BAB I

OPERASI BILANGAN REAL

A. Pengertian

Bilangan Real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dengan dalam

bentuk ab , dengan a, b bilangan bulat dengan b ≠ 0

Contoh : 5, 3, 0.25, 7.5, 12 ,

14 …….. dll

Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam ab,

dengan a, b bilangan bulat dengan b ≠ 0

Contoh : √2 , √3 , √5 , log 3, log 4, π, bilangan e ……dll

B. Operasi Perhitungan Bilangan Real

1. Operasi Perhitungan Pada Bilangan BulatMerupakan suatu operasi perhitungan yang melibatkan bilangan-bilangan bulat. Contoh : 50 + 60 = 110 10 x 4 = 40

100 – 20 = 80 dst

2. Operasi Perhitungan Pada Bilangan Pecahan.Merupakan suatu operasi perhitungan yang melibatkan bilangan bertingkat atau pecahan. Contoh :Penjumlahan 12

+13

= ?

Langkah pertama samakan dulu penyebutnya dengan cara KPK.KPK 2 = 2, 4, 6, 8, 10.......dst KPK 3 = 3, 6, 9, 12, 15.....dstKPKnya merupakan angka terkecil yang sama antar kedua kelipatan angka tersebut. Jadi KPKnya adalah 6

Cara lainnya yaitu dengan mengkalikan setiap penyebutnya.2 x 3 = 6

Lalu setarakan pembilangnya dengan penyebut, sehingga menjadi :

36

+26

= ?

Mengapa 12 dapat menjadi

36 ?

Ini memang pertanyaan yang mudah, tapi saya yakin bahwa banyak diantara pembaca belum paham mengapa bisa demikian. Berikut penjelasannya :

12 ; dengan 1 sebagai pembilang dan 6 sebagai penyebut.

Tadi telah ditentukan bahwa penyebutnya adalah 6. Sekarang marilah berfikir bagaimana angka 2 menjadi 6 ?. yang pasti angka 2 tersebut pasti dikali 3, sehingga angka pembilangnya pun harus dikali 3 agar nilainya tidak berubah dari awalnya atau tetap senilai.

Bila dirumuskan maka :

Penyebut yang baru = penyebut yang telahditentukan

penyebut sebelumnyax pembilang yangsebelum

Setelah penyebut disamakan jumlahkan setiap bilangan pembilangnya. Tapi jangan jumlahkan setiap penyebut karena bila dilakukan maka hasilnya akan salah.

36

+26

= 3+26

= 56

(Benar)

36

+26

= 3+26+6

= 512

(Salah)

Pengurangan Untuk pengurangan sama juga dengan cara penjumlahan yang membedakan hanya operasi pengurangannya saja.

Perkalian

24

x14

= ?

Caranya yaitu dengan mengkalikan penyebut dengan penyebut dan pembilang dengan pembilang.

24

x14

= 2x 14 x 4

= 216

Lalu lakukan penyederhanaan bila dapat dilakukan, yaitu dengan syaratnya pembilang dan penyebut bisa dibagi dengan dengan angka yang sama sehingga menghasilkan angka yang bulat.

Sekarang marilah berfikir. Angka pembilangnya “2” dan angka penyebutnya “16”. Dapat dibagi berapakah angka 2 dan angka 16 tapi tetap menghasilkan angka bulat. Tentu dapat dibagi 2, sehingga perhitungannya sebagai berikut :

216

= 2: 216 :2

=18

Keterangan : untuk pembuktiannya bisa digunakan alat hitung untuk mengetahui kebenarannya.

Cara penyederhanaan tersebut dapat digunakan juga pada pengoperasian perhitungan lainnya apabila memenuhi syaratnya.

Pembagian

35

: 23

= ?

Pembagian pecahan dikerjakan dengan membalik pecahan pembagi dari yang tadinya pembilang menjadi penyebut dan penyebut menjadi pembilang dan operasi perhitungan pun berubah menjadi operasi perkalian.

35

: 23

= 35

x 32

Lalu lakukan perhitungan operasi perkalian seperti yang telah di jelaskan sebelumnya.

