introduzione ai derivati finanziari
TRANSCRIPT
Introduzione ai derivati finanziari
Introduzione ai derivati finanziari
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariGeneralitĂ
Vienedenominatostrumentoderivato (ocontrattoderivato,osemplicementederivato)ognicontrattootitolo,ilcuiprezzoderividalvaloredimercatodiunaopiĂšattivitĂ (peresempio,azioni,indici,valute,tassidiinteresse,commodities).
Iderivatisonoprevalentementeutilizzati:(a) PerfinalitĂ dicopertura (hedging)diunrischiofinanziario(peresempio,fissazione
diunprezzocertoafrontediunasuavariazionealeatoria)(b) PerfinalitĂ arbitraggiste (peresempio,acquistodiunâattivitĂ quotatainunmercato
evenditadellastessainunmercatodifferente)(c) PerfinalitĂ speculative (peresempio,scommessasuandamentirialzistioribassisti
delleattivitĂ sottostanti)
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariClassificazione
Azioni(Equity)
Tassi di interesse(Interest rate)
Indici(Indexes)
Valute(Forex/Currency)
Beni materiali(Commodity)
Credito(Credit)
ForwardFuturesSwap
Impegni condizionati al verificarsi di dati eventi
(Opzioni, CDS, Notes)
Contratti a termine
Contratti condizionati (contingent claim)
Reti di intermediari (Computer/Telefono)
ÂŤGridaÂť / Sistemi di negoziazione
elettronica
Accordi bilaterali(Over the Counter,
OTC)
Scambi regolamentati
(Exchange traded)
Natura del contratto
AttivitĂ sottostante Meccanismo di mercato
Derivati finanziari
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariPricing e copertura
Derivati finanziari(Forward, futures, swap, opzioni, derivati su tassi di interesseâŚ)
Processi a tempo discreto
Processi a tempo continuo
Modello binomiale
Teorema di rappresentazione
binomiale
Modelli stocastici
Teorema di rappresentazione delle martingale
Modello di Black e Scholes
Modelli per le opzioni americane
Modelli per itassi di interesse
Calcolo di Ito (SD)
Prezzamento e copertura(Pricing & Hedging)
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariPricing e copertura
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariEvoluzione della modellistica
2c.SimulazioniMonteCarlo
1900
19641965
1973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991
1900
19641965
1973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991
2.IMODELLINUMERICI
1.IMODELLIANALITICI
1c.PrecursoridelmodellodiBlack-
Scholes
3.IMODELLI DIAPPROSSIMAZIONE
ANALITICA2B.METODOLOGIA ALLADIFFERENZE FINITE
2A.MODELLIBINOMIALI
1A.GENERALIZZAZIONI DELMODELLO DI BLACK-SCHOLES
1B.ESTENSIONI AL MODELLODI BLACK-SCHOLES
BLACK-SCHOLES
BACHELIER
SPRENKLE BONESSSAMUELSON
BOYLE SCHWARTSSHARPE
BLACK
COX/ROSS/RUBENSTEIN GESKE GOLDMAN/SOSIN/GATTORENDLEMAN/BARTTER
GARMAN/KOHLHAGEN GRABBE
MACMILLANBARONE-ADESI/WHALEY
HULL/WHITE SCOTT WIGGINS
HULL/WHITE BLACK/DERMAN/TOY
MERTONTHORPE
JARROW/RUDD
MERTON INGERSOLLCOX/ROSS
WHALEY
GESKE
ROLL
COURTADON
HO/LEE
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Derivati
Categoria di rischio dei derivatiTotale (tutte le
categorie di rischio)Tassi diinteresse
ValuteDerivati creditizi
Fonte: BIS
Un quadrilione di dollari
In dollari USA
Un nozionale pari a116.500⏠procapite*Include forex-swap, equity-linked swap e swap su commodities
Introduzione ai derivati finanziariLe dimensioni del mercato
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariLe implicazioni
Derivati
⢠Il mercato dei derivati OTC è opaco e gestito da pochi grandi dealerIl cd. G15 gestisce oltre il 90% del mercato globale dei derivati OTC:
Bank of America-MerrillLynchBarclays CapitalBNP ParibasCitigroupCommerzbank AG
Credit SuisseDeutsche Bank AGGoldman Sachs & Co.HSBC GroupJ.P. Morgan Chase
Morgan StanleyThe Royal Bank of Scotland GroupSociĂŠtĂŠ GĂŠnĂŠrale,UBS AGWachovia Bank
⢠Chi opera sul mercato OTC ha piĂš informazioni e può condizionare lâandamento dei mercatiDal punto di vista dei modelli matematici, maggiore informazione equivale ad operare ÂŤnel futuroÂť
⢠FragilitĂ e rischi sistemiciNonostante lâaccresciuta efficienza, i ÂŤcigni neriÂť nei mercati finanziari si verificano con una frequenza ed unâintensitĂ non spiegate dalla teoria ma che possono essere invece causate dalla finanza derivata (mutui subprime, default-non-default della Grecia, CDS e spreadâŚ)
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariPrincipali derivati
⢠Forward
⢠Futures
⢠Swap
⢠Opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariForward e futures
Definizione (Forward)Contratto a termine attraverso il quale le parti si impegnano a scambiare unâattivitĂ sottostante ad unascadenza stabilita e al prezzo (prezzo forward) fissati alla stipula del contratto. Il contratto è di tipo OTC(over-the-counter), cioè non standardizzato.
