Journal of Geometry Vol. 13/1 1979 Birkh~user Verlag Basel

ISOTROPE KEGELSCHNITTSBEWEGUNGEN

JOrgen T~ike

A calculus for plane affin motions A with one finite and one infinite instantaneous center is given. As an applica- tion We study the class C cA for which the affin normals of all orbits, at each parameter value, are parallel or co- punctual, resp. These motions are isotropic (i.e. the in- finite instantaneous center is fix) and we have three types. The orbits are parabola or hyperbola.

Obgleich die Geometrie der Minimalebene Gegenstand zahl-

reicher Untersuchungen war I) und auch in jOngerer Zeit

das Interesse auf sich zog [10, 4, 7], gibt es nur wenige

Beitr~ge zu ihrer Kinematik [8, 9, 5, 14]. Eine der Ursa-

chen dafOr dOrfte am Fehlen eines geeigneten KalkOls lie-

gen. Wir leiten einen solchen gleich fur (regul~re) para-

bolische Affinbewe~un~en [3, 11] her.

Als Anwendung studieren wir sodann jene parabolischen Af-

finbewegungen, bei denen die Bahnaffinnormalen an jeder

Parameterstelle parallel bzw. kopunktal sind. Diese Bewe-

gungen sind isotrope Kegelschnittsbewegungen (d.h. die all-

gemeinen Bahnkurven sind Kegelschnitte). Im Gegensatz zum

Euklidischen und Pseudoeuklidischen [12] gibt es hier drei

Typen solcher Kegelschnittsbewegungen: Die Parabelbewegun -

gen, die Hyperbelbewegungen I. Klasse und die Hyperbelbe-

wegungen II. Klasse. Die genannten isotropen Bewegungen

sind hiermit affin gekennzeichnet. Die zugeh~rigen Roll-

vorg~nge werden genauer studiert.

w I Parabolische Affinbewe@ungen

I. In bekannter Weise sei eine affine Abbildung a zweier

(reeller) Ebenen e,e' dadurch festgelegt, dab in e ein

1)Man vergleiche dazu die Literaturverzeichnisse in [4, 9 10].

T~ike 32

affines Koordinatensystem {O;ele2} und in e' dessen

Bild {O';el,e2,} gegeben ist. Wir denken uns die beiden

Ebenen zusammenfallend. Fassen wir die Komponenten von i !

0'~ := X' = x e , bzw. O~ = x = xle. zu einspaltigen ~ ~i ~ ~l -I

Matrizen x' bzw. x zusammen, so ist a bzw. a

durch die Matrixgleichung

(I) x' = C' (x-c) bzw. x = C(x'-c') mit DET C':=c'%O

gegeben, wobei wir

O'0 := c' , ~':= c, CC'= C'C = E (= Einheitsmatrix)

gesetzt haben.

Eine von einem reellen Parameter t 6 I abh~ngige Schar

affiner Abbildungen a(t) heist Affinbewegun 9 genau dann,

wenn die Elemente fHr t=const, einer Gruppe angeh~ren.

Wie ~blich machen wir ~berdies noch hinreichende Differen-

zierbarkeitsannahmen.

Bezeichnet (Ableitungen nach dem Bewegungsparameter deuten

wir dutch Punkte an)

B := CC' bzw. B' := -C'C

die infinitesimale Abbildungsmatrix von a(t) bzw.

e(t) -I, so heist eine Affinbewegung parabo!isch genau dann,

wenn auf dem zugrundeliegenden Parameterintervall die Ma-

trix B(t) (und damit auch B' (t) ) konstanten maximalen

Rang und die lineare Abbildung

w = B(t)v

an jeder Parameterstelle genau eine Fixrichtung r(t) be-

sitzt. Demnach gilt for parabolische Affinbewegungen not-

wendig

2 (2) 2a:= SPUR B % O, b:= DET B ~ O, a = b.