35

x 32

= 3x 32x 5

= 910

C. Persentase (%)Persentase atau persen merupakan suatu pecahan yang berpenyebut 100. Jadi 100 dinyatakan sebagai sebagai suatu yang utuh sedangkan pembilang sebagai bagian dari keutuhan tersebut.Untuk mengubah bentuk pecahan biasa ke bentuk persentase dengan menyetarakan pecahan tersebut dengan pecahan yang berpenyebut 100 atau pun dengan menkalikannya dengan 100 %.Contoh :

45

=......%

Cara 1Mengubah bentuk pecahan biasa ke pecahan berpenyebut 100

Karena penyebut sudah ditentukan yaitu 100 maka rumus yang telah diberikan sebelumnya yaitu rumus yang digunakan untuk mencari pembilang dengan penyebut baru bisa digunakan yaitu :Penyebut yang baru = penyebut yang telahditentukan

penyebut sebelumnyax pembilang yangsebelum

¿100

5 x 4 = 20 x 4 = 80

Jadi 45 =

80100 . Karena sudah berpenyebut 100, maka persentase dari

45

adalah 80 %

Cara 2Dengan mengkalikan 100 %

Dengan cara ini kita hanya perlu mengkalikan pecahan dengan 100 %.45

x 100 % = 400 %5

= 80 %

Dengan mengunakan cara 2 kita juga bisa mengubah pecahan desimal ke bentuk persen atau persentase.

Contoh :0.60 = ......%

Jawab

0.60 x 100 % = 60 %

Sebagai pengaplikasiannya persentase atau persen biasanya digunakan sebagai perhitungan untung rugi, diskon, dan perhitungan lain.

Contoh :Andi membeli sebuah sepatu seharga Rp 200.000,-. Lalu ia menjualnya kepada temannya dengan keuntungan 20 %. Berapakah harga sepatu andi dijual ?

Jawab

Pertama kita harus tahu dulu berapa besar keuntungan yang Andi peroleh.

Keuntungan = 20 % x Rp 200.000

= 20

100 x Rp 200.000

= 20 x 2000

= Rp. 40.000

Setelah itu kita cari harga sepatu Andi yang di jual dengan menjumlahkan harga beli dengan keuntungan

Harga jual = harga beli + keuntungan

= Rp. 200.000 + Rp. 40.000

= Rp. 240.000,-

Maka diperoleh harga jual sebesar Rp. 240.000,-

C. Perbandingan

Dalam membandingkan ukuran dua obyek terdapat dua cara, yaitu membandingkan dengan cara mencari selisihnya sehingga dapat dikatakan mana yang lebih dari yang lain dan yang kedua mengamati/mencari nilai perbandingan antara ukuran dari kedua obyek itu.

Sebagai contoh, luas tanah pak Zul 500 m2 dan luas tanah pak sungkar 300 m2. Jika cara membandingkan yang dimaksud adalah siapa pemilik tanah yang lebih luas maka jawabannya adalah pak Zul. Namun apabila yang ditanyakannya adalah perbandingan luas tanah mereka maka dinyatakan dengan perbandingan : 500 m2: 300 m2 = 5 : 3.

Perbandingan selama ini ada dua macam yaitu

1. Perbandingan senilaiPerbandingan senilai merupakan suatu perbandingan yang sebenarnya tidak mengubah nilai dan biasanya hanya berupa kelipatan dari perbandingan lainnya yang senilai.

Rumus yang digunakan adalah : x1x2 :

y1y2

Hal ini sebenarnya berkaitan dengan cara penyederhanaan suatu pecahan dimana memilliki nilai sama tetapi angkanya beda.Contoh :15

= 20100

perbandingan senilai selama ini telah diterapkan dalam cara kerja skala peta.

Contoh

Misal skala suatu peta adalah 1:1000, berarti 1 cm di atas peta = 1000 cm di lapangan.

Bila 2 cm, 3cm, 4 cm di atas peta, maka berapa jarak sebenarnya ?

Jawab

Kita misalkan jarak sebenarnya untuk ukuran 2 cm, 3 cm dan 4 cm adalah X, Y, Z.

