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Seminario degli Ex-Studenti Parma 9-12 gennaio 2012
Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Federico Alberto Rossi
Universita Milano-Bicocca
11 gennaio 2012
Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Sommario
1 Introduzione
2 Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
3 Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
4 Ringraziamenti
Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Introduzione
Introduzione
Interesse fisico-matematico (Poisson-Nijenhuis manifold, Liealgebroids, bi-hamiltonian...)
Kosmann-Schwarzbach Rubtsov, “Compatible structures onLie algebroids and Monge-Ampere operators”, Acta Appl.Math., 109 (2010), 101-135.
Kosmann-Schwarzbach, “Nijenhuis structures on Courantalgebroids”, Bull. Brazilian Math. Soc., to appear (arXiv1102.1410)
Interesse geometrico (Geometria complessa, geometriasimplettica)
Hitchin, “Generalized Calabi-Yau manifolds”, Q. J. Math. 54(2003)
Cavalcanti, Gualtieri, Yau...
Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Introduzione
Geometria Riemanniana Geometria Generalizzata
Fibrato tangente ←→ Fibrato TMTM TM := TM ⊕ T ∗M
Metrica riemanniana g(·, ·) ←→ Metrica indefinita 〈·, ·〉e definita positiva segnatura (n, n)
Bracket di Lie ←→ Bracket di CourantBracket di Dorfman
Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Definizioni
Mn varieta diff.Fibrato tangenete generalizzato
TM = TM ⊕ T ∗M = {X + ξ | X ∈ TM, ξ ∈ T ∗M}
Forma simmetrica bilineare simmetrica non-degenere
〈X + ξ,Y + η〉 = 〈Y , ξ〉+ 〈X , η〉 =1
2(ξ(Y ) + η(X ))
[·, ·] , [[·, ·]] : Γ(TM)× Γ(TM) −→ Γ(TM)
Dorfman bracket
[X + ξ,Y + η] := [X ,Y ] + LXη − ιY (d ξ)
Courant bracket
[[X + ξ,Y + η]] :=[X ,Y ] + LXη − LY ξ
− 1
2d(ιXη − ιY ξ) + iX iY H
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
u, v ∈ TM
Osservazione
1 Dorfman bracket non e anti-simmetrico, ma sodisfa l’identiadi Jacobi:
[u, [v ,w ]] = [[u, v ],w ] + [v , [u,w ]],
2 Courant bracket non sodisfa l’identia di Jacobi, ma eanti-simmetrico,
3 Courant bracket e l’anti-simmetrizzato del Dorfman bracket.
Notazione: ∂ : C∞(M) 7→ Γ(T ∗M) definito da: ∂ f (Z ) = Zf
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Tensore di Nijenhuis
Sia N un endomorfismo di TM, i.e. un tensore di tipo (1, 1) sulfibrato TM. Torsione di N o tensore di Nijenhuis:
TN (u, v) := [Nu,N v ]−N ([Nu, v ] + [u,N v ]) +N 2[u, v ]
dove [·, ·] e il bracket di Dorfman.N e Operatore di Nijenhuis se TN = 0,ortogonale o anti-simmetrico se
〈Nu, v〉+ 〈u,N v〉 = 0
cioe N +N t = 0, o equivalentemente
N =
(A πσ −A∗
)dove A ∈ End(M), A∗ : T ∗M → T ∗M e il trasposto di A,π : T ∗M → TM e un bivettore, σ : TM → T ∗M e una 2-forma(π ∈ ∧2T ∗M) t.c. A = −A∗, π∗ = −σ, σ∗ = −π
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Sia B una 2-forma, consideriamo
eB =
(1 0B 1
): TM −→ TM
X + ξ 7−→ X + ξιXB
allora
Proposizione
La mappa eB preserva il bracket di Courant i.e.
