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31.UNJFSC - FIISI - E.A.P. INGENIERA INFORMTICA CICLO VI

[2012] Universidad Nacional Jos Faustino Snchez Carrin Facultad de Ingeniera Industrial, Sistemas e Informtica E. A. P. Ingeniera Informtica Ciclo VI Tema: Trabajo de Investigacin

TRABAJO DE INVESTIGACIN

Ao de la Integracin Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad

CURSO: INVESTIGACIN OPERATIVA ITEMA: TRABAJO DE INVESTIGACINDOCENTE:Ing. PEREZ RAMIREZ, Jos Luis INTEGRANTES: CACERS BARRENECHEA, GiancarloCICLO: VII.HUACHO PER2012

Dedicatoria:Este presente trabajo est dedicado al ingeniero PEREZ, por la enseanza y dedicacin que nos brinda a todos nosotros para seguir nuestra carrera y lograr todos nuestros objetivos; y a nuestros padres por su apoyo, esfuerzo y cario en darnos una educacin para nuestro futuro.

AGRADECIMIENTO

Le damos las gracias a nuestro docente por su dedicacin y enseanza, a nuestros padres por su esfuerzo que hacen al darnos una educacin, a nuestros compaeros y docentes que estn en la permanente lucha de liberar a esta universidad de la corrupcin. De igual manera, al administrador de la Botica FARMACORAL, por su colaboracin, tiempo que nos brind para poder realizar el presente proyecto.

AGRADECIMIENTOEl presente proyecto, es un estudio de la planificacin estratgica de negocio de la empresa Botica FARMACORAL, mediante el cual se desarrollar un sistema de tecnologa de informacin (Sistema de Venta, Compra y Almacn).

INTRODUCCIN

Cada vez es ms difcil asignar los recursos o actividades de la forma ms eficaz, pues los recursos cada vez son ms escasos y crecen las complejidades de los sistemas generando problemas para decisiones ptimas.En el siglo pasado las Organizaciones del mundo solo estaban constituidas por un nmero reducido de personas y eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama cambia radicalmente con la Primera Revolucin Industrial. Como se sabe, sta trajo consigo la energa, las maquinarias y los equipos que revolucionaron las industrias mecanizando la produccin. Consecuentemente con ello vino la divisin o especializacin del trabajo trayendo con ello las nuevas responsabilidades de finanzas, produccin, mercado e investigacin y desarrollo por parte de especialistas y cientficos.Investigacin de Operaciones se le atribuye ms a los servicios militares prestados a principios de la II Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos blicos, exista una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva. Por esto, las administraciones militares americana y Britnicas hicieron un llamado a un gran nmero de cientficos para que aplicaran el mtodo cientfico a ste y a otros problemas estratgicos y tcticos. Estos equipos de cientficos fueron los primeros equipos de IO.

NDICE

INTRODUCCIN061. CAPTULO I: MODELO EN INVESTIGACION OPERATIVA081.1. INTRODUCCIN MODELOS UTILIZADOS EN INVESTIGACIN OPERATIVA091.2. FORMULACIN DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL221.3. MTODO DE SOLUCIN, SOLUCIN GRFICA DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL522. CAPULO II: MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL592.1. MTODO DE SOLUCIN GRFICA DEL MODEL0 DE PROGRAMACIN LINEAL602.2. MTODO SIMPLEX CASO MAXIMIZACIN672.3. MTODO SIMPLEX CASO MINIMIZACIN722.4. PRIMAL Y DUAL DE UN MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL762.5. ANLISIS DE SENSIBILIDAD1113. CAPTULO III: MODELODE TRANSPORTE Y ASIGNACIN.1203.1. MODELO DE TRANSPORTE: SOLUCIN BSICA, MTODOS. ALGORITMO QUE CONDUCE, SOLUCIN PTIMA DE UN MODELO DE TRANSPORTE1213.2. ALGORITMO QUE CONDUCE A LA SOLUCIN PTIMA DE UN MODELO TRANSPORTE..1353.3. MODELO DE ASIGNACIN.1403.4. MODELO DE TRANSBORDO.1514. CAPTULO IV: PROGRAMACIN ENTERA1614.1. MODELO DE PROGRAMACIN ENTERA MTODO GRFICO.162

CAPTULO IMODELO EN INVESTIGACIN OPERATIVA

INTRODUCCIN: MODELOS UTILIZADOS EN INVESTIGACIN OPERATIVA

Primero es saber que es investigacin de operacionesoinvestigacin operativaes una rama de lasmatemticasconsistente en el uso demodelos matemticos,estadsticayalgoritmoscon objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigacin de operaciones permite el anlisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cmo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximizacin de los beneficios o la minimizacin de costes.Un modelo de decisin debe considerarse como un vehculo para resumir un problema de decisin en forma tal que haga posible la identificacin y evaluacin sistemtica de todas las alternativas de decisin del problema. Despus se llega a una decisin seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles. Un modelo es una abstraccin selectiva de la realidad. El modelo se define como una funcin objetivo y restricciones que se expresan en trminos de las variables (alternativas) de decisin del problema. Una solucin a un modelo, no obstante, de ser exacta, no ser til a menos que el modelo mismo ofrezca una representacin adecuada de la situacin de decisin verdadera. El modelo de decisin debe contener tres elementos: Alternativas de decisin, de las cuales se hace una seleccin. Restricciones, para excluir alternativas infactibles. Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles.

TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONESa. MODELO MATEMTICO Se emplea cuando la funcin objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemtica como funciones de las variables de decisin. b. MODELO DE SIMULACIN Los modelos de simulacin difieren de los matemticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explcita. En cambio, un modelo de simulacin divide el sistema representado en mdulos bsicos o elementales que despus se enlazan entre si va relaciones lgicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de clculos pasaran de un mdulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.Los modelos de simulacin cuando se comparan con modelos matemticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de inconvenientes. La elaboracin de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemticos ptimos suelen poder manejarse en trminos de clculos. c. MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES DE LA CIENCIA DE LA ADMINISTRACINLos cientficos de la administracin trabajan con modelos cuantitativos de decisiones. d. MODELOS FORMALESSe usan para resolver problemas cuantitativos de decisin en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administracin son llamados modelos determinsticos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarn o evaluarn) se dan por conocidos. En los modelos probabilsticos (o estocsticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos. e. MODELO DE HOJA DE CLCULO ELECTRNICA La hoja de clculo electrnica facilita hacer y contestar preguntas de que si en un problema real. Hasta ese grado la hoja de clculo electrnica tiene una representacin selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de clculo electrnica es un modelo. EJEMPLOS:1. Se examin un caso donde la trayectoria es una semicircunferencia de 2m de radio. Que en la siguiente figura se mostrar; del cual se describe la trayectoria del insecto, movindose de A hacia B.Se quiere saber lo siguiente:a) Cunto es su recorrido?b) Qu distancia avanz?

SOLUCIN

a) El recorrido (e) es la medida de la longitud de la semicircunferencia descrita. Segn la figura:

e(longitud de media = semicircunferencia)

e = 2= 6.28 mb) La distancia (d) es el mdulo del desplazamiento.

d = = 2R = 2(2)

d = 4mCONCLUSIN: Por lo tanto, se deduce que en un movimiento curvilneo, el recorrido y la distancia tienen diferente valor.2. De la encuesta realizada en el mes de junio, se afirm que los sueldos de los trabajadores mencionados dijeron con la ms alta precisin posible con una desviacin estndar del 678.7 soles. De los cuales 8 fueron sometidos a esta encuesta, diciendo que sus ingresos eran de 500, 1000, 1120, 1300, 1500, 1010, 700, 821. Podra asegurarse que de la encuesta realizada, los datos estn afirmados con la mayor credibilidad posible, asumiendo que estos ingresos se distribuyen normalmente? Sea =0.05

SOLUCIN

3. El sueldo de los habitantes de Huacho encuestados en el mes de Junio se distribuye normalmente, una muestra obtenida de la Urbanizacin FONAVI de 8 personas que se mostr los siguientes resultados: 500, 1000, 1120, 1300, 1500, 1010, 700 y 821. De igual manera, se toma una muestra de la encuesta obtenida de la Av. Grau con los siguientes resultados: 300, 1000, 1210, 1300 y 2000. Hay razn suficiente para afirmar que los sueldos de ambos lugares son diferentes? =0.05

SOLUCIN

4. El gobierno, con la finalidad de mejorar la situacin econmica del pas, plantea ciertas propuestas; algunas de las cuales fueron formulados como parte de un enunciado en la encuesta que se realiz en Junio del presente ao, realizada por los alumnos de inferencia estadstica de Ingeniera Informtica:

Los resultados de los sueldos se muestran en la siguiente tabla:

TRATADO LIBREEXPORTACIONMINERAENVIO DEOPORTUNIDAD

COMERCIODINERODE TRABAJO

210021002000740970

100020002200792

120020302500

130010211200

200023022300

12501510

15102600

1000

Determine cul de los tratamientos ser el ms efectivo. =0.05SOLUCIN:

Gran Total = SCT = SCT= SCTR= SCE = SCT SCTR = 4626932.7FuenteSCGlCMFR

Tratamiento3054483.914763620.9772.97068889

Error4626932.718257051.817

Total7681416.6122

Fc(x,C-1,N-1) = 2.946CONCLUSIN: Por lo menos una de las opiniones es ms significativa que los dems.5. Se va a estudiar la posibilidad de que el alumno de quinto ao de secundaria del colegio Corazn de Jess de Barranca, elija entre 5 universidades: A= Alas peruanas, B= San Pedro, C= UNJFSC, D= Uladech, E= Universidad de Barranca; a fin de evaluar la decisin de los alumnos encuestados. A fin de evitar que los factores que puedan influenciar en la decisin relacionada con el nivel de ingreso de sus padres y el lugar de residencia, se les agrupa por caracteres y aleatoriamente se le asigna los tratamientos, los resultados se muestra a continuacin:Lugares de Residencia

Nivel de ingresos Pueblo jovenUrbanizacinCampoAvenidaOtro

675-800A5B2C9D5E1

900-1200B2C6D4E5A3

1300-1600C5D8E5A9B5

1700-2000D2E3A9B4C7

2000 a masE1A3B5C7D5

Evalu los resultados del experimento al 5%, y si fuese ms significativo, que universidad ha influenciado ms en la decisin del estudiante?SOLUCION:a) Contraste de Hiptesis: Todas las decisiones tomadas por los estudiantes son iguales, pese haber considerado 2 factores que podran perturbar o influenciar en la decisin del experimento. Por lo menos uno de los tratamientos se obtendr mejores resultados que los otros, agrupando las muestras de acuerdo a sus 2 grupos homogneos.b) Clculos: Gran Total = SCT = SCT= SCF = SCF= SCC= SCTR= SCE = SCT (SCF+SCC+SCTR) = 32

Anlisis ANVAFuenteSCGlCMFR

Tratamiento48.4412.14.5318

Columna38.84

Fila18.84

Error32122.67

Total138

Fc(0.95;4;12)= 3.26Conclusin: Se debe aceptar que uno de los factores pueden influenciar en la decisin de los alumnos encuestados; es decir aceptar la hiptesis alternativa, al aceptar esa hiptesis tenemos que hacer la PRUEBA DE TUCKEY, para saber cul de los tratamientos estn en la decisin de los estudiantes.PRUEBA DE TUCKEY

A = 5.8B = 3.6C = 6.8D = 4.8E = 3

A = 5.8 0 2.2112.8

B = 3.603.21.20.6

C = 6.8023.8

D = 4.801.8

E = 30

CONCLUSIN: En conclusin existen 2 tratamientos significativos: C con B y E con C; o sea, es decir que las universidades San Pedro, UNJFSC y la universidad de Barranca, estn a la comodidad del estudiante de quinto ao de secundaria.6. Un granjero desea formar su propia granja de conejos, para ello; compr una pareja de conejos. Si se sabe que cada pareja procrea mensualmente otra pareja a partir de un segundo mes de vida. Cuntas parejas pueden tenerse al cabo de 10 meses?Solucin: Para resolver esta interrogante, se analizaran los datos proporcionados de la siguiente manera. Sea:A = Pareja adulta de conejos.B = Pareja beb.InicioB= 11 mes : A= 12 mes : AB= 23 mes : ABA= 34 mes : ABAAB= 55 mes : ABAABABA= 7Analizando los casos de prueba antes mencionados, se deduce que los resultados coinciden con la serie de Fibonacci. Entonces, si se quiere saber el nmero de parejas que habr al cabo de 6 aos, se debe hallar el trmino 11 de la serie. La serie se deriva de la siguiente formula:

1123581321345589 1234567891011 Se tendrn 89 parejas de conejos.7. La empresa AGUAS Humaya.Debido a que se realizara una suspensin de suministro de agua por 30 das por motivos de reparacin y mantenimiento de las bombas de agua, se dio como plazo a los usuarios 2 horas y 30 minutos para recolectar el agua que utilizaran en el tiempo de suspensin del servicio.Fernando es el dueo de una granja de pollos que hace uso del servicio que brinda la empresa AGUAS, por lo cual, recolectara el agua que utilizara esos das de suspensin del servicio. Fernando recolecta el agua en un tanque de 1200 litros de capacidad y un cao que lo llenara a razn de 23 litros por minuto. Si al cabo de un minuto de iniciado la recoleccin, la velocidad de llenado del tanque disminuye 0,2 litros por minuto; En cunto tiempo llenara el tanque de 1200 litros? Solucin:Capacidad del tanque: 1200 litrosVelocidad de llenado del cao: 23 litros/minI. Para saber el comportamiento de la cantidad de agua que se va Depositando en el tanque, se hallara su funcin.

Ojo: La velocidad baja 0,2 litros por minuto.1 minuto 23 litros 23 0,2*02 minuto 23 - 0,2 litros 23 0,2*13 minuto 23 0,2 0,2 litros 23 0,2*24 minuto 23 0,2 0,2 0,2 litros 23 0,2*35 minuto 23 0,2 0,2 0,2 0,2 litros 23 0,2*4Generalizando: El siguiente paso sera hallar en que rango de valores puede variar t y y: Hallando los lmites para t :El limite inferior por deduccin seria cero.El limite superior se hallara igualando a cero la funcin, debido a que si es cero indicara que en ese momento la cantidad de litros seria cero.

Resolviendo se obtiene que:

Donde finalmente:

Hallando los lmites para y :Tomando como referencia los valores de t tenemos que: Finalmente la funcin quedara definida as:

La funcin que hemos hallado es la funcin comportamiento de velocidad del agua.II. Para saber el tiempo que tomara el cao en llenar el tanque se aplicar lo siguiente:

Expandiendo la sumatoria tenemos:

Agrupando los trminos:

El tanque se llenara al cabo de

FORMULACIN DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL

PRINCIPIOS GENERALES DE LA MODELACIN

"Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones, slo auxiliarlos"A continuacin se presenta una lista, no exhaustiva, de los principios generales de modelacin.

1. No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente. 2. El problema no debe ajustarse al modelo o mtodo de solucin. 3. La fase deductiva de la modelacin debe realizarse rigurosamente. 4. Los modelos deben validarse antes de su implantacin. 5. Nunca debe pensarse que el modelo es el sistema real. 6. Un modelo debe criticarse por algo para lo que no fue hecho. 7. No venda un modelo como la perfeccin mxima. 8. Uno de los primeros beneficios de la modelacin reside en el desarrollo del modelo. 9. Un modelo es tan bueno o tan malo como la informacin con la que trabaja. Recordemos que los modelos de Investigacin de Operaciones, conducen al ejecutivo a mejores decisiones y no a simplificar la toma de stas.

MTODO DE SOLUCIN

Como su nombre lo indica, la formulacin directa estriba en pasar directamente del sistema asumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el objetivo, definir las variables de decisin, enseguida las restricciones estructurales y finalmente establecer las condiciones tcnicas Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimizacin el cual puede ser Maximizacin o Minimizacin dependiendo del problema que se desee resolver, el cual es una funcin lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de optimizacin definido se pretende medir la contribucin de las soluciones factibles que puedan obtenerse y determinar la ptima. Definir las variables de decisin: Son las incgnitas del problema bsicamente consisten en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantos subndices como sea requerido. Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones ms comunes son de seis tipos, las cuales se listan a continuacin: Restriccin de capacidad: limitan el valor de las variables debido a las disponibilidad de horas-hombre, horas-mquina, espacio, etc.

Restriccin de mercado: Surgen de los valores mximos y mnimos en las ventas o el uso del producto o actividad a realizar. Restriccin de entradas: Son limitantes debido a la escases de materias primas, mano de obra, dinero, etc. Restriccin de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la calidad de los artculos a manufacturar. Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen las salidas de un proceso en funcin de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio.

