io 3ra modelo de transporte

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

UNIVERSIDAD NACIONAL

“SAN AGUSTIN” - AREQUIPA

Augusto JAVES SANCHEZ

Lic. Administración

Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones

Doctorado en Administración

EXPOSITOR

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http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html

3

Modelo de Transporte

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http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html

ALGORITMO DE TRANSPORTE

De Hacia

Columbia

TOTAL

TOTAL

46

46

25

St. Louis Denver Los Ángeles

Indianápolis

Phoenix

Nueva York

Atlanta

35 36 60

55 30 25 25

40 50 80 90

30 40 66 75

15

6

14

11

10 12 15 9

TEXTO BASE:

4. IO - Transporte

ORGANIZACION

RESULTADOS

ORGANIZACION PARA LA CONVERSION

• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO

• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES

• MEDICION DEL TRABAJO

• ADMINISTRACION DE PROYECTOS

SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO

Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert

PLANIFICACION

INSUMOS

M

PLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:

• ESTRATEGIAS DE OPERACION

• PREDICCION (PRONOSTICOS)

• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS

• CAPACIDAD DE OPERACIONES

• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES

• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA

PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION • PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA

• PROGRAMACION OPERACIONES

SEGUIMIENTO PRODUCTOS

CONTROL • CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION

• CONTROL DE INVENTARIO

• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES

• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD

• CONTROL DE CALIDAD

CONTROL

RETROALIMENTACION

PROCESO de CONVERSION

MODELOS

MODELOS

MODELOS

M

• Productos

• Servicios

• Información

M

ORGANIZACION.ppt

RESULTADOS.ppt

PLANEACION.ppt

INSUMOS.ppt

ORGANIZACION.ppt

CONTROL.ppt

PROCESOS.ppt

MODELOS.ppt

MODELOS.ppt

MODELOS.ppt

MODELO DE TRANSPORTE

Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras

de determinados destinos (D) receptores, donde

hay que transportar cierta cantidad de recursos

productivos (naturales, intermedios o finales)

desde las fuentes hacia los destinos

FUENTES

Oferta

Capacidad de producción

Proveedores

Plantas de producción

Almacenes mayoristas

DESTINOS

Demanda

Capacidad de venta

Plantas de producción

Almacenes mayoristas

Tiendas minoristas


Se desea determinar la distribución óptima de los

recursos productivos, lo que implica establecer la

combinación de distribución de fuentes a

destinos, que tenga el mínimo costo asociado

F1

F3

F2

Fn

D1

D2

D3

Dm


Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino

Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex

F.O. : Mín Z = n m

i=1 j=1

Cij Xij

• Cij : Costo unitario de

transporte desde la

fuente i hasta el destino j

• Xij : Unidades a trans-

portar desde la fuente i

hasta el destino j

i j Cij


F.O. : Mín Z = n m

i=1 j=1

Cij Xij i j Cij

s.a. :

i=1

j=1

n

m

Xij

Xij

=

=

Qdemandada

Qofrecida

Xij > 0

A

i,j


Desde Hacia

F1

F2

F3

F4

D1 D2 D3 D4

TOTAL

TOTAL

X1j

X2j

X3j

X4j

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

Cij Xij


Desde Hacia

F1

F2

F3

F4

D1 D2 D3 D4

TOTAL

TOTAL

X1j

X2j

X3j

X4j

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

X23

C21

C11

C31

C41

C12

C22

C32

C42 C43

C33

C23

C13 C14

C24

C34

C44

X33

X43 X44 X42 X41

X34 X32 X31

X24 X22 X21

X14 X13 X12 X11

Xij Cij C23

X23 6

175

Significa que el costo unitario de transporte

desde la fuente 2 al destino 3 es de $6

A su vez, el número de unidades a transportar

desde la fuente 2 al destino 3 es de 175

SIGNIFICADO DE CADA CUADRO


Es el valor total producido en los

orígenes (Qofrecida) y es también

el valor total demandado por los

destinos (Qdemandada)

Qdemandada

Qofrecida

=

=

Xim Xi3 Xi2 Xi1

+

+ + + +

+ + +

.......

