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Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. Página 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
DE FELIPE CARRILLO PUERTO
“UNIDAD ACADEMICA TULUM”
CARRERA:
INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL.
MATERIA:
HABILIDADES DIRECTIVAS I.
TRABAJO:
INVESTIGACIÓN.
UNIDAD 3: TIPOS DE DISTRIBUCIONES, VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.
DOCENTE:
ING. MANUEL GILBERTO PUC LEÓN.
ALUMNOS:
JUAN FELIPE COCOM CHAN
FRANK LOPEZ SALINAS
SEMESTRE: 3
GRUPO: C
TULUM QUINTANA ROO 24 DE NOVIEMBRE DEL 2015
Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. Página 2
Índice.
Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. ....... 4
Binominal. ............................................................................................................ 4
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... 5
Gráfica. ............................................................................................................. 5
Poisson. ............................................................................................................... 6
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... 6
Gráfica. ............................................................................................................. 7
Hipergeométrica. .................................................................................................. 8
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... 9
Gráfica. ............................................................................................................. 9
Normal y logaritmo-normal. ................................................................................ 10
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... 10
Gráfica. ........................................................................................................... 11
Aproximación de la normal a la binomial. ........................................................... 13
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... 13
Gráfica. ........................................................................................................... 14
Conclusión............................................................................................................. 21
Bibliografía. ........................................................................................................... 22
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Introducción.
En el siguiente trabajo de investigación de la unidad se presentara la información
necesaria para poder comprender lo que sin los tipos de distribuciones, las
variables aleatorias y las discretas. Por mencionar algunas de estas variables
podemos mencionar las binomiales, de igual forma mencionaremos la distribución
de Poisson, en esta investigación se mencionaran ejercicios para que se pueda
tener un mejor conocimiento. Esperemos que sea de su total agrado la siguiente
información y que ayudemos a su entendimiento.
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Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas.
Binominal.
La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un
experimento que cumple las siguientes condiciones:
1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número
natural fijo.
2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la
variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles
resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente
como éxito y fracaso.
3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las
pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q
4) Las pruebas son estadísticamente independientes,
En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en la
n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar
compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable
binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos
con reemplazamiento.
La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p)
siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los
parámetros de la distribución.
La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los
incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia.
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Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.
La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:
Media = μ = n p
Varianza = σ2 = n p q
Gráfica.
Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por
ejemplo, el caso en que n = 4:
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Poisson.
Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo
determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo. El experimento
que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:
El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es
independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del
anterior. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es
proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él. La
probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del
espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en
estudio.
Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son
variables en las que se cuentan sucesos raros. La función de probabilidad de una
variable Poisson es:
El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la
variable.
Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en
casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de
definición.
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.
La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la
distribución binomial cuando n tiende a y p tiende a 0, siendo np constante (y
menor que 7); en esta situación sería difícil calcular probabilidades en una variable
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binomial y, por tanto, se utiliza una aproximación a través de una variable Poisson
con media l = n p.
La varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable
binomial.
Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson
independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias.
El aspecto de la distribución depende muchísimo de la magnitud de la media.
Como ejemplo, mostramos tres casos con λ = 0,5 (arriba a la izquierda), λ = 1,5
(arriba a la derecha) y λ = 5 (abajo) Obsérvese que la asimetría de la distribución
disminuye al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica empieza a tener un aspecto
acampanado.
Gráfica.
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Hipergeométrica.
Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que
cumple las siguientes condiciones:
1) Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto
finito de N objetos.
2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como
fracasos. X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El
espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a
K si K < n.
En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues
depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son
independientes entre sí. La función de probabilidad de la variable hipergeométrica
es:
Los parámetros de la distribución son n, N y K. Los valores de la media y la
varianza se calculan según las ecuaciones:
Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy
poco de una prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente
binomial; en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios
se vuelven prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan
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más cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K /
N.
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.
La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la
variable antes de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial
es ligeramente superior a la de la hipergeométrica.
El factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto
sea que n << N.
El aspecto de la distribución es bastante similar al de la binomial. Como ejemplo,
mostramos los casos análogos a los de las binomiales del apartado anterior (p
inicial = 0,25 y n = 4)
Gráfica.
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Normal y logaritmo-normal.
La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución de
mayor importancia en el campo de la estadística.
Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es
decir, cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud
sobre la que influyen infinitas causas de efecto infinitesimal.
Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a
la que se llama campana de Gauss.
Su función de densidad es la siguiente:
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.
Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ,
respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación
típica no deben estar correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente
ocurre en la inmensa mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a
la normal.
La curva normal cumple las siguientes propiedades:
1) El máximo de la curva coincide con la media.
2) Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).
3) La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la
media. Es convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas.
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Gráfica.
4) Sus colas son asintóticas al eje X.
Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la variable, habría que
integrar la función de densidad entre los extremos del intervalo. Por desgracia (o
por suerte), la función de densidad normal no tiene primitiva, es decir, no se puede
integrar. Por ello la única solución es referirse a tablas de la función de distribución
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de la variable (calculadas por integración numérica) Estas tablas tendrían que ser
de triple entrada (μ, σ, valor) y el asunto tendría una complejidad enorme.