T61ke 33

Mit der Zusatzforderung B �9 hE sind die Beziehungen (2)

auch hinreichend [11].

Wir machen im Folgenden noch die Regularit~tsannahme, dab

der endliche Momentanpol P nicht fest ist und die Tangen-

ten der zugeh6rigen Polkurven P (Gan@polbahn) und P'

(Rastpolbahn) an keiner Parameterstelle mit dem Fernpol r

inzidieren. FHr re~ul~re parabolische Affinbewe~un@en gilt

also neben (2) noch

(3) p r O,

wobei p bzw. p'

[Bp,p] r O,

den Ortsvektor des Momentanpols P be-

zeichne und wir unter [a,b] die Determinante der Spalten-

vektoren a,b verstehen. Einige Ergebnisse Hber Affinbe-

wegungen mit (2), (3) finden sich in [11].

2. Um parabolische Affinbewegungen mit (3) zu studieren,

bietet sich das lokale Koordinatensystem {P;p r} an. We-

nigstens gilt

(4) Br = ar, Bp = ap + Br mit ~ =~(t) ~ O.

Wir k~nnen uns dabei die Richtung r noch verm6ge

(5) r = rp mit r = r(t)

normiert denken. Damit k6nnen wir die Ableitun~sgleichun~en

der Gangpolbahn P in der Form

. o

(6) p = qp + pr mit q = q(t), p = p(t)

ansetzen.

Da es uns im Folgenden nur auf geometrische Eigenschaften

ankommt, k6nnen wir den Bewegungsparameter noch geeignet

normieren. Studieren wir dazu zun~chst das Transformations-

verhalten der Koeffizienten in (4), (5) und (6) gegen~ber

re~ul~ren Parametertransformationen

T61ke

d~ (7) �9 = %(t) , ~:= ~-{ # O.

Nach (1) gilt offenbar

B �9 = 6-1B, p$ =p mit p~:= p(T), B$: = B(T).

Hiermit gewinnen wir die Transformationsbeziehungen

(8) a*=6-1a, 8"=~-28, r*=r, p,=~-2p, q,=~-2(q~_~).

Die GreBe q hat also kein halbinvariantes Verhalten,

eignet sich also zur Fixierung der Parameterverteilung.

SATZ I. F~r re~ul~re parabolische Affinbewegungen existiert

ein @gs@ezeichneter Parameter t derart, dab die Ablei-

tungs@leichun@en der Gangpolbahn dutch

(6') p = pr , p = p(t)

gegeben sind.

Den weiteren Untersuchungen legen wir diesen ausgezeichne-

ten Bewegungsparameter zugrunde. Hiermit gewinnen wir die

im Folgenden benOtigten Beziehungen

Br = (a-rp)r , Bp = (a+rB)p + Br ,

(9) Br = -2~r2p + {(a-r~)'-r~}r ,

B/ = {(a+r~)" + r~}p + {2Brp + ~}r

Vermerken wir noch die sich aus (I) und (6') ergebenden Ab-

leitungsgleichungen der Rastpolbahn P'

; �9 ' = ap' + (p+~)r' := C'r . (10) , r'

Bewegungen mit r=O heiBen nach K. STRUBECKER [9, 10]

regul~r isotrop.

Wir wollen nun nach jenen regul~r parabolischen Affinbewe-

gungen fragen, bei denen

34

T61ke 35

(a) s~mtliche Bahnaffinnormalen an jeder Parameterstelle

t6 I parallel sind,

(b) s~mtliche Bahnaffinnormalen an jeder Parameterstelle

t 6 I kopunktal sind.

