isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · isoperimetric sequences for in...
TRANSCRIPT
![Page 1: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/1.jpg)
Isoperimetric sequences for infinite completebinary trees and their relation to meta-Fibonacci
sequences and signed almost binary partitions
Frank Ruskey1 Sunil Chandran2 Anita Das2
1Department of Computer Science, U. of Victoria, CANADA.2Department of Computer Science and Automation, Indian Institute of Science
(IISc), Bangalore, INDIA.
CANADAM, Montreal, May 2009
![Page 2: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/2.jpg)
Complete BinaryTrees
![Page 3: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/6.jpg)
Meta-Fibonacci Sequences: Tanny and ConollyThe Tanny sequence:
I Let T (n) = maximum number of leaves possible at the lowestlevel in a binary tree with n nodes. For n = 1, 2, 3, . . .,
1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, . . .
I Recurrence relation (with T (1) = T (2) = 1,T (3) = 2):T (n) = T (n − 1− T (n − 1)) + T (n − 2− T (n − 2)).
The Conolly sequence:
I Integer k occurs a number of times equal to one plus its2-adic evaluation (ruler function). For n = 1, 2, 3, . . .,
1,︸︷︷︸1
2, 2︸︷︷︸2
, 3,︸︷︷︸1
4, 4, 4︸ ︷︷ ︸3
, 5,︸︷︷︸1
6, 6︸︷︷︸2
, 7,︸︷︷︸1
8, 8, 8, 8︸ ︷︷ ︸4
, 9,︸︷︷︸1
10, 10︸ ︷︷ ︸2
, 11,︸︷︷︸1
12, 12, 12︸ ︷︷ ︸3
, . . .
I Satisfies the recurrence relation (with C (1) = 1,C (2) = 2):C (n) = C (n − C (n − 1)) + C (n − 1− C (n − 2)).
![Page 7: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/7.jpg)
Meta-Fibonacci Sequences: Tanny and ConollyThe Tanny sequence:
I Let T (n) = maximum number of leaves possible at the lowestlevel in a binary tree with n nodes. For n = 1, 2, 3, . . .,
1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, . . .
I Recurrence relation (with T (1) = T (2) = 1,T (3) = 2):T (n) = T (n − 1− T (n − 1)) + T (n − 2− T (n − 2)).
The Conolly sequence:
I Integer k occurs a number of times equal to one plus its2-adic evaluation (ruler function). For n = 1, 2, 3, . . .,
1,︸︷︷︸1
2, 2︸︷︷︸2
, 3,︸︷︷︸1
4, 4, 4︸ ︷︷ ︸3
, 5,︸︷︷︸1
6, 6︸︷︷︸2
, 7,︸︷︷︸1
8, 8, 8, 8︸ ︷︷ ︸4
, 9,︸︷︷︸1
10, 10︸ ︷︷ ︸2
, 11,︸︷︷︸1
12, 12, 12︸ ︷︷ ︸3
, . . .
I Satisfies the recurrence relation (with C (1) = 1,C (2) = 2):C (n) = C (n − C (n − 1)) + C (n − 1− C (n − 2)).
![Page 8: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/8.jpg)
Meta-Fibonacci Sequences: Tanny and ConollyThe Tanny sequence:
I Let T (n) = maximum number of leaves possible at the lowestlevel in a binary tree with n nodes. For n = 1, 2, 3, . . .,
1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, . . .
I Recurrence relation (with T (1) = T (2) = 1,T (3) = 2):T (n) = T (n − 1− T (n − 1)) + T (n − 2− T (n − 2)).
The Conolly sequence:
I Integer k occurs a number of times equal to one plus its2-adic evaluation (ruler function). For n = 1, 2, 3, . . .,
1,︸︷︷︸1
2, 2︸︷︷︸2
, 3,︸︷︷︸1
4, 4, 4︸ ︷︷ ︸3
, 5,︸︷︷︸1
6, 6︸︷︷︸2
, 7,︸︷︷︸1
8, 8, 8, 8︸ ︷︷ ︸4
, 9,︸︷︷︸1
10, 10︸ ︷︷ ︸2
, 11,︸︷︷︸1
12, 12, 12︸ ︷︷ ︸3
, . . .
