Inversión sísmica con redes bayesianas

Alumno: Fidel Reyes Ramos

Asesor: Dr. Guillermo Morales Luna

Contenido

Introducción Objetivo Descripción Presentación de modelos Perspectivas

Motivación

La predicción de propiedades de rocas es importante debido a que: Se describe la estructura geológica de los

yacimientos Con ello, se planea su exploración, producción y

costo.

Objetivos

Encontrar relaciones de dependencia entre:1. Propiedades físicas de las rocas A) Determinar la incertidumbre en los

cálculos B) Mediante modelos dinámicos1. Propiedades físicas entre diferentes pozos A) Dirigidas por la proximidad entre los

pozos B) Mediante Redes Bayesianas

Metodología

Construir redes bayesianas que describan las relaciones de dependencia entre Propiedades físicas de las rocas Propiedades entre diferentes pozos petroleros

Registros de pozos

Cálculo de propiedades de roca (1/2) Las propiedades de roca se determinan por

modelos bien conocidos. Tales modelos Son escogidos de acuerdo a la hipótesis de la

geología subyacente Tienen parámetros que dependen de esta

geología Se les calcula algorítmicamente como se muestra

enseguida.

Cálculo de propiedades de roca (2/2)

VCL

LitofaciesMineralogía Porosidad

Rt

IFr K

F

SW

Inversión

Es todo aquel procedimiento que hace corresponder un modelo a una serie de datos dados (Scales, 2000)

Métodos de estudio

Determinación de propiedades mediante formulamientos de geofísica

El que aquí se propone: Resolver el problema inverso por medio de redes bayesianas

Incertidumbres por modelar

El modelo probabilístico es apropiado debido a que ahí se expresa factores inciertos como: Ruido en los datos Criterios para decidir si los factores modelados

son suficientes para el caso de estudio.

Problemas al estudiar un yacimiento Los datos que se toman tienen ruido y su

apreciación un nivel de incertidumbre, debido al gran número de factores que intervienen en su adquisición

La fluctuación de los datos parece aleatoria ya que hay procesos involucrados que no se conocen con certeza

Expresión probabilística de un modelo geofísicoTarantola (1987) propone incluir esta incertidumbre

mediante la expresión:

donde g(D) es el modelo geofísico y

CD es la matriz de covarianza que incluye las incertidumbres del modelo

)))(())((21

exp()|( 1 DDgCDDgGDP DT

Antecedentes de la aplicación de este enfoque Loures, Luiz G., Bayesian porosity inference using rock physics and

geostatistical modeling, Geophysics, CSEG, 2002. Mukerji, T., Jorstad, A., Makvd, G, Granil, J., Applying statistical rock

physics and seismic inversion to map lithofacies and pore fluid probabilities in a North Sea reservoir, URE, Norgewian University of Science and Technology , 2002

Peres Gouveia, W., Bayesian Seismic Waveform Inversion, Ph. D. Doctoral dissertation, Colorado School of Mines, 1996.

Propiedad concreta: Cálculo de volúmenes de minerales Volúmenes de

minerales: Describen la composición de minerales en las rocas

Entradas: Datos del pozo:

Densidad, Porosidad, Sónico

Centroides

Son los valores característicos de Densidad, Porosidad y Sónico medidos en el laboratorio de minerales puros

En un “crossplot” de los datos del pozo, estos datos representan “centroides”

calcita dolomita lutita fluidoDensidad 2.71 2.87 2.5 1.0Sónico 46.0 43.5 90.0 189.0Porosidad 0.01 2.5 30.0 100.0

Ejemplo:

Sea una sección de roca que se compone de:

20% Calcita (Azul) 60% Dolomita (Rosa) 15% Lutita (Verde) 5% Porosidad (Blanco)

002.11

25.58

689.2

05.

15.

60.

20.

0.100,0.30,5.2,01.0

0.189,0.90,5.43,0.46

0.1,5.2,87.2,71.2

Reproducción de datos: Multiplicar la matriz de centroides por los volúmenes

Cálculo de volúmenes de minerales Vi y “Phi” son las

incógnitas Los otros términos en

las ecuaciones son datos de los “centroides”

Los términos independientes son los datos del pozo

Restricción:1321

]1,0[,

VVV

Vi

Definiciones

Espacio latente: El espacio de soluciones posibles del simplejo positivo de dimensión 4 con K elementos.

: un conjunto de datos de un pozo : un conjunto de

centroides de los minerales supuestos : una matriz para realizar una trans-

formación lineal entre X y Y

1SX

3Y

432,1 ,, aaaaA

WWAxy

Transformación entre espacios

Espacio de Soluciones (Latente) Espacio de Datos

Transformación

Definiciones 2

p : la probabilidad uniforme sobre todos los elementos del espacio latente

Probabilidad condicional de cada por cada

Probabilidad marginal:

K

iixx

Kxp

1

)(1

)(

)||||2

1exp()2(),,|( 2

22/22

ijn

ij WAxyWxyP

K

iijijj WxyP

KdxXpWxypWyP

1

222 ),,|(1

)(),,|(),|(

jy ix

Problema

Maximizar el logaritmo de la probabilidad conjunta:

N

jj

N

jj

WyP

WyPWL

1

2

1

22

)),|(log(

)),|(log(),(

Solución Sea una densidad de de probabilidad

(no-nula), entonces

dxxQ

xypxQ

dxxQ

xypxQyP

j

jj

)(

)|,(log)(

)(

)|,()(log)|(

),|()( jyxPxQ

)(: xQxQ

La probabilidad posterior es

La cota (1) se maximiza usando la probabilidad posterior

(1)Desigualdad de Jensen

Solución

Al sumar (1) sobre todos los datos , se obtiene

donde

K

i

N

jijji xyPyxPyL

1 1

),|(log),|()(

},{ 2W

jy

Solución

Al derivar por los miembros del conjunto de parámetros y despejar cuando las derivadas son cero, se tiene

Para obtener W se utilizó la “Descomposición de Valor Singular”

),,|( 2WyxPR jiji

K

i

N

jijji WAxyR

N 1 1

22 ||||31

K

i

N

j

Tii

K

i

N

jijji AxAxWAxyR

1 11 1

))((

Comentarios

A este método de solución se le denomina “varacional” (Grahramani et al, 1999)

Al experimetar con probabilidad a priori, convergió más rápido, si una de ellas es mucho más grande que las otras

Se está trabajando para un número arbitrario de minerales

Algoritmo implementado para calcular volúmenes Algoritmo CalculaVolumenes Entradas Conjunto X Conjunto Y Matriz de Centroides A Tolerancia Eps Salida: Para cada encontrar un tal

que sea máxima Parámetros

Yy j Xxi

jiR

},{ 2W

Algoritmo BEGIN Inicializar parámetros, Lant y L Mientras fabs (Lant - L) > Eps BEGIN PASO E: Calcular L y para cada y Paso M: Calcular Lant = L END END

Yy j Xxi

jiR

},{ 2W

Convergencia

(Neal and Hinton, 1998) Probaron que: Maximizar por una parte, L con respecto a Y luego maximizar L con respecto a Maximiza la probabilidad conjunta (Dempster et al, 1977) Probaron que cada iteración

de este algoritmo es no decreciente (y es acotada) por tanto debe converger.

ATENCION: Probaron la convergencia, mas no la tasa de convergencia!

},{ 2W

jiR

Resultados

Resultados

Método Tradicional de Cálculo

Incorporación de conocimiento previo Sea la base canónica en Sea una probabilidad dada sobre cada vector La probabilidad de cada ahora es:

Y la probabilidad marginal es:

4)( ieP

1)(4

1

i

ieP

Xxi )

21

exp()2(

1)|(

2

2/4 ijij exexP

4

1

)|()()()|()(i

mjmjj exPePdeePexPxP

}4,3,2,1,{ iei

Incorporación de conocimiento previo La probabilidad de cada ahora es:

La probabilidad posterior es:

Yy j

K

iijij xyPxPyP

1

),|()()(

)(

)(),|()|( ,

j

iijixji yP

xPxyPyxPR

Incorporación de conocimiento previo Una nueva cota para L es:

Que tendría las mismas soluciones que para el caso anterior excepto que la probabilidad a posteriori y para cada dato se calcula diferente

N

j

K

i

N

j

K

iijjiiji

N

j

K

iijiji

N

jj

WxyPRxPR

WxyPxPRyP

1 1 1 1

2

2

1 11

)),,|(log())(log(

)),,|()(log()(log

Convergencia: L

Verosimilitud

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Serie1

Convergencia: W

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

W11

W12

W13

W21

W22

W23

W31

W32

W33

Determinante

0

1

2

3

4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Determinante

Convergencia: Varianza

Varianza

0

0.5

1

1.5

Iteraciones

Varianza

Px = (.3,.1,.3,.3)

Publicaciones presentadas

Póster: Reyes Ramos, Fidel y Molina Félix, Luis Carlos, Lithofacies characterization by means of Generative Topographic Maps, IJCAI, Acapulco, Agosto de 2003

Sometido como: Reyes-Ramos Fidel Conditional Inversion for Mineral Volumen Characterization, 2004 International Conference and Exhibition of the AAPG, Cancún 2004

Problemas por resolver

1. Condicionamiento automático

Maximizar

Sujeto a:

Método de solución: Multiplicadores de Lagrange

N

j

K

i

N

j

K

iijjiiji WxyPRxPRWL

1 1 1 1

22 )),,|(log())(log(),(

4

1

1)(i

ieP

Aceleración de Convergencia

Aplicar algún método de optimización (de direcciones conjugadas o gradiente) con el fin de acelerar la convergencia

Volúmenes condicionales

Definición: Sea un conjunto de variables aleatorias que representan volúmenes de minerales

Una red bayesiana de U es el par donde G es un grafo dirigido, un conjunto de parámetros

La red bayesiana expresa: un nodo es independiente de sus no descendientes dado sus padres (???)

La red bayesiana expresa una probabilidad conjunta de las variables aleatorias

Pozo 1

Pozo 2

Pozo 3

Pozo 5

Pozo 6

Pozo 4

,G

},,{ 1 NWWU

Método para generar modelos: Triangulación de Delaunay Definición: Dado una serie de puntos en el plano, una

triangulación de Delaunay se forma de triángulos cuyo ángulo mínimo sea el mayor posible

Los vértices de cada triángulo caen en el perímetro de un círculo, el cual no incluye a otro punto.

Su construcción se realiza en tiempo de O(nlogn) (Knuth et al)