MODELOS DE MULTIPLES PERIODOSCSL, es una cadena de tiendas de servicio para computadoras, el nmero de horas de reparacin especializada que requiere CSL durante los prximos cinco meses se da a continuacin: T=1, 2, 3, 4,5Mes enero= 6000 horasMes de febrero= 7000 horasMes de marzo= 8000 horas Mes de abril = 9500 horas x Mes de mayo = 11000 horasAl principio de enero se tiene 50 tcnicos, cada tcnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes, y este tcnico experimentado supervisa al aprendiz durante 50 horas al mes. A cada tcnico aprendiz le pagan mensualmente $ 1000, y al tcnico experimentado le pagan mensualmente $ 2000. Y al final de cada mes el 5% de tcnicos especializados cambian de trabajo para irse con PLUM COMPUTER. Formule una programacin lineal, cuya solucin permita a CSL, minimizar los costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicios durante los prximos 5 meses.TcnicoMesesTcnicos ExperimentadosTcnicos AprendizHoras total de trabajo mensual

Eneroy1x16000 h

Febreroy2x27000 h

Marzoy3x38000 h

Abrily4x49500 h

Mayoy5x511000 h

Pago mensual de los tcnicos20001000

Nmero de horas trabajadas en el mes16050

La funcin objeto de CSL es: Min z= 2000 y1+ 2000y2 + 2000y3+ 2000y4 + 2000y5 + 1000x1 + 1000x2+ 1000x3+ 1000x4 + 1000x5Restricciones:1. Restriccin: Saber el nmero de horas tcnico disponible durante el mes.160y1 50x1 6000 (Mes de enero)160y2 50x2 7000 (Mes de febrero)160y3 50x3 8000 (Mes de marzo)160y4 50x4 9500 (Mes de abril)160y5 50x5 11000 (Mes de mayo) MODELOS FINANCIEROS DE MULTIPLES PERIODOSFlujo de Efectivo en el tiempo (Dlares)0123

De la inversin A-1+0.50+10

De la inversin B0-1+0.50+1

De la inversin C-1+1.200

De la inversin D-100+1.9

De la inversin E00-1+1.5

Nota: tiempo 0=tiempo actual: tiempo 1=despus de un ao: tiempo2=despus de 2 aos: tiempo3=despus de 3 aos (todos a punto de abrir).

FORMULE UN POGRAMACION LINEAL QUE MAXIMIZE EL EFECTIVO EN CAJA EN EL TIEMPO 3.Solucin:1. Definiendo variables de decisinA=dlares invertidos en AB=dlares invertidos en BC=dlares invertidos en CD=dlares invertidos en DA=dlares invertidos en ES1=dlares invertidos en fondos de mercado de valores en el tiempo t (t=0, 1,2)Efectivo en caja en el tiempo 3B+1.9D+1.5E+1.08S22. Funcin ObjetivoMax. Z= B+1.9D+1.5E+1.08S2. (1)3. Definiendo restriccionesDinero disponible en el tiempo t= dinero invertido en el tiempo t+ dinero no invertido en el tiempo t, que se transfiere al tiempo t+1

Dinero disponible en el tiempo t= dinero invertido en el tiempo t

100000=A+C+D+S0 ..(3)0.5+1.2C+1.08S0=B+S1 .(4)A+0.5B+1.08S1=E+S2 (5)Otras restrictions:A75000,B75000,C75000,D75000,E75000A, B, C, D, E, S0, S1, S20Haciendo las combinaciones de (1) y (2) (6), obtenemos el modelo de PL siguiente:Max Z=B+1.9D+1.5E+1.08S2S.A. A+C+D+S0=1000000.5+1.2C+1.08S0=B+S1A+0.5B+1.08S1=E+S1A75000B75000C75000D75000E75000A, B, C, D, E, S0, S1, S20

Finalmente:Encontramos como0 solucin optima Z=218500, A=60000, B=30000, D=40000, E=75000, C=S0=S1=S2=0.Asi Finco no tiene que invertir en fondos del mercado de valores. En el tiempo 0, Finco tiene que invertir 60000 dlares en A y 40000 dlares en D. Despus en el tiempo 1, hay que invertir los 30000 dlares de intereses de la inversin A en B.Finalmente en el tiempo 2, hay que invertir los 60000 dlares de rditos de A y los 15000 dlares de rditos de B en E. En el tiempo 3, los 100000 dlares de Finco se habrn convertido en 218500

Problema De AlimentacinMi alimentacin requiere que todo de lo que coma pertenezca a uno de los cuatro grupos bsicos de alimentos (pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso). Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: biscochos de chocolate y nueces, helado de chocolate, cola, y pastel de queso con pia. Cada bizcocho cuesta 50centavos; cada bola de helado de chocolate, 20centavos; cada botella de refresco cola, 30centavos; y cada pieza de pastel de queso con pia, 80 centavos. Cada da tengo que ingerir por lo menos 500 caloras, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azcar y 8 onzas de grasas. El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la Tabla 1. Formule un modelo lineal que se puede utilizar para satisfacer mis requerimientos alimenticios diarios a un costo mnimoTabla1:Valores nutritivos para el ejemplo de la dietaCALORIASCHOCOLATE(onzas)AZUCAR(onzas)GRASA(onzas)

Bizcochos400322

Helado de Chocolate (1bola)200224

Refresco de Cola (1 botella)150041

Pastel de queso con pia500045

SOLUCION:Como siempre se empieza por determinar las decisiones que se tienen que tomar Cunto hay que comer diariamente de cada alimento? Por lo tanto, definimos las variables de decisin.

El objetivo es minimizar el costo de mi alimentacin. Se puede determinar el costo total de cualquier dieta a partir de la siguiente relacin: (costo total de la dieta)= (costo de los bizcochos)+ (costo del helado)+ (costo de la cola)+ (costo del pastel de queso). Para evaluar el costo total de una dieta, obsrvese que, por ejemplo.

Aplicar esto a los otros tres alimentos, obtenemos (en centavos)

As la funcin objetivo es:

Las variables de decisin tienen que satisfacer las siguientes cuatro restricciones:Restriccion1: El consumo diario de caloras tiene que ser por lo menos 500 calorasRestriccion2: El consumo diario de chocolate tiene que ser de por lo menos 6 onzasRestriccion3: El consumo diario de azcar tiene que ser de por lo menos 10 onzasRestriccion4: El consumo diario de grasa tiene que ser de por lo menos 8 onzasPara expresar la Restriccin 1 en trminos de las variables de decisin, obsrvese que (el consumo diario de chocolates)= (las caloras de los bizcochos)+ (las caloras en el helado de chocolate)+ (las caloras en la cola)+ (las caloras en el pastel de pia con queso).Se pueden determinar las caloras en los bizcochos consumidos a partir de:

Aplicando un razonamiento similar para los otros alimentos, se llega a:

Se puede usar la restriccin 1 por: (Restriccin del calorias) (21)Se puede usar la restriccin 2 por:(Restriccin del chocolate)(22)Se puede usar la restriccin 3 por:(Restriccin del azucar) (23)Se puede usar la restriccin 4 por:(Restriccin de la grasa) (24)Finalmente hay que cumplir con las restricciones de signo . Si se convinaran la funcion objetivo, las restricciones (21)-(24), y las restricciones de signo, tenemos lo siguiente.

s.a (rest. del calorias)(rest. del chocolate)(rest. Del azucar) (rest. De la grasa)

La solucin ptima para este programa lineal es . Por lo tanto, la dietade minimo costo diario es de 90 centavos, consiste en comer 3 bolas de helado de chocolate y tomar una botella de refresco de cola. Se puede obtener el valor ptimo de Z al sustituir los valores ptimos de las variables de decisin en la funcin objetivo. Esto produce un costo total de La dieta ptima proporciona:

As las restricciones del chocolate y del azcar son obligatorias, pero las restricciones de las caloras y de la grasa no son obligatorias.Star Oil Company considera cinco diferentes oportunidades de inversin en la tabla 5 se le dan los desembolsos de caja y los valores actuales netos.Star Oil dispone de 40 millones de dlares para invertir en el momento actual (tiempo 0); estima que en un ao (tiempo 1) dispondr de 20 millones de dlares para invertir. Star Oil puede comprar cualquier fraccin de cualquier inversin. En este caso, las salidas de caja y los VAN se ajustan en forma correspondiente. Star Oil quiere maximizar el VAN que se puede obtener mediante las inversiones 1 a 5. Formule un PL que ayude a alcanzar esta meta. Supngase que los fondos usados en el tiempo cero no se pueden usar en el tiempo 1. TABLA 5Inv. 1Inv. 2Inv. 3Inv. 4Inv. 5

Salida de caja al tiempo 011535529

Salida de caja al tiempo 1365134

VAN1316161439

SOLUCION:La meta de Star Oil es maximizar el VAN ganado por las inversiones.VAN de la inv. 1 = (VAN de la inv. 1) (fraccin inv. 1)VAN de la inv. 1 =13 X1 Al aplicar un razonamiento similar a las inv. 2 al 5, vemos que Star Oil quiere maximizar.Z=13X1 +16X2 + 16X3 +14X4 + 39X5La restricciones de Star Oil son:

Restriccin 1: Star no puede invertir ms de 40 millones de dlares en el tiempo 0.11X1 + 53X2 + 5X3 +5X4 + 29X5 = 6X1 + 2X2 >= 3X 1 >= 0, X2 >= 0Rescribiendo este programaMaximizar Z = 2X1 X2Sujeto a 3X1 X2 + X3 = 3 4X1 3X2 + X4 = 6 X1 2X2 + X5 = 3X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0, X4 >=0, X5 >= 0Tabla Simplex-Dual.-

Tabla Primera Iteracin.-

Tabla Segunda Iteracin.-

Tabla Final.-

EJEMPLO 2Sea el siguiente modelo:Maximizar Z=-2X1-2X2-3X3

Sujeto a :2X1+4X2+2X3>10

3X1-3X2+9X3=12

conX1, X2, X3>0

Expresemos el modelo en formato estndarMaximizar Z=-2X1-2X2-3X3

Sujeto a :2X1+4X2+2X3-IE1=10

3X1-3X2+9X3-IE2=12

Multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones, para formar los vectores unitarios, requeridos para contar con una base inicial unitaria.Maximizar Z=-2X1-2X2-3X3

Sujeto a :-2X1-4X2-2X3+IE1=-10

-3X1+3X2-9X3+IE2=-12

paso 1.Tomando las variables bsicas iniciales hacemos lo siguiente:Cj-2-2-300XB

CBX1X2X3E1E2SolucinBsicas

0-2-4-210-10E1

0-33-901-12E2

Zj000000

Ej-2-2-3000Z

Paso 2Sale E2 = (XB)2 o sea s = 2Paso 3a. Calculando los cocientes para todo (Sj)2 < 0 obtenemos:

o sea que X3 es la variable de entrada( entonces e = 3) y el elemento pivote es el (Se)s = (S3)2 = -9b. Efectuando el pivoteo obtenemos la tabla siguiente:

Tabla 1 (maximizar)

Cj-2-2-300XB


0-4/3-4/301-2/9-22/3E1

-3-1/3-1/310-1/94/3X3

Zj-11-301/3

Ej-1-300-1/3-4Z

Repitiendo el algoritmo desde el paso 1, obtenemos:sale E1 = (XB)1 y entra X2 por lo cual obtenemos la siguiente tabla

Tabla 2Cj-2-2-300XB


-22/710-3/141/2111/7X2

-33/701-1/14-2/2113/7X3

Zj-13/71-3-9/144/21

Ej-1/700-9/14-4/21-61/7Z

Como se observa, ahora estamos en el ptimo.En definitiva:X2* = 11/7X3* = 13/7Z* = - 61/7EJEMPLO 3:Ejemplo:Minimizar:

Solucin:Convertir el problema de minimizacin en uno de maximizacin. La funcin objetivo se multiplica por -1.

Las restricciones se multiplican por -1.

Se convierten las inecuaciones en ecuaciones.

Se determinan las variables bsicas y no bsicas.

Bsicas: y

No Bsicas: ,,

Elaborar la tabla inicial del simplex.

Variable bsicasolucin

Z141218000

0-10-310-3

00-2-201-5

1 ITERACIONVariable bsicasolucin

Z140606-30

0-10-310-3

00110-15/2

2 ITERACIONVariable bsicasolucin

Z120026-36

01/301-1/301

0-1/3101/3-1/23/2

El valor mnimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36

EJEMPLO 4:

Matriz Inversa Optima =

EJEMPLO 5:Variablebsicax1x2x3s1s2R1R2solucin

z004560024005200-2400 + M-5200 + M90400

x110

x201


EJEMPLO 6:variablebsicax1x2s1s2s3solucin

z00015

s13010-12

s24001-14

x21003


EJEMPLO 7:

variablebsicax1x2s1S2Rsolucin

Z000.14290.4286-0.42863.7143

X2010.42860.2857-0.28570.8571

X110-0.5714-0.71430.714332.8571


EJEMPLO 8:

variablebsicax1x2s1S2R1R2solucin

z00

X110

X201


EJEMPLO 9:

Max Z = 9X1 + 4X2 VARIABLES DUALESs.a.: 5 X1 + 3 X2 29 Y1 X1 0, X2 sin restriccin de signo

El dual es:Min Z = 29 Y1s.a.: 5 Y1 9 3 Y1 = 4 Y1 0

(Coeficiente Objetivo Originales) = (Coeficiente x1)(y1)= (Coeficiente Objetivo Original) * (Inversa Optima)

= 1.8 (y1) = [9] * (y1) = EJEMPLO 10:Max Z = 3X1 + 8 X2 VARIABLES DUALESs.a.: 2 X1 - 3 X2 = 7 Y1 1 X1 + 5 X2 24 Y2 X1, X2 0 El dual es:Min Z = 7 Y1 + 24 Y2s.a.: 2 Y1 + Y2 - 3 - 3 Y1 + 5 Y2 8 Y2 0, Y1 sin restriccin de signo

(Coeficiente Objetivo Originales) = (Coeficiente x2, Coeficiente x1)(y1, y2)= (Coeficiente Objetivo Original) * (Inversa Optima) (y1, y2) = [3,8] *

(y1, y2) =

EJEMPLO 11:Max Z = 3 X1 + X2 - 2 X3 VARIABLES DUALESs.a.: X1 + 2X2 + X3 5 Y1 2X1 - X2 + 3 X3 4 Y2 X1, X2, X3 0El dual es:

Min Z = 5 Y1 + 4 Y2

s.a.: Y1 + 2 Y2 3 2Y1 - Y2 1 Y1 - 3Y2 - 2 Y1, Y2 0

(Coeficiente Objetivo Originales) = (Coeficiente x2, Coeficiente x1)(y1, y2)= (Coeficiente Objetivo Original) * (Inversa Optima) (y1, y2) = [1,3] *

(y1, y2) = (y1, y2) =

EJEMPLO 12:

Max Z = 14X1 + 8 X2 + 6 X3 VARIABLES DUALESs.a.: 2 X1 + 4 X2 10 Y1 5 X1 + X2 + 6 X3 15 Y2 X1, X2, X3 0 Y3

El dual es:Min Z = 10 Y1 + 15 Y2s.a.:

2 Y1 + 5 Y2 - 3 4 Y1 + Y2 8 Y1 + 6 Y2 6 Y1 0, Y2, Y3 0

METODO DE LAS DOS FASES

Este mtodo surgi debido al error de redondeo sobre la exactitud del mtodo M. Este mtodo reduce el problema de manipulacin de coeficientes grandes y pequeos eliminando por completo la constante M.Este mtodo, como su nombre lo dice, consta de dos fases: FASE I:Formule un nuevo problema reemplazando la funcin objetivo por la suma de las variables artificiales.La nueva funcin objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el valor mnimo de la funcin objetivo ptima ser cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento pasamos a la fase 2.Si el valor mnimo de la funcin objetivo ptima es mayor que cero, el problema no tiene solucin y termina anotndose que no existen soluciones factiblesFASE II:Utilice la solucin ptima de la fase 1 como solucin de inicio para el problema original. En este caso, la funcin objetivo original se expresa en trminos de las variables no bsicas utilizando las eliminaciones usuales.Ejemplo:Minimizar: Sujeta a:

Solucin:

FASE I:Planteamos las restricciones como si aplicramos el mtodo M.Minimizar: Sujeta a:

La tabla asociada es la siguiente:

Seguidamente se resolver como si se usara el mtodo M:Variable BsicarSolucin

r174-10009

03101003

043-10106

01200014

Como en el mtodo M, se eliminan y por sustitucin en el rengln de r, usando los siguientes clculos:1 ITERACIN:Variable BsicarSolucin

R105/3-1-7/3002

011/301/3001

005/3-1-4/3102

005/30-1/3013

Para Ec. r:Ant174-10009

(-7)(NEP)0-7-7/30-7/300-7

105/3-1-7/3002

Para Ec. :Ant043-10106

(-3)(NEP)0-4-4/30-4/300-4

005/3-1-4/3102

Para Ec. :Ant01200014

(-1)(NEP)0-1-1/30-1/300-1

005/30-1/3013

2 ITERACIN:Variable BsicarSolucin

R1000-1-100

0101/53/5-1/503/5

001-3/5-4/53/506/5

00011-111

Para Ec. r:Ant105/3-1-7/3002

(-5/3)(NEP)00-5/314/3-10-2

1000-1-100

Para Ec. :Ant011/301/3001

(-1/3)(NEP)00-1/31/54/15-1/50-2/5

0101/53/5-1/503/5

Para Ec. :Ant005/30-1/3013

(-5/3)(NEP)00-5/314/3-10-2

00011-111

Como mnimo de r=0, la fase I produce la solucin bsica factible , y . Llegados a este punto, las variables artificiales ya cumplieron su misin y se pueden eliminar de las columnas, por completo, y pasar a la fase II.FASE II:Despus de eliminar las columnas artificiales, el problema original se escribe as:Minimizar: Sujeta a:

En esencia, fase I es un procedimiento que transforma las ecuaciones originales de restriccin en tal forma que se obtiene una solucin factible bsica de inicio para el problema. La tabla asociada con la fase II del problema es por consiguiente:Variable BsicaSolucin

z000-10

101/53/53/5

01-3/5-4/56/5

00111

Resolviendo se obtiene:Variable BsicaSolucin

z001/5018/5

101/503/5

01-3/506/5

00111

Por lo tanto:El valor ptimo para z es 18/5 cuando y .