Osservazioni⢠Lâacquirente assume la posizione cd. lunga, il venditore la posizione cd. corta.
⢠Gli obblighi contrattuali del forward (futures) possono essere onorati:(a) acquistando (vendendo) realmente il sottostante a scadenza (il che accade il 2% delle volte), o(b) prendendo una posizione di mercato opposta a quella iniziale.
⢠Se alla scadenza iI prezzo del sottostante è maggiore del prezzo forward (future), la posizione lunga hasaldo positivo, altrimenti negativo (caso speculare per la posizione corta).
⢠La differenza principale tra futures e forwards risiede nel fatto che, mentre i forward sono scambiatiover-the-counter (OTC), i futures sono contratti standardizzati scambiati in mercati istituzionali. Ingenerale, la standardizzazione riguarda le date di consegna ed il meccanismo implementato percontenere il rischio di default di una delle parti.
Definizione (Futures)Contratto a termine attraverso il quale le parti si impegnano a scambiare unâattivitĂ sottostante ad una scadenza stabilita e al prezzo (delivery price) fissati alla stipula del contratto. Il contratto è standardizzato nelle sue caratteristiche principali (sottostante, dimensione, termini di quotazione dei prezzi, scadenza, luogo diconsegna del sottostante e determinazione del prezzo).
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Prezzodelsottostante !(#)
Profitto o perdita
%(#) =Prezzo diacquisto delcontratto forward(future)
! & > %(#)Posizionelungaguadagna
! & < %(#)Posizionelungaperde
Payoff della posizione lunga
Prezzodelsottostante!(#)
Profitto o perdita
%(#) =Prezzo diacquisto delcontratto forward(futures)
! & > %(#)Posizionecortaperde
! & < %(#)Posizionecortaguadagna
Payoff della posizione cortaCoeff. ang. = 1
Coeff. ang. =â1
Payoff della posizione lunga! & â % # !(&) â +
Payoff della posizione corta% # â ! & . + â !(&)
Sia %(#) il prezzo allâepoca # del contratto, !(#) il prezzo allâepoca # del sottostante e & lascadenza del contratto. Il payoff del contratto è descritto dalle Figure che seguono.
Introduzione ai derivati finanziariForward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
⢠Alla stipula di un future, viene richiesto il deposito di un margine, generalmente corrisposto ad unintermediario indipendente (Clearing House) con funzione di garante per entrambe le parti controun'eventuale inadempienza del contratto.
⢠I futures sono marked to market: al termine di ogni giorno di contrattazione il contratto viene liquidatoattraverso lâadeguamento del margine ed un nuovo contratto viene riscritto. Ogni variazione(profitto/perdita) giornaliera viene registrata nei conti delle parti.
⢠Se il saldo del deposito scende al di sotto della soglia minima, viene richiesto un versamentointegrativo (la c. chiamata di margine o margin call).
⢠La standardizzazione dei futures riguarda:⢠Il sottostante: viene definito esattamente il bene oggetto di scambio a scadenza. Nel caso si tratti dicommodities, occorre indicarne la qualità , le caratteristiche specifiche, le modalità di trasferimento edi stoccaggio e cosÏ via.
⢠Le dimensione del contratto: specifica la quantitĂ di sottostante che costituisce lâoggetto delloscambio
⢠Le condizioni di consegna: nella generalità dei casi a scadenza ha luogo la cd. cash settlement(cioè la liquidazione del controvalore anzichÊ del sottostante in termini fisici). Nel caso in cui abbialuogo effettivamente la consegna del sottostante (physical settlement), occorre stabilire il tipo diconsegna (il luogo ed i termini)
⢠Le condizioni di quotazione: si specifica lâentitĂ delle variazioni di prezzo del sottostante in terminidi tick e/o di eccesso di variazione.