Es stellt sich heraus, dab dann die Richtung bzw. der Treff-

punkt notwendig sogar rastfest ist.

w 2 Die Bahnaffinnormalen der Fix@eradenschar

~. Im Hinblick auf (2. (a,b)) beginnen wir mit dem Studium

der Bahnaffinnormalen der Fixgeradenschar. Die Bahnaffin-

normalenrichtun~ eines Bahnkurvenpunktes X, der an der be-

trachteten Stelle keinen Wendepunkt seiner Bahnkurve be-

schreibt, ist bekanntlich durch

(1) b' (X,t) := 3[x',x']x'-[x',x']x'

gegeben. Im lokalen Koordinatensystem

(2) x = p + xlP+ x2r

folgt mit (1.1)

Cx' = axlP + (Xl~+x2a)r (3) ..

Cx ' = {(s+r~)xl-a} p + {(s-r~)x 2 + (2a~+ ~)x1-~}r ,

wobei wir abkfirzend

2 (4) s:= a + a

gesetzt haben. Hiermit ergibt sich als Darstellung des

Wendeke@elschnittes W

�9 2 (5) ~{s + ~a - 2a - r~}x I - 2a~rxlx 2 + a2x2 = O.

W geht durch die momentanen Fixpunkte und berHhrt - sofern

er nicht zerf~llt - die Polbahnen im Momentanpol P. Ferner

folgt - mit r=O - in Erg~nzung zu [I, S. 21]

T61ke 36

SATZ 2. F0r re@ul~re isotrope Bewegungen ist der Ort der

momentanen Wendepunkte }~ ein parabolischer Kreis oder

zerf~llt in die Polbahntangente (Wendegerade [I]) und die

Ferngerade. Die Bahntangenten der Punkte yon W ~ehen je

nachdem durch den auf ~ gelegenen Punkt W

(6) w = p - {s + ~a - 2~}

oder sind zu B~ parallel.

Wir nennen W bzw. den zur Richtung

-I

B~ geh~rigen Fern-

punkt den Wendepol [11] an der betrachteten Parameterstel-

le.

2. Nach (5) ist fur die von den Polen verschiedenen Punkte

X der momentanen Fixgeraden die zugeh~rige Bahnaffinnor-

malenrichtung b~(X,t) an jeder Stelle wohl definiert. Wir

finden die Darstellung

22 (7) Cb~(X,t) = 3a~ + {3 B - (s-5~r)x 2 + 2Br x2}~ .

Somit gilt

SATZ 3. Die Bahnaffinnormalen der Bahnkurvenpunkte auf der

momentanen Fixgeraden einer re@ul~r parabolischen Affinbe-

wegung sind ~enau dann st~ndi@ parallel (bzw. kopunktal),

wenn es sich um eine isotrope Bewe@un@ mit s = O (bzw.

s % O) handelt. I__mm Rastsystem gilt fur die Richtung (bzw.

den Treffpunkt T) der 9enannten Bahnaffinnormalen

(8) C'B~ bzw. t' = p'+ 3s-Ic'B~

Vermerken wir noch, dab bei nicht isotropen regul~ren para-

bolischen Affinbewegungen die Bahnaffinnormalen der momen-

tanen Fixgeraden den durch den Fernpol gehenden Mittelpunkts-

kegelschnitt

(2A-A2-24B2r2)y~ + 24a~r2yly 2 + 6ay I + 9a 2 = O

T61ke 37

einhfillen, wobei wir abkfirzend A:= 58r-s gesetzt haben.

w 3 Isotrope Parabelbewe~ungen

I. Wir wollen zun~chst jene isotropen Bewegungen mit s=O

studieren, bei denen die Bahnaffinnormalen an jeder Stelle

die Richtung C'B~ besitzen. F~r alle Bahnkurvenpunkte X

(mit [~',~' ] # O) soll also

-3c'{~(~a-2&)xl+a2 2x2 } (~a_2~)~Xl[~,r] + a2x2[~',~ ' ] = O

gelten. Solche Bewegungen k~nnen also h@chstens f0r

2~ - ~a = O (I)

existieren. Bestimmen wir uns hiermit unter BerHcksichti-

gung von r=s=O die Determinante [~',~'], so liefert eine

einfache Zwischenrechnung (vgl. w 4)

[~, ;. ,a2pxl ,x'] = -c [~,r] ,

so dab notwendig

(2) p = O

gilt. Die Gangpolbahn dieser Bewegung ist also eine Gerade.