2. ste mtodo difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el mtodo Simplex normal.FASE I:

Se realiza la minimizacin de una funcin que est compuesta por la suma de los valores de las variables artificiales; para el sistema aumentado del problema original. (Independientemente de qu funcin objetivo tenga el problema original).

Si en la solucin ptima de la FASE I, el valor de las variables artificiales es de cero, se procede con la FASE II tomando la solucin bsica factible resultante.

Si alguna de las variables artificiales tiene un valor distinto a cero, el problema original es infactible.

FASE II:

Utilizando la solucin bsica factible final de la FASE I, se resuelve el problema original, esto es, se resuelve para la funcin objetivo del problema original; si se desea, se pueden eliminar las columnas artificiales.

Ntese que primeramente debe actualizarse correctamente el rengln cero para el conjunto de variables bsicas que defini la FASE I.

Con la tabla en forma correcta se procede a optimizar de forma habitual siguiendo el algoritmo Simplex.

Nota: Si el valor mnimo de la funcin objetivo ptima es mayor que cero, el problema no tiene solucin y termina anotndose que no existen soluciones factibles.A modo resumen podemos dejar esta tabla, segn la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdadTipo de variable que aparece

- exceso + artificial

=+ artificial

+ holgura

EJEMPLO

Min z = 2000X1 + 500 X2s.a:2x1 +3x2 363x1+6x2 60

X1,x2 0Para minimizar la funcin objeto por el mtodo de dos faces se debe seguir los siguientes pasos y realizar por dos faces.

R1,R2 son variables artificialesS1,S2 son variables de excesoPRIMER PASO:.- Estandarizamos:2x1 + 3x2 + R1 =36 + S1 3x1 + 6x2 + R2 =60 + S2SEGUNDO PASO

Realizamos la minimizacin de las variables artificiales

FASE I

Min Z= R1 + R2

s.a: 2x1 + 3x2 S1 -0S2 + R1 + 0R2 =36 3x1 + 6x2 -0S1 S2 + 0R1 + R2 =60

TERCER PASO:

Realizamos las iteraciones

Variable BZX1X2S1S2R1R2Solucin

Z10000-1-10

R1023-101036

R20360-10160

Luego se tiene que convertir las variables artificales en 0 y se hace la siguiente suma..- Sumamos F2 y F3 y el resultado se reemplazara en la fila F1

Variable BZX1X2S1S2R1R2Solucin

Z159-1-10096

R1023-101036

R203Elemento Pivote60-1Ecuacion Pivote0160

Variable EntradaVariable Salida

CUARTO PASO:Se resuelve y se hace las respectivas operaciones para la minimizacin.

Nueva Ecuacin Pivote: 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10 0 3 6 0 -1 0 1 60 / 6

Nueva Ecuacin en Z: 1 1/2 0 -1 1/2 0 -96 6

Ecu. Z. Ante : 1 5 9 -1 -1 0 0 96-(9)(N.E.P) : 0 -9/2 -9 0 9/6 0 -9/6 -90

Nueva Ecuacin en R1: 0 1/2 0 -1 1/2 1 -1/2 6

Ecu. R1 Anter : 0 2 3 -1 0 1 0 36-(3)(N.E.P) : 0 -3/2 -3 0 1/2 0 -1/2 -30

La nueva tabla:Variable BZX1X2S1S2R1R2Solucin

Z11/20-10-3/26

R101/20-11-1/26

X201/210-1/601/610

QUINTO PASO:

Se realizan los mismos pasos del anterior

Nueva Ecuacin Pivote: 0 1 0 -2 1 2 -1 12 0 1/2 0 0 -1 1/2 1 -1/2 / 6

Nueva Ecuacin en Z: 1 0 0 0 0 -1 -1 0

Ecu. Z. Ante : 1 1/2 0 -1 1/2 0 -3/2 6-(1/2)(N.E.P) : 0 - 1/2 0 1 -1/2 -1 1/2 -6

Nueva Ecuacin en X2: 0 0 1 1 -2/3 -1 2/3 4

Ecu. R1 Anter : 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10-(1/2)(N.E.P) : 0 -1/2 0 1 -1/2 -1 1/2 -6

LA NUEVA TABLA QUEDA ASI:Variable BZX1X2S1S2R1R2Solucion

Z10000-1-10

X1010-212-112

X20011-2/3-12/34

Las variables basicas(X1,X2) y la solucion quede en 0, Actualizando, la tabla es ptima, por lo tanto finaliza la FASE I y se tiene una solucin bsica factible. Y comenzamos con siguiente face.

FASE II:

Min Z: 2000 X1 + 500 X2

Z= 2000- 500 -0S1 -0S2=0Se toma la solucin bsica factible de la FASE I como la solucin inicial, se eliminan las columnas artificiales.

V. B.ZX1X2S1S2Solucin

Z1-2000-500000

X1010-2112

X20011-2/34

Se reduce a cero el coeficiente de las variables bsicas para tener la tabla correcta.


Z1-2000-500000

X1010-2112

X20011-2/34

Nueva Ecuacin Pivote: 0 0 1 1 -2/3 4 0 0 1 1 -2/3 4 / 1

Nueva Ecuacin en Z: 1 -2000 0 500 -1000/3 2000

Ecu. Z. Ante : 1 -2000 -500 0 0 0-(-500)(N.E.P) : 0 0 500 500 -1000/3 2000

Nueva Ecuacin en X1 : 0 1 0 -2 1 12

Ecu. X1 Anter : 0 1 0 -2 1 12-(0)(N.E.P) : 0 0 0 0 0 0 V. B.ZX1X2S1S2Solucin

Z1-20000500-1000/32000

X1010-2112

X20011-2/34

Continuamos con las mismas iteraciones.

Nueva Ecuacin Pivote : 0 1 0 -2 1 12 0 1 0 -2 1 12 / 1

Nueva Ecuacin en Z : 1 0 0 -3500 -5000/3 26000

Ecu. Z. Ante : 1 -2000 0 500 -1000/3 2000-(-2000)(N.E.P) : 0 2000 0 -4000 2000 24000

Nueva Ecuacin en X2 : 0 0 1 1 -2/3 4

Ecu. X2 Anter : 0 0 1 1 -2/3 4-(0)(N.E.P) : 0 0 0 0 0 0


Z100-3500-5000/326000

X1010-2112

X20011-2/34

Actualizamos la tabla para verificar si es ptima.010-2112

Nueva ecuacin pivote (n.e.p): Nueva Ecuacin en X1: 1 -5000/3 0 -500/3 0 600 Ec. Z anterior: 100-35005000/326000

-(5000/3)*(N.E.P): 0-5000/30-10000/3-5000/3-60000/3

La Nueva Ecuacin X2: 0 2/3 1 -1/3 0 12Ec. X2 anterior: 0011-2/34

-(-2/3)*(n.e.p): 02/30-4/32/38

TABLA 05: Primera iteracin

V. B. Z X1 X2 S1 S2 Solucin

Z 1 -5000/3 0-500/3 0 6000

S2 0 1 0 -2 1 12

X2 0 2/31 -1/3 0 12

Solucin ptima: X1 = 0 X2 = 12 Z = 6000

MTODO MMin z= 4x1+x2 s.a: 3x1 + x2 4x1 + 3x26 x1 + 2x2x1,x20

.- Para resolver por el metodo M se debe tener en cuenta, los simbolos si las restricciones son , dependiendo de ello se estandariza. SOLUCION: .- Standarizamos las variables artificiales, y le agregamos la variable de exceso a todos los que tengan el signo), y le aadimos una artificial.