Jarak di peta 1 2 3 4Jarak sebenarnya 1000 X Y Z

Karena tidak bisa langsung di cari ketiganya sekaligus, maka kita cari dulu nilai x nya Gunakan rumus yang sebelumnya telah diberikan.

x1x2

: y1y2

Dengan X1 = 1 ; Y1 = 1000 X2 = 2 ; Y2 = XMaka akan menjadi seperti ini. 12 : 1000

x

Gunakan sistem perkalian silang.

12 : 1000

x

Maka menjadi

X = 2 . 1000

= 2000

Jadi nilai dari X adalah 2000 cm = 20 m

Sekarang kita cari nilai Y nya dengan cara yang sama.

Untuk mencari nilai Y kita bisa mengunakan perbandingan skala yang pertama (1:1000) ataupun dengan perbandingan skala yang baru saja diketahui (2:2000).

Dengan menggunakan perbandingan skala 1: 1000

x1x2

: y1y2

Dengan X1 = 1 ; Y1 = 1000 X2 = 3 ; Y2 = YMaka akan menjadi seperti ini. 13 : 1000

Y

Gunakan sistem perkalian silang.

13 : 1000

Y

Maka menjadi

Y = 3 . 1000

= 3000

Jadi nilai dari Y adalah 3000 cm = 30 m

Sekarang kita coba gunakan perbandingan 2 : 2000

x1x2

: y1y2

Dengan

X1 = 2 ; Y1 = 2000 X2 = 3 ; Y2 = YMaka akan menjadi seperti ini. 23 : 2000

Y

Gunakan sistem perkalian silang.

23 : 2000

Y

Maka menjadi

2Y = 3 . 2000

2Y = 6000

Y = 6000

2

Y = 3000

Nilai dari Y adalah 3000 cm = 30 m

Jadi dapat disimpulkan bahwa untuk menggerjakan soal seperti diatas kita dapat menggunakan perbandingan apapun asalkan bernilainya sama.

11000

=¿ 22000

=¿ 33000

Sekarang kita lanjutkan untuk mencari nilai Z.

Karena menghitung perbandingan bisa menggunakan apapun asalkan bernilainya sama maka kita hanya perlu mengunkan salah satu perbandingan yang telah diketahui.

Kita coba mengunakan perbandingan yang baru saja ditemukan yaitu 3: 3000

1 : 1000 sama dengan 1

1000

x1x2

: y1y2

Dengan X1 = 3 ; Y1 = 3000 X2 = 4 ; Y2 = ZMaka akan menjadi seperti ini. 34 : 3000

Y

Gunakan sistem perkalian silang.

34 : 3000

Z

Maka menjadi

3.Z = 4 . 3000

3Z = 12000

Z = 12000

3

Z = 4000

Jadi nilai dari Z adalah 4000 cm = 40 m

2. Perbandingan berbalik nilai Merupakan suatu perbandingan dimana dua elemen di objek pertama berbanding terbalik dengan dua elemen pada objek kedua. Contoh : suatu pekerjaan dikerjakakan oleh 5 orang selesai dengan jangka waktu hari. Berapakah waktu yang diperlukan jika ada 10 orang yang bekerja ?.Coba kita pikir dengan logika. Jika 5 orang sanggup mengerjakan suatu pekerjaan selama 30 hari maka bila ada 10 orang jadi seperti apa ?. Tentu akan selesai lebih cepat bukan ?. Inilah yang disebut perbandingan sebalik nilai.

Maka dari itu rumus dari perbandingan berbalik nilai adalah

X 1X 2

: Y 2Y 1

Jawab X 1X 2

: Y 2Y 1

Dengan X1 = 5 ; X2 = 10Y1 = 30 ; Y2 = ?

510

: Y 230

Gunakan perkalian silang

510

: Y 230

Maka menjadi5.30 = 10.Y2 150 = 10Y2

Y2 = 15010

=15

Jadi waktu yang diperlukan untuk 10 orang pekerja adalah 15 hari.

D. Operasi Bilangan Berpangkat1. Bilangan berpangkat positif (Eksponen)

Bentuk pangkat yang paling sederhana adalah pangkat positif. Misal : 53 artinya 5 x 5 x 5 sehingga 53= 125 dengan 5 sebagai bilangan pokok dan 3 sebagai pangkat, maka dari itu 53 disebut sebagai bilangan berpangkat.

