,83 13,6 0,45
0,82 13,5
0,89 0,38
0,87 14,2 0,40
0,85 14,0 0,42
0,84 13,8 0,43
0,82 13,7 0,45
0,81 13,5
0,88 0,37
0,87 14,3 0,40
0,85 14,0 0,41
0,83 13,9 0,43
0,82 13,7 0,44
0,80 13,6
0,87 0,37
0,87 14,3 0,39
0,84 14,1 0,41
0,82 14,0 0,42
0,81 13,8 0,43
0,80 13,7
0,86 0,36
0,86 14,4 0,38
0,84 14,2 0,40
0,82 14,0 0,41
0,80 13,9 0,42
0,79 13,8
0,85 0,36
0,86 14,5 0,38
0,83 14,3 0,39
0,81 14,1 0,41
0,80 14,0 0,42
0,78 13,8
0,84 0,35
0,85 14,5 0,37
0,83 14,3 0,39
0,81 14,2 0,40
0,79 14,0 0,41
0,78 13,9
0,83 0,34
0,85 14,6 0,36
0,82 14,4 0,38
0,80 14,2 0,39
0,79 14,1 0,41
0,77 14,0
0,82 0,34
0,85 14,7 0,36
0,82 14,5 0,37
0,80 14,3 0,39
0,78 14,1 0,40
0,77 14,0
0,81 0,33
0,84 14,7 0,35
0,81 14,5 0,37
0,79 14,3 0,38
0,78 14,2 0,39
0,76 14,1
0,80 0,33
0,84 14,8 0,35
0,81 14,6 0,36
0,79 14,4 0,37
0,77 14,3 0,39
0,75 14,2
0,79 0,32
0,84 14,9 0,34
0,81 14,6 0,36
0,78 14,5 0,37
0,77 14,3 0,38
0,75 14,2
0,78 0,32
0,83 14,9 0,34
0,80 14,7 0,35
0,78 14,5 0,36
0,76 14,4 0,38
0,74 14,3
0,77 0,31
0,83 15,0 0,33
0,80 14,7 0,35
0,77 14,6 0,36
0,76 14,5 0,37
0,74 14,3
0,76 0,31
0,82 15,0 0,33
0,79 14,8 0,34
0,77 14,6 0,35
0,75 14,5 0,36
0,73 14,4
0,75 0,30
0,82 15,1 0,32
0,79 14,9 0,34
0,76 14,7 0,35
0,74 14,6 0,36
0,73 14,4
0,74 0,30
0,82 15,1 0,32
0,79 14,9 0,33
0,76 14,8 0,34
0,74 14,6 0,35
0,72 14,5
0,73 0,29
0,81 15,2 0,31
0,78 15,0 0,32
0,75 14,8 0,34
0,73 14,7 0,35
0,72 14,6
0,72 0,29
0,81 15,3 0,31
0,78 15,0 0,32
0,75 14,9 0,33
0,73 14,7 0,34
0,71 14,6
0,71 0,28
0,81 15,3 0,30
0,77 15,1 0,32
0,75 14,9 0,33
0,72 14,8 0,34
0,70 14.7
0,70 0,28
0,80 15,4 0,30
0,77 15,1 0,31
0,74 15,0 0,32
0,72 14,8 0,33
0,70 14,7
0,69 0,27
0,80 15,4 0,29
0,76 15,2 0,31
0,74 15,0 0,32
0,71 14,9 0,33
0,69 14,8
0,68 0,27
0,80 15,5 0,29
0,76 15,3 0,30
0,73 15,1 0,31
0,71 14,9 0,32
0,69 14,8
0,67 0,26
0,79 15,5 0,28
0,75 15,3 0,30
0,73 15,1 0,31
0,70 15,0 0,32
0,68 14,9
0,66 0,26
0,79 15,6 0,28
0,75 15,4 0,29
0,72 15,2 0,30
0,70 15,1 0,31
0,68 14,9
0,65 0,25
0,78 15,6 0,27
0,74 15,4 0,29
0,72 15,3 0,30
0,69 15,1 0,31
0,67 15,0
0,64 0,25
0,78 15,7 0,27
0,74 15,5 0,28
0,71 15,3 0,29
0,69 15,2 0,30
0,66 15,1
0,63 0,25
0,78 15,8 0,26
0,74 15,5 0,28
0,71 15,4 0,29
0,68 15,2 0,30
0,66 15,1
0,62 0,24
0,77 15,8 0,26
0,73 15,6 0,27
0,70 15,4 0,28
0,68 15,3 0,29
0,65 15,2
0,61 0,24
0,77 15,9 0,25
0,73 15,6 0,27
0,70 15,5 0,28
0,67 15,3 0,29
0,65 15,2
0,60 0,23
0,76 15,9 0,25
0,72 15,7 0,26
0,69 15,5 0,27
0,66 15,4 0,29
0,64 15,3
0,59 0,23
