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Introducción a la Investigación de Operaciones
Joel E. Cosme Salcedo – [email protected]
1. Introducción 2. Objetivos3. Investigación de operaciones4. Historia 5. Definiciones básicas6. Modelos de la investigación de operaciones7. Etapas de la investigación de operaciones8. Formulación del Modelo9. Validación del Modelo10. Solución Óptima11. Conclusiones12. Bibliografía
INTRODUCCION Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz,
pues los recursos cada vez son más escasos y crecen las complejidades de los sistemas generando problemas para decisiones óptimas.
En el siglo pasado las Organizaciones del mundo solo estaban constituidas por un número reducido de personas y eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama cambia radicalmente con la Primera Revolución Industrial. Como se sabe, ésta trajo consigo la energía, las maquinarias y los equipos que revolucionaron las industrias mecanizando la producción. Consecuentemente con ello vino la división o especialización del trabajo trayendo con ello las nuevas responsabilidades de finanzas, producción, mercado e investigación y desarrollo por parte de especialistas y científicos.
Investigación de Operaciones se le atribuye más a los servicios militares prestados a principios de la II Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana y Británicas hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos que contribuyeron a numerosos triunfos.
OBJETIVOSLa Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con
la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, etc. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño.
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La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas.
El objetivo de esta asignatura es que el estudiante asimile los principios que guían la resolución de problemas mediante la aplicación de las técnicas de Investigación de Operaciones. En concreto:
La construcción de modelos de decisión basados en descripciones matemáticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre.
La resolución, mediante análisis matemático o simulación, de los modelos de decisión, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo.
La realización de estudios de sensibilidad de la solución o soluciones propuestas, para evaluar su robustez frente a cambios en las condiciones de los parámetros del modelo.
Obtener una visión general sobre el concepto de sistema e identificar sus partes componentes en un sistema productivo
Atender a las expectativas que presenta el medio productivo mundial para poder ser componente clave dentro de su desarrollo.
Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares para resolver problemas en situaciones específicas.
Comprender la importancia de la Investigación de Operaciones como metodología de optimización dentro de cualquier tipo de organización.
Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación de los modelos.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
A. HISTORIA
A partir de la Revolución Industrial el mundo ha tenido un notable crecimiento en la magnitud y complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres de la Antigüedad se han desarrollado hasta llegar a las corporaciones con capitales de miles de millones de dólares de la actualidad. Podemos seguir la huella de las raíces de la investigación de operaciones muchos años atrás, cuando se hicieron los primeros intentos para utilizar un punto de vista científico en la administración de las organizaciones. Sin embargo, generalmente se atribuye el inicio de la actividad humana llamada investigación de operaciones a los servicios militares al principio de la segunda guerra mundial. Debido al tiempo de guerra, se presentó la urgente necesidad de asignar recursos escasos a las diversas operaciones militares y a las actividades de cada operación, de una manera efectiva. Como consecuencia, la administración militar británica y después la de los estados unidos destinaron a un gran número de científicos a quienes se les pidió que investigaran las operaciones militares tanto tácticas como estratégicas, éstos equipos de científicos fueron los pioneros de la investigación de operaciones y de hecho, se afirma que gracias a ellos se ganaron las batallas de Inglaterra y la del atlántico del norte, la campaña de las islas en el pacífico y así sucesivamente.
Empujada por el éxito de la investigación de operaciones en el área militar, gradualmente la industria se interesó en este nuevo campo, la explosión industrial que siguió a la guerra continuó su curso, los problemas causados por la complejidad y especialización crecientes en las organizaciones volvieron a ocupar el primer plano de interés,
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y los consultores de negocios que habían formado parte de los equipo s de investigación se dieron cuenta que básicamente éstos eran los mismos problemas pero en un contexto diferente, que habían encarado los militares, de esta manera, la investigación de operaciones empezó a aplicarse en las finanzas, la economía, la industria, los negocios y los gobiernos. En 1951 ya había dominado la Gran Bretaña y estaba en proceso de hacerlo en Los Estados Unidos de América. Actualmente es una de las herramientas más eficaces de la administración científica de las organizaciones, a nivel universal, dentro del contexto de la globalización .
Se les debe a los británicos por haber iniciado la Investigación de Operaciones y a los americanos por el rápido crecimiento de esta disciplina, también sin dejar de lado a George Datzig y sus antecesores Minkowsky, Farkas y Kantorovich, etc.
B. TOMA DE DECISIONESEl análisis de decisión proporciona una metodología racional para tomar decisiones cuando
el futuro es incierto. Permite que un gerente haga una elección óptima entre varias alternativas, tomando en cuenta el valor de adquirir datos experimentales con el fin de reducir la “incertidumbre”.
Observaremos un marco de referencia para tomar decisiones cuando:
1. No es factible la experimentación.2. La experimentación es posible.
El criterio de optimidad que se usa para seleccionar entre varias alternativas será la minimización del costo esperado. Entre los problemas que deben considerarse están los siguientes:
¿Cuál es la decisión que minimiza el costo esperado, dado el resultado de un experimento? (si en efecto se lleva a cabo un experimento). Siguiendo la política óptima.
¿cuál es el costo esperado? Si se lleva a cabo un experimento ¿valdrá la pena?;
es decir, ¿La disminución en el costo esperado será mayor que el costo del experimento? Por último.
¿Cuál es la cantidad máxima de dinero que podría gastarse con el fin de eliminar toda la “incertidumbre”?
C. DEFINICIONES BASICASNo se puede describir la IO en unas cuantas palabras, ya que es bastante complejo
debido a los cambios que sufre, pues tenemos las definiciones de :
ORSA (The Operations Research Society of America) : “La IO concierne con la decisión científica de como diseñar y operar el mejor sistema hombre – maquina, usualmente bajo condiciones de asignar recursos”
Sociedad de Investigación de Operaciones de Gran Bretaña: “La IO es la aplicación del método científico a los problemas complejos de la dirección y
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administración de grandes sistemas de hombres, maquinas, materiales y dinero en la industria, negocios, gobierno y defensa”
El Warton School (University of Pennsylvania): “La IO consiste en una aplicación del método científico, frecuentemente auxiliado por modelos y técnicas matemáticas para la solución de problemas sociales, de negocios y de decisión gubernamental”
D. MODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
1. Determinísticos I. Programación matemática
Programación lineal
Programación entera
Programación dinámica
Programación no lineal
Programación multiobjetivo
II. Modelos de transporte
III. Modelos de redes
2. ProbabilísticosI. Programación estocástica
II. Gestión de inventarios
III. Fenómenos de espera (colas)
IV. Teoría de juegos
V. Simulación
E. ETAPAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
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1. Formulación del Modelo :Una vez que nos aseguramos que la definición del problema ha sido construida de
manera específica y correcta, continuamos con la formulación del modelo. El modelo, usualmente matemático, debe ser formulado de tal manera que exprese la esencia del problema:
El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades establecidas en términos de variables, las cuales expresan la esencia del problema a resolver; las cuales son definidas en función del modelo del problema.
Después de localizar las variables en función del problema, se procede a determinar matemáticamente las dos partes que constituyen el modelo:
La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función llamada función objetivo.
Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.
2. Validación del Modelo Un modelo matemático es una idealización abstracta de un problema, lo cual
mayormente nos lleva a aproximaciones y suposiciones. Por lo que debemos cuidar que el modelo siempre sea una representación valida del problema.
La valides de un modelo requiere que exista una alta correlación entre las predicciones del modelo y la realidad; para lograr esto es importante hacer un número considerable de pruebas al modelo y caso de ser necesario, las pertinentes modificaciones. Aun cuando la validación del modelo se incluyera al final de este documento, la mayor parte de la validación del modelo se hace durante la etapa de la construcción del modelo.
3. Solución OptimaUna vez que el modelo fue probado y se le han aplicado las debidas correcciones,
está listo para comenzar a arrojar soluciones validas. Pero el verdadero objetivo y finalidad
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de la Investigación de Operaciones es encontrar la mejor solución para un determinado problema, en el caso de un problema de carácter económico seria: la función objetivo es obtener el máximo rendimiento al menor costo.
CONCLUSIONES
La IO es el procedimiento científico que está auxiliado por modelos y técnicas matemáticas, servible para diseñar y operar a los problemas complejos de la dirección y administración de grandes sistemas que forman una organización compleja en las cuales las decisiones son muy importantes y difíciles de elegir, ya que la eficacia de una decisión sobreguardará la supervivencia y desarrollo de ésta, al contrario estaría en camino hacia el fracaso.
BIBLIOGRAFIA
[1] Ing. Víctor Calle Vivanco – Investigación Operativa (Curso A Distancia de la Universidad Peruana los Andes) – Primera Edición – 2005.
[2] Raffo lecca – Investigación de Operaciones – Primera Edición – Lima-Perú – 1997
[3] www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html#introduccionSghgwdhygsd
[4] http://www.investigacion-operaciones.com
Autor:Joel E. Cosme [email protected] Peruana Los Andes
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Investigación de OperacionesMaria J [email protected]
1. Definición y Significado de Investigación de Operaciones2. Características de la Investigación de Operaciones3. Etapas de la Investigación de Operaciones
Es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata el estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar los recursos.
Es una ciencia que modela problemas complejos haciendo uso de las matemáticas y la lógica. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar los recursos.
El método más popular es el símplex (George Dantzig, 1947) dentro de la rama de programación lineal. El algoritmo símplex ha sido elegido como el mejor de los diez de mayor influencia en el desarrollo y la práctica de la ciencia y la ingeniería en el siglo XXII.
De esta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:
1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones.
Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.
3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa.
Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.
Definición y Significado de Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción, o
curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
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Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones debe visualizarse como una ciencia y como un arte.
Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuada.
Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.
En un equipo de Investigación de Operaciones es importante la habilidad adecuada en los aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la práctica.
La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio ambiente
En la Investigación de Operaciones la parte de “Investigación” se refiere a que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. La parte de “Operaciones” es por que en ella se resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una organización.
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.
Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares).
Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
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Características de la Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes.
La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.
La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución (llamada solución óptima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.
En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas, estadísticas y teoría de probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema.
La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras.
La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.
Etapas de la Investigación de Operaciones.Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:
- Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes.
- Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
- Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución al problema a partir del modelo.
- Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario.
- Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración.
- Puesta en marcha.
Programación linealProcedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema
indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales
Historia de la programación lineal
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la segunda guerra mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
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Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.
VariablesLas variables son números reales mayores o iguales a cero.
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.
Restricciones
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1:
Tipo 2:
Tipo 3:
Donde:
A = valor conocido a ser respetado estrictamente;
B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.
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Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema
Autor:Maria J
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Investigación de operacionesDarwin E. Montero [email protected]
1. Introducción2. Orígenes de la Investigación de Operaciones3. Definición y Significado de Investigación de Operaciones4. Características de la Investigación de Operaciones5. Definición de Modelos6. Definición del problema y recolección de datos7. Formulación de un modelo matemático8. Obtención de una solución a partir del modelo9. Prueba del modelo10. Preparación para la aplicación del modelo11. Implantación12. Definición de Sistemas de Producción13. Tipos de Modelos de los Sistemas de Producción
IntroducciónLos cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la
separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones.
La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.
Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes:
Definición del problema.
Construcción del modelo.
Solución del modelo.
Validación del modelo.
Implantación de los resultados finales.
