iss0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 jury...
TRANSCRIPT
SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP
Diskreetaja süsteemid: mudelid, analüüs, modelleerimine, parameetrite hindamine
http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov
[email protected], TTÜ ICT-502b, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut
Arukate süsteemide keskus
Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale
Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-
väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.
Pidevaja süsteemi olekumudel
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
.
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)( 2
1
2
1
2
1
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
ty
tyty
ty
tu
tutu
tu
tx
txtx
tx
mrn
!!!
kus A – nxn; B – nxr; C – mxn;
ïïî
ïïí
ì
=
+= ò¬
-
-
¬-
Cx(t)y(t)
)()0()(0
)(min
)(
)0(min
t
tuesundliiku
tA
xevabaliiku
At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt
Ekvivalentne diskreetne süsteem (1)
Antud on pidevaja süsteemi olekumudel
îíì
=+=
)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
)()()()()()(
k
k
k
tytytxtxtutu
®®®
tk-1 tk tk+1
D/A A/DSüsteem
Kell
u(tk) u(t) y(t) y(tk)
kus A – nxn; B – nxr; C – mxn.
Lähtume pidevaja olekumudeli lahendist
ò -+=t
AAt dtBuexetx0
)()0()( ttt
● tk→t (üleminek)
ò -- +=t
t
tAk
ttA
k
k dBuetxetx ttt )()()( )()(
● t→tk+1
ò
ò+
++
+
++
--
--+
+=
=+=
1
11
1
11
)()(
)()()(
)()(
)()(1
k
k
kkk
k
k
kkk
t
tk
tAk
ttA
t
t
tAk
ttAk
tBudetxe
dBuetxetx
t
tt
t
t
NB! tk → tk+1 u(t)=u(tk)
Ekvivalentne diskreetne süsteem (2)
kus
),(),()(),()( 111 kkkkkkk tutttxtttx +++ G+×F=
ò-
+
-+
+
+
×=G
=Fkk
kk
ttA
kk
ttAkk
Bdett
ett1
1
01
)(1
.),(
,),(
tt
Eeldame !,2,1,01 ==-+ khtt kk
teisiti .,2,1,0 !== kkhtk
îíì
=G+F=+);0(),()(
)()()(xkhCxkhy
khukhxhkhx
kus
,
,
0ò=G
=Fh
A
Ah
Bde
e
tt
Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)
ekvivalentne diskreetne süsteem.
Probleem – h valik!?îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkxh!
Olekuvõrrandi lahendamine: k=k0 (→ tavaliselt k0=0)
)1()()()1()1()2(
)()()1(
0002
000
000
+G+FG+F=
=+G++F=+G+F=+
kukukx
kukxkxkukxkx
å-
=
---
---
GF+F=
=-G+GF+F=1
10
01
0
0
0
00
)()(
)1()()()(k
kj
jkkk
kkkk
jukx
kukukxkx !
Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)
tk tk+1
t ?ò-
-
=G
=Fk
k
ttA
k
ttAk
Bdett
ett
0
)(
.),(
,),(
tt
),(),()(),()( kkkk tutttxtttx G+F=
kus
NB! h valitakse Shannon-Kotelnikovi teoreemi alusel.
Näide No.1 Φ ja Γ arvutamine
îíì
=+=),()(
)()()(tCxty
tButAxtx!
[ ].01,10
,0010
=úû
ùêë
é=úû
ùêë
é= CBAkus
Leiame Φ ja Γ üldkujul
úû
ùêë
é=+úû
ùêë
é+úû
ùêë
é+úû
ùêë
é=+++==F10
10000
000
1001
!2
22 hhhAAhEeAh !!
òò úû
ùêë
é=úû
ùêë
é×úû
ùêë
é==Ghh
A
hh
dBde0
2
0
2/10
101
tt
tt
[ ] )(01)(
)(2/
)(10
1)(
2
khxkhy
khuhh
khxh
hkhx
=
úû
ùêë
é+úû
ùêë
é=+
Φ Γ
CΦ ja Γ arvutasime eAh astmerea alusel.
Meil on antud olekumudel
îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkx
Soovime leida ülekandemudeli (sisend-väljund mudeli).
Võtame kasutusele operaatori z
)1()()1()()(
1 -=
+=- kykyz
kykzyky
)()()()()()(
)()()()1(
kukxzEkukxkzx
kukxkzxkx
G=F-G=F-
G+F==+
)()()()(
)()()(
)(),(
1
)(
1
kuzECkCxky
kuzEkx
zHuyzH
zHux
!!"!!#$
!"!#$
GF-==
GF-=
-
-
H(z) – ülekandemaatriks– m x r.
Eeldame, et m=r=1 → ühemõõtmeline süsteem.