0,76 16,0 0,25
0,72 15,7 0,26
0,69 15,6 0,27
0,66 15,5 0,28
0,63 15,3
0,58 0,22
0,76 16,0 0,24
0,71 15,8 0,25
0,68 15,6 0,27
0,65 15,5 0,28
0,63 15,4
0,57 0,22
0,75 16,1 0,24
0,71 15,9 0,25
0,67 15,7 0,26
0,65 15,6 0,27
0,62 15,4
0,56 0,22
0,75 16,1 0,23
0,70 15,9 0,25
0,67 15,7 0,26
0,64 15,6 0,27
0,62 15,5
0,55 0,21
0,74 16,2 0,23
0,70 16,0 0,24
0,66 15,8 0,25
0,64 15,7 0,26
0,61 15,5
0,54 0,21
0,74 16,3 0,23
0,69 16,0 0,24
0,66 15,9 0,25
0,63 15,7 0,26
0,60 15,6
0,53 0,20
0,74 16,3 0,22
0,69 16,1 0,23
0,65 15,9 0,24
0,62 15,8 0,25
0,60 15,6
0,52 0,20
0,73 16,4 0,22
0,68 16,1 0,23
0,65 16,0 0,24
0,62 15,8 0,25
0,59 15,7
0,51 0,20
0,73 16,4 0,21
0,68 16,2 0,22
0,64 16,0 0,24
0,61 15,9 0,25
0,59 15,7
pL = 0,01 pL = 0,02 pL = 0,03 pL = 0,04 pL = 0,05pH p r p r P r P r p r
0,50 0,19
0,72 16,5 0,21
0,67 16,2 0,22
0,64 16,1 0,23
0,61 15,9 0,24
0,58 15,8
0,49 0,19
0,72 16,5 0,20
0,67 16,3 0,22
0,63 16,1 0,23
0,60 16,0 0,24
0,57 15,9
0,48 0,18
0,71 16,6 0,20
0,66 16,4 0,21
0,62 16,2 0,22
0,59 16,0 0,23
0,57 15,9
0,47 0,18
0,71 16,6 0,20
0,66 16,4 0,21
0,62 16,3 0,22
0,59 16,1 0,23
0,56 16,0
0,46 0,18
0,70 16,7 0,19
0,65 16.5 0,20
0,61 16,3 0,21
0,58 16,2 0,22
0,55 16,0
0,45 0,17
0,70 16,8 0,19
0,65 16,5 0,20
0,61 16,4 0,21
0,57 16,2 0,22
0,55 16,1
0,44 0,17
0,69 16,8 0,18
0,64 16,6 0,20
0,60 16,4 0,21
0,57 16,3 0,22
0,54 16,1
0,43 0,17
0,69 16,9 0,18
0,63 16,7 0,19
0,59 16,5 0,20
0,56 16,3 0,21
0,53 16,2
0,42 0,16
0,68 16,9 0,18
0,63 16,7 0,19
0,59 16,5 0,20
0,55 16,4 0,21
0,52 16,3
0,41 0,16
0,68 17,0 0,17
0,62 16,8 0,18
0,58 16,6 0,19
0,55 16,5 0,20
0,52 16,3
0,40 0,15
0,67 17,1 0,17
0,61 16,8 0,18
0,57 16,7 0,19
0,54 16,5 0,20
0,51 16,4
0,39 0,15
0,67 17,1 0,17
0,61 16,9 0,18
0,57 16,7 0,19
0,53 16,6 0,19
0,50 16,5
0,38 0,15
0,66 17,2 0,16
0,60 17,0 0,17
0,56 16,8 0,18
0,52 16,6 0,19
0,49 16,5
0,37 0,14
0,66 17,3 0,16
0,60 17,0 0,17
0,55 16,8 0,18
0,52 16,7 0,19
0,48 16,6
0,36 0,14
0,65 17,3 0,15
0,59 17,1 0,16
0,55 16,9 0,17
0,51 16,8 0,18
0,48 16,6
0,35 0,14
0,65 17,4 0,15
0,58 17,1 0,16
0,54 17,0 0,17
0,50 16,8 0,18
0,47 16,7
0,34 0,13
0,64 17,5 0,15
0,57 17,2 0,16
0,53 17,0 0,17
0,49 16,9 0,17
0,46 16,8
0,33 0,13
0,63 17,5 0,14
0,57 17,3 0,15
0,52 17,1 0,16
0,48 16,9 0,17
0,45 16,8
0,32 0,13
0,63 17,6 0,14
0,56 17,3 0,15
0,51 17,2 0,16
0,48 17,0 0,17
0,44 16,9
0,31 0,12
0,62 17,7 0,13
0,55 17,4 0,14
0,51 17,2 0,15
0,47 17,1 0,16
0,43 16,9
0,30 0,12
0,61 17,8 0,13
0,54 17,5 0,14
0,50 17,3 0,15