⢠I limiti di posizione: il massimo numero di contratti che può aprire uno speculatore. Vuole evitareche la speculazione possa âdirigereâ il mercato; da tale limite sono esclusi gli hedgers
Introduzione ai derivati finanziariMeccanismi operativi dei futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
⢠I futures non prevedono esborsi iniziali e pertanto sono soggetti al rischio di insolvenza di una delle due parti.
⢠A tutela delle parti opera la Cassa di Compensazione (Clearing House), un organismo che:⢠raccoglie i depositi che garantiscono il buon fine dellâoperazione;⢠elimina il rischio di insolvenza da inadempimento.
⢠La Cassa di Compensazione, per tutelarsi a sua volta, adegua il deposito di garanzia giornalmente per tenere conto del valore delle posizioni in essere.
⢠Lâintermediario presso il quale si opera apre un conto apposito per il deposito dei margini di garanzia. Al momento dellâapertura del contratto deve essere depositata una somma variabile (dipende dallâintermediario) non inferiore al 7.5% (in Italia) del valore sottostante al contratto stesso.
⢠In genere gli intermediari richiedono un versamento che va dal 10% al 15% del valore del contratto. In nessun caso il saldo del conto margini deve scendere al di sotto della percentuale minima pari al citato 7.5%.
⢠Ogni fine giornata si chiude la posizione in essere, si calcolano gli eventuali profitti o perdite che verranno accreditati o addebitate sul conto margini; contestualmente si riapre la posizione al nuovo prezzo. Se per effetto di perdite continuate il saldo del deposito scende al di sotto della soglia minima, è richiesto un versamento integrativo (la cd. chiamata al margine o margin call).
Introduzione ai derivati finanziariMeccanismi operativi dei futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
EsempioSi acquista un contratto future sullâindice di borsa FTSE MIB, il FIB. Il valore del contratto è calcolato attribuendo ad ogni punto indice il valore di 5âŹ. Se il valore di acquisto iniziale fosse 18.800, il valore del contratto sarebbe 18.800⏠¡ 5 = 94.000âŹ. Con un deposito iniziale (margin requirement) del 10%, 9.400âŹ, e un minimo (margin manteinance) del 7.5%, 7.050âŹ, una situazione tipica è riassunta nella seguente tabella:
Giorno FIB Variazione punti
Variazione valore
G/Pcumulate Conto margini Chiamata al
margine
1 18.800 9.400
2 18.650 (150) (750) (750) 8.650
3 18.300 (350) (1.750) (2.500) 6.900 2.500
4 18.400 100 500 (2.000) 9.900 ( = 6.900+2.500+500)
5 18.600 200 1.000 (1.000) 10.900
6 18.650 50 250 (750) 11.150
7 18.350 (300) (1.500) (2.250) 9.650
8 18.200 (150) (750) (3.000) 8.900
9 18.400 200 1.000 (2.000) 9.900
10 18.300 (100) (500) (2.500) 9.400
Introduzione ai derivati finanziariForward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Short HedgeSi supponga che un operatore abbia in portafoglio unâattivitĂ (che assumiamo unitaria) che dovrĂ vendere ad una data futura.Per coprirsi dal rischio che il prezzo dellâattivitĂ scenda, lâoperatore può attuare uno short hedge(copertura short) vendendo un contratto future scritto sullâattivitĂ . In questo modo:(a) Se il prezzo dellâattivitĂ scende, lâoperatore perderĂ nel vendere lâattivitĂ , ma guadagnerĂ
sulla posizione corta assunta nel contratto future;(a) Se il prezzo dellâattivitĂ sale, lâoperatore guadagnerĂ dalla vendita dellâattivitĂ , ma perderĂ
sulla posizione corta assunta nel contratto future.
Long HedgeSi supponga che un operatore debba acquistare unâattivitĂ (che assumiamo unitaria) ad unacerta data futura. Per coprirsi dal rischio che il prezzo dellâattivitĂ salga, lâoperatore può attuare unlong hedge (copertura long) acquistando un contratto future scritto sullâattivitĂ . In questo modo:(a) Se il prezzo dellâattivitĂ scende, lâoperatore perderĂ dalla posizione lunga assunta nel
contratto future, ma guadagnerĂ dallâacquisto dellâattivitĂ ;(a) Se il prezzo dellâattivitĂ sale, lâoperatore guadagnerĂ dalla posizione lunga assunta nel
contratto future, ma perderĂ dallâacquisto dellâattivitĂ .