)()()(
1)()()()()(
11
11
1
1
kukyzH
zazazbzb
zAzBzAzBzH
nn
nn
=
+++++
==
=
--
--
-
-
!!
ülekandefunktsioon
),()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-=-++-+ !!
diferentsvõrrand.
Kui u(k)! on antud, siis y(k) !on leitavad
)()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-+-----= !!
Näide No.2
îíì
=G+F=+
),()()()()1(
kCxkykukxkx
[ ].01,2/
,10
1 2
=úû
ùêë
é=Gúû
ùêë
é=F Chhh
kus
h!
úû
ùêë
é---
=úû
ùêë
é-úû
ùêë
é=F-
GF-= -
101
101
1001)()( 1
zhzh
zzE
zECzH
Olgu h=1, siis ,1011úû
ùêë
é---
=F-z
zzE úû
ùêë
é---
-=F- -
1011
)1(1)( 2
1
zz
zzE
[ ] =-
+=
úúû
ù
êêë
é×úû
ùêë
é-
--
= 22 )1(
)1(21
121
1011
)1(101)(
z
z
zz
zzH
21
21
2 215.05.0
125.05.0
--
--
+-+
=+-
+=
zzzz
zzz
)()(
215.05.0)( 21
21
kuky
zzzzzH «
+-+
=--
--
)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-=-+-- kukukykyky
)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-+---= kukukykyky
[ ].)2(),1(),2(),1()( ----= kukukykyfky
Süsteemi järk on 2.
8115.4245.41125.032115.0025.010001000000)()1()2()1()2( kykukukykyk ----
u(k)=1, k≥0
1 2 3 4
8
6
4
2
y(k)
k
reaalaeg !?
h=1 → k=4 → kh=4h≠1 → k → kh=t
z-teisendus
{ }!,2,1,0);( =kkx jada
å¥
=
-=0
)()(k
kzkxzX
kujutis originaal
1952 – 1958Jury
BarkerTsõpkin
îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkx
å å
å å¥
=
¥
=
--
¥
=
¥
=
--
G+F=
=úûù
êëé -+=+
0 0
0 0
)()(
)0()1()1(
k k
kk
k k
kk
kuzkxz
xkxzzkxz
)()(
)()(
0
0
zUzku
zXzkx
k
k
k
k
=
=
å
å¥
=
-
¥
=
-
[ ] )()()0()( zUzXxzXz G+F=-
!!! "!!! #$!! "!! #$ )()()0()()( 11 zUzEzxzEzX GF-+F-= --
GF-= -1)()( zECzH
Mõned z-teisendused:
,1
)(0,1)(-
=®³=zzzXkkx
)()( kxtx h¾®¾[ ]
ïî
ïíì
+=
=
=
ò¥
-
wt js
dtetxsX
txLsX
st
!0
)()(
)()( [ ]
ïî
ïíì
+=
=
=
å¥
=
-
Jr jz
zkxzX
kxZzX
k
k
0)()(
)()(
Aeg - pidev Aeg - diskreetne
x(t), t ≥ 0 x(k), k ≥ 0
z=esh, h-diskreetimissamm
2)1()(0,)(
-=®³=zhzzXkkhkhx
alati
alati ei saa !
s zR=1
Näide No.3x(k) arvutamine X(z) alusel.
ïî
ïí
ì
=
+-=
+-=
å¥
=
-
--
-
0
21
2
2
)()(
5.05.1110
5.05.110)(
k
kzkxzX
zzz
zzzX
10 5.05.12 +- zz!+++ --- 432 5.171510 zzz
- 21 51510 -- +- zz21 5150 -- -+ zz
321 5.75.2215 --- ++ zzz-32 5.75.170 -- -+ zz
432 75.825.265.17 --- +- zzz-43 75.875.180 -- -+ zz
x(0)=0x(1)=0 ← x(h)x(2)=10 ← x(2h)x(3)=15 ← x(3h)x(4)=17.5 ← x(4h)
H(z)u(k) y(k)
U(z) Y(z)
Y(z)=H(z)∙U(z)
Süsteemifunktsioonid diskreetaja süsteemides (nullised algtingimused):
)()(
)()()(
)()()( 1
1
-
-
===zAzB
zAzBzH
sAsBsH
Lugeja järk võib olla nimetaja järguga võrdne
Neg.astmete puhul: lugeja ja nimetaja järgud võrdsed
[ ]
úûù
êëé=
=
-
-
ssHLtg
sHLth)()(
)()(
1
1 [ ]
úûù
êëé
-×=
=
-
-
1)()(
)()(
1
1
zzzHzkg
zHzkh
H(s)/ H(z) –ülekandefunktsioon, h(t)/ h(k) – impulsskaja, g(t) / g(k) – hüppekaja.