0,46 17,2 0,16
0,42 17,0
0,29 0,11
0,61 17,8 0,13
0,54 17,6 0,14
0,49 17,4 0,15
0,45 17,2 0,15
0,41 17,1
0,28 0,11
0,60 17,9 0,12
0,53 17,6 0,13
0,48 17,4 0,14
0,44 17,3 0,15
0,40 17,2
0,27 0,11
0,59 18,0 0,12
0,52 17,7 0,13
0,47 17,5 0,14
0,43 17,4 0,15
0,39 17,2
0,26 0,10
0,58 18,1 0,11
0,51 17,8 0,12
0,46 17,6 0,13
0,42 17,4 0,14
0,38 17,3
0,25 0,10
0,57 18,1 0,11
0,50 17,9 0,12
0,45 17,7 0,13
0,41 17,5 0,14
0,37 17,4
0,24 0,10
0,57 18,2 0,11
0,49 17,9 0,12
0,44 17,8 0,13
0,40 17,6 0,13
0,36 17,4
0,23 0,09
0,56 18,3 0,10
0,48 18,0 0,11
0,43 17,8 0,12
0,39 17,7 0,13
0,35 17.5
0,22 0,09
0,55 18,4 0,10
0,47 18,1 0,11
0,42 17,9 0,12
0,38 17,8 0,12
0,34 17.6
0,21 0,09
0,54 18,5 0,10
0,46 18,2 0,11
0,41 18,0 0,11
0,36 17,8 0,12
0,33 17,7
0,20 0,08
0,53 18,6 0,09
0,45 18,3 0,10
0,40 18,1 0,11
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0,31 17,8
0,19 0,08
0,52 18,7 0,09
0,44 18,4 0,10
0,38 18,2 0,10
0,34 18,0 0,11
0,30 17,9
0,18 0,08
0,51 18,8 0,09
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0,17 0,07
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0,10 0,05
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0,19 19,0 0,07
0,15 18,8
0,09 * 0,05
0,28 19,6 0,06
0,22 19,3 0,06
0,16 19,1 0,07
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0,07 19,3
0,06 0,05
0,08 19,6 0,05
0,04 19,4
0,05 0,05
0,00 19,6
*The values of r and Δ are not listed when p is under 0,05
pL = 0,06 pL = 0,07 pL = 0,08 pL = 0,09 pL = 0,10pH p r p r p R p r p R
0,99 0,58
0,90 12,2 0,59
0,89 12,1 0,59
0,89 12,0 0,60
0,88 12,0 0,61
0,88 11,9
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0,87 12,3 0,58
0,86 12,2 0,59
0,86 12,1
0,97 0,54
0,87 12,6 0,55
0,86 12,5 0,56
0,85 12,4 0,56
0,85 12,4 0,57
0,84 12,3
0,96 0,52
0,86 12,8 0,53
0,85 12,7 0,54
0,84 12,6 0,55
0,83 12,5 0,56
0,83 12,4
0,95 0,51
0,84 12,9 0,52
0,84 12,8 0,53
0,83 12,7 0,54
0,82 12,6 0,55
0,82 12,5
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0,84 13,0 0,51
0,83 12,9 0,52
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0,93 0,49
0,83 13,1 0,50
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0,81 13,1 0,50
0,80 13,0 0,51
0,79 12,9 0,52
0,79 12,8
0,91 0,47
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0,80 13,2 0,49
0,79 13,1 0,50
0,79 13,0 0,51
0,78 12,9
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0,77 13,0
0,89 0,46
0,80 13,4 0,47
0,79 13,3 0,48
0,78 13,2 0,48
0,77 13,2 0,49