Pangkat ke-n dari bilangan real a, dengan n bilangan bulat positif ; dinyatakan dengan an, didefinisikan sebagai berikut :

an=a .a .a . a .a………sebanyak n faktor

Dari definisi pangkat bulat positif di atas dapat diturunkan suatu teorema sebagai berikut :

2. Pangkat nol dan bulat negatifSemua bilangan kecuali nol (0) bila dipangkatkan nol maka hasilnya 1.a0 = 1 (Dengan a≠0)Mengapa demikian ?. Biar saya jelaskan sebagai berikut :

a0 sebenarnya berasal dari a1

a1 , a2

a2 , a3

a3 , dan seterusnya atau dengan

kata lain hasil bagi dari sebuah pembagian dari 2 bilangan perpangkat

yang sama dan menggunakan teorema yang telah ditulis sebelumnya yaitu :an

am= an−m

Jadi bila nilai dari bilangan dan pangkatnya sama maka akan terjadi seperti ini:

Dimisalkan kedua bilangan berpangkat tersebut adalah 23.23

23= 23−3

Sedangkan kita ketahui bahwa 23 = 8, Sehingga kita bisa memasukan hasil tersebut kedalam perhitungan.88

=20

1 =20

Jadi dapat disimpulkan bahwa sesungguhnya bilangan yang berpangkat nol (0) sebenarnya merupakan hasil dari pembagian bilangan yang pembaginya senilai dengan bilangan tersebut.

Semua bilangan kecuali nol (0) bila dipangkatkan dengan bilangan negatif maka bilangan tersebut menjadi suatu bilangan pecahan yang dimana bilangan berpangkat tersebut menjadi suatu penyebut tapi pangkatnya yang tadinya negatif berubah menjadi positif dan memiliki pembilang 1.

a−n = 1

an (Dengan a≠0)

Mengapa demikian ?. Biar saya jelaskan sebagai berikut :

a−n sebenarnya adalah hasil dari pembagian dengan bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokok sama tetapi memiliki tapi

bilangan pangkatnya berbeda dengan bilangan pangkat dari bilangan pembagi lebih besar dari bilangan pangkat dari bilangan yang dibagi.

a−z = ax

ay dengan x < y sehingga x - y = -z

Mari kita buktikan.

Misal kita gunakan 34

37 sebagai pembuktian.

34

37 = 3 x3 x3 x 33x 3 x3 x3 x 3x 3x 3

34−7 = 81

2187

3−3 = 81

2187

Lalu sedehanakan 81

2187 menjadi 1

27 dengan membaginya dengan 81.

3−3 = 1

27

Atau kita gunakan cara cepat dalam penyederhanaan seperti berikut ini.

34−7 = 3 x3 x3 x 3

3x 3 x3 x3 x 3x 3x 3 = 1

3x 3 x3 = 1

27

Lalu kita gunakan ketentuan a−n = 1

an maka akan menjadi seperti

berikut.1

33 = 127

Dan kita ketahui bahwa 33 = 27.1

27 = 1

27

Jadi ketentuan atau rumus a−n = 1

an terbukti benar.

3. Pangkat bulat dan rasionalPangakat bulat dimana suatu bilangan berpangkatkan angka bulat. Contoh : 24 33 62 52 dsb.Rasional merupakan suatu bilangan yang berpangkatkan pecahan atau akar dan memiliki hasil yang merupakan bilangan bulat.Contoh : 2√4 = 2 2√25 = 5 dll.

4. Bentuk akar.Sebenarnya bentuk akar merupakan bentuk lain dari pangkat akan tetapi pangkatnya merupakan suatu bilangan pecahan.Contoh :

812 = 2√8 27

15 = 5√27

Akan tetapi tidak semua yang berakar ataupun berpangkat pecahan bisa dikatakan bentuk akar. Misalnya 2√4 dan 3√27 bukan bentuk akar karena merupakan bilangan rasional.a. Penjumlahan dan Pengurangan dalam bentuk akar.