Orígenes de la Investigación de OperacionesEl inicio de la Investigación de Operaciones se remonta a la época de la Segunda Guerra
Mundial en donde surgió la necesidad urgente de asignar recursos escasos a las diferentes operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma mas efectiva, es por esto, que las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y tácticos, a dichos científicos se les pidió que hicieran investigaciones sobre las operaciones militares. Todo el esfuerzo de este equipo de científicos (que fueron el primer equipo de Investigación de Operaciones) logró el triunfo de muchas batallas.
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Luego de terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.
Desde la década de 1950, se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones en la industria, los negocios y el gobierno, desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrollados al final de los años 50.
Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones.
En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones.
Definición y Significado de Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción, o
curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones debe visualizarse como una ciencia y como un arte.
Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuada.
Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.
En un equipo de Investigación de Operaciones es importante la habilidad adecuada en los aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la práctica.
La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio ambiente
En la Investigación de Operaciones la parte de “Investigación” se refiere a que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. La parte de “Operaciones” es por que en ella se resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una organización.
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Características de la Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes.
La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.
La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución (llamada solución optima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.
En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas, estadísticas y teoría de probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema.
La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras.
La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.
Definición de Modelos Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un
problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles.
Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.
El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.
Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión verdadera.
El modelo de decisión debe contener tres elementos:
Alternativas de decisión, de las cuales se hace una selección.
Restricciones, para excluir alternativas infactibles.
Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles.
Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones. (a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del
modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.
(b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de
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inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.
Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones.
Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos deterministicos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.
En la siguiente tabla se muestran los modelos de decisión según su clase de incertidumbre y su uso en las corporaciones. (D, determinista; P, probabilista; A, alto; B, bajo)
Tipo de Modelo Clase de Incertidumbre
Frecuencia de uso en corporaciones
Programación Lineal D A
Redes (Incluye PERT/CPM) D,P A
Inventarios, producción y programación D,P A
Econometría, pronóstico y simulación D,P A
Programación Entera D B
Programación Dinámica D,P B
Programación Estocástica P B
Programación No Lineal D B
Teoría de Juegos P B
Control Optimo D,P B
Líneas de Espera P B
Ecuaciones Diferenciales D B
Modelo de Hoja de Cálculo Electrónica: La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de “que si” en un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de cálculo electrónica es un modelo.
En realidad es una herramienta más que un procedimiento de solución.
Etapas de la Investigación de Operaciones.
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Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:
Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes.
Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución al problema a partir del modelo.
Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario.
Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración.
Puesta en marcha.
Definición del problema y recolección de datosLa primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo
de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
Determinar los objetivos apropiados viene a ser un aspecto muy importante en la formulación del problema. Para hacerlo, es necesario primero identificar a la persona o personas de la administración que de hecho tomarán las decisiones concernientes al sistema bajo estudio, y después escudriñar los pensamientos de estos individuos respecto a los objetivos pertinentes. (Incluir al tomador de decisiones desde el principio es esencial para obtener su apoyo al realizar el estudio.)
Es común que los equipos de Investigación de Operaciones pasen mucho tiempo recolectando los datos relevantes sobre el problema. Se necesitan muchos datos como para lograr un entendimiento exacto del problema como para proporcionar el insumo adecuado para el modelo matemático que se formulará en la siguiente etapa del estudio.
Tomará un tiempo considerable al equipo de Investigación de Operaciones recabar la ayuda de otros de otros individuos clave de la organización para recolectar todos los datos importantes. Muchas veces, el equipo de Investigación de Operaciones pasará mucho tiempo intentando mejorar la precisión de los datos y al final tendrá que trabajar con lo que pudo obtener.
Aplicación: El Departamento de Salud de New Haven, Connecticut utilizó un equipo de Investigación de Operaciones para diseñar un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del virus que causa el SIDA (HIV), y tuvo éxito en la reducción del 33% de la tasa de infección entre los clientes del programa. La parte central de este estudio fue un innovador programa de recolección de datos para obtener los insumos necesarios para los modelos matemáticos de transmisión del SIDA. Este programa barco un rastreo completo de cada aguja (y cada jeringa), con la identificación, localización y fecha de cada persona que recibía una aguja y cada persona que la regresaba durante un intercambio, junto con la prueba de si la condición de la aguja era HIV - positivo o HIV - negativo.
Formulación de un modelo matemáticoUna vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en
reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas variaciones menores sobre él, tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.
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Un paso crucial en la formulación de un modelo de Investigación de Operaciones es la construcción de la función objetivo. Esto requiere desarrollar una medida cuantitativa de la efectividad relativa a cada objetivo del tomador de decisiones identificado cuando se estaba definiendo el problema. Si en el estudio se contemplan mas de un objetivo, es necesario transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de efectividad llamada medida global de efectividad. A veces esta medida compuesta puede ser algo tangible (por ejemplo, ganancias) y corresponder a una meta mas alta de la organización, o puede ser abstracta (como “utilidad”). En este último caso la tarea para desarrollar esta medida puede ser compleja y requerir una comparación cuidadosa de los objetivos y su importancia relativa.
Aplicación: La Oficina responsable del control del agua y los servicios públicos del Gobierno de Holanda, el Rijkswaterstatt, concesionó un importante estudio de Investigación de Operaciones para guiarlo en el desarrollo de una importante política de administración del agua. La nueva política ahorro cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyo la contaminación térmica y debida a las algas. En lugar de formular un modelo matemático, este estudio de Investigación de Operaciones desarrolló un sistema integrado y comprensible de ¡50 modelos! Mas aún, para alguno de los modelos, se desarrollan versiones sencillas y complejas. La versión sencilla se usó para adquirir una visión básica incluyendo el análisis de trueques. La versión compleja se usó después en las corridas finales del análisis o cuando se deseaba mayor exactitud o más detalles en los resultados. El estudio completo de Investigación de Operaciones involucró directamente a mas de 125 personas - año de esfuerzo (mas de un tercio de ellas en la recolección de datos), creó varias docenas de programas de computación y estructuró una enorme cantidad de datos.
Obtención de una solución a partir del modeloUna vez formulado el modelo matemático para el problema bajo estudio, la siguiente etapa
para un estudio de Investigación de Operaciones consiste en desarrollar un procedimiento (por lo general basado en computadora) para derivar una solución al problema a partir de este modelo. Esta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplican uno de los algoritmos de investigación de operaciones en una computadora.
Un tema común en Investigación de Operaciones es la búsqueda de una solución óptima, es decir, la mejor. Se han desarrollado muchos procedimientos para encontrarla en cierto tipo de problemas, pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto al modelo que se está utilizando.
La meta de un estudio de Investigación de Operaciones debe ser llevada a cabo el estudio de manera óptima, independientemente de si implica o no encontrar una solución óptima para el modelo. Al reconocer este concepto, los equipos de Investigación de Operaciones en ocasiones utilizan sólo procedimientos heurísticos (es decir, procedimientos de diseño intuitivo que no garantizan una solución óptima) para encontrar una buena solución subóptima. Esto ocurre con mas frecuencia en los casos en que el tiempo o el costo que se requiere para encontrar una solución óptima para un modelo adecuado del problema son muy grandes.
Si la solución se implanta sobre la marcha, cualquier cambio en el valor de un parámetro sensible advierte de inmediato la necesidad de cambiar la solución.
El análisis posóptimo también incluye la obtención de un conjunto de soluciones que comprende una serie de aproximaciones, cada vez mejores, al curso de acción ideal. Así, las debilidades aparentes de la solución inicial se usan para sugerir mejoras al modelo, a sus datos de entrada y quizá al procedimiento de solución. Se obtiene entonces una nueva solución, y el ciclo se repite. Este proceso sigue hasta que las mejoras a soluciones sucesivas sean demasiado pequeñas para justificar su solución.
Aplicación: Considere el nuevo estudio de Investigación de Operaciones para el Rijkswaterstatt sobre la política de administración de agua en Holanda, que se introdujo en el concepto anterior. Este estudio no concluyó con la recomendación de una sola solución. Mas bien,
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se identificaron, analizaron y compararon varias alternativas atractivas. La elección final se dejo al proceso político de gobierno de Holanda que culmino con la aprobación del Parlamento. El análisis de sensibilidad jugó un papel importante en este estudio. Por ejemplo, ciertos parámetros de los modelos representaron estándares ecológicos. El análisis de sensibilidad incluyó la evaluación del impacto en los problemas de agua si los valores de estos parámetros se cambiaran de los estándares ecológicos a otros valores razonables. Se usó también para evaluar el impacto de cambios en las suposiciones de los modelos, por ejemplo, la suposición sobre el efecto de tratados internacionales futuros sobre la contaminación que pudiera llegar. También se analizaron varios escenarios (como años secos o húmedos extremosos), asignando las probabilidades adecuadas.
Prueba del modeloEl desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al
desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible.
Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.
Un enfoque mas sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es apacible, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. Al emplear alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.
Aplicación: En un estudio de Investigación de Operaciones para IBM se realizo con el fin de integrar su red nacional de inventarios de refacciones para mejorar el servicio a los clientes, al mismo tiempo que reducir el valor de los inventarios de IBM en mas de 250 millones de dólares y ahorrar otros 20 millones de dólares anuales a través del mejoramiento de la eficiencia operacional. Un aspecto en particular interesante de la etapa de validación del modelo en este estudio fue la manera en que se incorporaron el proceso de prueba los usuarios futuros del sistema de inventarios. Debido a que estos usuarios futuros (los administradores de IBM en las áreas funcionales responsables de la implantación del sistema de inventarios) dudaban del sistema que se estaba desarrollando, se asignaron representantes a un equipo de usuarios que tendría la función de asesorar al equipo de Investigación de Operaciones. Una vez desarrollada la versión preliminar del nuevo sistema (basada en el sistema de inventarios de multiniveles) se lleva acabo una prueba preliminar de implantación. La extensa retroalimentación por parte del equipo de usuarios llevo a mejoras importantes en el sistema propuesto.
Preparación para la aplicación del modeloEl siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo
establecido por la administración.
Este sistema casi siempre esta diseñado para computadora. De hecho, con frecuencia se necesita un número considerable de programas integrados. La base de datos y los sistemas de información administrativos pueden proporcionar entrada actualizada para el modelo cada vez que se use, en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (de interacción con el usuario). Después de aplicar un procedimiento de solución (otro programa) al modelo, puede ser que los programas adicionales maneje la implantación de los resultados de manera automática. En otros casos se instala un sistema interactivo de computadora llamado sistema de soporte de decisiones, para ayudar a la gerencia a usar datos y modelos para apoyar (no para sustituir) su toma de decisiones cuando lo necesiten. Otro programa puede generar informes gerenciales (en el lenguaje administrativo) que interpretan la salida del modelo y sus implicaciones en la práctica.
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Aplicación: Un sistema de computo grande para aplicar un modelo a las operaciones de control de una red nacional. Este sistema, llamado SYSNET, fue desarrollado como resultado de un estudio de Investigación de Operaciones realizado para la Yellow Freight System, Inc. Esta compañía maneja anualmente mas 15 millones de envíos de mensajería a través de una red de 630 terminales en todo estados Unidos. SYSNET se usa tanto para optimizar tanto para optimizar las rutas de los envíos como el diseño de la red . Debido al que sistema requiere mucha información sobre los flujos y pronósticos de carga, los costos de transporte y manejo, etc.; una parte importante del estudio de Investigación de Operaciones esta dedicada a la integración de SYSNET al sistema de información administrativo de la corporación. Esta integración permitió la integración periódica de la entrada al modelo. La implantación de SYSNET dio como resultado el ahorro anual de alrededor de 17.3 millones de dólares además de un mejor servicio a los clientes.
ImplantaciónUna vez desarrollado un sistema para aplicar un modelo, la última etapa de un estudio de
Investigación de Operaciones es implementarlo siguiendo lo establecido por la administración.
