Investigación de Operaciones [INF-3144]Capítulo 2: Programación con Restricciones

Dr. Ricardo Soto[ricardo.soto@ucv.cl]

[http://www.inf.ucv.cl/∼rsoto]

Escuela de Ingeniería InformáticaPontificia Universidad Católica de Valparaíso

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1. Introducción

Es una tecnología que tiene sus raíces en diversas áreas...

Objetivo?Resolver problemas que se puedan representar en función devariables y restricciones

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2. Ejemplos

Ejemplos RealesDetección de errores de precisión en robots (IRCCYN Lab)...+ de 500 variables y restricciones

Diseño de un sistema de aire acondicionado para aviones(Dassault Aviation)...+ de 1000 variables y restricciones

a1

X1θ1

link 1

end-effector

joint 2

joint 1

Y1

X2

Z1

X2

Y2

Z2

X3

Y3

Z3

a2

link 2

b1

b2

F1

F2

F3

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Manufacturing Cell DesignJuan Gutiérrez, Alexis López

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Nurse RosteringRenzo Pizarro, Gianni Rivera

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Mario Bros ProblemRodrigo Muñoz

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Ms Pacman ProblemFrancisco Lobos, Diego González

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Water DistributionPaz Clayton, Ricardo Rojas

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Portfolio SelectionCamila Allendes, Hans Berendsen

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3. Proyectos Resueltos por alumnos PUCV

Open-pit miningBoris Almonacid

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Ejemplo 1Resolver la siguiente ecuación, reemplazando las letras pordígitos distintos.

S E N D+ M O R EM O N E Y

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Ejemplo 1Resolver la siguiente ecuación, reemplazando las letras pordígitos distintos.

S E N D+ M O R EM O N E Y

9 5 6 7+ 1 0 8 51 0 6 5 2

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

ModeloVariables

S,E,N,D,M,O,R,Y ∈ [0,9]

Restricciones

1000 · S + 100 · E + 10 · N + D+ 1000 ·M + 100 ·O + 10 · R + E

= 10000 ·M + 1000 ·O + 100 · N + 10 · E + Y

S 6= E , S 6= N, S 6= D . . . R 6= Y

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Ejemplo 2 - N-QueensUbicar n reinas en un tablero de ajedrez de n × n, de maneratal que no se puedan atacar.

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

ModeloVariables

Q1,Q2,Q3,Q4 ∈ [1,4]

Restricciones (para i ∈ [1,3] y j ∈ [i + 1,4])

Qi 6= Qj (filas)

Qi + i 6= Qj + j (diagonal 1)

Qi − i 6= Qj − j (diagonal 2)

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Ejercicio 1 - Packing SquaresUbicar un conjunto de cuadrados dentro una base cuadrada detal manera que ningún cuadrado se translape con otro.

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Variables

x1, x2, ..., xsquares ∈ [1, sideSize]y1, y2, ..., ysquares ∈ [1, sideSize]

Constantes

sideSizesquaressize1, size2, ..., sizesquares

Restricciones (para i ∈ [1, squares]) //inside

xi ≤ sideSize − sizei + 1yi ≤ sideSize − sizei + 1

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

Restricciones (para i ∈ [1, squares] y j ∈ [i + 1, squares])//noOverlap

xi + sizei ≤ xj ORxj + sizej ≤ xi ORyi + sizei ≤ yj ORyj + sizej ≤ yi

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4. Problema de Satisfacción de Restricciones(Constraint Satisfaction Problem, CSP)

A Constraint Satisfaction Problem P is defined by a tripleP = 〈X ,D, C〉 where:

X is a n-tuple of variables X = 〈x1, x2, ..., xn〉,D is a corresponding n-tuple of domainsD = 〈D1,D2, ...,Dn〉 such that xi ∈ Di , and Di is a set ofvalues, for i = 1, ...,n.C is a m-tuple of constraints C = 〈C1,C2, ...,Cm〉.

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Solving = Modeling + Search

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Generate and Test

b

bb

b

b

b

b

b b

b b b b b b b b

bb

bb b

bb b

b bbbb

bb

bb

b

b

b

b

b

bb

bb

b b

b

b b

b

bb

bb

b

b b

b

b

b b bb

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b bb

b b b b bb

b b

bb

bb

bb

bbb

bb

bb

b

bb

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b b b b b b b b bbbb bb

bb

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

ProblemasGran cantidad de instanciaciones que no conducen auna soluciónLas restricciones se evalúan con todas las variablesinstanciadas

Solución?Evaluar las restricciones apenas se instancien lasvariables involucradas.

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Backtracking

b

bb

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b b

b

b b

b

bb

bb

b

b b

b

b

b b bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

bbbbb b

bb

b

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Principal ProblemaNo se pueden detectar inconsistencias sin instanciartodas las variables involucradas en una restricción.

Solución?Eliminar valores temporalmente de los dominiosutilizando técnicas de consistencia (arc-consistency).

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Forward Checking

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

1234

1 2 3 4

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Se puede mejorar?Verificar no sólo la consistencia entre la variableactual y las futuras, sino que también entre lasfuturas...

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

Maintaining Arc Consistency(Full Look Ahead)

b

b

b

b

b

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

4

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5. Algoritmos de búsqueda y Técnicas de filtraje

OptimizaciónBasta con extender el algoritmo de búsqueda paraconsiderar la función objetivo

Algoritmo más utilizado para optimización en CP:

Branch and Bound b

bb

b

b

b

b

b b

b b b b b b b b

bb

bb b

bb b

b bbbb

bb

bb

b

b

b

b

b

bb

bb

b b

b

b b

b

bb

bb

b

b b

b

b

b b bb

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b bb

b b b b bb

b b

bb

bb

bb

bbb

bb

bb

b

bb

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6. Heurísticas de selección de variable y valor

VariableFirst-fail (dominio más pequeño)Most-constrained variableReduce-first (dominio más grande)Round-robin (orden equitativo, por ej. de la 1era a laúltima)

Valorsmallestmedianmaximal

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7. Solvers

Diversos Lenguajes para CPBasados en programación lógica (Eclipse,SicstusProlog...)Basados en programación orientada a objetos (ILOG,Gecode...)Modelado de alto nivel (OPL, Zinc...)

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