OsservazioneLa copertura attraverso i futures non migliora il risultato finanziario complessivo, ma limita lâesposizione al rischio dellâoperatore.
Introduzione ai derivati finanziariHedging
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Open interest: è la somma di tutte le posizioni lunghe (o corte) che risultano in essere nel mercato in un specifico istante.
Incremento dellâopen interest Ă incremento del numero di operatori con aspettative oppostecirca il futuro andamento del sottostante.
Decremento dellâopen interest Ă incremento del numero di chiusure dei contratti, spia di unadiffusa convergenza di aspettative.
1 2 3Trader1 1 Future â L 1 1 1 Future â S 0
Trader2 1 Future â S 1 1 1 Future â L 0
Trader3 2 Futures â L 2 2
Trader4 2 Futures â S 2 2
Posizioni aperte (P) 2 6 4
Open Interest (P/2) 1 3 2
1 2 3Trader1 1 Future â L 1 1 1 Future â S 0
Trader2 1 Future â S 1 1 1
Trader3 2 Futures â L 2 2
Trader4 2 Futures â S 2 2
Trader5 1 Future â L 1
Posizioni aperte (P) 2 6 6
Open Interest (P/2) 1 3 3
Introduzione ai derivati finanziariLâOpen interest
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Relazione tra il prezzo spot ed il prezzo forward (future)
Notazione:⢠! epoca di scadenza del contratto (in unitĂ di tempo);⢠" epoca corrente (in unitĂ di tempo);⢠#(") prezzo spot del sottostante allâepoca "⢠& prezzo forward pattuito⢠' valore del contratto forward (future) (alla data di stipula). Tale valore viene posto
uguale a zero, in modo che assumere la posizione lunga o corta dipenda solo dalle aspettative delle parti.
⢠((", !) prezzo forward (future) allâepoca " di un contratto con scadenza !⢠* tasso privo di rischio per unitĂ di tempo, assunto costante tra " e !
Ilprincipiodiarbitraggio stabiliscecheilprezzoforward allâepoca" èugualea:
( ", ! = # " ,-(./0)
OsservazionePer " â !, ,-(./0) â 1. Quindi, il prezzo forward (future) tende al prezzo spot quando il tempotende allâepoca di scadenza, cioè ((", !) â #(!) per " â !.
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Per dimostrare la relazione !(#, %) = ((#))*(+,-), consideriamo i due seguenti portafogli
Portafoglio Contenuto Valore
A Posizione lungasuunforward .LiquiditĂ /),* (+,-)
B Una unità delsottostante ((#)⢠Investendoin# altassoprivodirischio0 laliquidità /),* (+,-),allascadenza% lasomma
varrĂ /,importochegarantiscelâacquistodelsottostanteallâepocadiscadenzadelcontrattoforward (future).
⢠Allascadenza%,siailPortafolio AsiailPortafoglioBvarranno((%) (cioèunaunitĂ delsottostante)equindi,perilprincipiodiarbitraggio,entrambidevonoaverelostessovaloreallâepoca#,cioè
. + /),* (+,-) = ((#)dacui
. = ( # â /),* (+,-)
PoichĂŠallâepocadistipulailvalore. delcontrattoforward (future)èugualeazero,siha!(#, %) â / = ( # )* (+,-)
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
Stessa conclusione può essere raggiunta assumendo che lâuguaglianza ! ", $ = &("))*(+,-)non valga. Infatti:
1° Caso:! ", $ > &("))*(+,-)Strategia " $Prendere a prestito lâimporto &(") tra " e $ al tasso / +&(") â&("))*(+,-)Acquistare il sottostante â&(")Vendere il forward +!(")Profitto 0 +3(4, 5) â 6(4)78(5,4)
2° Caso:! ", $ < &("))*(+,-)Strategia " $Vendere allo scoperto il sottostante +&(")Investire lâimporto &(") tra " e $ al tasso / â&(") &("))*(+,-)
Acquistare il forward â!(")Profitto 0 6 4 78 5,4 â 3(4, 5)
In entrambi i casi, se lâuguaglianza non valesse, si verificherebbe un arbitraggio.