Untuk menyederhanakan dalam bentuk akar dapat menggunakan sifat √a .√b = √a .b. dan juga dapat jumlahkan ataupun dikurangi dengan syarat akar-akar jenisnya sama.Contoh: Sederhanakan √18 + √50 + √200

√18 ; Sekarang marilah berfikir. Karena itu suatu akar dua maka bilangan kuadrat berapakah yang yang bila dikalikan angka bulat maka hasilnya sama dengan 18.

Tentu jawabannya 9 yang dikalikan 2. Sehingga menjadi sebagai berikut : √18 = √9.2

Sesuai dengan ketentuan √a .√b = √a .b sehingga :

√9.2 = √9 .√2

Karena √9 = 3 maka penyederhanaannya adalah :

√9 .√2 = 3√2

Bila kita menggunakan langkah-langkah diatas maka akan didapat pula hasil dari √50 dan √200 yaitu 5√2 dan 10√2. Sehingga penyederhanaan dari √18 + √50 + √200adalah :

√18 + √50 + √200 = 3√2 + 5√2 + 10√2

Sesuai dengan syarat yang telah dipaparkan sebelumnya bahwa bilangan dalam bentuk akar dapat dijumlahkan ataupun dikurangi dengan syarat akar-akar jenisnya sama, sehingga dapat dihitung seperti berikut :

3√2 + 5√2 + 10√2 = (3 + 5 + 10)√2

= 18√2

b. Perkalian dan pembagian dalam bentuk akarSebenarnya dalam perkalian dan pembagian cara perhitungannya menggunakan prinsip teorema bilangan berpangkat yaitu an.bn = ¿, dan juga seperti yang telah kita pelajari sebelumnya bahwa bila pangkatnya berupa suatu bilangan pecahan maka akan berubah menjadi bentuk akar dengan nilai akarnya sesuai dengan penyebut.Contoh :√3 .√5 = √3 .5

= √15

c. Merasionalkan penyebut pecahan.

Dalam prinsip menyederhanakan tidak lepas dari prinsip berikut:

1. √a . √a = a

Mengapa Bisa ?

Karena √a = a12 sehingga bila menggunakan teorema perkalian

bilangan berpangkat akan menjadi sebagai berikut :

√a . √a = a12 . a

12 = a

12+1

2

= a1 = a

2. (√a + √b ).(√a - √b) = a - b

Mengapa bisa ?Dengan mengunakan system perhitungan sebagai berikut :

(a + b).(a+b) Sehingga menjadi a2+ ab + ab + b2 = a2+ 2ab + b2

Lalu kita coba gunakan system perhitungan diatas untuk pembuktian.

(√a + √b ).(√a - √b) = (√a)2 +√a. √b + √a. √b +¿

Dengan mengunakan (an)m = (a)n . m = anm ; √a. √b = √a .b = √ab maka hasilnya menjadi :

(√a)2 +√a. √b - √a. √b +¿= (a)12.2 + √ab - √ab + (b)

12.2

= a– b

Contoh :

Dikali

Dikali

Rasionlakanlah 3

√5 dan 2−√2

2+√3

Jawab 23

√5 = 3

√5x √5√5

= 3√55

Mengapa harus dikalikan dengan √5√5?

Karena √5√5

bernilai satu dan juga karena suatu bilangan bila

dikalikan satu tidak mengubah nilai dari yang dikalinya.

Dan mengapa harus √5 ?

Agar penyebut dari 3

√5 berubah dari yang tadinya irasional menjadi

rasional.

2−√22+√3

= 2−√22+√3

x2−√32−√3

= 4−2√2−2√3+√64−3

= 4−2√2−2√3+√61

= 4−2√2−2√3+√6

Mengapa menggunakan 2−√32−√3

untuk merasionalkan ?

Karena bila dikalikan dengan 2−√32−√3

akar-akar yang tadinya ada di

penyebut bisa hilang tetapi tidak mengubah nilai dari bilangan

tersebut karena 2−√32−√3

= 1.