Süsteemide modelleerimine (1)Vaatleme reaalsele süsteemile (matemaatilise) mudeli koostamise protsessi:
● Matemaatilise mudeli koostamisel on aluseks antud rakendusvaldkonnas kehtivad seaduspärasused ja süsteemis toimuvad protsessid ning tulemuseks on modelleeritava süsteemi mudel.
● Mudel oma ülesehituselt on kas ülekandemudel (ehk sisend-väljund mudel) või olekumudel (sisend-olek-väljund mudel). On oluline märkida, et sisend- ja väljundmuutujad on reaalsed ning seega üldjuhul mõõdetavad.
Süsteemide modelleerimine (2)● Reaalse süsteemi mudeli koostamisel on probleemiks mudeli parameetrite (ehk kordajate või koefitsientide) määramine, mida nimetatakse parameetrite hindamiseks.
● Parameetrite hindamisel on aluseks süsteemi muutujate (tavaliselt sisend- ja väljundmuutujate) mõõtetulemused ja mudeli struktuur. Parameetrite hindamine võib toimuda ka reaalajas.
● Parameetrite hindamise baasmeetodiks on vähimruutmeetod. Johann Carl Friedrich Gauss`i poolt 1795.aastal välja pakutud ja tema poolt planeetide orbiitide määramisel kasutatud meetod.
Süsteemide modelleerimine (3)● Meie kõik tunneme vähimruutmeetodit kui ülemääratud lineaarsete võrrandisüsteemide ligikaudse lahendamise meetodit.
● Sõltuvalt mudeli kujust on lisaks klassikalisele vähimruutmeetodile süsteemide modelleerimisel kasutusel ka mitmed selle meetodi modifikatsioonid.
● Praktikas on olulise tähtsusega rekurrentne vähimruutmeetodi arvutusskeem, mis võimaldab mudeli parameetrite hindamist reaalajas.
● Süsteemide modelleerimisega seonduvad märksõnad: system modeling, system idendification, parameter estimation, least-squares estimation.
Parameetrite hindamine - süsteemimudelParameetri hindamise probleemi esitamisel lähtume skalaarse lineaarse statsionaarse süsteemi diskreetaja mudelist kujul
)k(u)z(Bz=)k(y)z(A 1-d-1- (*)
kus
m-m
2-2
1-1
1-
n-n
1-1
1-
zb...+zb+zb=)z(B
,za+...+za+1=)z(A
ja d hilistumine mõõdetuna diskreetimise sammudes.
Lineaarse statsionaarse süsteemi mudel võib olla antud ka diferentsvõrrandi kujul
)--(...)2--()1--()-(...)1-()(
2
11
mdkubdkubdkubnkyakyaky
m
n
+++=+++
(**)
Eeldame, et y(k) ja u(k) tähistavad signaalide variatsioone s.t. reaalsete signaalide Y(k) ja U(k) kõrvalekaldeid väljakujunenud väärtustest Y∞ ja U∞
.Y-)k(Y=)k(y,U-)k(U=)k(u
∞
∞
Parameetrite hindamine seisneb polünoomide A(z-1) ja B(z-1)kordajate ai ja bj hindamises u(k) ja y(k) mõõtetulemuste alusel, eeldusel, et polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on teada.
Parameetrite hindamine - vähimruutmeetod
Parameetrite hindamisel enamkasutatavaks meetodiks on vähimruut-meetod. Vähimruutmeetodi tuletamiseks lähtume matemaatilisest mudelist kujul (**). Ajahetkel k on meil olemas järgmised u(k) ja y(k)mõõtetulemused:
...),2-k(u),1-k(y
...),2-k(u),1-k(u
Kui teame polünoomide A(z-1) ja B(z-1) kordajate hinnanguid ai ja bj on võimalik mudeli (**) alusel hinnata (prognoosida) süsteemi väljundit
).m-d-k(ub+...+)1-d-k(ub+
+)n-k(ya-...-)1-k(ya-=)1-kk(y
m1
n1
Väljundi hinnangu vea defineerime järgmiselt
),1-kk(y-)k(y=)k(ekus y(k) on mõõdetud väärtus.
Arvestades eelnevat on mudel (**) esitatav kujul
),k(e+)1-k()k(=)k(y T Qj
kus φ(k) on andmevektor kujul
[ ],)m-d-k(u,...),1-d-k(u);n-k(y,...),1-k(y=)k(Tj
(***)
1)-(kΘ on parameetrite vektor kujul
[ ]m1n1T b,...,b;a,...,a=)1-k(Q
ja e(k) väljundi prognoosi viga.
Eeldades, et meil on piisavalt u(k) ja y(k) mõõdetud väärtusi, moodustame
─ andmemaatriksi, mille ridadeks on andmevektorid
)1-N+d+m(,...),1-d+m( TT jj ja
m+n>N (hinnatavate parameetrite arv);
─ parameetrite vektori Q─ väljundite vektor Y, on veeruvektor, mille elementideks on
väljundi mõõtetulemused y(m+d), ... , y(m+d+N);─ veavektori E, on veeruvektor, mille elementideks on
e(m+d), ... , e(m+d+N).