La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de Investigación de Operaciones da una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. Enseguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de Investigación de Operaciones supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.
Aplicación: Este ultimo punto sobre la documentación de un estudio Investigación de Operaciones se ilustra con el caso de la política nacional de administración del agua de Rijkswaterstatt en Holanda. La administración deseaba documentación más extensa que lo normal, tanto para apoyar la nueva política como para utilizarla en la capacitación de nuevos analistas o al realizar nuevos estudios. Completar esta documentación requirió varios años y ¡quedo contenida en 4000 páginas a espacio sencillo encuadernadas en 21 volúmenes!
Definición de Sistemas de ProducciónLa producción es el acto intencional de producir algo útil. La definición de producción se
modifica para incluir el concepto de sistema, diciendo que u sistema de producción es el proceso especifico por medio del cual los elementos se transforman en productos útiles. Un proceso es un procedimiento organizado para lograr la conversión de insumos en resultados.
Cualquier sistema es una colección de componentes interactuantes. Cada componente podría ser un sistema en si mismo en un orden descendente de sencillez. Los sistemas se distinguen por sus objetivos; el objetivo de un sistema podría ser producir un componente que se va a ensamblar con otros componentes para alcanzar el objetivo que es un sistema mayor. Se requieren técnicas mas elaboradas para tratar con sistemas más complejos. Es una carrera de relevos entre el desarrollo de sistemas cada vez más complejos y el desarrollo de métodos más eficientes de dirección para controlarlos.
Tipos de Modelos de los Sistemas de ProducciónEl modelo físico: Los modelos, por semejanza, derivan su utilidad de un cambio en la
escala. Los patrones microscópicos pueden amplificarse para su investigación, y las enormes estructuras pueden hacerse a una escala más pequeña, hasta una magnitud que sea manipulable. Necesariamente, algunos detalles se pierden en los modelos. En las replicas físicas, esta pérdida puede ser una ventaja, cuando la consideración clave, es un factor, tal como la distancia, pero puede ser inútil un estudio si la influencia predominante se desvirtúa en la construcción del modelo.
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El modelo esquemático: Los modelos de dos dimensiones son la delicia de quienes disfrutan de las gráficas. Los aspectos gráficos son útiles para propósitos de demostración. Algunos ejemplos que se encuentran comúnmente incluyen los diagramas de la organización, diagramas de flujo del proceso y gráficas de barras. Los símbolos sobre tales diagramas pueden arreglarse fácilmente para investigar el efecto de la reorganización.
El modelo matemático: Las expresiones cuantitativas, es decir, los modelos más abstractos, generalmente son los mas útiles. Cuando un modelo matemático puede construirse para representar en forma exacta la situación de un problema, suministra una poderosa arma para el estudio; es fácil de manipular, el efecto de las variables interactuantes se aprecia claramente y, sobre todo, es un modelo preciso. Por lo general, cualquier definición debida al empleo de los modelos matemáticos se origina por algún error cometido en las suposiciones básicas y en las premisas sobre las cuales están basados.
Autor:Ing. Darwin E. Montero
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Modelación de Investigación de Operaciones. Aplicaciones de la Programación Lineal
Rafael Freites - [email protected]
1. Introducción2. Modelación y formulación3. Principales tipos de restricciones4. Construcción de modelos de programación lineal de algunos problemas sencillos5. El problema del transporte6. Problema del personal necesario7. Problemas de los patrones de corte8. Problema de mezcla de productos con función objetivo separable9. Problema del transbordo10. Programación entera
IntroducciónSe pretende que el estudio detenido del material de este capitulo, le aporte al estudiante
una visión amplia de las posibles aplicaciones de la Programación Lineal y de la metodología para construir un buen modelo lineal de los problemas que deba resolver en su ejercicio profesional.
Modelación y formulación La modelación
Es el proceso completo de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo y tiene como resultado un modelo matemático del sistema real bajo estudio. Incluye actividades como la definición del sistema y la determinación de sus fronteras, la identificación de las actividades más importantes para el logro del objetivo, es decir la conceptualización del sistema simplificado y finalmente la elaboración del modelo.
Es quizás la parte más importante de la Investigación de Operaciones y se le considera como una mezcla de arte y de ciencia. La modelación no puede enseñarse, sino motivarse, se aprende con la práctica y con la experimentación.
Puede dividirse en dos fases: Subjetiva y la objetiva. La parte subjetiva consiste en la definición del sistema supuesto o simplificado. Mientras que la objetiva es la construcción del modelo a partir del sistema simplificado.
La formulación
Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir el sistema simplificado en un modelo cuantitativo que lo describa. En esta sección ahondaremos un poco en la actividad de formulación, para lo cual supondremos que ya se realizó la étapa previa que nos permitió definir el sistema simplificado.
Debe tenerse en cuenta que en la vida profesional el estudiante si se vera afrontado a la necesidad de derivar sus propios sistemas supuestos, a partir de los problemas reales que se le presenten. El éxito obtenido dependerá de factores tales como su capacitación general, su habilidad y experiencia en la modelación y la comprensión que tenga del área particular del problema a modelar.
Una buena metodología para construir modelos matemáticos de los problemas, a partir del problema simplificado (problema supuesto), parece ser la siguiente:
1. Leer atentamente el enunciado de la situación con el fin de comprender sus principales características. Como resultado de la lectura estaremos en capacidad de realizar los dos pasos siguientes.
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2. Organizar en cuadros o tablas toda la información cuantitativa que suministra el enunciado del problema.
De esta manera será más fácil identificar, interpretar y utilizar la información.
Debe prestarse especial atención a las unidades de todos los datos utilizados.
3. Dibujar un esquema de la situación.
Este nos permitirá visualizar y comprender mejor las características del problema. En especial el diagrama es útil para llevar a cabo los tres pasos siguientes.
4. Identificar los elementos del problema.
Los elementos son las entradas (recursos), las salidas (productos) y las actividades (variables de decisión) del proceso al cual se reduce el problema. La grafica o esquema del paso tres, es de gran ayuda en esta tarea.
Las actividades son las que convierten una o más entradas en una o más salidas. La esencia del problema de P.L. es la determinación del sub conjunto de actividades que deben llevarse a cabo para optimizar el logro del objetivo.
5. Expresar el objetivo relacionado con el problema, indicando las unidades en las cuales se medirá.
Recordemos que en los problemas de programación lineal el objetivo será maximizar o minimizar alguna medida de eficiencia, que puede ser un costo, un tiempo, una probabilidad, un número de personas o de elementos, etc. En todos los casos se deben dar explícitamente las unidades de medición.
6. Definir las variables de decisión.
A cada una de las actividades que pueden realizarse se le asocia una variable que indicara el nivel o medida de su ejecución. Por ejemplo, si una actividad es fabricar el producto P3, entonces al asociarle v. gr. la variable de decisión X3, definiremos esta como el número de productos P3 que se deben fabricar.
En algunos problemas las variables de decisión se pueden tomar en más de una forma posible. Una buena guía para determinar la más conveniente es buscar que las variables correspondan a aquellas actividades que permiten medir el grado de logro de la función objetivo.
7. Formular la función del objetivo y las funciones de las restricciones del modelo matemático.
Teniendo una correcta comprensión del objetivo y definidas las variables que cuantifican las actividades que conforman el proceso, podemos escribir una función matemática que mida el logro del objetivo. Es la expresión que nos permitirá conocer la eficiencia de la decisión que se tome.
8. Formular las funciones de las restricciones
De la misma manera deben escribirse funciones para expresar las diferentes limitantes que se presentan en el proceso, ya sea en lo referente a valores permitidos para las variables, disponibilidad de recursos, producción total máxima o mínima y muchas otras.
Principales tipos de restriccionesAunque para la infinidad de problemas que pueden modelarse para ser resueltos mediante
la Programación Lineal se presentan muy diferentes restricciones, podemos decir que las limitantes de un modelo de P.L. se agrupan en seis tipos principales, que son:
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Restricciones de capacidad: Relacionadas con los recursos de infraestructura del sistema, como son las horas de mano de obra, de máquina, el espacio, etc.
Restricciones de entradas: Limitan el valor de las variables debido a la disponibilidad de recursos como: materia prima, dinero, etc.
Restricciones de mercado: Son reflejo de los valores máximos o mínimos en las ventas o en el uso del producto o en el nivel de la actividad a realizar.
Restricciones de composición: Son expresiones de las mezclas de los ingredientes, que definen usualmente la calidad de los productos o resultados.
Restricciones de balance de materiales: Expresan las salidas de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio en el proceso.
Restricciones internas: Son las que se escriben para definir el valor de una variable que surge en la formulación del problema, no siendo variable de decisión, sino una variable auxiliar creada para hacer más expedita la construcción del modelo.
Restricciones por políticas administrativas: No hacen parte de la tecnología del problema, sino que obedecen a decisiones administrativas, como por ejemplo no invertir más de cierta cantidad de dinero en alguna opción.
Nuevamente se recalca la importancia de tener muy claras las unidades de los datos que se usarán. Esta consideración nos permitirá controlar la homogeneidad en las unidades de los términos de la función del objetivo y en las de las funciones de las restricciones.
En especial debe constatarse que las unidades resultantes al evaluar la expresión del lado izquierdo de una restricción, coincidan con las unidades del lado derecho de la misma. Obviamente cuando un modelo tiene varias restricciones de un mismo tipo, basta con verificar la consistencia en una de ellas.
Construcción de modelos de programación lineal de algunos problemas sencillosComo se dijo la programación lineal es una técnica ampliamente utilizada para la
búsqueda de la solución óptima a problemas de innumerables disciplinas en muchos campos de la actividad humana.
En este capítulo se presentan algunas aplicaciones sencillas. En el siguiente estudiaremos otras aplicaciones que exigen un poco más de análisis y de conocimiento del área respectiva.
APLICACIONES EN PRODUCCIÓNMezcla de producción:
El problema consiste entonces en determinar la cantidad Xj a producir de cada uno de los artículos que compiten por el uso de los recursos, de tal forma que se obtenga un máximo de producción o un máximo de beneficio, o un mínimo de costo u otro objetivo especial, en un periodo determinado de producción
Ilustremos este tipo de problemas con dos ejemplos sencillos:
Ejemplo N° 1
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La compañía desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los artículos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la cantidad vendida.
Construcción del modelo:Siguiendo la metodología propuesta en este capitulo, una vez comprendida la situación
que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su utilización para construir el modelo.
Un bosquejo de la situación puede ser el que se muestra en la siguiente gráfica, en la cual se observa que los elementos claves del problema son las tres materias primas y los dos tipos de artículos, mientras que el objetivo es maximizar la utilidad. De esta manera aparece claro que el objetivo se medirá en pesos / periodo.
De igual forma salta a la vista que las actividades alternativas son, como lo dice el enunciado, producir artículos tipo 1 y producir artículos tipo 2. Téngase en cuenta que las actividades no son excluyentes sino que pueden darse simultáneamente a determinados niveles; desde llevarse a cabo una sola de ellas, hasta ejecutarse ambas en cierta combinación. Todo ello depende de la relación entre su contribución al objetivo y a su consumo de las materias primas.
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Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo cada actividad.
Por ello definimos las variables así:
X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.
X2 : cantidad de artículos tipo 2 a fabricar en el período.
Una vez definidas las variables de decisión y comprendido el objetivo del problema, el modelo se plantea así:
Función del objetivo
Utilidad total = 400X1+ 300X2 $/periodo
Limitantes o restricciones en el logro del objetivo
La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible.