[[eB(X + ξ), eB(Y + η)]] = eB(X + ξ)[[X + ξ,Y + η]]
se e soltanto sed B = 0
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
La torsione di N : TM → TM e una mappa:
TN : Γ(TM)× Γ(TM) :−→ Γ(TM)
Purtroppo in generale non e anti-simmetrica:
TN (u, v) + TN (v , u) = N 2 ∂〈u, v〉 − ∂〈u,N 2v〉
e non e C∞(M)-lineare:
TN (u, fv) = f (TN )(u, v)
ma
TN (fu, v) = f (TN )(u, v) + 〈u, v〉N 2(∂ f )− 〈u,N 2v〉 ∂ f
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Inoltre, dalle formule precedenti, si ha:
〈TN (u, v),w〉+ 〈TN (u,w), v〉 = 〈N 2[u,w ]− [u,N 2w ], v〉
e quindi TN non determina una 3-formaT CN torsione sell’endomorfismo N rispetto al bracket di Courant.
Vale la seguente:
T CN (u, v) =
1
2(TN (u, v)− TN (v , u))
e se N e ortogonale si ha:(T CN − TN
)(u, v) =
1
2
(∂〈u,N 2v〉 − N 2 ∂〈u, v〉
)
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Strutture cps
Definizione
un endomorfismo di TM ortogonale tale che
N 2 = λ IdTM
con λ = −1,+1, 0 e detto struttura quasi cps-generalizzata.Se inoltre TN = 0, diremo struttura cps-generalizzata
cps sta per complessa, prodotto (para-complessa) o sottotangente
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Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps
Teorema (Vaisman, Kosmann-Schwarzbach...)
Se N e un struttura quasi cps-generalizzata (o piu in generale se eproporzionale a una str. quasi cps-gen) allora:
TN e anti-simmetrica,
TN e una sezione C∞(M)-lineare di TM ⊗ ∧2TM∗,
TN definisce un 3-tensore antisimmetrico TN ∈ ∧3TM:
TN (u, v ,w) = 〈TN (u, v),w〉
le torsioni TN e T CN coincidono.
⇓Interessante studiare strutture para-complesse e complessegeneralizzate, ovvero:
J 2 = − IdTM K2 = + IdTM
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Geometria Complessa Generalizzata
M varieta reale dimR(M) = 2n.
Definizione
Una Struttura Quasi Complessa Generalizzata J e unendomorfismo su TM t.c.J sia ortogonale rispetto al prodotto 〈·, ·〉,J 2 = − IdTM .
Struttura Complessa Generalizzata J e una struttura q. complessageneralizzata t.c. TJ = 0.
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Definizione
Equivalentemente, una Struttura Quasi Complx Gen e unsottofibrato L < TM ⊗ C t.c.1) L sia isotropo e massimale, (i.e. 〈·, ·〉|L =0 e L⊕L=(TM)⊗C);2) L ∩ L = {0}.Struttura Complessa Generalizzata se l’autospazio L involutivo peril bracket di Courant
L e l’autospazio di J rispetto l’autovalore i
Osservazione
J GC e una struttura di Dirac complessa.
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
J si puo scrivere come matrice a blocchi nel seguente modo:
J =
(A πσ −A∗
)dove A e un endomorfismo di TM, π e un campo di bivettori(π ∈ Λ2TM) e σ e una due forma (σ ∈ Λ2T ∗M).
Esempio (J Struttura Complessa su M)
JJ =
(−J 00 J∗
)LJ = TM0,1 ⊕ T ∗M1,0.
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Esempio (ω Forma Simplettica)
Jω =
(0 ω−1
ω 0
)Lω = {X − iω(X ) : X ∈ TM ⊗ C}.
applichiamo un B-field per coniugio:(0 ω−1
ω 0
)7→(
1 0B 1
)(0 ω−1
ω 0
)(1 0−B 1
)=
(ω−1B −ω−1
ω + Bω−1B −Bω−1
)e ancora una struttura complessa generalizzata
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Strutture Kahleriane generalizzate
Esempio (Esempio Kahleriano)
Sia (g , J, ω) una struttura di Kahler su una varieta M:
J una struttura complessa,
g una metrica riemanniana J-hermitiana,
ω la 2-forma fondamentale:
ω(·, ·) = g(J·, ·) t.c. dω = 0.
Esistono due strutture complesse generalizzate su M:
JJ =
(J 00 −J∗
), Jω =
(0 −ω−1
ω 0
).
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Esempio (Esempio Kahleriano)
Si osserva immediatamente che:
JJ e Jω commutano; G := −JJJω =
(0 g−1
g 0
)G e una metrica definita positiva su TM ⊕ T ∗M.