E. Logaritma Logaritma sebenarnya suatu kebalikan dari bilangan berpangkat dimana kalau bilangan berpangkat mencari hasil dari pemangkatan dengan diketahuinya bilangan pokok dan bilangan pangkatnya

sedangkan logaritma mencari berapa besarkah nilai pangkat yang seharusnya agar bilangan pokok menghasilkan hasil pemangkatan yang telah ditentukan.

Secara umum logaritma dapat ditulis :

a log b = c ac = bdengan a >0 , a ≠ 0 dan b > 0

Pada bentuk a log b = ca disebut sebagai bilangan pokok (dasar) logaritma, (untuk bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis, misal 10 log5 = log 5).b disebut bilangan yang diambil logaritmanya atau dengan kata lain itu adalah hasil dari bentuk pemangkatan dari bilangan pokok.c disebut hasil logaritma atau dengan kata lain ini sebenarnya suatu nilai pangkat dari bilangan pokok yang nantinya menghasilkan nilai b.

Dari hubungan antara logaritma dan pangkat dapat ditemukan beberapa sifat-sifat sebagai berikut :

Untuk itu biar saya buktikan bahwa sifat diatas benar.

1. a log ax = xMari kita buktikan dengan memasukan angka :Misal 5 log 52

Maka 5 log 52 = ?5 log 25= ?Tentu anda pasti tahu 5 pangkat berapakah supaya menghasilkan 25, pastinya 2 bukan???. Kita masukan keperhitungan.

5 log 25 = 2

Diketahui bahwa 5 log 25= 5 log 52 sehingga :

5 log 52 = 2

Coba bandingkan dengan rumus pertama.

a log ax = x 5 log 52 = 2

Polanya sama bukan, sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus pertama terbukti benar.

2. aa logn = nMari kita buktikan dengan memasukan angka:Misal 3

3 log 27 Maka 3

3 log 81 = ?Mari kita lihat pangkatnya yaitu 3 log 81 yang berarti “3 pangkat berapakah supaya menghasilkan angka 27”. Pastinya anda tahu dan harus tahu kalau jawbannya 4. Sehingga menjadi sebagai berikut :34 = 81

Itu berarti bahwa 33 log 81 memiliki hasil 81 sehingga rumus ke 2

terbukti BENAR.

3. aq

log ap = pq

Mari kita buktikan dengan memasukan angka.Misal 22

log 25

Maka

22

log 25 = 4 log32

Supaya lebih mudah silakan gunakan kalkulator untuk mengetahui

hasil dari 4 log32. Dan yang pasti hasilnya 2,5 atau 52 .Lalu masukan

angka tersebut ke dalam perhitungan.

4 log32 = 52

Dan kita ketahui bahwa 22

log 25 = 4 log32 sehingga:

22

log 25 = 52

Coba bandingkan dengan rumus ke 3.

aq log ap = pq

22

log 25 = 52

Polanya sama bukan, jadi terbukti bahwa rumus ke 3 terbukti BENAR.

4. a log (mn) = a logm + a log n

Mari kita buktikan dengan memasukan angkaMisal log 1000

Seperti yang kita ketahui bahwa 1000 merupakan hasil kali dari 10 dengan 100, sehingga menjadi seperti demikian :

log 1000 = log (10.100)

log 1000 = log 10 . log 100

Seperti yang kita ketahui bahwa log 10 = 1 , log 100 = 2 sehingga dapat kita masukan nilai tersebut dalam perhitungan.

log 1000 = 1 + 2log 1000 = 3

Dan kita ketahui pula bahwa log 1000 memiliki hasil 3 maka dari itu rumus ke 4 terbukti benar.

5. a logmn

= a logm - a log n

Mari kita buktikan dengan memasukan angka

Misal 3 log8127

Maka 3 log

8127

= 3 log 81- 3 log 27

Lalu hitunglah hasil dari 8127

, yang nantinya anda akan mendapatkan

hasil yaitu 3 dan lalu masukan dalam perhitungan.

3 log 3= 3 log 81- 3 log 27

Dan kita perlu ketahui bahwa 3 log 81= 4 , 3 log 27 = 3, sehingga kita bisa melanjutkan perhitungan. Setelah anda ketahui itu maka masukan dalam perhitungan seperti berikut :

3 log 3= 3 log 81- 3 log 273 log 3= 4-13 log 3= 1

Seperti yang kita ketahui bahwa 3 log 3= 1 sehingga nilai tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan.