Los valores de todas las variables deben ser mayores o iguales a cero
(Condición de no negatividad de las variables)
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X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:
Minimizar Utilidad total = 400X1+ 300X2 Sujeta a:
Con X1, X2 ≥ 0
Mas con el propósito de ilustrar la manera de verificar la compatibilidad de unidades, que con el de constatar la veracidad del modelo, pues este es muy elemental, vamos a analizar un análisis bidimensional de las funciones.
En la función objetivo:
400 ( $ / unidad de P1) * X1 ( unidades de P1 / período)
+ 300 ( $ / unidad de P2) * X2 ( unidades de P2 / período) = ( $ / período)
Se verifica que son las mismas unidades de la función objetivo.
En las restricciones analicemos únicamente para el consumo de la materia prima A, pues para las otras es similar.
1(libra de A/unidad de P1) * X1 (unidades de P1/periodo)
+ 1(libra de A/unidad de P2) * X2 (unidades de P2/periodo) = (libras de A/periodo)
Que coinciden con las unidades del miembro derecho de la primera desigualdad.
(150 lb. de A/periodo)
Adviértase que la condición de no negatividad de las variables, tiene sentido lógico en este modelo, ya que no se puede fabricar una cantidad negativa de alguno de los tipos del artículo.
Luego evaluaremos problemas en los cuales se puede presentar el caso de que una o mas variables puedan tomar valores entre menos infinito y más infinito o incluso que algunas variables deban tomar valores negativos o cero. En estos casos debemos efectuar los ajustes necesarios en el modelo para que todas las variables estén condicionadas a ser no negativas, ya que esta es una condición del algoritmo utilizado para la solución de los modelos de P.L.
Por este motivo a la condición de no negatividad de las variables se le llama en muchos casos condición técnica (de no negatividad).
Debemos interpretar también, la parte del enunciado referente a que la empresa supone que vende todos los artículos producidos y que la utilidad permanece constante. La primera parte nos indica que no hay límites en cuanto al número de artículos de cada tipo a producir, excepto los inherentes a la disponibilidad de los recursos productivos.
La segunda parte nos permite considerar la proporcionalidad entre la cantidad de artículos y la utilidad total por ventas de cada tipo de artículo.
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En algunas situaciones de mercado ocurre que hay límites en las ventas máximas o mínimas de un determinado tipo de artículo, lo cual debe reflejarse en el modelo como una restricción en el valor de la variable correspondiente a la actividad.
Por ejemplo si conocemos que la demanda máxima del artículo 1 es de 30 unidades, debemos incluir en problema la condición de que no se produzcan más de 30 unidades de este articulo, ya que la producción adicional no tendría comprador, generando entonces un inventario en lugar de contribuir a la utilidad total. Igualmente si tenemos una demanda comprometida de 15 unidades del artículo 2, la cual deseamos satisfacer, debemos agregar al modelo una restricción expresando que el número de unidades del articulo 2 debe ser al menos 15.
Con la dos consideraciones anteriores, el modelo debe tener estas otras dos restricciones
X1 ≤ 30
X2 ≥ 15
Por otro lado en algunas condiciones de mercado el precio unitario de venta de los artículos se “quiebra”, o sea se disminuye en alguna cantidad cuando el número de artículos excede cierto valor. Por ejemplo si X3 es la cantidad comprada de un articulo cuyo precio unitario es de $10 cuando 0≤ X3 ≤ 100; pero que rebaja a $7 cuando 101≤ X3 ≤ 250 y rebaja de nuevo a $ 6 cuando X3 ≥ 251; en este caso no se cumple la condición de proporcionalidad en la función del objetivo ya que no tenemos un coeficiente único para multiplicar por la cantidad comprada para obtener el costo de compra de las X3 unidades. El coeficiente depende del intervalo en el cual se encuentre el valor de X3. En algunos casos podemos efectuar promedios de los valores de los parámetros pertinentes y en otros se puede plantear el modelo de la forma de programación lineal separable, como lo aprenderemos en un ejemplo posterior.
Ejemplo N° 2.
El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $140.
Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $400, $420 y $500, la unidad.
Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en la siguiente tabla:
Minutos de operación por unidad
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La compañía necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar en una hora, para obtener la máxima utilidad.
Construcción del modelo:Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, así:
El esquema del proceso puede ser el siguiente:
Los elementos son la materia prima, las tres operaciones de proceso y los tres artículos.
Determinar los elementos del problema es de gran ayuda para la elaboración de la función objetivo y las funciones de las tres restricciones.
El objetivo será maximizar la utilidad resultante de la producción en una hora. Esta utilidad será la diferencia entre el ingreso por ventas y los gastos por materia prima y operaciones en las máquinas.
Calculemos las utilidades netas, así:
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Las variables a utilizar se definen como:
Las restricciones se refieren a que una máquina no puede utilizarse durante una hora por un tiempo total mayor que la hora. Es decir, el tiempo que una máquina dedique a la producción del artículo 1, más el que dedique al artículo 2 más el dedicado al artículo 3, no puede exceder a una hora de capacidad, pues ese es el período de tiempo que se tomó como referencia.
Programación de la producción Este es una de las áreas de la Programación Lineal más rica en aplicaciones. Un
problema de programación de la producción puede verse como un problema de mezcla de producción para varios periodos hacia el futuro. Se quieren determinar los niveles de producción que permitirán a la compañía obtener el mínimo costo (o la máxima ganancia), cumpliendo con los requerimientos de las limitaciones en mano de obra, maquinaria, materiales, espacio de almacenamiento, requisito de demandas, etc.
Los problemas de Programación de Producción tienen naturaleza recurrente, es decir que se presentan un periodo tras otro, sólo que con algunas variaciones en ciertos datos, como por ejemplo en las demandas, o en las disponibilidades de algunos recursos. Por este motivo los modelos de P.L. se usan extensivamente en este campo, pues una vez que un modelo fue
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resuelto para un periodo determinado, basta con repetir su solución para los datos del nuevo periodo, para obtener recomendaciones acerca del programa óptimo de producción.
Ilustremos este tipo de aplicaciones mediante al siguiente ejemplo sencillo:
Ejemplo N° 3Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:
La capacidad mensual de producción de su planta es de 20.000 unidades. El costo unitario de producción varia cada mes, así: Enero $20, Febrero $9 y Marzo $12. La compañía estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega él último día del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades.
La empresa tiene en el inventario 50 unidades y desea tener 70 al final. El problema a resolver consiste en la determinar del programa de producción mensual que minimiza los costos totales en el trimestre.
Se supone que la producción se realiza durante todo el mes y el despacho se efectúa él último día de mes.
Construcción del modeloLa grafica que describe el problema puede ser:
Deseamos determinar el programa de producción para obtener el mínimo costo en el trimestre. Para ello definimos las variables así:
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Los problemas de este tipo también pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el siguiente grafico:
Acá las variables se definen como:
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En esta formulación no incluimos la posibilidad de contar con inventario inicial ni con inventario final, lo cual se deja como ejercicio al estudiante.
Por ejemplo, cuál sería el programa de producción si se tienen 5.000 unidades de inventario inicial y se desean 10.000 de inventario final.
Los problemas de programación de la producción también pueden resolverse en forma relativamente sencilla disponiendo los datos en una tabla, en la cual se anotan los costos de cada acción alternativa y se procede a obtener una solución aprovechando la estructura característica del proceso. El final del capitulo se resolverá este mismo problema mediante la tabla mencionada.
Composición o mezcla
.
Los problemas de mezcla ocurren en las industrias alimenticias, petroleras, siderurgicas, en la industria química en general, y muchas otras en las cuales se deben mezclar sustancias.
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Veamos el siguiente ejemplo sencillo conocido como el problema de la dieta.
Ejemplo N° 4
Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un mínimo
de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales A ,B ,C ,
respectivamente. Para prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del alimento 1 contiene
3, 1, y 1 unidades del nutriente A ,B ,C ,
respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte, una libra del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.
El granjero desea conocer cuántas libras de cada alimento necesita utilizar para nutrir a cada una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.
Construcción del modeloPara iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:
Un esquema de la situación, puede ser:
Sean XAi
: libras del alimento i que dedicaremos a la preparación de la dieta
para una vaca(i=1,2 )
.
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El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda:
Minimizar: Costo =Z=40 AX 1+20 XA 2
Sujeto a:
Composición de la dieta
Nutriente A 3 XA 1+1 XA 2≥27
(unidades de A
/vaca)
Nutriente B 1 XB1+1 XB 2≥21
(unidades de B
/vaca)
Nutriente C 1 XC 1+2XC 2≥30
(unidades de C
/vaca)
Se deja al estudiante la comprobación de la consistencia de las unidades.
Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composición o mezcla de ingredientes.
Ejemplo N° 5Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente
se vende a $3000 galón y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes aparecen a continuación:
La gasolina corriente debe contener máximo 60% deB
, mientras que la extra debe
contener mínimo 50% de A
.
El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 2 millones de galones crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al día.
La compañía espera vender a lo máximo 5 millones de galones de gasolina corriente y 1 millón de gasolina extra, cada día.
¿Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?
Construcción del modeloElaboraremos una tabla con los datos importantes acerca de las gasolinas, así:
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Un esquema de la situación puede ser:
Las variables se definen así:
SeanXij
: el número de galones de crudo i
que se dedican a producir la gasolina j (i=1,2 )
; j=(C=
corriente, E=
extra).
Debemos suponer que al mezclar por ejemplo X 11
galones de crudo 1 y X 21
galones de
crudo 2, resultaran X 11+X21
galones de gasolina 1, pues no hay pérdidas en la operación.
Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades por venta de las gasolinas, y que estas deben cumplir unos requisitos de composición, además de tener limites en la producción, debido a la demanda y limites en la disponibilidad de crudos, el modelo del problema será:
Maximizar: Z=3000 (X 11+X 21 )+3600 (X 12+X 22 )−150 (X 11+X 12 )−120 (X 21+X 22 )
Sujeto a:
Composición de gasolinas
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B
en la corriente: 0 . 40 X 11+0 . 70 X 21≤0 . 60 ( X11+X 21 )
(gal deB
en gas. corriente).
A
en la extra: 0 .60 X12+0.30 X 22≥0 .50 (X12+X22 )
(gal de A
en gas. corriente).
Disponibilidad de crudos:
X 11+X12≤2∗106 (galón de crudo 1)
X 21+X 22≤3∗106 (galón de crudo 2)
Ventas máximas (producción máxima)
X 11+X21≤5∗106 (galón de corriente)
X 12+X 22≤1∗106 (galón de extra)
Para terminar la discusión del ejercicio, deduzcamos las unidades de la restricción de composición de la gasolina corriente:
0 . 40
galón de B
/galón de crudo 1∗X11
galón de crudo 1
+ 0.70 galón de B
/galón de crudo 2∗X 21
galón de crudo 2 = galones de B
Unidades idénticas a las que se obtienen en el lado derecho, así:
0.60 galones de B/galones totales de gas corriente *( X11 galones de crudo 1+ X21 galones de crudo 2) = 0.60 galones de B/galones totales de gasolina corriente*(galones totales de gasolina corriente) = galones de B
El estudiante debe notar que en la solución del problema no hemos considerado la posibilidad de que el proceso permita separar los componentes de cada crudo, para con ellos elaborar las gasolinas. ¿Será posible realizar esto?
Se deja como ejercicio la formulación bajo este enfoque.
Aplicaciones en las finanzasEste tipo de problemas surge cuando un ejecutivo del área financiera dispone de un
capital C y tiene que elegir entre m
diferentes alternativas de inversión, cada una de las cuales tiene una rentabilidad y un riego determinados. El objetivo de este tipo de problemas es naturalmente la maximización del rendimiento o la minimización del riesgo financiero.
