ﬁstatistische versuchsplanung - zuverlässiger und ... · teilfaktorieller plan zentral...

Dr. Uwe Waschatz

�Statistische Versuchsplanung -zuverlässiger und schneller zu Ergebnissen"

Dr.

U. W

asch

atz

2003

-09-

18N

r. 2

Inhalt

Problembeschreibung

Multiple lineare Regressionsanalyse

Anwendungen für Verbrennungsmotoren

Zusammenfassung

Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)

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r. 3

Inhalt

Problembeschreibung



Zusammenfassung


Dr.

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r. 4

• Analysieren der Einflüsse durch Simulation

• Bauteile optimieren

• Funktionen applizieren und prüfen

• Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften überprüfen

• Betriebsfestigkeit prüfen

• . . .

Versuche im Entwicklungsprozess eines Motors

Ziel: Ermittlung der Zusammenhänge

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r. 5

3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich

Faktor 1

Fakt

or 3

Faktor 2

Dr.

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r. 6

Beispiel:3 Einflussgrößen mit 5 einstellbaren Stufen:

125 mögliche Messpunkte.

Graphische Darstellung der Ergebnisse:5 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen.

3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Steuerzeit Einlass

0

5

10

15

20

25

30

35Steuerzeit Auslass

-29

-29

-29-29

-29

-28.5

-28.5

-28.5

-28

-28

-27.5

-27.5

-27-26.5

Berechnetes eff. Drehmoment

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r. 7

6-dimensionaler Parameterraum

???Darstellung und Verständnis ist nur mit Hilfe mathema-tischer Methoden (z. B. Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments, DoE) möglich.

Dr.

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r. 8

6-dimensionaler Parameterraum

Beispiel:6 Einflußgrößen mit 5 einstellbaren Stufen:

15625 mögliche Meßpunkte.

Graphische Darstellung der Ergebnisse:625 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Steuerzeit Einlass

0

5

10

15

20

25

30

35

Steuerzeit Auslass

-29

-29

-29-29

-29

-28.5

-28.5

-28.5

-28

-28

-27.5

-27.5

-27-26.5

Berechnetes eff. Drehmoment

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r. 9

Inhalt

Problembeschreibung



Zusammenfassung


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r. 10

Prozeß,System

Eingangsgrößenx

Ausgangsgrößeny

Störgrößenz

.

.

.

.

.

.

x1x2x3

xn-2xn-1xn

y1y2

yn-1yn

Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Ein- und Ausgangsgrößen?

Realität: y = f (x) + ε f: beliebig komplexe, i. d. R. unbekannte Funktionx: Vektor der Eingangsgrößen xiε : Meßfehler / Prozeßrauschen

Multiple lineare RegressionModellvorstellung

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r. 11

Realität: y = f (x) = f (x1, x2, ..., xn)Fehler: e = y - y

Mathematisches Modell y = g (x) =g (x1, x2, . . . xn)

Näherungsansatz bei der multiplen linearen Regression:

^

^

Multiple lineare RegressionPolynome als Näherungsansätze

Strategie zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten aijMinimierung des mittleren quadratischen Modellfehlers:

Q = Σ ei2 =Σ (yi - yi)2 n = Anzahl der Messungen

i=1

n n

i=1^

y = a0 + Σ aixi + ΣΣ aijxixj + Σ aiixi2 + ...

i=1i < j

i=1 j=1

k

i=1

k k k

KonstanteHaupteffekte zweifach

Wechselwirkungenquadratische

Effekte

Effekte höhererOrdnung

^

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r. 12

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35

Zündwinkel [Grad KW]

Dre

hmom

ent

[Nm

]

yi

yiAnpassung:Mittels �Methode der kleinsten Fehlerquadrate� Sie minimiert die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen Messwerten und Modellwerten (Residuen-Quadratsumme).