Nach (1.10) gilt f0r die Rastpolbahn ~' = C'B~, so dab

' zu sich ihre Affinnormalenrichtung a R

' = C'B~ a R

bestimmt. Wegen der allgemeinen Beziehung

(3) [C'B~, (C'B~) " ] = c' {a (2~a+~+ap) -B (s+rS) } [~,r ]

ist die Rastpolbahn ~' und (nach Satz 3) jede allgemeine

Bahnkurve eine Parabel mit der Achsenrichtung C'B~ .

Vermerken wir noch, dab wir zu den selben Bewegungen ge-

fOhrt werden, wenn man von regul~r parabolischen Affinbe-

wegungen ausgeht, bei denen erstens die Bahnaffinnormalen

T~lke 38

der Fixgeradenschar s~mtlich mit rastfester Richtung paral-

lel sind, und zweitens die Gangpolbahn eine Gerade ist.

Wir fassen zusammen

SATZ 4. Regul~r parabolische Affinbewegungen, bei denen die

Bahnaffinnormalen a_nn jeder Parameterstelle parallel sind,

sind isotrope Bewegungen, die durch Abrollen einer Gera-

den P auf einer Parabel ~' (all~emeiner Art [2]) ent-

stehen. Die (all~emeinen) Bahnkurven sind Parabeln mit zur

Achse yon P' parallelen Aehsen, und die Punkte der Gang-

polbahn beschreiben zur Achse yon P' parallele Geraden.

Figur I

T61ke 39

Diese regul~ren isotropen Parabelbewe@ungen, wie wit sie

nennen wollen, sind damit im Rahmen der regul~r paraboli-

schen Affinkinematik gekennzeichnet. Sie scheinen bisher

noch nicht bemerkt worden zu sein und sind wohl zu unter-

scheiden von den parabolischen Grenzbewequnqen [10, S.345].

Dort existier~ bekanntlich kein endlicher Momentanpol.

Der obigen Figur 1 liegt die Parabelbewegung

(4) x' = t 2 +I_ x t'-"l lj ~ ~-I ~t ~ '

zugrunde. Die Verh~itnisse sind an den Stellen to:=1

und t1:=2 gezeichnet. Ein allgemeiner Bahnkurvenpunkt

X~ beschreibt eine Parabel (Xt:=X~(tl)) und jeder

Punkt X 0 der Gangpolbahn PO eine Gerade (X1:=Xo(t I)

w 4 Isotrope Hyperbelbewe~un~gn

I. Wir betrachten regul~r isotrope Bewegungen mit s~O

und fragen, ob es hierunter solche Bewegungen gibt, bei

denen die Bahnaffinnormalen b'(X,t) s~mtlicher allgemel-

ner Bahnkurvenpunkte X an jeder Parameterstelle kopunktal

sind, fHr die also - wegen Satz 3 -

(1) [b' (X,t),x'-t' ] = 0

gilt. Wegen (2.8) ergibt sich nach einer l~ngeren Zwischen-

rechnung mit der for r=O g~itigen Beziehung

C@'= { (s+~)Xl-2S}~ + {[~s+a(2a~+~)+(2a~+~)']x I

+ (as+~)x 2 - ap - 2(2a~+~)}r

die zu (I) ~quivalente Beziehung

T~ike 40

(I')

3{~(a2-~+a~)x1+a2 2x2}{_(2aS+~)x~+813s-1(a2_~+a~)+1]x I

2 . 2 -1 2 + 2ax 2} + {~Xl-Ja s x2}{[a2(2a~+~)+2a2~+a~-~]Xl +

+ 2asx 2 + (2~-2a~-a2p-2a2B)Xl} = O.