Las restricciones provienen comúnmente de aspectos como : capital disponible, leyes financieras, políticas de la compañía, riesgo máximo permitido, etc.
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30.000.000
Año 1 Año 2 Año 31S 3S2S
XA1 XA3XA2
XB1
XC2
XD3
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Muchas situaciones de decisión financiera se han formulado y resuelto usando diferentes técnicas de la programación matemática, pero si un problema puede formularse como un modelo de P.L., su solución se obtiene de una manera más eficiente.
A continuación discutiremos un problema simplificado que ilustra este tipo de decisiones.
Ejemplo N° 6Un inversionista dispone de $30.000.000 y desea invertirlos de tal manera que maximice
la ganancia en el periodo de tres años.
Tiene las siguientes posibilidades de inversión:
Acciones: Disponible al inicio de cada año, durante los tres próximos años. Cada peso invertido en Acciones, retorna 1.20 al siguiente año, a tiempo para reinvertir el dinero nuevamente. Puede invertir máximo $12.000.000 cada vez.
Bonos: Disponible a principio del primer año. Cada peso invertido le retorna 1.50 al cabo de dos años, a tiempo para reinvertirlos. Puede invertir un máximo de $20.000.000 en esta alternativa.
Certificados de depósito a dos años: Disponible al principio del segundo año. Cada peso invertido le retorna 1.60 dos años después. Puede invertir un máximo de $15.000.000
Dólares: Disponible al inicio del tercer año. Cada peso invertido le retorna 1.40, un año después. Puede invertir un máximo de $10.000.000
Si por las limitaciones en la cantidad invertida en las alternativas, en determinado año no se invierte todo el dinero disponible, el sobrante se deja en una cuenta de ahorros, que indica una rentabilidad del 12% anual.
Construcción del modelo:Lo primero que podemos hacer es un esquema de las posibilidades de inversión, para el
horizonte de tiempo a considerar. Como lo indica el enunciado, se desea estudiar un periodo de tres años.
En la gráfica se muestran las variables asignadas a cada actividad. Esta es una forma valida y muy ilustrativa de definir las variables que se usan:
De esta manera, las variables se definieron como:
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Xij: cantidad invertida en la alternativa i
al principio del año j; ( i=A , B ,C ,D ; j=1,2,3 )
.
El objetivo es obtener la máxima ganancia al término del tercer año, y también puede entenderse como obtener el máximo retorno total al término del mismo periodo.
Al inicio de cada año, en el momento de efectuar las inversiones, hay dos tipos de limitantes. La primera consistente en que no se puede invertir más de la cantidad disponible para ello y la segunda, derivada de la decisión administrativa de limitar las cantidades que se pueden invertir en algunas alternativas.
Considerando el análisis anterior, el modelo de P.L., es:
Maximizar: utilidad =Z=0 .2 XA 3+0 .4 XD 3+0 .6 XC 2+0 .12S3
Sujeta a:
Capacidad de inversión en cada año:
Año 1: XA 1+XB1+S1=30 .000.000
Año 2: XA 2+XC 2+S2=1. 2 XA 1+1. 12S1
Año 3: XA 3+XD3+S3=1.2 XA 2+1. 5XB 1+1. 12S2
Inversión máxima en cada alternativa:
XA 1≤12, XA 2≤12 , XA 3≤12XB 1≤20XC 2≤15XD 3≤10
con Xij¿0
Como se anotó antes, la función del objetivo pudo expresarse como:
Z=1.2 XA 3+1 .4 XD 3+1.6 XC 2+1 .12 S3
Con lo cual el modelo tendrá una solución idéntica a lo que se obtendría con la función objetiva propuesta. (Verifíquese solucionando ambos modelos).
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El problema del transporteEs una de las más conocidas aplicaciones de la Programación Lineal. Se presenta
cuando por ejemplo necesitamos tomar decisiones con respecto a las mejores rutas de
distribución de artículos desde m
centros productivos hasta n
bodegas o almacenes.
El siguiente ejemplo nos ayudara a comprender las características de este tipo de situación.
Ejemplo N° 7Una compañía embotelladora tiene plantas ubicadas en Medellín, Bogotá y Cartagena.
La capacidad de cada una de las plantas es:
La empresa surte a cuatro distribuidoras localizadas en diferentes zonas del país. La demanda esperada de cada uno de los distribuidores es la siguiente:
El costo de transportar una caja de cada planta a cada distribuidor es:
¿Cómo deben programarse los envíos desde las plantas hasta los distribuidores para tener el mínimo costo total?
Construcción del modelo:La situación puede esquematizarse como se muestra abajo, lo cual nos sugiere definir
las variables como:
Xij: cantidad de cajas enviadas de la planta i
hasta la bodega j;
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Conociendo las capacidades, las demandas esperadas y los costos, el modelo puede escribirse como:
Minimizar costo:
=100 XMCA+120 XMCU+150 XMI+210 XMR+200 XBCA+150 XBCU+200 XBI+180 XBR+300 XCCA+200 XCCU+150 XCI+130 XCR
Sujeta a:
Capacidad de las plantas
Medellín: XMCA+XMCU+XMI+XMR≤100 .000
Bogotá: XBCA+XBCU+XBI+XBR≤120.000
Cartagena: XCCA+XCCU+XCI+XCR≤100 .000
Demandas de los distribuidores:
1XMCA+XBCA+XCCA ¿50. 000
2XMCU +XBCU +XCCU ¿70 .000
3XMI+XBI+XCI ¿62 .000
4XMR+XBR+XCR ¿120.000
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con Xij≥0 .
Como el objetivo es minimizar el costo total de los envíos, es de esperarse que a cada distribuidor se le envie justamente lo que necesita, motivo por el cual todas las restricciones de demanda se cumplirán como si fueran igualdades. Por ello si las expresaremos como igualdades, la solución del modelo seria la misma.
Por otro lado debe tenerse en cuenta que cuando la demanda total es inferior a la oferta total, un problema de transporte tendría una solución en la cual se satisfacen todas las demandas sobrando capacidad en las plantas, pero cuando la demanda total es superior a la oferta total, el problema no tendría solución.
Para que este último caso tenga solución, se debe agregar al modelo una planta ficticia con capacidad igual a la que haga falta para igualar la demanda total. Esta operación se conoce como balanceo y será discutida más en detalle cuando estudiemos el algoritmo especial para resolver el problema transporte.
Problema del personal necesarioEjercicio N° 8El administrador de un peaje determinó que el número de empleados que necesita se
distribuyen durante el día así:
Cada empleado trabaja 8 horas diarias consecutivas. El administrador desea conocer el número mínimo de empleados que debe tener para cumplir con las necesidades de personal durante el día.
Construcción del modeloLa situación puede visualizarse gráficamente, de la siguiente manera:
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El problema del administrador del peaje consiste en determinar el número de empleados que deben iniciar trabajo en cada uno de los turnos, de tal forma que se cumplan los requisitos de personal en ellos, contando con el mínimo posible de empleados.
Las variables se pueden definir como:
Xi: cantidad de personas que inician un trabajo a la hora i (i=2,6 ,10 .⋯22 )
Cada empleado labora 8 horas consecutivas, entonces presta sus servicios en dos de los turnos en que se dividió el día para el estudio.
El modelo de programación lineal es:
Minimizar: Z=X 2+X 6+X12+X 14+X 18+X 22
Sujeta a:
Personal necesario en cada intervalo
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X 2+X 6≥8de 6 - 10
X 6+X10≥6de 10 - 14
X 10+X 14≥8de 14 - 18
X 14+X18≥7de 18 - 22
X 18+X 22≥5de 22 - 2
X 22+X 2≥3de 2 - 6
con X i≥0 , i
Debe aclararse que en las restricciones se pudo escribir relación de igualdad en lugar de la relación mayor o igual, pues el enunciado así lo sugiere. Se optó por considerar las desigualdades como mayor o igual, para dar más libertad en la solución del problema, ya que colocando igualdades se limita la solución a dar valores que cumplan estrictamente las igualdades, lo cual en algunos problemas (éste es uno) implica inexistencia de solución. En cambio al colocar desigualdades mayor o igual, se permite que las variables tomen valores de tal forma que se cumplan las desigualdades y como el objetivo es minimizar, es de esperarse que las variables tomarán los mínimos valores posibles, dando igualdades en todas las restricciones en que se pueda.
Se deja como ejercicio al estudiante la solución de los dos modelos, para que verifique los comentarios anteriores.
Problemas de los patrones de corteEjemplo N° 10
Una empresa produce papel en rollos de 90 cm. de ancho y 100 m. de largo, pero muchas veces recibe pedidos para despachar rollos de dimensiones menores. En este momento necesita cumplir con la siguiente orden de producción:
La compañía desea determinar la forma de cortar los rollos estándar, de tal manera que se produzca el mínimo sobrante de papel.
Elabore el modelo matemático de P.L. para este problema.
Construcción del modelo:Obviamente la solución a este problema implicara que sea necesario despachar dos o más
rollos para obtener la longitud pedida de cada uno de los anchos, ya que el rollo estándar solo mide 100 m. de largo. También aceptemos que el papel sobrante es todo rollo inferior a 25 cm.
Para entender mejor la lógica de solución del problema, determinemos todas las formas en que se puede cortar un rollo de ancho de 90 cm., para obtener anchos de 75, 35 y 25 cm.
Si tomamos como referencia un metro del rollo de ancho estándar, las posibles formas de corte son:
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Observemos que hay cuatro modalidades de corte, en cada una de las cuales se obtiene un número de franjas de los anchos necesarios, con un desperdicio determinado.
Las actividades alternativas a desarrollar son las cuatro modalidades de corte, cada una con su sobrante asociado por cada metro.
Las características de los cuatro cortes posibles, se resumen en la siguiente tabla, en donde como se dijo los datos son para cada metro de ancho de 90 cm. que se corte en cada modalidad.
Podemos definir las variables del modelo como:
Xi: número de metros del rollo estándar cortados en la modalidad i.
Sj: número de metros del ancho j, cortados en exceso sobre lo pedido (j= 1, 2, 3).
Con lo cual al modelo puede plantarse así:
Minimizar: Sobrante: 0.15X1 + 0.20X2 + 0.05X3 + 0.15X4
Sujeta a:
Cantidad necesaria de cada ancho
1X1 > 200
2X2 + 1X3 > 500
2X3+3X4 > 300
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con Xi > 0, i, Sj > 0, j
Si escribiéramos las restricciones como igualdades, puede presentarse el caso de que el problema no tenga solución factible, al ser imposible encontrar modalidades de corte que produzcan exactamente las cantidades pedidas de cada ancho.
Una alternativa para no usar las relaciones mayor o igual y en cambio utilizar relaciones de igualdad, es introducir al lado izquierdo de las restricciones las variables Sj para indicar el número de metros de ancho j, cortado en exceso sobre lo pedido.
Se pide al estudiante que escriba el modelo adecuado para representar la situación que se acaba de mencionar.
Ejemplo N° 11
Una empresa se dedica al transporte aéreo de cargas y cuenta para ello con un avión que tiene tres compartimientos: frontal, central y trasero. Las capacidades en peso y espacio para cada compartimiento son:
Por motivos técnicos, debe tenerse igual proporción de peso ocupado a capacidad en peso en cada compartimiento.
La empresa recibió el encargo de transportar la carga de cuatro clientes pudiendo aceptar cualquier fracción de ellos.