Definizione
Una Struttura Kahleriana Generalizzata (GK) e una coppia(J1,J2) di strutture complesse generalizzate tali che:1) J1 e J2 commutino tra loro;2) G := −〈J1J2·, ·〉 = 〈J1·,J2·〉 metrica definita positiva suTM ⊕ T ∗M.
(M, g , J, ω) varieta di Kahler definisce una struttura Kahlerianageneralizzata.
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
G = −J1J2 e ortogonale e G 2 = IdTM
G = −J1J2 =
(A g−1
σ At
)=
(1 0b 1
)(0 g−1
g 0
)(1 0−b 1
)ponendo b = −gA. Quindi la metrica G e determinata dalla coppia(g , b).
Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I
Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Teorema (Gualtieri, Comm. Math. Phys. (2007))
Per ogni struttura Kahleriana generalizzata (J1,J2) e equivalentea (g , J+, J−, b) t.c.
1 g metrica riemanniana,
2 J+, J− strutture complesse su M, compatibili con g,
3 le 2-forme fondamentali ω±(·, ·) := g(J±·, ·) soddisfano:
dc− ω− = − dc
+ ω+ = d b
M ha una struttura Kahleriana generalizzata=⇒ (J+, g) e (J−, g) sono strutture SKT:
d dc± ω± = 0
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Alcuni risultati
Teorema (Cavalcanti-Gualtieri, J. of Symplectic Geom. (2004))
Tutte le nilvarieta 6-dimensionali ammettono strutture complessegeneralizzate invarianti.
Teorema (Cavalcanti, Topology Appl. (2007))
Nessuna nilvarieta ammette strutture GK invarianti con la solaeccezione del toro.
Dunque per studiare strutture GK bisogna tralasciare le nilvarieta.
Definizione
Sia G un gruppo di Lie semplicemente connesso, e sia g la suaalgebra di Lie. Se tale algebra e risolubile e G ammette unquoziente compatto M = Γ\G , allora M e detta Varieta Risolubile(o Solvmanifold).
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Alcuni risultati
Teorema (Cavalcanti-Gualtieri, J. of Symplectic Geom. (2004))
Tutte le nilvarieta 6-dimensionali ammettono strutture complessegeneralizzate invarianti.
Teorema (Cavalcanti, Topology Appl. (2007))
Nessuna nilvarieta ammette strutture GK invarianti con la solaeccezione del toro.
Dunque per studiare strutture GK bisogna tralasciare le nilvarieta.
Definizione
Sia G un gruppo di Lie semplicemente connesso, e sia g la suaalgebra di Lie. Se tale algebra e risolubile e G ammette unquoziente compatto M = Γ\G , allora M e detta Varieta Risolubile(o Solvmanifold).
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Algebra di Lie risolubile sa,b definita da:
d e1 = ae1 ∧ e2
d e2 = 0
d e3 =a
2e2 ∧ e3
d e4 =a
2e2 ∧ e4
d e5 = be2 ∧ e6
d e6 = −be2 ∧ e5.
Sa,b gruppo di Lie semplicemente connesso con algebra di Lie sa,b.S1,π
2ha quoziente compatto M6 = Γ\S1,π
2.
[Fino-Tomassini, J. Symplectic Geom. (2009)]
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Teorema (Fino-Tomassini, J. Symplectic Geom. (2009))
La varieta compatta M6 := Γ\S1,π2
ha una struttura generalizzatadi Kahler invariante a sinistra.
J+ :
ω1
+ = e1 + ie2
ω2+ = e3 + ie4
ω3+ = e5 + ie6
J− :
ω1− = e1 − ie2
ω2− = e3 + ie4
ω3− = e5 + ie6
g :=6∑
k=1
ek ⊗ ek .
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Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate
Su M6 := Γ\S1,π2
consideriamo le strutture complesse:
J+ :
ω1
+ = e1 + ie2
ω2+ = e3 + ie4
ω3+ = e5 + ie6
J−(t) :
ϕ1− =e1 − i(2 + 2t + t2)
2(1 + t)e2
ϕ2− =e3 + ie4 + te3
ϕ3− =e5 + ie6
Teorema (—)
(g , J+, J−(t))|t|<ε e una curva di strutture Kahleriane generalizzatesu M6 := Γ\S1,π
2.
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Ringraziamenti
Grazie
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