isi prinsip logika
TRANSCRIPT
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 1/15
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Untuk dapat memahami matematika dan dapat menggunakannya dalam
menyelesaikan masalah diperlukan penguasaan konsep yang lebih baik. Supaya
dapat menyelesaikan soal-soal dengan benar diperlukan kemampuan antara lain
memahami masalah dan dapat mengungkapkan kembali masalah yang sedang
dipelajari, membuat rencana penyelesaian, mengkaji langkah-langkah
penyelesaian, mengadakan dugaan dari informasi yang tidak lengkap. Kegiatan
berpikir seperti yang dijelaskan tersebut merupakan kegiayan berpikir kritis.
Pada saat berpikir kritis, digunakan penalaran deduktif dan penalaran
induktif. Penalaran induktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal yang
khusus ke hal yang umum. Sedangkan, Penalaran deduktif merupakan penalaran
yang berlangsung dari hal yang umum ke hal yang khusus.
Selain itu matematika pada dasarnya disajikan secara abstrak yang berbeda
dengan sains yang lain. Matematika disajikan secara aksiomatrik dengan
menggunakan logika deduktif. Karena itu logika berperan dalam sistem
matematika.
Oleh karena itu dalam makalah akan dibahas mengenai prinsip “Prinsip
Logika”
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas maka didapat rumusan masalah sebagai berikut;
a. Apa yang dimaksud dengan matematika aksiomatrik? b. Apa yang dimaksud dengan logika?
c. Apa saja pernyataan dalam logika?
d. Apa yang dimaksud dengan konvers, invers, dan kontraposisi?
e. Bagaimana penarikan kesimpulan (inferensi) dalam logika?
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 2/15
2
1.3 Tujuan Penulisan
Dari rumusan masalah di atas, maka didapat tujuan penulisan sebagai
berikut:
a. Mengetahui matematika aksiomatrik.
b. Mengetahui pengertian logika.
c. Mengetahui pernyataan dalam logika.
d. Mengetahui tentang konvers, invers, dan kontraposisi?
e. Mengetahui penarikan kesimpulan (inferensi) dalam logika?
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 3/15
3
BAB 11
PEMBAHASAN
2.1Matematika Aksiomatrik
Sistem aksiomatrik (logika deduktif) kapan dan dimana digunakan pertama
kali masih belum diketahui. Tetapi sistem aksiomatrik ini menjadi bagian dari
matematika dalam buku yang memuat geometri, aljabar, dan teoribilangan yang
disebut Elements. Buku ini disusun oleh Alexandria bernama Euclid.
Dasar logika deduktif adalah ide yang menyatakanbahwa kebenaran suatu
pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran-kebenartan pernyataan-
pernyataan lainnya. Secara sederhana, kebenaran suatu pernyataan baru harus
ditarik dari pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yangn demikian ini
sangat berbeda dengan penalaran yang menggunakan logika induktif. Dalam hal
logika induktif penyususnan kebenaran suatu generalisasi diperoleh daru sejumlah
hasil pengamatan atau eksperimen yang terbatas. Tetapi kebenaran tersebut tidak
dapat dijamin langgeng untuk masa yang akan datang.
Secara umum, logika induktif berperan penting dalam bidang non
matematika dan berperan relatif kecil dalam matematika. Sebaliknya, prinsip
logika deduktif berperan relative kecil dalam non matematika, tetapi berperan
besar dalam matematika. Masalah yang timbul bila kebenaran setiap pernyataan
harus didasarkan pada pernyataan sebelumnya yang sudah dibuktikan
kebenarannya. Apabila kita igin membuktikan pernyataan yang paling awal,
bagaimana membuktikan kebenaran dari pernyataan tersebut. Oleh karena itu
pernyataan yang awal tersebut diasumsikan sabagai pernnyataan yang benar. Jadi
setiap disisplin ilmu yang menggunakan logika deduktif harus memasukkan
sejumlah pernyataan awal/pangkal sebagai kesepakatan yang diterima
kebenarannya tanpa pembuktian. Dan pernyataan tersebut disebut aksioma atu
postulat. Aksioma ini memerlukan suatu pengertian yang tidak didefinisikan
karena setiap konsep tidak mungkin untuk tidak didefinisikan. Pengertian yang
tidak didefinisikan tersebut disebut pengertian pangkal.
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 4/15
4
Kumpulan aksioma sistem deduktif dalam suatu sistem matematika harus
memenuhi tiga syarat yaitu:
a. Taat azas (consistent )
Aksioma yang digunakan dalam suatu kupulan tidak boleh terjadi saling
kontradiksi.
Contoh;
A1: 2 + 3 = 1
A2: 1 + 2 = 2
A3: (2 + 3) + (1 + 2) = 8
A4: dua hal yang sama ditambah dengan dua hal yang sama menghasilkan dua hal
yang sama
Keempat aksioma di atas tidak taat azas, sebab dengan menggunakan A4
bila A1 dan A2 digabungkan menghasilkan (2 + 3) + (1 + 2) = 1 + 2 = 2
kontradiksi dengan A3.
b. Lengkap (complete)
Jika salah satu aksioma dalam sistem tersebut dihilangkan maka tidak akan
dapat diperoleh teorema-teorema.
c. Hubungan antara aksioma bebas (independent)
Aksioma tidak dapat diturunkan dari aksioma lainnya dalam sistem
tersebut.