1 =1

Dan terbukti bahwa rumus ke 5 BENAR.6. a logmx= x. a logm

Mari kita buktikan dengan memasukan angkaMisal 3 log 42

Seperti yang kita ketahui bahwa 42= 4 x 4, maka :

3 log 42= 3 log 4 x 4

Dengan menggunakan rumus ke 4 yang telah dibuktikan kebenarannya maka :

3 log 4 x 4= 3 log 4+ 3 log 4

Karena 3 log 4 dianggap memiliki koefisien 1 sehingga dapat di jumlahkan menjadi :

3 log 4+ 3 log 4 = 2.3 log 4

Jadi rumus ke 6 merupakan pengembangan dari rumus ke 4 dimana bilangan hasil pemengkatan atau bilangan yang dilogaritmakan merupakan bilangan berpangkat atau dapat dibuat bilangan berpangkat. Jadi rumus ke 6 terbukti benar.

7. a logm= g logmg log a

bila g > 0, g ≠ 0

Mari kita buktikan dengan memasukan angkaMisal 100 log10000

100 log10000= 10 log 10000

10 log 100

Dan kita harus ketahui bahwa 10 log10000= 4 dan 10 log100 = 2, sehingga kita bisa memasukan hasil tersebut. 100 log10000=

42

Lalu marilah berfikir berapakah hasil dari 100 log10000 ?.Tentulah hasilnya 2. Mengapa ?. Karena 100 apabila dipangkatkan 2 sama dengan 100 x 100 dan memiliki hasil 10000.Setelah mengetahuinya, masukanlah hasil tersebut.

2 = 42

2 = 2

Dan rumus ke 6 terbukti benar karena dapat menghasilkan hasil yang sama antara kedua ruasnya.

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus rumus diatas tepat dan tidak ada yang salah.

Catatan : untuk menentukan nilai g pada g logmg log a

diusahakan agar dicari angka yang memudahkan anda untuk menentukan hasil logaritmanya.

Contoh soal

Jika log 2= 0,3010 dan log 3 = 0.4771 maka berapakah nilai log 12 ?

Jawab

log 12

Coba kita berfikir berapa x berapakah hingga mendapatkan angka 12 tetapi masih terkandung angka 2 dan 3, tentu 4 x 3 dengan 4 = 2 x 2. Maka bisa dilanjutka menjadi aeperti berikut :

log 12 = log ¿¿)

Dan telah kita ketahui tentang beberapa teorema logaritma yang salah satunya membahas tentang hubungan penjumlahan dgn perkalian. Sehingga menjadi seperti berikut :

log 12= log 2 + log 2 + log 3

Lalu masukan nilai-nilai yang telah kita ketahui sebelumnya.

log 2 + log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,3010 + 0,4771

= 1,0791

Berikut soal UN yang berkaitan dengan materi di atas.

1. Skala suatu peta 1:300.000. jika jarak kota A dan kota B pada peta 4,5 cm, maka jarak dari kota A ke kota B yang sebenarnya adalah...A. 0,135 kmB. 1,35 kmC. 13,5 kmD. 135 km

E. 1.350 km2. Jarak dari kota C dan kota D adalah 80 km., sedangkan jarak pada peta 16

cm. Skala pada peta untuk jarak dari kedua kota tersebut adalah...A. 1 : 5.000B. 1: 50.000C. 1: 500.000D. 1: 5.000.000E. 1: 50.000.000

3. Nilai dari (64)23 .(125)

16 .

1

512 = ...

A. 0,16B. 1,6C. 6,4D. 16E. 64

4. Hasil perkalian (4a)−2 x(2a)3= ...A. -2a

B.−12a

C.1

2a

D.12a

E. 2a

5. Nilai dari 2 log 48+5 log 50−2 log 3−5 log 2 =...A. -2B. -6

C.1625

D. 2E. 6

6. Jika 5 log 3= P maka 15 log 81=...

A.3 p4

B.4 pp+1

C.p+34 p

D. 1+ 4pE. 4(1+p)