I Satisfies the recurrence relation (with C (1) = 1,C (2) = 2):C (n) = C (n − C (n − 1)) + C (n − 1− C (n − 2)).
![Page 9: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/9.jpg)
Meta-Fibonacci Sequences: Tanny and ConollyThe Tanny sequence:
I Let T (n) = maximum number of leaves possible at the lowestlevel in a binary tree with n nodes. For n = 1, 2, 3, . . .,
1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, . . .
I Recurrence relation (with T (1) = T (2) = 1,T (3) = 2):T (n) = T (n − 1− T (n − 1)) + T (n − 2− T (n − 2)).
The Conolly sequence:
I Integer k occurs a number of times equal to one plus its2-adic evaluation (ruler function). For n = 1, 2, 3, . . .,
1,︸︷︷︸1
2, 2︸︷︷︸2
, 3,︸︷︷︸1
4, 4, 4︸ ︷︷ ︸3
, 5,︸︷︷︸1
6, 6︸︷︷︸2
, 7,︸︷︷︸1
8, 8, 8, 8︸ ︷︷ ︸4
, 9,︸︷︷︸1
10, 10︸ ︷︷ ︸2
, 11,︸︷︷︸1
12, 12, 12︸ ︷︷ ︸3
, . . .
I Satisfies the recurrence relation (with C (1) = 1,C (2) = 2):C (n) = C (n − C (n − 1)) + C (n − 1− C (n − 2)).
![Page 10: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/10.jpg)
Tanny numbers again
A sequence of binary trees maximizing the number of leaves at thelowest level.
2 2 2
2
3 3 3
3
4 4 4
4
88
9
105
6 7
8
5
5
6
6 7
55
66 7
9
102
3
4
2
3
4
5
4
2
3
22
3
8
94
2 5
3 6 7
71
11
1 1 1 1 1
1 1
1 1
1
T (n) = 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, . . .
Each tree is a subtree of the same infinite tree.
![Page 11: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/11.jpg)
The Conolly numbers come from this tree
2721
3
4 5
6
7
8 9
10
11 12
13
14
15
16 17
18
19 20
21
22
23 24
25
26
I Like before except nodes along leftmost path are unlabeled.
I To get C (n) ignore all nodes with labels bigger than n andcount leaves at the bottom level.
I For example C (21) = 12.
I Proofs in paper with Brad Jackson, extensions in paper withformer student Chris Degau.
![Page 12: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/12.jpg)
The Conolly numbers come from this tree
2721
3
4 5
6
7
8 9
10
11 12
13
14
15
16 17
18
19 20
21
22
23 24
25
26
I Like before except nodes along leftmost path are unlabeled.
I To get C (n) ignore all nodes with labels bigger than n andcount leaves at the bottom level.
I For example C (21) = 12.
I Proofs in paper with Brad Jackson, extensions in paper withformer student Chris Degau.
![Page 13: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/13.jpg)
The Conolly numbers come from this tree
2721
3
4 5
6
7
8 9
10
11 12
13
14
15
16 17
18
19 20
21
22
23 24
25
26
I Like before except nodes along leftmost path are unlabeled.
I To get C (n) ignore all nodes with labels bigger than n andcount leaves at the bottom level.
I For example C (21) = 12.
I Proofs in paper with Brad Jackson, extensions in paper withformer student Chris Degau.
![Page 14: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/14.jpg)
The Conolly numbers come from this tree
2721
3
4 5
6
7
8 9
10
11 12
13
14
15
16 17
18
19 20
21
22
23 24
25
26
I Like before except nodes along leftmost path are unlabeled.
I To get C (n) ignore all nodes with labels bigger than n andcount leaves at the bottom level.
I For example C (21) = 12.
I Proofs in paper with Brad Jackson, extensions in paper withformer student Chris Degau.
![Page 15: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/15.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
An infinite binary tree T∞ with all leaves at same level..
![Page 16: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/16.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A subset S of the tree, |S | = n = 24..
![Page 17: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/17.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
The size of the cut (red edges): |(S ,S)| = 20.The problem: Given |S |, how small can we make this cut?