....... Xnj X3j X2j X1j

Necesariamente: Qdemandada Qofrecida =


Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa

que falta en el cuadro una columna o fila, la que

representa las holguras existentes

=

=

Si Qdemandada Qofrecida

Holguras

Exceso de

Oferta

Exceso de

Demanda

Qdemandada Qofrecida

Qdemandada Qofrecida >

<

Holguras

VARIABLES DE HOLGURA

Cuando no se cumple la condición necesaria del

modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada),

se incorporan variables de holgura (o exceso), a

través de la creación una columna adicional o

una fila adicional en el cuadro

Se asume que el costo unitario de

transporte para la columna adicional o fila

adicional es cero, ya que las variables de

holgura o exceso no forman parte de la

función objetivo de optimización

VARIABLES DE HOLGURA

Dependiendo si se trata de un exceso de oferta

(Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de

demanda (Qdemandada > Qofrecida), las

variables de holgura (o exceso) que se añaden, a

través de la creación una columna adicional o

una fila adicional en el cuadro, representan

diferentes casos

Cada caso de variables de holgura o

exceso, con su posible columna adicional

o fila adicional, se identifica a partir del

contexto de cada situación particular

EXCESO DE OFERTA

Qofrecida Qdemandada Capacidad

Ociosa > Si

Se crea una columna adicional en el cuadro, que

representa a las unidades a no producir

Qofrecida Qdemandada Acumulación

de Inventario > Si

Se crea una columna adicional en el cuadro, que

corresponde a la acumulación de inventario

Casos Posibles:

Casos Posibles:

EXCESO DE DEMANDA

Si Qofrecida Qdemandada < Desacumulación

de Inventario

Se crea una fila adicional en el cuadro, que

corresponde a la desacumulación de inventario

Si Qofrecida Qdemandada < Demanda No

Satisfecha


corresponde a la demanda no satisfecha

Qofrecida Qdemandada Producción en

Turno Extra < Si


corresponde a la producción en turno extra

(sobretiempo)

Casos Posibles:

EXCESO DE DEMANDA

EJEMPLO

Una compañía manufacturera dispone de 3

fábricas con diferentes capacidades y costos de

transporte para el destino de sus 4 almacenes.

La información pertinente se muestra en la tabla:

Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad

Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)

1 23 18 21 25 650

2 21 24 23 18 600

3 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Para resolver se arma un cuadro simplex

METODOLOGIA DEL SIMPLEX

1) Se arma el tableau inicial

5) Se realizan tantas iteraciones como sean

necesarias hasta encontrar la solución óptima

4) Si no es la solución óptima, se itera hallando

una nueva solución factible, para verificar si la

nueva solución factible es o no es óptima

3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima

2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible

METODOS PARA LOGRAR LA

1ª SOLUCION FACTIBLE

• Esquina Nor-Oeste

• Vogel

Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad

inmediata, solo garantizan la factibilidad

Iteraciones: Si la solución básica no es óptima,

se deben reasignar recursos, mediante el criterio

de la minimización de los costos, lo que implica

realizar iteraciones al cuadro

22

PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

23

PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

METODO ESQUINA NOR-OESTE

Asigna el máximo número de unidades a

transportar en la celda ubicada en la esquina nor-

oeste del cuadro tableau

Luego, se asigna el máximo número de unidades

a transportar en la celda aledaña correspondiente,

según las restricciones de demanda en los

destinos y las restricciones de oferta en las

fuentes


Si en principio, la asignación de la esquina nor-

oeste es una restricción de demanda, entonces no

es posible asignar hacia abajo en el tableau y se

asigna hacia el lado

Mientras que, si la asignación inicial es una

restricción de oferta, entonces no es posible

asignar hacia el lado en el tableau y se asigna

hacia abajo

Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau,

de acuerdo al criterio recientemente descrito


En general:

Si no se puede asignar más

por restricción de demanda

Si no se puede asignar más

por restricción de oferta

Se completa

hacia el lado

Se completa

hacia abajo

EJEMPLO DE TRANSPORTE

Desde Hacia

Planta 1

Planta 3

Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta

Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300 350

100 500

Inven.