Contoh:
A1: jumlah dua bilangan genap adalah genap.
A2: jumlah bilangan ganjil adalah genap.
A3: 2 + 4 adalah genap
Ketiga aksioma tersebut tidak saling bebas karena A3 dapat diturunkandari A1.
Dengan demikian sistem deduktif terdiri dari 4 komponen yang mendasar,
yaitu pengertian pangkal, aksioma, konsep yang didefinisikan, dan teorema. Dan
suatu pernyataan dalam satu sistem deduktif mungkin slah intuk sistem deduktif
lainnya. Misalnya pernyataan “Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 1800” benar
dalam sistem geometri Euclid , tapi salah untuk geometri non- Euclid . Jadi
pernyataan benar bila pernyataan tersebut diturunkan secara logis dari aksioma-
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 5/15
5
aksiomanya. Dengan demikian benar disini berarti sah (valid) yang artinya suatu
pernyataan yang benar (dalam sistem deduktif yang ditentukan) apabila
pernyataan tersebut diturunkan secara logis dengan cara yang sah dari aksioma-
aksioma sistem tersebut.
2.2 Pengertian Logika
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara
bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata,
ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu
pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-
argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk
,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang
dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-
simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa
yang biasa kita gunakan sehari-hari.
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi
yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
2.3 Pernyataan dalam Logika2.3.1 Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu perlu diketahui pengertian
kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang
mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau
salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan
dengan keadaan yang sebenarnya. Contoh:
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 6/15
6
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah,
dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat
yang tidak mempunyai arti. Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf
kecil p,q,r,s, dan sebagainya.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan
pernyataan.
2.3.2 Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat
yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai
dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstantadalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu
dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang
menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang
bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian. Contoh:
x + 2 = 8
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 7/15
7
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan
real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat
kita rumuskan sebagai berikut:
2.3.3 Pernyataan majemuk dalam logika
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan
merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:
disebut konjungsi
disebut disjungsi
disebut Implikasi
disebut biimplikasi
a. Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah
pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga
“negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “ ”
atau “ ”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika
sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.Definisi tersebut
dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 8/15
8
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta
menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
- p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
b. Konjungsi ( )
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
: 5 bilangan prima dan ganjil (B)
c.Disjungsi/ Alternasi ( )
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah
satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan
komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut
disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 9/15
9
Contoh:
1. p : 1 akar persamaan (B)
q : -1 akar persamaan (B)
: 1 atau -1 akar persamaan (B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)
: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
d. Implikasi/ Kondisional ( )
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau
anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika
antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
boleh dibaca:
jika p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Contoh:
1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 10/15
10
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
e. Biimplikasi atau Bikondisional ( )
Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen
kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak
demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
boleh dibaca:
p jika dan hanya jika q (disingkat “ p jhj q”)
jika p maka q , dan jika q maka p p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
Contoh:
1. 2 x 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)
(B) (S)2.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-
pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya :
Konversnya :
Kontraposisinya :
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 11/15
11
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:
Implikasi Invers Konvers Kontraposisi
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran
sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita
katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan
konvers. Bisa kita tulis:
Catatan:
“ ” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri,
maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi,
“jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
2. 5 Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
a. Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1) Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 12/15
12
2) Jika , maka (premis 1)
(premis 2)
Jadi (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
• Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai
ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
• Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-
pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).
b. Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Ada 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens,dan sillogisma.
1) Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan. Bentuknya sebagai
berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa anteseden
——– (konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen adalah sah/valid jika pada
setiap baris dimana premis;prtemisnya benra, pada baris tersebut konklusinya juga
benar dan dapat dilihat melalui tabel kebenaran.
B B B
B S S
S B B
S S B
Argumentasi ini sah karena untuk premis dan p benar, konklusi q
juga benar. Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 13/15
13
2) Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan. Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
(konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B
Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi
juga benar. Contoh:
Persamaan , , maka dan berlainan
dan tidak berlainan
Jadi persamaan ,
c) Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa implikasi
———-
(konklusi)
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 14/15
14
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B
Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi
juga benar. Contoh:
Jika , maka
Jika , maka
Jadi jika , maka
5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 15/15
15
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dasar logika deduktif adalah ide yang menyatakanbahwa kebenaran suatu
pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran-kebenartan pernyataan-
pernyataan lainnya. Dengan demikian sistem deduktif terdiri dari 4 komponen
yang mendasar, yaitu pengertian pangkal, aksioma, konsep yang didefinisikan,
dan teorema. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-
argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk
,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang
dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-
simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa
yang biasa kita gunakan sehari-hari. Dalam logika terdapat pernyaan, bukan
pernyataan, kaliamat terbuka, dan pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk
tersebut dapat dalam bentuk negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi. Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-
pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi. Penarikan
kesimpulan dinyatakan dalam bentuk argumen yang terdiri dari 2 kelompok yaitu
premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi
(kesimpulan). Ada 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus
tollens, dan sillogisma.
3.2 Saran
Dengan adanya makalahini diharapkan pembaca mampu memahami
materi prinsip logika. Sehingga dalam mengatasi masalah dapat digunakan
pemikiran yang menggunakan prinsip-prinsip yang telah dijelaskan. Dan dalam
penyelesaian masalah terutama dalam matematika terlebih dulu menguasai konsep
dengan baik.