;
Mudel (***) on esitatav kujul
.E+=Y FQ
)-Y()-Y(21
=EE21
=I TT FQFQ
saame, et selleks tuleb lahendada normaalvõrrandite süsteem
,Y=ˆT FQFFmille lahend on esitatav kujul
.Y)(=ˆ T FFFQ -1
Saadud tulemus ei ole kasutatav reaalajas, kuna eeldab teatava aja vältel mõõteandmete kogumist ja alles siis on võimalik saada parameetrite hinnangud.
Järgnevalt lahendame parameetrite hindamise ülesande vähimruutmeetodil, minimiseerides vea ruutu
Saab tõestada, et vähimruutmeetod on esitatav kujul
[ ],)1-k(ˆ)k(-)k(y)k(K+)1-k(ˆ=)k(ˆ QjQQ
,)k()1k(P)k()1k(P)k()1k(P)1k(P1)k(P T
T
÷÷ø
öççè
æj-j+l-j-
-l
= -
,)k()k(P=)k(K j
kus φ(k) on andmevektor,
Θ(k) ja Θ(k-1) on parameetrite vektorid,
P(k) ja P(k-1) on (n+m)*(n+m) parameetrite hinnangute kovariatsioonmaatriksid,
K(k) on kaalukoefitsientide vektor,
λ on mälutegur (λ<1).
Parameetrite hindamine -vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid
Vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid:
1. Mudeli parameetrite algväärtustamine;
2. Meetodi koonduvustingimused;
3. Sisendite ja väljundite väljakujunenud väärtuste U∞ ja Y∞ hindamine;
4. Vähimruutmeetod ( ja selle erinevad modifikatsioonid) on realiseeritud ja kasutatavad rakenduskeskkonnas Matlab/Simulink.
Rekkurrentse vähimruutmeetodi kasutamisel on probleemiks parameetrite algväärtustamine. Otstarbekas on valida algväärtused järgmiselt:
.1kus,I)0(P,0)0(ˆ
>>aa=-=Q-
Vähimruuthinnangud koonduvad parajasti siis, kui on täidetud järgmised tingimused:
- polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on antud;- u(k)=U(k)-U∞ ja y(k)=Y(k)-Y∞
- E{e(k)}=0 ja e(k) ei ole korreleeritud andmevektorielementidega s.t. e(k) väärtused on statistiliselt sõltumatud.
Järelikult põhiprobleemiks vähimruutmeetodi rakendamisel on U∞ ja Y∞ väärtuste hindamine ja mudeli (**) modifitseerimine.
,C)mdk(Ub...)1dk(Ub)nk(Ya...)1k(Ya)k(Y
m1
n1
+--++--++-----=
Mudeli (**) esitame kujul
kus ¥¥ +-+++= U)b...b(Y)a...a1(C m1n1
Sisuliselt on vaja laiendada andmevektorit φ(k) lisades lõppu ühe elemendi väärtusega 1 ja samuti tuleb lisada parameetrite vektorile
lõppu üks element – parameeter C ning siis võib korraldada kõik arvutused sisendite ja väljundite reaalsete väärtustega.
1)(kΘ -ˆ
Parameetrite hindamine - üldistatud vähimruutmeetod
Järgnevalt vaatleme diskreetaja süsteemi parameetrite hindamist juhul, kui süsteem kirjeldub stohhastilise mudeliga
kus
ja d on hilistumine mõõdetuna diskreetimissammudes ning v(k)valge müra, matemaatilise ootusega null ja dispersiooniga σ2.
Vähimruutmeetod ei ole otseselt kasutatav, kuna v(k) on mitte-mõõdetav.
,)k(v)z(C)k(uz(Bz)k(y)z(A 11d1 ---- +=
nn
11
1
mm
11
1
nn
11
1
zc...zc1)z(C
,zb...zb)z(B
,za...za1)z(A
---
---
---
+++=
++=
+++=
Üheks võimaluseks on kasutada v(k) asemel väljundi prognoosi viga
)1k(ˆ)k()k(y)k(e T -Qj-=
ja laiendada andmevektorit ja parameetrite vektorit järgmiselt
,)nk(e,...),1k(e
);mdk(u,...),1dk(u);nk(y,...),1k(y)k(T ú
û
ùêë
é--
--------=j
[ ].c,...,c;b,...,b;a,...,a)1k(ˆ n1m1n1T =-Q
Nüüd võib kasutada polünoomide A(z-1), B(z-1) ja C(z-1) kordajate hindamiseks rekurrentset arvutusskeemi, vastavat meetodit nimetatakse üldistatud vähimruutmeetodiks.