La información de peso, volumen y utilidades de las cargas es:
¿ Cómo debe programar la ocupación del avión para obtener la máxima ganancia?
Construcción del modelo:Un problema de este tipo es en realidad, similar a un problema de capacidades de peso y
volumen de los compartimientos.
Antes de construir el modelo, debemos calcular el volumen por tonelada de cada carga.
Los resultados se registran en la siguiente tabla:
Las variables de decisión serán:
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Xij; toneladas de la carga i a transportar en el compartimiento j
( i= 1, 2, 3, 4); ( j= F, C, T )
El modelo de P.L. puede ser el siguiente:
Maximizar:
Utilidad =
Sujeta a:
Capacidades de peso en los compartimientos
Proporción de peso en los compartimientos
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Z=250 .000 ∑j=F
T
X 1 j+ 400 .000 ∑j=F
T
X 2 j+ 300.000∑j=F
T
X 3 j+500 .000 ∑j=F
T
X 4 j
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Problema de mezcla de productos con función objetivo separableEjemplo N° 12Una compañía produce tres artículos A, B, C. Cada unidad de A, requiere una hora de
maquinaria, ocho horas de mano de obra y cuatro libras de materia.
Cada unidad de B, necesita tres horas de maquinaria, tres horas de mano de obra y tres libras de materia.
Cada unidad de C, requiere dos horas de maquinaria, cuatro horas de mano de obra y dos libras de materia.
La empresa dispone de 300 libras de materia prima, 800 horas de mano de obra y 80 horas de maquinaria, para el próximo periodo.
El precio de venta y por ende las utilidades de los artículos, van rebajando a medida que aumenta la cantidad vendida, como se indica en la siguiente tabla:
¿Cuál será el programa de producción y ventas que maximiza la utilidad total)
Construcción del modelo:Inicialmente elaboramos una tabla con los datos de consumo de los recursos de la
empresa:
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No es difícil detectar que las actividades alternativas que pueden realizarse son la fabricación de cada uno de los artículos. Por ello definimos las variables como:
Xi: número de unidades del articulo i que deben fabricarse en el periodo.
La definición anterior es la típica cuando tenemos varias actividades que compiten por varios recursos. El paso siguiente será la elaboración de la función del objetivo y de las restricciones. Pero encontramos que la definición de las variables no nos permite escribir una función objetivo válida.
En la función del objetivo hallaremos el inconveniente de que tenemos cuatro coeficientes objetivo diferentes para el articulo A, tres para el artículo B y dos para el artículo C.
¿Cuál de ellos colocar en la función objetivo?
La situación anterior refleja la no proporcionalidad de la utilidad y la cantidad producida. Por lo tanto ese problema no cumple una de las condiciones básicas para plantearse directamente como un modelo de Programación Lineal.
Para adecuar el problema a la forma en que pueda formularse como modelo de P.L., es posible a veces calcular una utilidad promedia para cada artículo y colocar este valor como coeficiente objetivo. Claro que en ese caso estaremos aceptando que la solución hallada será apenas aproximada, debido a la simplificación de los valores reales.
Pero afortunadamente para este tipo de problemas en donde el objetivo es maximizar y los coeficientes van disminuyendo al aumentar la variable, es posible construir una función objetivo en la cual se definan las variables para reflejar los intervalos que considera el problema.
Para mejor entendimiento construyamos una gráfica con los intervalos de la variable X1.
Como se dijo las unidades comprendidas en el intervalo 0-40 dan utilidades de $10, las comprendidas en el intervalo 41-100 dan utilidad unitaria de $9, etc.
Para reflejar este hecho en la función objetivo, vamos a definir las variables así:
Xij: cantidad de unidades vendidas del articulo i, que pertenecen al intervalo j
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(i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4)
Xi: cantidad total de unidades del articulo i vendidos.
De esta manera el modelo de P.L., queda:
Maximizar: utilidad:
Sujeta a:
Limites de las cantidades que pertenecen a cada intervalo.
No se incluyeron X14, X23 y X32 pues estas variables no tienen límite en sus valores.
Por comodidad al escribir las restricciones de uso de los recursos, podemos expresar las siguientes igualdades:
Luego se escriben las restricciones de disponibilidad de recursos así:
Maquinaria:
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Problema del transbordoLa compañía X puede producir su principal artículo en dos departamentos diferentes.
Cada departamento puede enviar lo producido al centro de control de calidad final A o al centro de control de calidad final B, desde los cuales se remite a cualquiera de las cuatro líneas del empaque y envío de que dispone la empresa. El departamento 1 tiene capacidad para producir 80 unidades por hora y el departamento 2 para producir máximo 60 unidades por hora. Según las demandas esperadas, se ha programado que las líneas de empaque atiendan al menos las siguientes cantidades por hora: 30, 20, 40, 40 respectivamente.
La siguiente tabla muestra los tiempos (minutos) promedio que se gasta en los diferentes movimientos de cada unidad del producto.
En el centro 1 de control de calidad, se demora 4 minutos para revisar un artículo y en el centro 2 de control de calidad se demora 6 minutos.
¿Cómo debe organizarse el flujo de las unidades entre los departamentos productivos y las líneas de empaque y envío, pasando por algunos de los centros de control de calidad, de tal forma que se obtenga un mínimo tiempo total de producción?.
Problema de asignación
Cierta compañía tiene tres empleados para asignar a tres solicitudes de reparación de licuadoras en la casa de los clientes, que deben ser atendidos mañana, por lo cual los empleados viajan directamente de su hogar hasta el del cliente.
Como la empresa subsidia el combustible del vehículo de los operarios, desea ahorrar lo máximo, motivo por el cual necesita conocer la forma de asignar los operarios a los clientes de tal manera que se tenga la menor distancia total de viaje de los empleados.
La tabla siguiente muestra las distancias desde la casa de cada empleado hasta la de cada cliente.
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Programación enteraCorte de madera
Una marquetería debe enmarcar 175 cuadros de 119x96 cm. En el mercado puede comprar varillas de la moldura indicada con longitud de 300 cm.
¿Cómo deben cortarse las varillas para obtener los marcos requeridos, obteniendo el menor sobrante posible?
Solución:
Modalidades de corte
Xi: Número de varillas estándar cortadas en la modalidad i (i= 1, 2, 3)
Para 175 marcos se necesitan 350 piezas de cada longitud.
Minimizar: 62X1 + 1X2 + 30X3 longitud sobrante
s.a: 2X1 + 1X2 > 350 piezas de longitud 119
2X2 + 3X3 > 350 piezas de longitud 90
Pregunta: ¿ El valor de las Xi tiene que ser entero?
¿Cuál será la diferencia de sobrantes, si permite que el valor de los Xi sea fraccionario?
Programación de la producción de un ensamble.Cierta empresa produce un artículo que se forma con cuatro piezas del componente A y
tres piezas del componente B.
Las piezas se pueden fabricar en cualquiera de las tres máquinas diferentes que posee la compañía, las cuales transforman las dos materias primas en las piezas que van al ensamble del producto final.
La tabla siguiente muestra el número de gramos de cada materia prima que deben utilizarse en cada máquina para realizar un ciclo de producción de las componentes. La misma tabla muestra el número de componentes de cada tipo que se obtienen en cada ciclo de producción de cada una de las maquinas, así como el número de gramos disponibles de las materias primas.
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¿Cómo debe programarse la producción para obtener la máxima cantidad de artículos?
Suponga que una compañía tiene cuatro proyectos llamémoslos A, B, C, D, que pueden o no llevarse a cabo, pero un proyecto no puede ejecutarse parcialmente.
Los proyectos B y D no se pueden ejecutar simultáneamente (son mutuamente excluyentes)
La información relativa a los proyectos es:
La compañía dispone actualmente de 25.000 y al inicio del segundo año recibirá $5.000 de otras inversiones. Además necesita disponer de 15.000 al inicio del tercer año para cancelar unos compromisos en esa fecha.
Elabore el modelo de P.L. para determinar cuáles proyectos ejecutarse con el propósito de maximizar el valor presente neto de las inversiones realizadas.
Autor:Rafael Freites
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Investigación de Operaciones y SimulaciónMohammed Portilla- [email protected]
1. Programación Lineal - Problema General2. Características de la Programación Lineal3. Pautas y comentarios para la formulación de modelos4. Formulación de Modelos
Evaluación y formulación de problemas de optimización de recursos empresariales
Max ó Min Z = C X
S.A:
A X ≤ B
XJ > 0 ; j = 1, 2, ..., n
ObjetivoMediante una recopilación de problemas representativos de programación lineal se busca
desarrollar la capacidad inventiva para formular problemas de optimización de recursos.
Programación Lineal - Problema GeneralDefinición: Dado un conjunto de m desigualdades lineales ó ecuaciones lineales, con n variables, se
requiere hallar valores no negativos de éstas variables que satisfagan las restricciones y maximicen ó minimicen alguna función lineal de las variables llamada Función Objetivo.
Matemáticamente:Hallar XJ , J = 1, 2, . . . . . n para:
Maximizar
ó Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn
Minimizar
Con las siguientes restricciones:
a11X1 + . . . . . . + a1jXj + . . . . . . + a1nXn ≤ ó ≥ b1
.
ai1X1 + . . . . . . + aijXj + . . . . . + ainXn ≤ ó ≥ bi
.
am1X1 + . . . . . . + amjXj+ . . . . . . + amnXn ≤ ó ≥ bm
Xj =0 ; j = 1, 2, . . . . . . n
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Características de la Programación Lineal1) Linealidad asume que no pueden haber términos así: X1X2, X3 2 a14Log X4
2) Asume las propiedades aditivas y multiplicativas.
a) Si una unidad tipo E necesita 2 horas en la Máquina A y una unidad tipo F necesita 2½ horas, entonces ambas necesitan 4½ horas.
b) Si una unidad tipo E necesita 1 hora en la máquina B, entonces 10 unidades necesitan 10 horas.
3) La función a optimizar (maximizar ó minimizar) se llama función objetivo, no contiene ningún término constante.
4) En las m restricciones, no están incluidas las condiciones Xj =0 (condición de no negatividad).
5) Soluciones:
a) Cualquier conjunto de Xj que satisface las m restricciones se llama una solución al problema.
b) Si la solución satisface la condición de no negatividad Xj =0 , se llama una solución factible
c) Una solución factible que optimiza la función objetiva se llama una solución factible óptima
Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas, tiene que hallarse una óptima
Pautas y comentarios para la formulación de modelosEn la conversión de modelos verbales a modelos formales, será muy útil describir primero
con palabras un modelo que corresponda al problema dado.
Se puede proceder de la siguiente forma:
1) Exprese cada restricción en palabras; al hacer esto, ponga cuidadosa atención en si la restricción es un requerimiento de la forma:
≥ (mayor ó igual que, al menos, por lo menos, como mínimo),
≤ (menor ó igual que, no mayor que, como máximo), ó
= (igual a, exactamente igual a).
2) Expresar el objetivo en palabras.
3) Identificar verbalmente las variables de decisión. Una guía útil es hacerse la pregunta:¿Qué decisión debe tomarse para optimizar la función objetivo?. La respuesta a esta pregunta ayudará a identificar correctamente las variables de decisión.
4) Expresar la función objetivo en términos de las variables de decisión. Verificar la consistencia de unidades. Por ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo Cj están dados en S./ por kilo, las variables de decisión Xj deben estar en kilos, no en toneladas ni onzas.
5) Expresar las restricciones en términos de las variables de decisión. Comprobar que para cada restricción las unidades del lado derecho son las mismas que las del lado izquierdo. Las restricciones no pueden tener una desigualdad estricta, con los signos < ó >. La razón de esto es de naturaleza matemática.