![Page 18: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/18.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
7
31
−15
−1 −1
−3
7
−1 −1 −1−1
−3 −3 −3 −3 −3−3
777
Label v where (v , par(v)) ∈ (S , S) with f (v) = ±(2` − 1),` = level of v .24 = 31−15+7+7+7+7+7−3−3−3−3−3−3−3−1−1−1−1−1−1.
![Page 19: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/19.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
31
−1 −1
−3
7
−3
−3−3−3
77
−3−3
7
−1−1
−15
−1
7
−1+
−+ +
+−
+−+−
+−−
+
Redistribute; sum at v is 1 iff v ∈ S , otherwise 0.24 = 31−15+7+7+7+7+7−3−3−3−3−3−3−3−1−1−1−1−1−1,
the number of parts is 20.
![Page 20: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/20.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A better subset, the “greedy” one, with |(S , S)| = 4.24 = 15 + 7 + 1 + 1.
![Page 21: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/21.jpg)
An “isoperimetric” problem on infinite binary trees
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
The best subset, the “connected” one, with |(S ,S)| = 2.24 = 31− 7.
![Page 22: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/22.jpg)
Recap and Preview
For every finite subset of T∞ there is a partition of the number |S |in which every part is ±(2k − 1) and |(S , S̄)| is equal to thenumber of parts in that partition.
Yet to come:
The partition of |S | of the above form with the least number ofparts gives the answer to the isoperimetric problem.
![Page 23: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/23.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 24: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/24.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 25: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/25.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 26: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/26.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 27: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/27.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 28: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/28.jpg)
Notation and results
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
I Problem: over all subsets S of size n of T∞, what is δ(n), theleast number of edges in the cut (S ,S)?
I Restrictions: S is connected (δC (n)); S consists of“complete” binary trees” (δG (n)).E.g. δ(24) = δC (24) = 2, and δG (24) = 4.
I Notation ν(d) = 2d − 1; ν(P) =∑
p∈P(2p − 1).
I Results (C (n) = Conolly, T (n) = Tanny):I δC (n) = n + 2− 2T (n); δG (n) = 2C (n)− n.I δ(n) = min1≤k≤n{δC (k) + δG (n − k)}.I δ(n) = 1 + min{δ(n − ν(d)), δ(ν(d + 1)− n)},
where d = blg nc.
![Page 29: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/29.jpg)
One proof:
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Lemma: δC (n) = n + 2− 2T (n).Proof: Let |S | = n be such that |(S ,S)| = δC (n).
I On the one hand, counting edges,∑v∈S deg(v) = 2(n − 1) + |(S , S)| = 2(n − 1) + δC (n).
I On the other,∑
v∈S deg(v) = 3n3 + n1 = 3n − 2n1.
I Thus δC (n) = n + 2− 2n1 = n + 2− 2T (n), because T (n)maximizes n1.
![Page 30: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/30.jpg)
Binary partitions
I Binary partitions (all parts of the form 2j)Example: 12 = 2 + 2 + 4 + 4 = 21 + 21 + 22 + 22.
I Almost binary partitions (all parts of the form νj = 2j − 1).Example 12 = 7 + 3 + 1 + 1.
I We can allow the partitions to be signed.
I We often want to find minimal partitions; those with the leastnumber of parts.
I The greedy algorithm finds (the unique) minimal partitions forbinary and almost binary partitions. Like coin-changing.
I The signed cases are more interesting...
![Page 31: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/31.jpg)
Minimal signed almost binary partitions
I A Signed Almost Binary Partition (SABP) of n is a pair(P,N) where
n =∑i∈P
(2i − 1)−∑j∈N
(2j − 1) = ν(P)− ν(N).
The minimum size of a SABP of n is denotedτ(n) = |P|+ |N|.
I It is an ABP (or GABP) if N = ∅. The minimum size of aABP is τG (n). (G is for “greedy”).
I It is a CABP if |P| = 1. The minimum size of a CABP isτC (n). (C is for “connected”).
I 12 = 15-3 is a mSABP and a mCABP. 12 = 7+3+1+1 is amGAPB.
I Theorem: δ(n) = τ(n), δG (n) = τG (n), and δC (n) = τC (n).