0

600

600 500 300 450 1850 1950 100

100

Qofrecida Qdemandada > Como Acumulación

de Inventario

18 21 27 23 0

21 24 23 18 0

DIMENSION ESPACIO VECTORIAL

El problema de transporte es una aplicación de la

programación lineal, para el caso específico de

variables de decisión bidimensionales (Xij, con

dos subíndices: ij)

La programación lineal se concibe y comprende,

a partir de conceptos geométricos y un sistema

de ecuaciones lineales (que en el caso del

modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)

Los conceptos geométricos implican el uso de

espacios vectoriales, con determinada dimensión


La dimensión es el rango del espacio vectorial, que

representa la cantidad de componentes requerida

en la base o vector de variables básicas ( XJ )

Si se cumple con el rango establecido, entonces el

conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema

cumple la condición de linealidad: o sea, todas las

restricciones son linealmente independientes (l.i.)

La condición de linealidad o restricciones

linealmente independientes, es condición

ineludible para aplicar la metodología del simplex


Programación Lineal con

variables de decisión

unidimensionales (caso Xi)

Programación Lineal con

variables de decisión

bidimensionales (caso Xij)

Rango = m

Rango = m + n - 1

Donde m es el número de restricciones l.i.

Donde: • m es el número de columnas del tableau

• n es el número de filas del tableau

Existe cuando en la solución básica hay al menos

una variable cuyo valor es igual a cero

Cuando la solución es óptima y a la vez

degenerada, entonces hay múltiples soluciones

óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones

La solución degenerada no

implica dificultad para el

problema de programación

lineal, es simplemente un

caso particular

SOLUCION DEGENERADA

Número de Variables Básicas m + n - 1 =

m: Número de columnas en el tableau (destinos)

n : Número de filas en el tableau (fuentes)

Si Variables

básicas < ( m + n - 1 ) Existe

solución

degenerada

SOLUCION DEGENERADA

SOLUCION DEGENERADA

Para completar una base con solución

degenerada, se ingresan tantos valores ceros

como sean necesarios para completar el rango

(dimensión) requerido por el espacio vectorial

Cuando se ingresa uno o más valores ceros,

no se hace en cualquiera celda vacía al azar

El o los valores ceros, deben

ingresarse tal que se

disponga una base

linealmente independiente (l.i.)


( m + n - 1 ) = 7

Sin embargo, en la asignación inicial del método

de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables

básicas (celdas ocupadas)

Por lo tanto, existe una solución degenerada.

Luego, debe ingresarse un valor cero para

completar la base de iteración

Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en

otras celdas vacías


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300 350

100 500

Inven.

0

600

600 500 300 450 1950 1950 100

100 0

XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

BASE LINEALMENTE

INDEPENDIENTE (L.I.)

Una base es linealmente independiente cuando

permite realizar la verificación de la condición de

optimalidad para cada variable no básica (celda

vacía en el tableau)

Aquello acontece cuando se forma un único

lazo alrededor de cada una de las variables

no básicas, determinando para cada una de

éstas, si realizan o no realizan aporte a la

minimización de costos del problema

BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA

Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando

los precios sombra de cada una de las variables

no básicas (celdas vacías en el algoritmo de

transporte), para saber si es que hay algún ahorro

respecto del costo total (valor de la función

objetivo z) de la reciente iteración

Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y

toman un valor, que en general es mayor que cero

Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau

(celdas vacías) y necesariamente valen cero

VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

Permite comprobar si una solución básica factible

es o no es óptima, evaluando el precio sombra o

costo marginal asociado al transporte o envío de

una unidad en cada variable no básica o celda

desocupada en el tableau

Verificar la condición de

optimalidad se efectúa por

medio de la formación de

“lazos”, alrededor de cada

variable no básica

Lazos: Son los caminos que se forman dentro del

tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que

se cierran mediante movimientos exclusiva y

alternadamente, horizontales y verticales

Por ejemplo:

El primer vértice del lazo es una celda no

básica, la cual también es el último

vértice, cerrando el lazo. Los demás

vértices del lazo necesariamente son

variables o celdas básicas


El costo marginal referido a la verificación de la

optimalidad, se obtiene a través de los mismos

costos unitarios presentes en las celdas del lazo,

según la transferencia de unidades asignadas

que exista en cada celda del lazo:

Si la celda del lazo

recibe unidades

en la transferencia

Se suma el costo

unitario de la celda

para la verificación

Si la celda del lazo

entrega unidades

en la transferencia

Se resta el costo

unitario de la celda

para la verificación


En el ejemplo, para la celda P2A1

(planta 2 y almacén 1) se tiene:

300

100

350

Alm.1 Alm.2

Planta 1

Planta 2

+21 -24

-23 +18

CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8

Hay un Ahorro

Marginal, es el

concepto de

precio sombra


PRECIO - SOMBRA

Es cuánto varía la función objetivo respecto del

cambio en una unidad de una de sus variables

componentes

La verificación de optimalidad requiere obtener el

precio sombra de todas las celdas vacías, para lo

cual se necesita formar los lazos respectivos

Una base linealmente

independiente garantiza un

único lazo alrededor de cada

una de las variables no básicas

CONDICION DE OPTIMALIDAD

Si ij 0 , ij XJ A

> Solución óptima

La solución factible es óptima cuando no

existe posibilidad alguna de ahorro marginal,

lo que ocurre cuando todos los precios

sombra son mayores o iguales a cero

Si ij 0 ,ij XJ < Solución no

es óptima

E

CONDICION DE OPTIMALIDAD

Mientras exista al menos un precio sombra

menor que cero en las celdas no básicas de las

iteraciones del tableau, entonces su solución

factible no es óptima, por lo que entonces deben

continuarse las iteraciones

Si hay dos o más precios sombra menores a cero,

se determina que ingresa a la base la variable no

básica que origina el precio sombra más negativo

ITERACIONES

Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se

transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo

de las celdas que entregan unidades en la

transferencia, para así conservar la condición

de factibilidad Xij > 0

A

i,j

Cada vez que se realiza una iteración

(reasignación de unidades), a continuación se

necesita volver a calcular los precios sombra,

hasta verificar que se alcanza la solución óptima

CONCEPTO DE LA GRAN “M”

En caso de que no se pueda o no se desee

almacenar o asignar unidades, el método de

transporte define un costo unitario de transporte

igual a “M”, que representa un costo marginal

infinito, que en el tableau se expresa de la

siguiente manera:

Si CMg = 8 M


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23

18

21 25

650

600

700

500

Inven.

0

600

600 500 300 450 1950 1950 100

100 0

Se deben calcular todos los precios sombra

-8

300 350

100

= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8 P2A1

21 24 23 18 0

0 23 27 21


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300

Inven.

0

600

600 500 300 450 100

100 0

-8

= + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4

+4 350

100 500

P1A3

21 24 23 18 0

0 23 27 21 18


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600 500 300 450 100

100

-8

= + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5

+5 +4 350

0 600

P1A4

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23

23 18 21

21

27

25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600 500 300 450 100

0

-8

= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3

+5 +4 350

0 600 100

+3

P1INV

21 24 23 18 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600 500 300 450 100

-8

= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8

+5 +4 350

0 100

+3

600

-8

P2A4

21 24 23 18 0

0 23 27 21 18


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

300

100 500

Inven.

0

600 500 300 450 100

-8

= + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3

+5 +4 350

0 100

+3

600

-8 -3

P2INV

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

500

Inven.

0

600 500 300 450 100

= No Existe

+5 +4 350

0 100

+3

600

-8 -3

Pues no pueden asignarse

unidades desde P3A2

-8

300

100

E

P3A1

0 18 23 24 21

23 0 27 21 18


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

= No Existe

+5 +4 350

100

+3

600

-8 -3

Pues no pueden asignarse

unidades desde P3A2

-8

300

500 100

0

E E

P3A3

0 18 23 24 21

23 0 27 21 18

Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

350

100 600

-8 -8

300

500 100

0

P2A4

0 18 23 24 21

23 0 27 21 18

= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8


Revisión del lazo para la iteración correspondiente:


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

350

100

300

500

Entra XP2A4


Unidades Transferir = 100

100

0 600

y Sale XP2A2.

100

100 500

0 18 23 24 21

0 21 27 23 18


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

350

100 500

300

500

100

Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:

100

-4

-8 -1

0 +8

+5

+5

+3

21 24 23 0 18

18 21 27 23 0

Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

350

100 500

300

500

100


100

-8

21 24 23 0 18

18 21 27 23 0

P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8



Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

100 500

500

Entra XP3A1


100

Unidades Transferir = 100 y Sale XP3A2.