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Formulación de ModelosTraducir problemas del mundo real a modelos matemáticos.
No leer en un problema más de lo que se da. Por ejemplo, no introduzca restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían hacer más realista el modelo.
1. PROBLEMA DE PRODUCCIÓNUn taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2,
todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
¿Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?
¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?
Formulación1) Definición de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2)
2) Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + 1.5 X2 Con las siguientes restricciones (S.A:):
3) Restricciones:
2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A
X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B
4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C
4) Condición de no negatividad:
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Xj =0 ; j = 1 y 2
Solución óptima
x1= 4 x2=4 Z=10
Tiempo sobrante de cada máquina:
Máquina A Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina B Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina C Sobran 4 horas semanales
2. OPTIMIZACIÓN DEL CORTE DE MADERAEn una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para
bocel, cuya longitud original es de 300 cm.
El Departamento de ventas tiene pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x 90 cm. En el método actual el Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles de 119 cm. y 350 boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión).
Con ésta manera de cortar la madera, la Fábrica necesita el capital para comprar 292 varillas de 300 cm. cada una y genera 14450 cm. de desperdicio.
Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio, la compra de materia prima y optimice la productividad.
Total de varillas de 300 cm. a comprar: 175 + 117 = 292 varillas
Total de centímetros de desperdicio: 10850 + 3600 = 14450 cm.
FormulaciónXj = Número de varillas a cortar de la forma j-ésima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la varilla:
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Solución óptima
X1 * = 89 Cortar 89 veces de la manera 1
X2 * = 172 Cortar 172 veces de la manera 2
X3 * = 2 Cortar 2 veces de la manera 3
Z * = 5750 centímetros de desperdicio
Número de varillas a comprar: 89 + 172 + 2 = 263 varillas de 300 cm.
Cuadro comparativo de los ahorros:
Conceptos Materia prima Desperdicio (cm.)Antes 292 14450
Después 263 5750
Diferencia 29 8700
3. CORRIDAS DE PRODUCCIÓNUna empresa produce un artículo cuya unidad está compuesta por 4 unidades de
componente A que se producen por corrida de producción a partir de las materias primas 1 y 2 y en tres departamentos.
Las Materias primas y la Producción por corrida de producción se muestra en la siguiente tabla:
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Elabore un plan de producción para maximizar la cantidad de artículo a producir.
FormulaciónXJ = Número de corridas de producción en el departamento j-ésimo (j = 1,2 y 3)
Número de componentes A: 7X1 + 6X2 + 8X3
Número de artículos completos con los componentes A: (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
Maximizar (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
S.A:
8X1 + 5X2 + 3X3 ≤ 100 Restricciones debidas a la disponibilidad
6X1 + 9X2 + 8X3 ≤ 200 de materias primas tipo 1 y 2
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3 Enteros Restricción de no negatividad
4. EL PROBLEMA DE LOS PAQUETES DE TUERCASUn distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras y está compuesto por tres tamaños de tornillos, los cuales se compran en lotes de 200 libras. Los lotes de tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12, además:
a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.
b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total
¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?
FormulaciónXj= Peso en libras de los tornillos del tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 3
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200 X3
S.A:
X1 + X3 ≥ (X1 + X2 + X3)/2 Los tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 ≤1.6 Los tamaños 1 y 2 no deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 1 debe ser al menos el 10% del total
X2 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 2 debe ser al menos el 10% del total
X3 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 3 debe ser al menos el 10% del total
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X1 + X2 + X3 ≥ 2 El paquete debe ser al menos de 2 libras
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3 Condición de no negatividad
Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 + 0,06X3
S.A:
X1 - X2 + X3 ≥ 0
X1 + X2 ≤ 1.6
0,9X1 -0,1X2 - 0,1X3 ≥ 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3 ≥ 0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3 ≥ 0
X1 + X2 + X3 ≥ 2
XJ ≥0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño 1
X2 = 1.0 Libras del tamaño 2
X3 = 0.8 Libras del tamaño 3
Z = $0.108 Costo mínimo del paquete
5. PROBLEMA CLÁSICO DEL TRANSPORTEUn fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros
tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren las siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15.
El costo de transporte por unidad en dólares entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
¿Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?
FormulaciónXij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (1=Bogotá,
2=Medellín, 3=Cali), al detallista j-ésimo (1=Pereira, 2=Tulúa, 3=Anserma, 4=Ibagué, 5=Armenia)
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35
S.A:
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X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20 Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 +X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 40 de unidades en los respectivos
X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 centros de distribución 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 ≥ 25 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 ≥ 10 de unidades,
X13 + X23 + X33 ≥ 20 de los detallistas respectivos 1, 2, 3, 4 y 5
X14 + X24 + X34 ≥ 30
X15 + X25 + X35 ≥ 15
Xij ≥0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X11 = 0 X 21 = 25 X 31 = 0
X12 = 0 X 22 = 10 X 32 = 0
X13 = 20 X 23 = 0 X 33 = 0
X14 = 0 X 24 = 5 X 34 = 25
X15 = 0 X 25 = 0 X 35 = 15
Z = $ 3525
6. PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN DE PLANTAUna empresa del sector textil, que opera en todo el país, dispone de la siguiente
configuración:
Dos plantas de fabricación en Pereira e Ibagué, con capacidades de 900 y 1.500 unidades respectivamente.
Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus respectivas zonas en: Neiva, Medellín, Cali y Bogotá, con demandas de: 700, 800, 500 y 400 unidades respectivamente.
En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del 25%, lo cual ha llevado a la Dirección de la misma a plantearse la apertura de una nueva fábrica.
A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Pasto (alternativa 1) y Villavicencio (alternativa 2). La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores.
La tabla siguiente muestra los costos de transporte unitarios entre cada origen y destino.
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Formulación(a) Considerando establecer la nueva planta en PastoXij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Pasto) al almacén
j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 4X32 + 4X33 + 8X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 700 + 175 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 800 + 200 = 1000 de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 500 + 125 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 400 + 100 = 500
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 13 = 625 X 14 = 275 X 21 = 875 X 22 = 400 X 24 = 225 X 32 = 600
Z = $9375
(b) Considerando establecer la nueva planta en Villavicencio:Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Villavicencio)
al almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar
Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 3X32 + 4X33 + 2X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la
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X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 disponibilidad de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 1000 de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 500
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 12 = 275 X 13 = 625 X 21 = 875 X 22 = 625 X 32 = 100 X 34 = 500
Z = $7275
De los resultados obtenidos se deriva que Villavicencio es la mejor localización bajo el criterio de minimizar los costos del transporte.
7. El problema de asignacionesSe usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro
puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varían mucho.
Estos costos se muestran el la siguiente tabla:
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Minimice
Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 + 7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44
S.A:
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X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij ≥0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X * 11 = 1 X * 12 = 0 X * 13 = 0 X * 14 = 0
X * 21 = 0 X * 22 = 0 X * 23 = 0 X * 24 = 1
X * 31 = 0 X * 32 = 1 X * 33 = 0 X * 34 = 0
X * 41 = 0 X * 42 = 0 X * 43 = 1 X * 44 = 0
Z * = 21
Barco 1 --------Puerto 1 --------Costo $ 5
Barco 2 --------Puerto 4 --------Costo $ 5
Barco 3 --------Puerto 2 --------Costo $ 5
Barco 4 --------Puerto 3 --------Costo $ 6
Costo total mínimo: $21
8. Problema de la mezclaUna compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se
obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres componentes (1,2,3). La participación de estos componentes en la composición de cada crudo es:
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Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3000 y 7000 barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al problema planteado por la compañía.
10. El problema del financieroUn inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán
por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará de todo el capital. Las inversiones se hacen el 1º de Enero de cada año y son:
Inversión A: Disponible el 1º de Enero de cada año y produce el 15% de interés al final de cada año.
Inversión B: Disponible en dos años a partir de ahora (Comienzo del 3º año), y produce un retorno del 25% al final del 3º año y lo máximo que el inversionista considerará son $40.000
Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y produce el 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como máximo.
El inversionista tiene $100000 disponible para las inversiones.
¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que le permita obtener la máxima cantidad de dinero al final del año quinto?
Formulación:
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Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio del año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Para construir las restricciones piense, que al principio de cada año va a tener disponibles algunas alternativas de inversión para las que no podrá invertir más de lo tenga disponible en ese momento.
El lado izquierdo de las restricciones, representa la cantidad de dinero que el inversionista invertirá en las alternativas disponibles al principio de cada año y el lado derecho representa la cantidad de dinero disponible para invertir, que es la suma de: El capital inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la fecha - Los capitales que están invertidos en ese momento y que no han retornado.
Maximizar Z = 0,15 (XA1 + XA2 + XA3 +XA4 + XA5) + 0,25XB3 + 0,4XC2
S.A:
Restricciones debidas a la cantidad de dinero disponible al principio de cada uno de los cinco años:
XA1 ≤ 100000
XA2 + XC2 ≤ 100000 + 0,15XA1
XA3 + XB3 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2) - XC2
XA4 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3) + 0,25XB3 - XC2
XA5 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3 +XA4) + 0,25XB3 + 0,4XC2
XB3 ≤ 40000
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XC2 ≤ 30000
Xij ≥0 ; i = A, B y C ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X A1 = $100000 XA2 = $115000 X A3 = $ 92250 X A4 = $156087,50
X A5 = $179500,6 XB3 = $ 40000 X C2 = $0
Z = $206425,7
13. El problema de los mantelesEn un salón de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco
días. Los requisitos de manteles por banquete son:
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se usan, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles.
El costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.
¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costo total?
Formulación:Xi = Número de manteles a comprar para el banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3, 4 y 5)
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Yi = Número de manteles a mandar a lavar después del banquete i-ésimo (i = 1, 2 y 3)
Ii = Número de manteles limpios al final de cada banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3 y 4)
Minimizar Z = 40(X1 + X2 +X3 +X4 +X5) + 10(Y1 + Y2 + Y3)
S.A:
X1 = 80 + I1
I1 +X2 = 60 + I2
Y1 + I2 + X3 = 100 + I3
Y2 + I3 + X4 = 130 + I4
Y3 + I4 + X5 = 200
Y1 =80
Y2 =60
Y3 =100
Xi ≥0 ; i = 1, 2, 3, 4 y 5
Ii ≥0 ; i = 1, 2, 3 y 4
Yi ≥0 ; i = 1, 2 y 3
Solución óptima
X 1 = 80 X 2 = 60 X 3 = 20 X 4 = 70 X 5 = 100
Y 1 = 80 Y 2 = 60 Y 3 = 100
I i = 0 ; i = 1, 2, 3, 4
Z = $15600
Autor:
Msc. Ing. Mohammed Portilla [email protected]
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima - Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
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Escuela de Negocios para Graduados - ESAN
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Aplicación del método Símplex en investigación de operaciones y simulaciónMohammed Portilla - [email protected]
1. Introducción2. Tipos de restricciones3. Un adelanto del análisis post-óptimo
IntroducciónEl método símplex cuya gran virtud es su sencillez, es un método muy práctico, ya que
solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.
Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero previamente mostraremos las reglas de decisión para determinar la variable que entra, la que sale, la gran M, y cómo determinar que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de decisión fueron deducidas del método algebraico, solamente que aquí se han acomodado para ser usadas en el tipo de tablero símplex que se usará.