3X1 + x2 + R1 =24 4x1 + 3x2 - x3 + R2 = 6 x1 + 2x2 + X4= 1

X1,x2,X3,X4 0

Min z = 4x1+x2+MR1 + MR2

1. R1= 3-3x1-x22. R2=6 -4x1-3x2 +x3

Z= 4x1+x2 +M(3-3x1 x2) + M(6 -4x1 -3x2 +x3)Z= X1(4-7M) + X2(1-4M) + X3M + 9M

.- Construimos la tabla, con las variables basicas, y las no basicas, le agregamos las variables de las restricciones. Como se presenta acontinuacion.

Min Z= X1(4-7M) + X2(1-4M) + X3M + 9M

s.a:

3x1 + x2 + 0x3 + R1 + 0R2 + 0X4 = 34x1 + 3x2 x3 + 0R1 + R2 + 0X4 = 6 X1 + 2x2 + 0x3 + 0R1 + 0R2 + X4 = 4

Variable B.ZX1X2X3R1R2X4Solucin.

Z1-4+7M-1+4M-M0009M

R1031010031

R2043-101061,5

X4012001144

.- Luego escogemos la variable de entrada, de las variables No Bsicas, es decir escogeremos el mayor positivo de las No bsicas y el valor es -4+7M, luego pintaremos de un color la columna identificada.


Z1-4+7M-1+4M-M0009M

R1031010031

R2043-101061,5

X4012001144

.- Luego a los valores de la columna de la solucin le dividiremos los valores de la columna de la variable de entrada, y obtendremos donde se ubica con la variable de salida y el elemento pivote, y la ecuacin pivote.

Luego escogeremos de lo divido el menor positivo y en esta ocasin es el 3Y la pintaremos de un color para identificarla.

Variable EntradaVariable B.ZX1X2X3R1R2X4Solucin.

Z1-4+7M-1+4M-M0009M

Variable SalidaR10Elemento Pivote3101Ecuacion Pivote0031

R2043-101061,5

X4012001144

.- Luego para hallar la nueva ecuacin pivote, se divide la ecuacin pivote anterior entre el elemento pivote.

/ 3 R103101003

Y as obtendremos la nueva ecuacin pivote y ser: 011/301/3001

.- Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la primera iteracin y realizar el mismo procedimiento anterior.

.- Luego se obtienen las nuevas ecuaciones con la formula asignada, y obtendremos las siguientes ecuaciones.

Nueva Ecuacin en Z: 1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4

Ecu. Z. Ante.: 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M-(-4+7M/3)(N.E.P) : 0 4-7M 4-7M/3 0 4-7M/3 0 0 4-7M

Nueva Ecuacin en R2: 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

Ecu. R2 Ante : 0 4 3 -1 0 1 0 6-(4)(N.E.P) : 0 -4 -4/3 0 -4/3 0 0 -4

Nueva Ecuacin en X4: 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Ecu. X4. Ante : 0 1 2 0 0 0 1 4(-1)(N.E.P) : 0 -1 -1/3 0 -1/3 0 0 -1


Z101+5M/3-M4-7M/3002M+4

X1011/301/30043

R2005/3-1-4/31021,2

X4005/30-1/30151,8


/ 5/3 S2005/3-1-4/3102

Y as obtendremos la nueva ecuacin pivote y ser: 001-3/5-4/53/506/5

.- Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la segunda iteracin y realizar el mismo procedimiento anterior.

.- Luego se obtienen las nuevas ecuaciones con la formula asignada, y obtendremos las siguientes ecuaciones.

Nueva Ecuacin en Z: 1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/5 0 18/5

Ecu. Z. Ante .: 1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4-(1+5M/3)(N.E.P) : 0 0 -1-5M/3 1+5M/5 4+20M15 -1-5M/3 0 -2-10M/5

Nueva Ecuacin en X1: 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

Ecu. X1 Anter : 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1-(1/3)(N.E.P) : 0 0 -1/3 1/5 4/15 -1/5 0 -2/5

Nueva Ecuacin en X4: 0 0 0 1 1 -1 1 1

Ecu. X4. Ante : 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3(-1)(N.E.P) : 0 -1 -5/3 1 4/3 -1 0 -2


Z1001/58-5M/5-1-5M/5018/5

X10101/53/5-1/503/53

X2001-3/5-4/53/506/51,2

X400011-1111


/ 1 X400011-111

Y as obtendremos la nueva ecuacin pivote y ser: 00011-111

.- Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la segunda iteracin y realizar el mismo procedimiento anterior.

.- Luego se obtienen las nuevas ecuaciones con la formula asignada, y obtendremos las siguientes ecuaciones.Nueva Ecuacin en Z: 1 0 0 0 7-5M/5 -M -1/5 17/5

Ecu. Z. Ante .: 1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/3 0 18/5-(1/5)(N.E.P) : 0 0 0 -1/5 -1/5 1/5 -1/5 -1/5

Nueva Ecuacin en X1: 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

Ecu. X1 Anter : 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5-(1/5)(N.E.P) : 0 0 0 -1/5 -1/5 1/5 -1/5 1/5

Nueva Ecuacin en X4: 0 0 0 1 1 -1 1 1

Ecu. X4. Ante : 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5-(-3/5)(N.E.P : 0 0 0 3/5 3/5 -3/5 3/5 3/5

Luego reemplazamos los valores ala tabla y podemos darnos cuenta que encontramos la solucin ptima de la funcin objeto.


Z10007-5M/5-M-1/317/5

X101002/50-1/52/5

X20010-1/503/59/5

X400011-111

Luego la minimizacin de la funcin objeto es:

Min Z= 4x1 + x2Min Z= 4(2/5) +9/5 Min Z= 17/5

ANLISIS DE SENSIBILIDAD

El anlisis de sensibilidad investiga el cambio de la solucin ptima que resulta de hacer cambios en los parmetros del modelo de programacin lineal. Los posibles cambios que pueden suceder son:Condicin resultante de los cambiosAccin recomendada

La solucin actual queda optima factible.No es necesaria accin alguna.

La solucin actual se vuelve no factible.Usar el simplex dual para recuperar la factibilidad.

La solucin actual se vuelve no ptima.Usar el simplex primal para recuperar la optimalidad.

La solucin actual se vuelve no ptima y no factible al mismo tiempo.Usar el mtodo simplex generalizado para obtener una nueva solucin.

Los tres primeros casos sern tocados en este trabajo (en el ejemplo que se planteara a continuacin); el cuarto es una combinacin de los casos 2 y 3.

Ejemplo: Forma PrimalForma Dual

Sujeto a:

Sujeto a:

La tabla ptima asociada para el primal es: Variable bsica

00

10

01

1. Cambios que afectan la factibilidad.En ambos casos se tiene no factibilidad cuando al menos un elemento del lado derecho en la tabla ptima se hace negativo; esto es, una o ms variables bsicas actuales se vuelven negativas.a. Cambios en el lado derecho: Estos cambios requieren volver a calcular el lado derecho de la tabla, usando la frmula:

Ejemplo: Del problema anteriormente planteado:Para poder aplicar este criterio, se le modificara el lado derecho del programa, para lo cual se le aumentar un 40% al lado derecho.

De los resultados obtenidos podemos observar que al realizar cambios al lado derecho del programa el resultado de la funcin objetivo varia (puede aumentar o disminuir), segn la magnitud del cambio. Intervalo de factibilidad de los elementos del lado derechoOtra forma de examinar el efecto de cambiar la disponibilidad de los recursos (es decir, los valores del lado derecho) es determinar el intervalo para la cual la solucin actual o del momento permanece factible.

Ejemplo: Del problema inicialmente planteado.

Para determinar el intervalo de factibilidad de la primera restriccin se le agregara una variable.

LA cantidad D representa la variabilidad del valor de la variable.La ssolucion actual ser valida si todas las variables bsicas son no negativas, esto es:

Estas condiciones conducen a las siguientes cotas de D:

Entonces, la solucin se actual se mantiene factible cuando:

Si el valor asignado a D esta fuera del intervalo, entonces ocurrir una no factibilidad en la solucin.

El mismo procedimiento se puede utilizar para determinar el intervalo de factibilidad para la restriccin 2.

b. Adicin de nuevas restricciones: la adicin de una nueva restriccin a un modelo existe te puede llevar a uno de los dos casos siguientes:

La nueva restriccin es abundante, o sea; se satisface con la solucin actual, por consiguiente se puede eliminar.

La solucin actual viola la nueva restriccin, y en este caso se puede aplicar el mtodo simplex dual para recuperar la factibilidad.

Ejemplo: Se desea agregar la siguiente restriccin:

Al agregar esta restriccin la solucin optimal no queda satisfecha, en consecuencia, debemos agregar esta restriccin al programa.