![Page 32: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/32.jpg)
A normal form for a SABP (P ,N)
I Three conditions
(A) P ∩ N = ∅.(B) P = Greedy(ν(P)) and N = Greedy(ν(N)).(C) max(P) ∈ {blg nc, 1 + blg nc}.
I Lemma: For every n there is a minimal SABP (or mGABP ormCABP) that is in normal form.
I Examples:Third condition is not vacuous: 5 = 15− 7− 3.
43 = 31 + 15− 3︸ ︷︷ ︸τ=3
= 31 + 7 + 3 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸τG=5
= 63− 15− 3− 1− 1︸ ︷︷ ︸τC=5
.
![Page 33: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/33.jpg)
A “duality” and “symmetry”
δ(n) =
11111
TheoremLet d = blg nc.
δG (n) = δC (3 · 2d − n − 2) and δ(n) = δ(3 · 2d − n − 2)
Example: 31+15 + 3 + 1↔ 63−15− 3− 1
Note the binary representations:(n)2 1α011 · · · 1
(3 · 2d − n − 2)2 1α011 · · · 1
![Page 34: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/34.jpg)
A “duality” and “symmetry”
δ(n) =
1 311573
11111
TheoremLet d = blg nc.
δG (n) = δC (3 · 2d − n − 2) and δ(n) = δ(3 · 2d − n − 2)
Example: 31+15 + 3 + 1↔ 63−15− 3− 1
Note the binary representations:(n)2 1α011 · · · 1
(3 · 2d − n − 2)2 1α011 · · · 1
![Page 35: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/35.jpg)
How fast does δ(n) grow?
Curves are lg n and (lg n)/2; diamonds are δ(n).
New curves are δG (n) and δC (n).
![Page 36: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/36.jpg)
When is δ(n) = δG (n)?
n = 1023 + 127 + 15 + 1 = (210−1) + (27−1) + (24−1) + (21−1)
TheoremIf the minimum gap is at least 3, then δ(n) = δG (n). As aconsequence, δ(n) ≥ (lg n)/3.
Can 3 be replaced by 2 above? NO!
The smallest known counter-example is n = 46, 912, 496, 118, 419,where 21 = δ(n) = −2 + δG (n). Why? Here n =
∑j∈S ν(j), where
S = {1, 3, . . . , 45}∑j∈S 2j 1010101010101010101010101010101010101010101010∑j∈B 2j 101010101010101010101010101010101010110000000∑j∈A 2j 10000000000000000000000000000000000000000000000
s + b − a 101010
![Page 37: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/37.jpg)
Growth Rate of α(m) = min{n : δ(n) = m}
m α(m) α(m)− (4m − 1)/(4− 1)1 1 02 2 33 5 164 20 655 83 2586 594 7717 2641 28208 10856 109899 43623 4375810 305766 4375911 1354341 4376012 5548644 4376113 22325859 4376214 89434722 4376315 357870241 4370016 1431612752 4301317 5726580047 43014
![Page 38: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/38.jpg)
Open Problems
I Extend to k-ary trees.
I Is there a faster way to compute δ(n) and the actual mSABP?I.e., something similar to Prodinger’s algorithm for signedbinary partitions.
I We conjecture that the general problem has a nested solution.This means that there is a sequence S1, S2, . . . of subsets ofnodes in T∞ with the following three properties. |Sn| = n,Sn ⊂ Sn+1, and |(Sn,Sn)| = δ(n).
![Page 39: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/39.jpg)
The end
Thanks for coming!Any questions?
![Page 40: Isoperimetric sequences for infinite complete binary trees ... · Isoperimetric sequences for in nite complete binary trees and their relation to meta-Fibonacci sequences and signed](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042622/5f8004bbe93f33519f416622/html5/thumbnails/40.jpg)
Another oddity...
Notation: #1(s) is the number of 1’s in the string s.
Lemma
δG (n) = mink≥1{#1((n + k)2) ≤ k}.
For example, G (12) = G ((1100)2) = 4 because, takingsuccessively k = 1, 2, 3, 4, we have #1(1101) = 3 > 1,#1(1110) = 3 > 2, #1(1111) = 4 > 3, but #1(10000) = 1 ≤ 4.