300 350

100 100

450 200

18 23

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

450

100 500

200

500

100


100

-12

+8 -1

+8 +16

-3

+5

-5

21 24 23 0 18

18 21 27 23 0

21

Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

450

100 500

200

500

100

100

-12

21 24 23 0 18

18 21 27 23 0

21



P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

450

100

Entra XP1A3


Unidades Transferir = 200 y Sale XP1A1.

200

100 500

100 500

200

300 300

300 300

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

450

100 300

200

300

300


300

+12

-4 -1

+8 +4

+9

+5

+7

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

23

Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

450

100 300

200

300

300

300

-4

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0

23



P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

100 300

Entra XP3A2


Transferir = 300 y Salen XP2A3 y XP3A4.

300

450 200

300 300

300

600

500 150

0

21 24 23 18 0

18 21 27 23 0


Desde Hacia

Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

18 23 21 25

650

600

700

Inven.

0

600 500 300 450 100

150

100

500

300 300


600

+8

+4 +3

+9 +3

0

Se halló la solución óptima, que es degenerada

E E E 0 18 23 24 21

18 21 27 23 0


Solución Óptima del Ejercicio:

XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)

XP1A2

XP1A3

XP2A3

XP2A4

XP3A1

XP3A2

XP3INV

= 300

= 300

= 100

= 150

= 500

= 600

= 0

Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) +

+ (300*18) + (300*21) + (0*100)

Z = Costo Total = $ 35.700

La solución no

es única, pues

es una solución

degenerada ij > 0

A

i,j XJ

EJEMPLO

Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:



1 23 18 21 25 650

2 21 24 23 18 600

3 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Considere que los costos unitarios de producción

son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3

respectivamente. Por política de la empresa, no se

permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2.

Plantee como problema de programación lineal y

encuentre la asignación óptima por método Vogel

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Cada vez que se plantea un problema

de programación lineal, se procede

cumpliendo las siguientes etapas:

1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)

2.- Definición de las variables de decisión

3.- Descripción de la función objetivo

4.- Identificación de las restricciones del problema


En un problema de transporte, las

variables de decisión contemplan

todas las combinaciones posibles de

flujos de distribución física, a transferir

desde las fuentes hacia los destinos

Resulta imprescindible definir las variables de

decisión. Si no se definen las variables de decisión,

entonces es imposible determinar qué significan las

denominaciones Xij que, a continuación, se

describen en la función objetivo y las restricciones


Las restricciones incluyen un

conjunto de restricciones de

oferta (una por cada fuente) y

otro conjunto de restricciones

de demanda (una por cada

destino), sin olvidar la

condición de no negatividad

Se define como función objetivo la minimización

de los costos de transporte asociados a la red de

distribución física


Generalmente de ambos conjuntos de restricciones

(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades

( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que

depende del contraste entre oferta total y demanda

total. Caso exceso de oferta:

Oferta

total

Demanda

total > Si

> < =

Restricciones Oferta

Restricciones Demanda <

= Situación válida tanto para acumulación

de inventario como capacidad ociosa

(unidades a no producir)

Generalmente de ambos conjuntos de restricciones

(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades

( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que

depende del contraste entre oferta total y demanda

total. Caso exceso de demanda:

Oferta

total

Oferta

total

Demanda

total

Demanda

total

<

Si

Si

> < =


Restricciones Demanda


Restricciones Demanda

< =

< > =


Situación válida para caso de demanda no satisfecha

Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra

El ejemplo considera dos categorías de costos,

por lo que se deben sumar los costos unitarios de

producción con los costos unitarios de transporte

La tabla de costos para plantear el problema de

programación lineal queda así:

INV A4 A3 A1 A2

P1 41 36 39 43 M

P2 46 49 48 43 M

P3 28 31 37 33 10


Sea Xij: Número de unidades a transportar desde


la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo

donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 }

j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3,

almacén 4 }

Función objetivo: Minimizar Z

Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +

46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +

28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4

(producción + transporte)

Para el ejemplo planteado:



1 23 18 21 25 650

2 21 24 23 18 600

3 18 21 27 23 700

Demanda 300 450 500 600

Oferta total = 1950

Demanda total = 1850 Hay un exceso de oferta

Luego, se plantean: Restricciones Oferta

Restricciones Demanda <

= • •



s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650

Restricciones de Oferta:

XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600

XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700

Restricciones de Demanda:

< < <

s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300

XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450

XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500

XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600

= = = =

Restricciones de No Negatividad: Xij 0 > , ij

A

METODO DE VOGEL

Selecciona las diferencias de ahorros más altas y

luego asigna el máximo número de recursos

productivos en la celda con el mínimo costo

unitario, según las restricciones de oferta y de

demanda

Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo

avanzado: calcula un gradiente moviéndose por

la mayor pendiente, asignando unidades en las

celdas con el menor costo marginal

Vogel es más inteligente y rápido que la esquina

noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad

Gradiente:

g(x) = z x i

z y j +

>

>

ETAPAS DEL METODO VOGEL

1) Calcular las diferencias entre los dos costos

unitarios más bajos para cada fila y para cada

columna, en el tableau

3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta

total o demanda total, respectivamente, por

efecto de la asignación reciente

2) Se escoge la mayor de las diferencias y se

ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la

celda con el menor costo unitario, asignándole el

máximo número de unidades posible

ETAPAS DEL METODO VOGEL

4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1),

recalculando las diferencias entre los dos costos

unitarios más bajos para cada fila y para cada

columna, seleccionando la mayor de tales

diferencias, para identificar en dicha máxima

diferencia la celda con el menor costo unitario y

asignar en dicha celda el máximo número de

unidades posibles, según las restricciones de

oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que

ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau

5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

Al resolver el problema de transporte, sólo se

consideran los costos diferenciales, por lo que si

bien se deben sumar los costos unitarios de

producción con los costos unitarios de transporte,

es posible reducir la tabla de costos según:

INV A4 A3 A1 A2

Como sólo interesan los costos

diferenciales, podría trabajarse

INV A1 A2 A3 A4

P1 31 26 29 33 M

P2 36 39 38 33 M

P3 18 21 27 23 0

P1 41 36 39 43 M

P2 46 49 48 43 M

P3 28 31 37 33 10



P.1

P.3

Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta

P.2

Dda

650

600

700

Inven

600 500 300 450 100

5 13

18

3

3

10 2 M

100

1ª asignación: en la celda con menor costo de la

mayor de las diferencias de mínimos costos

23 27 21 18

36 39 38 33 M

31 26 29 33 M

0


P.1

P.3


38 P.2

Dda

39

26 31

33

23 18

36

21

29

27

33

650

600

700

Inven

M

M

600 500 300 450 100

0

5

3

3

3

10 2 M

100

13

300

1ª asignación: XP3A3 = 100


.... y así se completa

sucesivamente


P.1

P.3


P.2

Dda

33

650

600

700

Inven

M

600 500 300 450 100

3

3

18

13 5 2 10 M

100

*

300

*

10

300 *

13 9 0 13

450

*

4

9

200 * 300 300

39 36

31 26 29

18 21 27

38 33 M

0 23

5

2 3


1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M

2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13






Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible,

sin embargo falta verificar la condición de optima-

lidad e iterar vía simplex si es que es necesario

Asignación

manual


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

26 31

33

18

36

21

29 33

650

600

700

Inven

M

M

600 500 300 450 100

0

100 300 300

450 200

38 39

300 300

27 23

Entra XP3A2


+12

+8 +4

-4 -1

+9 +M

+M

De acuerdo al cálculo de los precios sombra

Transferir = 300 y salen XP2A3 y XP3A4.


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

36

650

600

700

Inven

M

600 500 300 450 100

100 300

38 39

300 300

300 300

600

Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0

0


21 18 27 23 0

450 200 500 150

33

29 26 31 M 33


Planta 1

Planta 3


Planta 2

Demanda

31

18

36

21

650

600

700

Inven

M

600 500 300 450 100

0

100 300 300

150 500

38 39

600 0

27 23 +8 +3


+8 E E

Ya que ij > 0 A

i,j XJ La solución

es óptima

33

33 29 26 +13

M +M

E


Solución óptima del ejemplo:

XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)

XP1A2

XP1A3

XP2A2

XP2A4

XP3A1

XP3A2

XP3INV

= 300

= 300

= 100

= 150

= 500

= 600

= 0

Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) +

+ (300*28) + (300*31) + (100*10)

Z = Costo Total = $ 69.400

La solución no

es única, pues

es una solución

degenerada ij > 0

A

i,j XJ

(producción + transporte)

io 3ra modelo de transporte

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