Da die Koeffizienten dieses Polynoms alle verschwinden m~s-

sen, gilt insbesondere fHr die Koeffizienten von XlX 2 3

bzw. x I

(XlX 2) 3~(a2-~+a~) + ~s - (2~-2a~-a2p-2a2~) = O

�9 o

3 (a2_~+a~){3B (Xl) 3s -I (a2-~+a~)+s~} + (2~-2a~-a2p-2a2~)=O,

so dab notwendig

(2) 3(a2-~+a~)- + s = O

und

(3) 2~-2a~-a2p-2a2~ = O

gilt. Wegen (2.6) und (2.8) erhalten wir als geometrische

Deutung von (2): Der Treffpunkt der momentanen Bahnaffin-

normalen ist der momentane Wendepol. Ber~cksichtigen wir

(2 und (3) in (I'), so verbleibt die dritte Bedingung

(4 (2a~+~) (s+a 2) + 2a2~ + a~- ~ = O.

Damit gilt f0r die fragliehen Bewegungen

2 _ 2 -- - ~(-2a + (5) p = ]sa und ~ ~) ,

wobei a = a(t)

gleichung

gem~B (4) eine L~sung der Differential-

(4') 4s 2 - 3a~ = O , s %O

ist. Man best~tigt p = const, und verifiziert ohne MHhe:

Der Treffpunkt der momentanen Bahnaffinnormalen ist sogar

rastfest, so dab die Bahnkurven i.a. Mittelpunktskegel-

schnitte sind.

T~ike 41

2. Wir wollen zun~chst (4') integrieren. Offenbar ist

I (6) I ~ = 2a 2 oder a = 2(t_to ) mit t O = const.

eine sin~ul~re L~sun~ von (4'). Zur Gewinnung der allgemei-

nen L@sung machen wir den Ansatz

(7) 2(I+y):= ~a -2 mit y = y(t) ~ O,

und erhalten demzufolge fHr y(t)

(4") 3@ + 2a(2y2+3y) = O.

Die Integration dieser DGL bereitet keine Schwierigkeiten.

Mit

z(t):= qy mit ~ = 2aq

findet man sofort (s# 0!)

3ZOq-1 (8) 1+y - mit O % z O = const.

3ZOq+2

Somit ist (7) ersichtlich mit

(7') ~a -2 = 2 3q-I 3q+2

~quivalent, so dab sich das allgemeine Integral von (4') zu

(6)ii a = qo

2 (qot+ql) (I-3 (qot+ql) )

, O#qo=const.,q1=const.

bestimmt.

3. Hiermit k~nnen wir die Art der Bahnkurven bestim~en,

d.h. die Frage entscheiden, ob es sich um Mittelpunktske-

gelschnitte erster oder zweiter Art [2] handelt. 2) Wir be-

2)Ein Mittelpunktskegelschnitt heiBt dabei von 2. bzw. I. Art, je nachdem er mit dem Fernpol inzidiert oder nicht inzidiert.

T61ke 42

n~tigen die Gleichungen des von X erzeugten Bahnkegel-

schnittes K x. Im lokalen Koordinatensystem

y = x + YiC~' + Y2C~ '

gilt fur den Bahnkegelschnitt K zun~chst x

I ,x'] + 4 [~',x' [~',~']~y2~ [~',~' 2 (9) Yl - ~ <[~,,~,] 3 [~,,~, [~,,M, [~,,M, ]2 + 4 ]] 2 3 YlY2-2Y2 =O "

Hierin l~Bt sich verm6ge (I) die vierte Ableitung von

x' (t) entfernen. Eine einfache Zwischenrechnung liefert

(unter Beachtung von t' = O)

2 ~ [x",~'] [k" ,x'-t']2 [x',x'-t'] Yl -[ + 2 ]2

[~' ,~' ] [~' ,x'-t' [~' ,x'-t']

[~''x'] } y~ + [~' ,x'-t' ]

+ 2 [H',x'-t'] [~' ,x'-t']

ylY2 - 2y 2 = 0 .