Bezeichnungen:yi: i-te Messung (hier Drehmoment)yi: prognostizierter Wert der i-ten Messungei: Residuum der i-ten Messung ei = yi - yi

= Regressionsmodell= Messwerte

Multiple lineare RegressionBeispiel 2. Ordnung

y = 58.1+59.2*ZW-40.8*ZW2

R2 = 0.9695

ei

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r. 13

Least Squares Coefficients, Response MD,

Term Coeff. Std. Error T-value Signif.-------------------------------------------------------1 1 58.125974 2.5228852 ~ZW 59.153680 4.5095203 ~ZW**2 -40.800866 7.460805 -5.47 0.0016

Term Transformed Term----------------------------------1 12 ~ZW ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01)3 ~ZW**2 ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01)**

No. cases = 9 R-sq. = 0.9695 RMS Error = 5.237Resid. df = 6 R-sq-adj. = 0.9593 Cond. No. = 3.499~ indicates factors are transformed.

Modell mit statistischen Kenngrößen

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r. 14

Multiple lineare RegressionResiduendarstellung zur Beurteilung der Modellqualität

-5-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Resid Ziegröße

0

2

4

6

8

Freq

uenc

y

-5 0 5 10Resid Zielgröße

-4

-2

0

2

4

Qua

ntile

AusreißerAusreißer

Histogramm Propability Plot

Resid. Zielgröße Resid. Zielgröße

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r. 15

Inhalt

Problembeschreibung



Zusammenfassung


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r. 16

Im rechten Fall hat Rauschen weniger Einfluss auf die Steigung, d.h. der Koeffizient kann robuster geschätzt werden.

Wie müssen die Versuchspunkte verteilt werden, um die Steigung βeiner Geraden gut zu schätzen?

VersuchsplanungAuswahl von Versuchspunkten

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r. 17

Faktor 1Fa

ktor

3Faktor 2

Faktor 1

Fakt

or 3

Faktor 2

Faktor 1

Fakt

or 3

Faktor 2

Faktor 1

Fakt

or 3

Faktor 2

Versuchspläne

Teilfaktorieller Plan

D-optimaler PlanZentral zusammengesetzter Plan

Vollfaktorieller Plan

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r. 18

� Schlechte Strategie (klassisch):� Der verbleibende Versuchsraum wird

weiter so reduziert, dass ein klassischer Versuchsplan angewendet werden kann.

� Dabei gehen möglicherweise sehr wichtige Regionen des Versuchs-bereiches verloren.

� Gute Strategie (d-optimal):� Der verbleibende Versuchsraum wird

gleichmäßig ausgeleuchtet.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

Faktor 1

Fakt

or 2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

Faktor 1Fa

ktor

2

Vorgehen bei AusschlussbereichenKlassischer und D-optimaler Versuchsplan

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r. 19

Wie sollen diese Versuche aus den3k möglichen ausgewählt werden?

Bei k Faktoren mit jeweils . . . k=4 k = 10müssen zur Berechnung ...

• der linearen Haupteffekte k +1 5 11• der 2-Faktor-Wechselwirkungen k x (k-1)/2 6 45• der quadratischen Effekte k 4 10• der Versuchsvarianz (>=1) 5 5

... Versuche mindestens durchgeführt werden 20 71

81 59049

Design, Anzahl der Versuche

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r. 20

Inhalt

Problembeschreibung



Zusammenfassung


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r. 21

Schleppmoment

Einflussfaktoren:

Drehzahl

Rel. Luftmasse

Zielgröße:

(Temperatur)

Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors

Md = a0 + a1 *RL + a2 *DRZ + a3 *RL*DRZ + a4 *RL2 + a5 *DRZ2

Modellgleichung (quadratischer Ansatz)

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r. 22

Modell 2. OrdnungLeast Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model DESIGN__COPY

Term Coeff. Std. Error T-value Signif.----------------------------------------------------------1 1 -12.595422 0.263847 -47.74 0.00012 ~RL_W 1.758488 0.262878 6.69 0.00013 ~DRZ -3.839437 0.265696 -14.45 0.00014 ~RL_W*DRZ -1.543383 0.366582 -4.21 0.00155 ~DRZ**2 -1.913154 0.358525 -5.34 0.0002

Term Transformed Term-------------------------------------1 1

2 ~RL_W ((RL_W-5.5875e+01)/4.3873 ~DRZ ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03)4 ~RL_W*DRZ ((RL_W-5.5875e+01)/4.3875 ~DRZ**2 ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03)*



Dr.