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0,87 0,44
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0,75 13,3 0,48
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0,83 0,42
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0 1 2 2 30,79 0,3
90,73 14,1 0,4
00,72 14,0 0,4
10,71 13,9 0,4
20,70 13,8 0,4
30,68 13,7
0,78 0,39
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0,71 14,1 0,40
0,70 14,0 0,41
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0,77 0,38
0,72 14,2 0,39
0,71 14,1 0,40
0,69 14,0 0,41
0,68 13,9 0,41
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0,76 0,37
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0,68 14,0 0,41
0,66 13,9
0,75 0,37
0,71 14,3 0,38
0,70 14,2 0,39
0,68 14,1 0,40
0,67 14,1 0,40
0,66 14,0
0,74 0,36
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0,65 14,0
0,73 0,36
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0,65 14,2 0,39
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0,72 0,35
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0,65 14,2 0,39
0,63 14,2
0,71 0,35
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0,64 14,3 0,38
0,63 14,2
0,70 0,34
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0,65 14,4 0,37
0,63 14,3 0,38
0,62 14,3
0,69 0,34
0,67 14,7 0,35
0,66 14,6 0,36
0,64 14,5 0,36
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0,50 15,4 0,29
0,48 15,3
pL = 0,06 pL = 0,07 pL = 0,08 pL = 0,09 pL = 0,10pH p r p r p r p R p R
0,50 0,25
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0,36 0,19
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0,58 11,8 0,62
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0,57 11,7 0,63
0,56 11,6
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0,57 11,9 0,62
0,56 11,8 0,62
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0,55 11,7
0,86 0,60
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0,56 11,9 0,61
0,55 11,9 0,62
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0,53 11,9 0,61
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0,50 12,0
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pL = 0,31 pL = 0,32 pL = 0,33 pL = 0,34 pL = 0,35
pH p r p r p r p r p R
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pl = 0,36 pL = 0,37 pL = 0,38 pL = 0,39 pL = 0,40pH p r p r p r p r p r
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0,30 7,7 0.91
0,28 7,6
0,95 0,89
0,30 8,1 0,89
0,29 8,1 0,90
0,27 8,0 0,90
0,26 7,9 0,90
0,24 7,8