Variable bsica

000

100

010

410013

Para este caso seguimos iterando hasta que la solucin ptima final es:,

2. Cambios que afectan la optimalidad:

Pueden ocurrir dos soluciones particulares que podran afectar la optimalidad de la solucin actual:

Cambios en los coeficientes de la funcin.

Estos cambios solo pueden afectar la optimalidad de la solucin.

Pueden presentarse dos casos:

1. El nuevo rengln de z satisface la condicin de optimalidad, y la solucin permanece sin cambio (sin embargo, el valor objetivo optimo puede cambiar).2. La condicin de optimalidad no se satisface, y en ese caso se aplica el mtodo simplex (primal) para recuperar la optimalidad.

Ejemplo:Usando el ejemplo inicialmente planteado, cambiaremos su funcin objetivo por:

En este caso aplicaremos la frmula utilizada en clase (para la relacin primal - dual):

Los coeficientes de la nueva funcin objetivo se obtienen de la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las restricciones duales:

Intervalo de optimalidad de los coeficientes objetivo

Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la funcin objetivo es calcular el intervalo para el que cada coeficiente individual mantenga la solucin ptima actual.

Ejemplo:

Como es bsica, entonces su cambia afectara los valores duales para despus afectar los coeficientes de las variables bsicas de todas las variables no bsicas del rengln z.

Calculamos los coeficientes de las variables no bsicas en el rengln z.

De las desigualdades se puede decir que d est definido como:

Adicin de una nueva variable.

La adicin de una nueva variable se realiza solo si es necesaria o conveniente, esto es, si mejora el valor ptimo de la funcin objetivo.Ejemplo:

Al enunciado inicial, le agregaremos una variable x3 con 2 para la primera restriccin y 2 para la segunda restriccin y 2 para la funcin objetivo. Como son los valores duales ptimos, el valor reducido de x3 es:

Segn este resultado, se calcula primero su columna de restricciones con la columna 1.

Luego, modificamos la tabla simplex actual:Variable bsica

00-1

10

01

Debido a que ingreso una nueva variable, se sigue iterando hasta que finalmente se obtiene que .

CAPTULO IIIMODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIN

MODELO DE TRANSPORTE

El modelo del transporte es una clase especial de programacin lineal que tiene quever con trasportar un artculo desde sus fuentes (fabricas) hasta sus destinos (bodegas). El objetivo es determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los lmites dela oferta y la demanda. En el modelo se supone que el costo de trasporte es proporcional a la cantidad de unidades transportadas en determinada ruta. En general, se puede ampliar el modelo de transporte a otras reas de operacin, entre otras el controlde inventarios, programacin de empleos y asignacin de personal.Aun que el modelo de transporte se puede resolver como una programacin lineal normal, su estructura especial permite desarrollar un algoritmo de cmputo, basado en el simplex, que usa las relaciones primal-dual para simplificar los clculos.

PROBLEMA DE TRANSPORTEEl Problema de Trasporte se presenta frecuentemente a planear la distribucin de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro haca varias localizaciones de demanda.

CARACTERSTICAS DE ESTE MODELO:

La cantidad de bienes disponibles en cada localizacin de suministro (origen) es limitada. La cantidad de bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida. E objetivo generalmente de minimizar costos de traslado de los bienes desde los orgenes hasta los destinos.

DEFINICIN Y APLICACIONES DEL MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.1. El costo de transporte unitario de la mercanca a cada destino.

Como solo hay una mercanca un destino puede recibir su demanda de una o ms fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.La suposicin bsica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al nmero de unidades transportadas. La definicin de unidad de transporte variar dependiendo de la mercanca que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino est representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representan la ruta por la cual se transporta la mercanca. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.Si Xij representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:Minimize Z= i=1 m j=1 n C i j X i j Sujeta a: j=1 n X i j = bj , j=1,2,, nX i j >=0 para todas las i y jEl primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma anloga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envos a un destino satisfaga su demanda.El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulacin resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:X i j = ai, i=1,2,..., mX i j = bj, j=1,2,..., nEn el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse.El equilibrio, adems de su utilidad en la representacin a travs de modelos de ciertas situaciones prcticas, es importante para el desarrollo del mtodo de solucin que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y tambin sus implicaciones prcticas.Aunque la solucin ptima de estos problemas y de cualquier problema de PL puede ser encontrada por el Mtodo Simplex, el modelo de transporte tiene una estructura especial que permite resolverlos mucho ms eficientemente.El modelo de transporte en forma estndar se trabaja en una tabla similar a la que se presenta para un problema con tres bodegas y cuatro mercados.

EL ALGORITMO DE TRANSPORTEEl algoritmo de transporte sigue exactamente los mismos pasos que el mtodo simplex. Sin embargo, en lugar de usar la tabla simplex normal, se aprovecha la ventaja de la estructura especial del modelo de transporte para organizar los clculos en una forma ms cmoda.Se debe agregar que el algoritmo especial de transporte fue desarrollado por primera vez cuando la norma eran los clculos a mano, y se necesitaba soluciones con mtodo abreviado. Hoy contamos con poderosos programas de cmputo que pueden resolver un modelo de transporte de cualquier tamao en forma de programacin lineal.Los pasos del algoritmo de transporte son exactamente iguales a los del algoritmo simplex:Paso 1: determinar una solucin bsica factible de inicio y seguir con el paso 2.Paso 2: usar la condicin de optimalizad del mtodo simplex para determinar la variable de entrada entre todas las variables no bsicas. Si se satisface la condicin de optimalizad, detenerse. En caso contrario seguir en el paso 3.Paso 3: usar la condicin de factibilidad del mtodo simplex para determinar la variable de salida entre todas las variables bsicas en ese momento, y determinar la nueva solucin bsica. Regresar al paso 2.La estructura especial del modelo de transporte permite asegurar que haya una solucin bsica no artificial de inicio, obtenida con uno de los mtodos siguientes:1.- Mtodo de la Esquina Noreste (superior, izquierda).2.- Mtodo del Costo Mnimo.3.- Mtodo de Aproximacin de Vogel.EJERCICIO DE APLICACIN 1:La Empresa Inca Kola posee tres plantas distribuidoras de gaseosas, las cuales se encuentran localizadas en: Per con una capacidad de mensual de 19000 unidades Brasil con una capacidad de mensual de 28000 unidades Argentina con una capacidad de mensual de 25000 unidadesPara el mes siguiente se ha realizada los siguientes pedidos en las tiendas que se encuentran en: Ecuador con un pedido de 11000 Venezuela con un pedido de 13000 Colombia con un pedido de 7000 Bolivia con un pedido de 17000 Uruguay con un pedido de 24000Buscar el costo de distribucin mnimo entro de las restricciones impuestas por las unidades disponibles y requeridas ORIGENDESTINOSOFERTA

EcuadorVenezuelaColombiaBoliviaUruguay

Per881061019000

Brasil086121428000

Argentina12108141225000

DEMANDA11000130007000170002400072000

Todo problema de transporte se puede resolver a travs de un programa Lineal o mediante los algoritmos de transporte.

# Rutas = m + n 1

m # de orgenesn # de destino

Adems se debe de cumplir la de la Oferta = de la Demanda

72000 = 72000

Solucin mediante un programa lineal. ORIGEN DESTINO

PerBrasilArgentinaEcuadorVenezuelaColombiaBoliviaUruguayXA2XA1XA3XA4XA5XB1XB2XB3X B4XB5XC1XC2XC3XC4XC5CA1

CB1 11

CC1

CA2 19

CB2CC2

13 28

CA3CB3CC3

7 25

CC4C B4CA4

CB5 17

CC5

CA5 24

FUNCIN OBJETIVO

Minimizacin z = XA1 + CA1 + XA2 + CA2 + XA3 + CA3 + XA4 + CA4

XB1 + CB1 + XB2 + CB2 + XB3 + CB3+ XB4 + CB4

XC1 + CC1 + XC2 + CC2 + XC3 + CC3 + XC4 +CC4

1. DEMANDA: Debe satisfacerse la demanda de cada planta.Restricciones en el DestinoXA1 + XB1 + XC1 11XA2 + XB2 + XC2 13XA3 + XB3 + XC3 7XA4 + XB4 + XC4 17XA4 + XB5 + XC4 241. OFERTA: La cantidad de elementos enviados no puede exceder la cantidad disponible

Restricciones en el OrigenXA1 + XA2 + XA3 + XA4 + XA5XB1 + XB2 + XB3 + XB4 + XB5XC2 + XC1 + XC3 + XC4+ XC5MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

CARACTERSTICAS: Sencillo y fcil de hacer. No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja lejos del ptimo.