Mit (2.3) und (4) gilt

Ck" = (~Xl-2S)~ + {aX2+ ~[a-s(2a+ ~)Ix I - 2~s}r ,

wobei wir abk~rzend ~:= X+3a&+a 3 gesetzt haben. Verm~ge

(2) gewinnen wir hiermit schlieBlich als Darstellung des

Bahnkegelschnittes K x

(9') 2 s 4 -2 2 4 -1

- 5"J={1-=sa )Y2 + ~sa yly 2 - 2y 2 = O Yl W

d.h. wegen (6) Iund (6)ii: Die Bahnkegelschnitte der in

Rede stehenden Bewegungen sind Hyperbeln. Die Parabelbe-

wegungen (s = O) ordnen sich hier sinnvoll ein. Mit (2.2)

folgt

2 2 -I r = 3(3a x2-~sx I) {-(SXl-a)C~' + axIC~'} ,

T61ke 43

so dab die Bahnkegelschnitte i.a. Hyperbeln I. Art sind.

Genau die nicht auf dem parabolischen Wendekreis gelegenen

Punkte der isotropen Geraden

(I0) I

bzw.

(I0) ii

Y = P + 2~ P + ~r

3a y = p + - - ~ + ~ r s+a 3v~

beschreiben im Falle (6) I bzw. (6)ii Hyperbeln 2. Art.Ver-

merken wir noch: Die Punkte des parabolischen Wendekreises

beschreiben Geraden durch den (festen) Wendepol.

4. Studieren wir die Polbahnen. Wegen p=const, ist die

Gangpolbahn P ein parabolischer Kreis, der mit dem Wende-

kreis zusammenf~llt. Zur Untersuchung der Rastpolbahn ma-

chen wir eine Fallunterscheidung.

Im Falle (6) I liefert (5) zun~chst

(5)I 8 = ~0' P = 2~O' mit O �9 ~0 = const. ,

so dab gem,S (1.10) fHr die Rastpolbahn P'

stem

~' + (t-to)-Ip'- �88 ' = 0

das DGL-Sy-

besteht. Hieraus folgt f0r P' die Darstellung

(11) I p'=a6 + It-toll/2a~ + It-tol3/2a~ ,

mit a! = 0 , i = 0,1,2 . 1

Wegen ~O r' = �89 heiBt dies 3): Die Rastpol-

3) Gem~8 der Newton-Klassifikation. FOr diese in der Ge- schichte der Kinematik bedeutsame Kurve vgl. man die Li- teraturangaben in [6]. Nach Reuschle und Haas spricht man auch von einer Wendeparabel.

T~ike 44

bahn P' ist im Falle (6) I eine kubische Parabel, die im

absoluten Punkt die Ferngerade als Wendetan~ente besitzt.

Wir nennen die in Rede stehenden Bewegungen regul~r iso-

trope Hyperbelbewegungen I. Klasse.

Figur 2

Der Figur 2 liegt die Hyperbelbewegung I. Klasse

(12) x' = ~ + 4--t t 2 x , t Z 2

zugrunde. Die Verh~itnisse sind an den Stellen to:= 2

und t1:= 3 gezeichnet. Jeder allgemeine Punkt X O der

punktierten isotropen Ger~den beschreibt eine Hyperbel

2. Art (X1:= Xo(tl)), jeder allgemeine Punkt YO eine Hy-

T61ke 45

perbel I. Art (YI:= Yo(tl)). Die Punkte X 0 des paraboli-

schen Gangkreises PO beschreiben Geraden (XI:= Xo(tl))

dutch den festen Wendepol W.