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r. 23

1000 2000 3000 4000 5000-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

Drehzahl [U/min]

RL_W=20RL_W=70

Modellergebnis (2. Ordnung) mit 95% VertrauensintervallBeispiel 1: Schleppmoment eines Motors

Dremoment [Nm]

Dr.

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r. 24

0 2 4 6 8 10 12 14 16-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

+

+

+

+

+

+

++

+

+ +

+

+

+

++

Residual

Case Number

Beispiel 1: Analyse der ModellschwächeResiduen über Reihenfolge der Messung

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r. 25

Residuen über rel. Luftmasse

10 20 30 40 50 60 70 80 90-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Stud.

RESIDUAL

of

EFFMOMT

rel. Luftmasse [%]

Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche

Dr.

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r. 26

Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche

0 1000 2000 3000 4000 5000-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Stud.

RESIDUAL

of

EFFMOMT

Drehzahl [U/min]

Residuen über Drehzahl

Dr.

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r. 27

Schleppmoment

Einflussfaktoren:

Drehzahl

Rel. Luftmasse

Zielgröße:

(Temperatur)


Md = a0 + a1 *RL + a2 *DRZ + a3 *RL*DRZ + a4 *RL2 + a5 *DRZ2 + a6*DRZ3 + a7*DRZ4

Modellgleichung (quadratischer Ansatz)

Modell 4. Ordnung

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r. 28

Modell 4. Ordnung

Least Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model ERW1__CO

Term Coeff. Std. Error T-value Signif.----------------------------------------------------------1 1 -12.831851 0.107502 -119.36 0.00012 ~RL_W 1.786280 0.117826 15.16 0.00013 ~DRZ -5.624455 0.335564 -16.76 0.00014 ~RL_W*DRZ -1.494257 0.164363 -9.09 0.00015 ~DRZ**3 2.208529 0.355232 6.22 0.00016 ~DRZ**4 -1.938206 0.146647 -13.22 0.0001



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r. 29

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

Dre

mom

ent [

Nm

]

Drehzahl [U/min]

RL_W=20RL_W=70

Modellergebnis (4. Ordnung) mit 95% VertrauensintervallBeispiel 1: Schleppmoment eines Motors

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r. 30

Contourplott (Kennfeld für das Schleppmoment)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

20

40

60

80

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

-18-17-16-15-14

-14

-13 -13

-13-12

-12

-11

-11

-10

-10

-9-8

rel.

Luftm

asse

[%]

Drehzahl [U/min]

Drehmoment [Nm]


Dr.

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r. 31

� Motordrehzahl 10� Füllung 10� Zündwinkel 10� Kraftstoff-Luft-Verhältnis 5 � Steuerzeit Einlassnockenwelle 8 � Steuerzeit Auslassnockenwelle 5

Einflussgrößen eines 4-Ventil Ottomotors Einstellungen

Beispiel 2: Motorapplikation

Aus den erforderlichen Einstellungen für die Einflussgrößen ergibt sich ein Raum mit über 200.000 Gitterpunkten

Bei Anwendung der statistischen Versuchsplanung werden nur 400 Messpunkte benötigt

Dr.

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asch

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r. 32 Drehmoment

Rel. Füllung

Einflussfaktoren:

ZündwinkelDrehzahlSteuerz. Einlassw.Steuerz. Auslassw.

Zielgrößen (Zi):

Saugrohrdruck Verbrauch

Lambda

Aufgabe 1: Applikation des Steuergerätes(z. B. Momentenschnittstelle)

. . . .