Criterio de decisión Maximizar Minimizar
Gran M en la función objetivo
- MXj +MXj
Variable que entra La más negativa de los Zj - Cj
La más positiva de los Zj - Cj
Variable que sale La menos positiva de los b/a ,
Siendo a > 0 , de lo contrario
no restringe
La menos positiva de los b/a ,
Siendo a > 0 , de lo contrario
no restringe a la variable que
entra
Solución óptima Cuando todos los Zj – Cj > 0
Cuando todos los Zj – Cj < 0
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Tipos de restricciones Restricciones
Se añade una variable de holgura, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a 0.
Ejm:
2X1 - 4X2 <= 1, queda:
2X1 - 4X2 + X3 = 1 Cj de X3 en la función objetivo será 0.
Restricciones
Se resta una variable de exceso, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a 0, y se suma una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o minimización.Ejm:
2X1 + 3X2>= 1, queda:
2X1 + 3X2- X3 + X4= 1 Cj de X3 en la función objetivo será 0. y Cj de X4 (artificial) es M
Restricciones =Se le añade una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o minimización.Ejm:
2X1 + 3X2= 8, queda:
2X1 + 3X2 + X3= 8 Cj de X3 en la función objetivo será M
Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuenta:
Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de superávit ó artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0 , el problema no tiene solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución , en éste caso se debe revisar la formulación del problema.
Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se tuvo en cuenta en la formulación inicial.
Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene múltiples soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.
Ejemplo 1Siendo Xi la cantidad a producir del producto i.
Maximizar Z = X1 + X2 {Ganancia total en soles}
S.A.
5X1 + 3X2 <= 15 {Horas disponibles dep. A}
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3X1 + 5X2 <= 15 {Horas disponibles dep. B}
Xj >= 0 ; j = 1, 2
Los problemas de Maximización, con todas sus restricciones <= y con la condición de no negatividad, se le llama Forma Estándar ó Forma Normal
Aquí debemos conseguir una solución básica factible, empleando las variables de holgura y/o artificiales, quedando el sistema de ecuaciones así:
Maximizar Z = X1 + X2
S.A.
5X1 + 3X2 + X3 = 15
3X1 + 5X2 + X4 = 15
Xj >= 0 ; j = 1,2,3,4
Las variables básicas son aquellas cuyos coeficientes forman la matriz unitaria.
En este caos accidentalmente son las variables de holgura X3 y X4.
A continuación construimos la siguiente tabla:
Cj 1 1 0 0
b/a
a>0V
.B.b X
1 X
2 X
3 X
4
0 X3
15
5 3 1 0 15/5=3
0 X4
15
3
5
0
1 15/3=5
Zj - Cj 0 -1
-1
0
0
El valor de la función objetivo Z, se encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste caso vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en la tabla es la columna inmediatamente anterior a la de las variables básica V.B.) que contiene los coeficientes de las variables básicas en la función objetiva original por el vector columna de los términos independientes b
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CXB = Vector fila de los coeficientes en la función objetivo original de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran en la primera columna del tablero.
b = Vector columna de los términos independientes de las restricciones, que al mismo tiempo son los valores de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran bajo la columna denominada b
CXB = (0,0) ; b = (15,15)’ Z = CXB * b = (0)(15) + (0)(15) = 0
El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el vector fila CXB por el vector apuntador aj dela columna de la variable j-ésima, menos el Cj, esto es:
Zj – Cj = CXB. aj – Cj ;
Los cálculos se efectúan así:
Z1 – C1 = CXB a1 – C1 = (0,0).(5,3)’ - 1 = (0)(5)+(0)(3) – 1 = -1
Z2 – C2 = CXB a2 – C2 = (0,0).(3,5)’ - 1 = (0)(3)+(0)(5) – 1 = -1
Z3 – C3 = CXB a3 – C3 = (0,0).(1,0)’ - 0 = (0)(1)+(0)(0) – 0 = 0
Z4 – C4 = CXB a4 – C4 = (0,0).(0,1)’ - 0 = (0)(0)+(0)(1) – 0 = 0
A continuación se indican la variable que sale y la variable que entra:
La variable que tiene Zj-Cj más negativo es ó X1 ó X2. Se escoge al azar X1.
En esta iteración b/a da: 15/5 = 3 y 15/3 = 5;
Lo que significa que la variable básica X3 restringe el crecimiento de la variable que entra, X1, hasta 3 (no la deja tomar valores superiores a 3) y la variable básica X4 restringe el crecimiento de la variable que entra X1 hasta 5 (no la deja tomar valores superiores a 5).
Por supuesto la variable básica que restringe más el crecimiento de la variable que entra X1, es X3 , por lo tanto, es la variable básica escogida para salir.
La fila de la variable básica escogida para salir se divide por el elemento que se encuentra en la intersección de dicha fila con la columna de la variable que entra, la fila resultante es la fila pivote y se coloca en un nuevo tablero, desde el que se suman múltiplos de la fila pivote a las demás filas del tablero anterior de tal forma que se eliminen de cada una de ellas la variable escogida para entrar, en nuestro caso X1 , este procedimiento se denomina, hacer un uno (1) en la intersección y el resto de la columna ceros (0), por lo tanto en dicha columna aparecerá un
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vector unitario, el procedimiento se repite en cada iteración, hasta que todos los Zj – Cj sean mayores ó iguales a cero en el caso de maximizar ó menores ó iguales a cero en el caso de minimizar.
A continuación se muestran todas las iteraciones y en cada fila los valores por los cuales fueron multiplicadas para ser sumadas a otras filas, ello se expresa como sumar múltiplos de una fila a otra.
Fíjese que se suman múltiplos de las restricciones a la función objetivo para eliminar las variables básicas de ella.
Variable que entra X2
Variable que sale X4
Solución óptima:
X1* = 15/8
X2* = 15/8
Z * = 15/4
La solución es única: X1 * = 15/8 ; X2 * = 15/8 ; Z* = 14/4
Ejemplo 2
Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3
S.A.
6X1 + 2X2 + 6X3 >= 6
6X1 + 4X2 = 12
2X1 - 2X2 <= 2
Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3
73
Cj 1 1 0 0 b/a
a>0
V.B.
b X1
X2
X3
X4
1 X1
3 1 3/5
1/5
0 5
0 X4
6 0
16/5
-3/5
1 15/8
Zj - Cj 3 0
-2/5
1/5
0
Cj 1 1 0 0 b/a
a>0
V.B.
b
X1
X2
X3
X4
1 X1
15/8
1 0 5/16
0
1 X2
15/8
0 1
-3/16
5/16
Zj – Cj 15/4
0 0 1/8
1/8
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Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3 + MX5 + MX6
S.A.
6X1 + 2X2 + 6X3 – X4 + X5 = 6
6X1 + 4X2 +X6 = 12
2X1 - 2X2 +X7 = 2
Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Las variables básicas son X5 = 6 , X6 = 12, X7 = 2
Solución Óptima:
Variables de decisión:
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X1 = 0 , X2 = 3 , X3 = 0 , Z = 12
Variables de holgura : X4 = 0 , X7 = 8
Variables artificiales: X5 = 0 , X6 = 0
Un adelanto del análisis post-óptimoMaximizar Z = X1 + X2 {Ganancia total en soles}
S.A.
5X1 + 3X2 <= 15 {Horas disponibles dep. A}
3X1 + 5X2 <= 15 {Horas disponibles dep. B}
Xj >= 0 ; j = 1, 2
Tablero inicial:
Cj 1 1 0 0 b/a
a>0
V.B.
b X1
X2
X3
X4
0 X3
15
5 3 1 0 15/5=3
0 X4
15
3
5
0
1 15/3=5
Zj – Cj 0 -1
-1
0
0
Tablero óptimo:
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Costo reducido:
Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de producto) = (u.m.)/(u.p.) = las mismas unidades que Cj
Precio dual:
Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de recurso) = (u.m.)/(u.r.)
Interpretación del Costo reducido:En cuantas unidades monetarias empeora la función objetivo al producir una
unidad de un producto que no se está produciendo.
En minimización: (z / x) En maximización: (z / x)
Si la variable es básica ,el costo reducido es 0.
Si la variable es no básica, es >= 0. Cuando es 0 significa soluciones alternativas.
Interpretación del Precio dual:En cuantas unidades monetarias va a variar la función objetivo al variar en una unidad de
recurso limitante.
Cuando es >0: (z / b) ó (z / b)
Cuando es <0: (z / b) ó (z / b)
Una restricción es limitante cuando limita a la función objetivo. Esto sucede cuando se cumple la igualdad de la restricción.
Si la restricción es no limitante, el precio dual es 0.
Si la restricción es limitante, puede tomar cualquier valor positivo, negativo o 0.
ANIMALES DISECADOS
Una Empresa de Animales Disecados está produciendo palomas y gavilanes disecados. En las condiciones en que se encuentra el mercado actualmente puede vender los gavilanes y las palomas con utilidades de $20.00 y $12.00 respectivamente.
Las pieles de los gavilanes son más duras y toman más tiempo de trabajo que las pieles de las palomas. La máquina de pieles puede trabajar 4 pieles de gavilán por minuto ó 8 pieles para palomas, usando la misma capacidad. La línea de relleno, puede rellenar 5 gavilanes ó 4 palomas por minuto. Los gavilanes van a una operación final en una máquina de afilado del pico que tiene una capacidad de 3.5 gavilanes por minuto, La jornada de trabajo en la división es de 8 horas.
a) Formule el modelo de programación lineal, que resuelva el caso.
b) Formule el problema dual del modelo formulado en (a).
c) Resolver el modelo, y hacer una interpretación administrativa de la solución.
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d) Determinar la solución óptima del problema dual leyéndola directamente de la tabla óptima encontrada en la pregunta c.
A no ser que se especifique de otra manera, las siguientes preguntas son independientes unas de otras y están basadas en el enunciado inicial del problema.
e) Existe la posibilidad de trabajar sobretiempos en la máquina de pieles, en la línea de relleno, y en la máquina de afilado. ¿Cuál es la mayor utilidad que se genera por cada sobretiempo en cada una de las secciones?.
f) El Gerente de la Empresa visita la línea de gavilanes y palomas, y observa que hay capacidad ociosa en algunos de los procesos. El resuelve ordenar que se usen todos los centros del proceso, en toda su capacidad instalada. ¿Qué le diría usted?.
g) Qué sucedería con la solución óptima si las utilidades por cada paloma bajan a s/. 9.00 ?.
h) Para darle un mejor acabado a los juguetes, se ha instalado una línea de laqueado; la línea de laqueado puede rellenar 5 gavilanes por minuto o 4 palomas en el mismo tiempo, igualmente la jornada es de 8 horas. ¿Afectaría la solución óptima?; de ser así encuentre la nueva solución.
NOTA TEORICA: En esta pregunta, observar si la nueva restricción es cumplida por la solución actual, si
es así sería una restricción redundante y no afecta a la solución actual, pero si la solución actual no la cumple, entonces será necesario volver a resolver el problema considerando esta nueva restricción.
MODELO:X1= numero de palomas a producir en el día
X2= numero de gavilanes a producir en el dia
MAX 12X1+20X2
SUBJECT TO
0.125X1+0.25X2<=480 maquina de pieles
0.25X1+0.2X2<=480 linea de relleno
0.2857143X2<=480 afilado de pico
END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 39680.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 640.000000 0.000000
X2 1600.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 69.333336
3) 0.000000 13.333333
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4) 22.857122 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 12.000000 13.000000 2.000000
X2 20.000000 4.000000 10.400001
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 480.000000 11.999989 240.000000
3 480.000000 480.000000 23.999977
4 480.000000 INFINITY 22.857122
Autor:
Ing.Mohammed Portilla [email protected]
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima - Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela de Negocios para Graduados - ESAN
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