Im Falle (6)ii liefert (5)

II ~ = ~o(qot+ql )-2 P 6~O, mit O#~ O const (5)

Damit gilt fHr die Rastpolbahn P' das DGL-System

~" - (2a + (P+B)')p" + (a2-~+a (P+~))~' = 0 p+~ p+~ '

so dab fur P' die Darstellung

1

(11)Ii p' = a O' +11-3(qot+q1)211/2a~ + (qot+ql)ll-3(qot+ql)211/2a�89

I I ! wobei die Spaltenvektoren ao,al,a 2 konstant sind. Wegen

[a~,r'] = O heist dies 4): Die Rastpolbahn P' ist im

Falle (6)ii eine Kurve 4. Ordnung vom de VRIESschen Typ,

die den absoluten Punkt als Doppelpunkt und (f~r jeden Zweig)

die Fern~erade als Tan~ente besitzt. Auch diese Bewegungen

scheinen der Aufmerksamkeit der Geometer entgangen zu sein.

Wir nennen sie regul~r isotrope Hyperbelbewegungen II. Klas-

se.

Der Figur 3 auf der folgenden Seite liegt die Hyperbelbe-

wegung II. Klasse

i ol 1 x, ~ >~0 (13) x' = 3cosh6 + ~ [3/3 cosh~ sinh~

zugrunde. Die Verh~itnisse sind an den Stellen do(COSh60=

=2/r sinh60=I/r und 81 (cosh61=4/1r sinh6 I=I/Ir g~

4)Jeder Doppelpunkt ist zugleich Wendepunkt fHr jeden der beiden durch ihn gehenden Zweige [13].

T61ke 46

I

xl

X.

Figur 3

zeichnet.

Jeder allgemeine Punkt X~ der beiden punktierten isotro-

pen Geraden beschreibt eine Hyperbel 2. Art (X~:= X~(61)) ,

jeder allgemeine Punkt X~ eine Hyperbel I. Art

(X~:= X~(61)). Die Punkte X O des parabolischen Gangkreises

PO beschreiben Geraden (XI:= XO(61)) durch den festen Wen-

depol W. Wir fassen zusammen

SATZ 5. Regul~r parabolische Affinbewegungen, bei denen die

Bahnaffinnormalen an jeder Parameterstelle kopunktal sind,

sind isotrope Bewegungen P/P~ bzw. P/~II" Dabei entsteht

P/P~ dutch Abrollen eines parabolischen Kreises P auf

T~lke 47

I einer kubischen Parabel P I ' die im aosoluten Punkt die

Ferngerade als Wendetangente besitzt, w~hrend P/PII durch

ASrollen eines parabolischen Kreises P auf einer Kurve

P' entsteht, die den ~. Ordnun 9 vom de VRIESschen Typ --Is

absoluten Punkt als Doppelpunkt und die Ferngerade als

Doppeltangente besitzt. Die allgemeinen Bahnkurven sind je-

weils Hyperbeln I. Art. Bei P/P~ (bzw. P/P~I ) existiert

9enau eine (bzw. zwei) isotrope Gerade, deren allgemeine

Punkte Hyperbeln 2. Art beschreiben. I_nn jedem Falle ist

die Gangpolbahn ~ zugleich Ort der momentanen Wendepunkte.

Genau ihre Punkte beschreiben Geraden, welche ein BHschel

durch den festen Wendepol bilden.

Die regul~ren isotropen Hyperbelbewegungen I. und II. Klas-

se sind damit im Rahmen der regul~r parabolischen Affinki-

nematik gekennzeichnet. Auf das Problem der mehrfachen Er-

zeugung einer Bahnhyperbel wollen wir gelegentlich zurGck-

kommen.

LZTERATUR

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T~ike 48

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Professor Dr. JHrgen T~ike Fachbereich Mathematik Gesamthochschule Siegen H~iderlinstraBe 3

D-59OO Siegen 21

West Germany

(Einge~angen am 26.Januar 1978)