Analyse und Optimierung eines Motors Beispiel 2: Motorapplikation

Dr.

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r. 33 Saugrohrdruck

Drehmoment

Rel. Füllung

Einflussfaktoren:


Zielgrößen (Zi):

Verbrauch

Lambda

Aufgabe 2: Optimierung des Verbrauchsund der Emissionen

. . . .


Dr.

U. W

asch

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r. 34 Drehmoment

Saugrohrdruck

Rel. Füllung

Einflussfaktoren:


Zielgrößen (Zi):

Verbrauch

Lambda

Aufgabe 3: Optimierung der Vollast

. . . .


Dr.

U. W

asch

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r. 35

Beispiel 2: MotorapplikationWirkung der Einflussgrößen

0

50

100

150

Md [Nm]102.526

+/-7.97137

2000 6000Drehzahl

0.80.9 1 1.1Lambda

400 800Saugrohr-

druck

5 10 15 20SteuerzeitAuslass

10 20 30 40Steuerzeit

Einlass

0 20 40Zünd-winkel

2000 1 663.037 17.7999 22.01 15.8076

Dr.

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r. 36

Welchen Einfluß haben die Parameter:

DrehzahlLastDüse (2 Varianten)SpritzbeginnAbgasrückführrate (AGR)Ladedruck

auf die Zielgrößen:

Verbrauch, Stickoxide, Rußzahl . . .

in einem Teillastpunkt

Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorAufgabenstellung

Dr.

U. W

asch

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r. 37

Düsenvergleich beim Dieselmotor

übliches Vorgehen �Statistische Versuchsplanung�

� ca. 6250 Messpunkte pro Düse

� Reduzierung des Versuchsaufwandsdurch Beschränkung (keine AGR,keine Variation des Ladedrucks)

ev. nur lokales Optimum erfaßt;Fehlentscheidungen möglich

� wenige Messpunkte pro Düse (60)

� Messung im gesamten Parameterraum

� mathematisches Modell

globales Optimum wird erfaßt

Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorVergleich des Aufwandes

Dr.

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asch

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r. 38

Ergebnis an einem Betriebspunkt:

Düse a: Düse b:

Rußzahl [% v. Zielwert]: 55 45Stickoxide [g/h] : 48 55

Düse a ist besser als Düse b

Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorUntersuchungen mit festem Ladedruck und ohne Abgasrückführung

Dr.

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asch

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r. 39

klein mittel groß0

50

100

150

200

250

Düse=aDüse=b

Betriebspunkt:n = 2000 min -1MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW

Ruß

zahl

[Pro

zent

v. Z

ielw

ert]

Abgasrückführrate

Ruß - Zielwert

Rußzahl über Abgasrückführrate (Modell) Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor

Dr.

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r. 40

10

20

30

40

50

60

70N

Ox

[g/h

]

Düse=aDüse=b

Betriebspunkt:n = 2000 min -1MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW

klein mittel groß

Abgasrückführrate

Stickoxide über Abgasrückführrate (Modell)

Ruß (Düse a) = 100%

Ruß (Düse b) = 100%

Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor

Dr.

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asch

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2003

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r. 41

Ergebnis an einem Betriebspunkt:

Düse a: Düse b:

Rußzahl [% v. Zielwert]: 100 100Stickoxide [g/h]: 29 23

Düse b ist besser als Düse a

Untersuchung im vollständigen Parameterraum Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor

Dr.

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r. 42

Inhalt

Problembeschreibung



Zusammenfassung


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2003

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r. 43

Zusammenfassung

�Statistische Versuchsplanung� bewirkt:

� Reduzierung des Versuchsaufwands um den Faktor 10 bis 100(Verkürzung der Entwicklungszeit)

� Überwachung der Messqualität

� Erkennen von Wechselwirkungen in mehrdimensionalenParameterräumen

� Verstehen der Zusammenhänge

ﬁstatistische versuchsplanung - zuverlässiger und ... · teilfaktorieller plan zentral...

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