0,94 0,88
0,27 8,3 0,89
0,25 8,2 0,89
0,24 8,1 0,89
0,23 8,0 0,90
0,21 7,9
0,93 0,87
0,24 8,4 0,88
0,22 8,3 0,88
0,21 8,2 0,89
0,19 8,1 0,89
0,18 8,0
0,92 0,87
0,21 8,5 0,87
0,20 8,4 0,88
0,18 8,3 0,88
0,16 8,2 0,89
0,15 8,2
0,91 0,86
0,19 8,6 0,87
0,17 8,6 0,87
0,16 8,5 0,88
0,14 8,4 0,88
0,12 8,3
0,90 0,86
0,16 8,7 0,86
0,15 8,7 0,87
0,13 8,6 0,87
0,12 8,5 0,88
0,10 8,4
0,89 0,85
0,14 8,8 0,86
0,13 8,7 0,86
0,11 8,7 0,87
0,09 8,6 0,87
0,08 8,5
0,88 0,85
0,12 8,9 0,85
0,11 8,8 0,86
0,09 8,8 0,86
0,07 8,7 0,87
0,06 8,6
0,87 0,84
0,10 9,0 0,85
0,09 8,9 0,85
0,07 9,9 0,86
0,05 8,8 0,86
0,04 8,7
0,86 0,84
0,08 9,1 0,84
0,07 9,0 0,85
0,05 8,9 0,85
0,04 8,9 0,86
0,02 8,8
0,85 0,83
0,06 9,2 0,84
0,05 9,1 0,84
0,03 9,0 0,85
0,02 8,9 0,85
0,00 8,9
0,84 0,83
0,05 9,3 0,83
0,03 9,2 0,84
0,02 9,1 0,84
0,00 9,0
0,83 0,82
0,03 9,3 0,83
0,02 9,3 0,83
0,00 9,2
0,82 0,82
0,02 9,4 0,82
0,00 9,3
0,81 0,81
0,00 9,5
pL = 0,86 pL = 0,87 pL = 0,88 pL = 0,89 pL = 0.90pH p r p r p r P r p r
0,99 0,94
0,46 6,8 0,94
0,45 6,7 0,95
0,43 6,5 0,95
0,41 6,4 0,95
0,39 6,3
0,98 0,93
0,37 7,1 0,93
0,36 7,0 0,94
0,34 6,8 0,94
0,32 6,7 0,95
0,30 6,6
0,97 0,92
0,31 7,3 0,93
0,30 7,2 0,93
0,28 7,1 0,93
0,26 6,9 0,94
0,24 6,8
0,96 0,92
0,26 7,5 0,92
0,25 7,4 0,92
0,23 7,3 0,93
0,21 7,2 0,93
0,19 7,0
0,95 0,91
0,22 7,7 0,91
0,21 7,6 0,92
0,19 7,5 0,92
0,17 7,3 0,93
0,15 7,2
0,94 0,90
0,19 7,8 0,91
0,17 7,7 0,91
0,15 7,6 0,92
0,13 7,5 0,92
0,11 7,3
0,93 0,90
0,16 7,9 0,90
0,14 7,8 0,91
0,12 7,7 0,91
0,10 7,6 0,92
0,08 7,5
0,92 0,89
0,13 8,1 0,90
0,11 8,0 0,90
0,09 7,9 0,91
0,07 7,8 0,91
0,05 7,6
0,91 0,89
0,10 8,2 0,89
0,09 8,1 0,90
0,07 8,0 0,90
0,05 7,9 0,91
0,02 7,8
0,90 0,88
0,08 8,3 0,89
0,06 8,2 0,89
0,04 8,1 0,90
0,02 8,0 0,90
0,00 7,9
0,89 0,88
0,06 8,4 0,88
0,04 8,3 0,89
0,02 8,2 0,89
0,00 8,1
0,88 0,87
0,04 8,5 0,88
0,02 8,4 0,88
0,00 8,3
0,87 0,87
0,02 8,6 0,87
0,00 8,5
0,86 0,86
0,00 8,7
pL = 0,91 pL = 0,92 pL = 0,93 pL = 0,94 pL = 0,95pH p r p r p r p r p r
0,99 *0,98 0,9
50,28 6,4 0,9
50,26 6,3
0,97 0,94
0,22 6,7 0,95
0,19 6,5 0,95
0,16 6,4
0,96 0,94
0,16 6,9 0,94
0,14 6,7 0,95
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0,08 6,4
0,95 0,93
0,12 7,0 0,94
0,10 6,9 0,94
0,07 6,7 0,95
0,04 6,6 0,95
0,00 6,4
0,94 0,93
0,09 7,2 0,93
0,06 7,1 0,94
0,03 6,9 0,94
0,00 6,8
0,93 0,92
0,05 7,4 0,93
0,03 7,2 0,93
0,00 7,1
0,92 0,92
0,02 7,5 0,92
0,00 7,4
0,91 0,91
0,00 7,6
*The value of r and are not listed when p is over 0,95