PROCEDIMIENTO:1. Construya una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas (requerimientos). 1. Empiece por la esquina noroeste. 1. Asigne lo mximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente).1. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros el resto de casillas (Filas Columnas) en donde la oferta la demanda haya quedado satisfecha. 1. Muvase a la derecha o hacia abajo, segn haya quedado disponibilidad para asignar. 1. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo.Empleando el mtodo noroeste se obtiene:ORIGENDESTINOSOFERTA


Per881061019000

110008000000

Brasil086121428000

050007000160000

Argentina12108141225000

000100024000

DEMANDA11000130007000170002400072000

Evaluacin econmicaRUTASCARGACOSTO TRANSPORTECOSTO TOTAL

A111000888000

A28000864000

B25000840000

B37000642000

B41600012192000

C410001414000

C52400012288000

728000

VARIABLES BASICAS

XA111000

XA28000

XB25000

XB37000

XB416000

XC41000

XC524000

VARIABLES NO BASICAS

XA30

XA40

XA50

XB10

XB50

XC10

XC20

XC50

MTODO DE COSTO MNIMO

Consiste en asignar tanto como sea posible a la celda que posea el costo mnimo o ms pequeo. Una vez saturada la fila o columna correspondiente se saca del anlisis y se contina de la misma manera hasta completar la totalidad de la tabla. En caso de que haya uno o ms costos iguales se escoge arbitrariamente cualquiera.

CARACTERSTICAS Es ms elaborado que el mtodo de la esquina noroeste. Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja alejados del ptimo.

PROCEDIMIENTO 1. Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos y costos. 1. Empiece en la casilla que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay empate, escoja arbitrariamente (Cualquiera de los empatados). 1. Asigne lo mximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento (El menor de los dos). 1. Rellene con ceros (0) la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el requerimiento, restndoles lo asignado. 1. Recuerde que no debe eliminar satisfacer fila y columna al mismo tiempo, caso en que la oferta sea igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la (psilon). 1. Muvase a la casilla con el costo mnimo de la tabla resultante (Sin tener en cuenta la fila o columna satisfecha). Regrese a los puntos 3, 4 y 5 sucesivamente, hasta que todas las casillas queden asignadas.Empleando el mtodo de costo mnimo. ORIGENDESTINOSOFERTA


Per88106101900020000

200017000

Brasil0861214280001700060000

11000110006000

Argentina12108141225000

700018000

DEMANDA11000013000110000700001700002400018000072000


A22000816000

A4170006102000

B11100000

B211000888000

B560001484000

C37000856000

C51800012216000

562000

VARIABLES BASICAS

XA22000

XA417000

XB111000

XB211000

XB56000

XC37000

XC518000

VARIABLES NO BASICAS

XA10

XA30

XA50

XB30

XB40

XC10

XC20

XC40

MTODO DE VOGEL

Este mtodo es heurstico y suele producir una mejor solucin inicial que los mtodos anteriores. De hecho, suele producir una solucin inicial ptima, o prxima al nivel ptimo.

CARACTERSTICAS Es ms elaborado que los anteriores, ms tcnico y dispendioso. Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al ptimo.

ALGORITMO1. Construir una tabla de disponibilidades (ofertas), requerimientos (demanda) y costos. 1. Calcular la diferencia entre el costo ms pequeo y el segundo costo ms pequeo, para cada fila y para cada columna. 1. Escoger entre las filas y columnas, la que tenga la mayor diferencia (en caso de empate, decida arbitrariamente). 1. Asigne lo mximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna escogida en el punto 3. 1. Asigne cero (0) a las otras casillas de la fila o columna donde la disponibilidad el requerimiento quede satisfecho. 1. Repita los pasos del 2 al 5, sin tener en cuenta la(s) fila(s) y/o columna(s) satisfechas, hasta que todas las casillas queden asignadas.

ORIGENDESTINOSOFERTAPENALIDAD


Per8810610190002000021, 22, 23, 24

02000170000

Brasil0861214280001700010000061, 22,23, 64

1100010000700000

Argentina12108141225000100021,22,23, 24, 25,106

010000024000

DEMANDA110000130003000100007000017000024000072000

PENALIDAD8121, 22,103216121, 22,123


A22000816000

A4170006102000

B11100000

B210000880000

B37000642000

C210001010000

C52400012288000

538000

ALGORITMO DE MODELO DE TRANSPORTE

EJERCICIO DE APLICACIN 1:

La compaa de transportes SAN MIGUEL S.A. transporta grano desde tres silos hasta 3 molinos. Las ofertas (en camionadas), la demanda (tambin en camionadas) y los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas rutas se resume en el modelo de transporte de la tabla siguiente (los costos unitarios de transporte, que se ven en la esquina superior derecha de cada celda estn en cientos de soles):MolinoOferta

1234

110

2

20

11

25

Silo 212

8

10

20

15

35

15

10

20

25

Demanda5202020

En el modelo se busca el programa de transportes entre silos y molinos que tenga costo mnimo. Eso equivale a determinar la cantidad transportada del silo i al molino j (i=1,2,3 y j=1,2,3,4).

SOLUCION:

a. Por el Mtodo de la esquina noroeste.

Al aplicarle el algoritmo anteriormente mencionado, se obtiene la solucin bsica de inicio en la tabla siguiente:

MolinoOferta

1234

1105

220

200

110

25

Silo 2120

80

1015

200

15

350

150

105

2020

25

Demanda5202020

La solucin bsica es la siguiente:

El costo del programa correspondiente es:

Conclusin: Segn el mtodo de la esquina noroeste el costo mnimo de transporte de los grano es de 690 soles.b. Por el Mtodo de costo mnimo.Al aplicarle el algoritmo anteriormente mencionado, se obtiene la solucin bsica de inicio en la tabla siguiente:MolinoOferta

1234

1100

220

200

115

25

Silo 2120

80

100

2015

15

355

150

1020

200

25

Demanda5202020



Conclusin: Segn el mtodo del costo mnimo, el menor costo para transporte de grano que se debe realizar es de 620 soles.c. Por el Mtodo de Vogel.

Al aplicarle el algoritmo anteriormente mencionado, se obtiene la solucin bsica de inicio en la tabla siguiente:MolinoOferta

1234

1100

220

200

115

25

Silo 2120

80

100

2015

15

355

150

1020

200

25

Demanda5202020



Conclusin: Segn el mtodo de Vogel, el menor costo para transporte de grano que se debe realizar es de 620 soles.Conclusin Final: De los resultados anteriores podemos decir que en este caso, los algoritmos de costo mnimo y Vogel dan el mismo resultado, y a la vez, este resultado es menor al obtenido con el mtodo de la esquina noroeste; lo cual indica que el mtodo mas optimo es el mtodo Vogel (segn muchos autores).

MODELO DE TRANSBORDO

En los problemas de trasbordo las unidades pueden pasar por lugares intermedios antes de llegar a su destino. Clases de Nodos Nodos origen puro: Solo actan como origen o envan.

Nodos destino puro: Solo actan como destino o reciben.

Nodos intermedios: Actan como origen y destino a la vez, o reciben y envan. EJEMPLO 1:

Una fbrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver.

La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al da, la de Denver hasta 200 unidades al da. Los productos son enviados por avin a Los ngeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales.

1UNJFSC - FIISI - E.A.P. INGENIERA INFORMTICA CICLO VI

2UNJFSC - FIISI - E.A.P. INGENIERA INFORMTICA CICLO VI

INVESTIGACIN OPERATIVA I 9 de diciembre de 2012

INVESTIGACIN OPERATIVA I 9 de diciembre de 2012

Intermedios3.- New. York.1.- Memphis5.- Los ngeles.2.- Denver4.- Chicago6.- Boston(150)(200)(130)(130)X16 = 28X15 = 25X13 = 8X35 = 16X46 = 16X26 = 25X25 =26 X14 = 13 X36 = 17X23 =15 X45 = 14X34 = 6X43 = 6demandaX24 = 12Oferta

Memphis y Denver son ciudades origen. LA y Boston son ciudades dest1 +3.-6ino. NY y Chicago son ciudades de trasbordo: son tanto origen como destino. Como la oferta es superior a la demanda incluimos un demandante ficticio con costos nulos. La mxima cantidad que puede pasar (entrar o salir) por cada punto de trasbordo es igual a la suma de las ofertas.

Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:Tabla de Costos de Transbordo y Transporte.

La fbrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de envo. En este problema, Memphis y Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos de transbordo. Los ngeles y Boston son puntos de demanda de 130 unidades cada uno.

Restricciones de:

Oferta1. X13 + X14 + X15 + X16

io1

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