Afortunadamente, cualquier que sea la variable normal, X, se puede establecer
una correspondencia de sus valores con los de otra variable con distribución
normal, media 0 y varianza 1, a la que se llama variable normal tipificada o Z. La
equivalencia entre ambas variables se obtiene mediante la ecuación:
La función de distribución de la variable normal tipificada está tabulada y,
simplemente, consultando en las tablas se pueden calcular probabilidades en
cualquier intervalo que nos interese. De forma análoga a lo pasaba con las
variables Poisson, la suma de variables normales independientes es otra normal.
Histograma de una normal idealizada Histograma de una muestra de una
variable normal
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Aproximación de la normal a la binomial.
En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos binomiales de
una forma muy aproximada con la distribución normal, esto puede llevarse a cabo
si n y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene
un valor muy cercano a ½ ; esto es,
Dónde:
x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros.
= np = media de la distribución binomial.
= = desviación estándar de la distribución binomial.
Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.
Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial,
es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular
probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más
rápida. En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades
Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente
cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está
razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuándo puede
utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí
ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.
Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno
aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta
x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,
npq
npxzpqpC)p,n,x(P xnx
xn
npq
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Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:
Gráfica.
¿Por qué vamos a sumar o a restar ½ a x?
Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable
discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente
desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de
la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la
probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la
unidad, ese es el porqué del ½.
Ejemplos:
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la
sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad,
¿Cuál es la probabilidad de que?:
A) Al menos 30 sobrevivan
B) Más de 46 sobrevivan
C) Menos de 50 no sobrevivan?
)/x(z
21
= 60 X = 65
X2 = 65.5
X1 = 64.5
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Solución:
a)
n = 100
p = p(paciente se recupere) = 0.40
q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60
= np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen
= = pacientes que se recuperan
x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan
x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan
P (z = -2.14) =0.4838
P (x 30) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838
npq 8994600400100 .).)(.(
142143328994
40529
8994
40213021..
.
.
.
)/()/x(z
= 40 X = 29.5
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P (z = 1.33) = 0.4082
P (x 46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918
n = 100
p = P (paciente no sobreviva) = 0.60
q = P (paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40
Pacientes que no se recuperan
Pacientes que no se recuperan
x = variable que nos define el número de pacientes que no sobreviven
x = 0, 1, 2,…, 100
3318994
40546
8994
402146
8994
4021.
.
.
.
)/(
.
)/x(z
60600100 ).)((np
8994400600100 .).)(.(npq
= 40 X = 46.5
= 60 X = 49.5
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P (z = -2.14) = 0.4838
P (x 50) = 0.5 – P (z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162
Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles
respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que
al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas
acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?
Solución:
n = 80
p = P (dar una contestación correcta) = 0.25
q = P (dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75
Preguntas contestadas correctamente
Preguntas contestadas correctamente
x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80
, P (z1 = 1.16) = 0.377
1428994
60549
8994
602150.
.
.
.
)/(z
2025080 .xnp
8729375025080 .).).)((npq
1611619187293
2021252111 ..
.
)/()/x(z
= 20 X1 = 24.5
X2 = 30.5
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, P (z2 = 2.71) = 0.4966
P (25 x 30) = P (z2) – P (z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196
Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos
manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b)
entre 342 y 364 productos sean defectuosos?, c)exactamente 354 productos sean
defectuosos?
Solución:
a)n = 1000
p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35
q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65
Productos defectuosos
15.0831 productos defectuosos
x = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,...,
1000
7127111287293
2021302122 ..
.
)/()/x(z
3503501000 ).(np
).(.)((npq 6503501000
= 350 X = 353.5
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, P (z = 0.23) = 0.091
p(x 354) = 0.5 + p(z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091
b)
, p(z1= - 0.56) = 0.2123
0.96, P (z2= 0.96) = 0.3315
P (342 x 364) = p(z1) + p(z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438
c)
23023200083115
3502135421354..
.
)/()/(z
56056350083115
350213421 ..
.
)/(z
96130083115
35021364213642 .
.
)/()/(z
= 350 X2 = 364.5 X1 = 341.5
= 350 X1 = 353.5
X2 = 354.5
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0.23, p(z1 = 0.23) = 0.091
,
P (z2= 0.30) = 0.1179
P (x = 354) = p(z2) - p(z1) = 0.1179 – 0.091 = 0.0269
23200083115
35021354213541 .
.
)/()/(z
30029830083115
35021354213542 ..
.
)/()/(z
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Conclusión.
Después de la información presentada acerca de la unidad sobre los tipos de
distribuciones donde se nos mencionan que Toda distribución de probabilidad es
generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos: Variable
aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes
valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque
solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Variable aleatoria
continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores,
aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque
puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de
ellos. Y otros de los ejemplos o derivados de estas distribuciones son las de
binomial, la de Poisson, Hipergeométrica, por mencionar. De esta información
presentada esperemos y allá sido de su total agrado y comprensión.
Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. Página 22
Bibliografía.
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