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
La compravendita in forward o futures (mediante lâapertura di posizioni a termine contrarie a quelle sorte dalle contrattazioni a pronti) può avere due finalitĂ prevalenti:
⢠di copertura, per eliminare o ridurre un rischio sorto nel corso di unâattivitĂ economica (p.es. unâazienda esportatrice si copre dal rischio di cambio o dal rischio dâinteresse);
⢠di speculazione, per speculare su eventuali differenze fra le sue aspettative concernenti i movimenti futuri dei prezzi e le attese correnti del mercato.
Quasi sempre non si ha una copertura perfetta (perfect hedge), nel senso che il rischio generalmente non viene eliminato del tutto. Ciò in quanto:
⢠la durata della copertura può differire dalla scadenza naturale del futures;
⢠Lâasset il cui rischio che si vuole coprire non coincide con il sottostante il futures;
⢠non è nota esattamente la data di acquisto/vendita dellâasset
Introduzione ai derivati finanziariHedging con i futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Tali fattori generano il cosiddetto rischio base, definito come la differenza tra prezzo dellâassete prezzo del futures ad esso relativo. Cioè
!"#$(&) = ) & â +(&),essendo, con la notazione giĂ introdotta, ) & il prezzo a pronti dellâattivitĂ da proteggere e +(&) il prezzo del contratto futures da usare.
⢠Lâoscillazione dei due prezzi fa variare il rischio base. Un suo aumento è detto rafforzamento della base, una sua riduzione è detta indebolimento della base.
⢠In presenza di un long hedge (acquisto del future), il costo effettivo del future sarĂ
) & + 1 â + & + 1 â + & = ) & + 1 â + & + 1 + + &= + & + ) & + 1 â + & + 1= + & + !"#$(& + 1)
⢠In presenza di un short hedge (vendita del future), il ricavo effettivo dal future sarĂ
) & + 1 + + & â + & + 1 = + & + ) & + 1 â + & + 1= + & + !"#$(& + 1)
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Denotando con !" # + 1 il prezzo al tempo # + 1 dellâattivitĂ sottostante il futures, la base è suscettibile di essere interpretata come
&'() # + 1 = " # + 1 â , # + 1
= " # + 1 â !" # + 1 + !" # + 1 â , # + 1
= " # + 1 â !" # + 1 + !" # + 1 â , # + 1
In questa:
⢠" # + 1 â !" # + 1 è la base che deriva dalla differenza fra le due attivitĂ
⢠!" # + 1 â ,(# + 1) è la base che si avrebbe se lâattivitĂ da coprire fosse uguale a quella sottostante il contratto futures
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Il rischio base è influenzato molto dalla scelta del contratto futures.
Problemi operativi
⢠Scelta del future. Non esistendo future per ogni asset, se nel mercato non esiste un future con unâattivitĂ sottostante uguale a quella da coprire, occorre scegliere il future statisticamente piĂš ÂŤsimileÂť allâattivitĂ da coprire (p.es. analisi di correlazione). Si sceglie il future con la maggiore correlazione con lâasset sul quale si effettua lâhedge
⢠Mese di consegna. I corsi diventano piĂš erratici nel mese di consegna. In generale, maggiore è la distanza temporale fra la scadenza della copertura e la data di scadenza del future piĂš grande è il rischio base. Per ridurre lâesposizione al rischio si acquista o vende un futures con scadenza il piĂš possibile vicina al mese della scadenza della copertura, ma comunque piĂš lontana nel tempo rispetto a questa. Il problema è che non sempre la liquiditĂ del mercato lo consente (i mercati piĂš liquidi sono quelli con le scadenze piĂš brevi). Per ovviare a questo problema si ricorre sovente alla tecnica del roll the hedge forward
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Qual è il numero ottimale di contratti futures da comprare/vendere per la copertura?
Per una copertura ideale, le variazioni del prezzo future dovrebbe uguagliare quelle del prezzo spot dellâasset, cioè
â" = â$ciò che non si realizza nella generalitĂ dei casi.
Per calcolare il numero ottimale di contratti futures è pertanto necessario determinare il rapporto di copertura ottimale che minimizza la varianza della posizione dellâhedger. La soluzione del problema di ottimizzazione min( ) â" â â , â$ - fornisce il cosiddetto hedge ratio
â = ./.01/,0
Essendo:⢠./ la deviazione standard delle variazioni del prezzo spot;⢠.0 la deviazione standard del prezzo del future⢠1/,0 la correlazione tra le variazioni del prezzo spot e le variazioni del prezzo future.
Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Definizione (Swap)Accordo bilaterale OTC che prevede lo scambio di futuri flussi di cassa alle condizionidefinite nel contratto.
Osservazioni
1) Lâaccordoènonstandarizzato enonèpertantoregolamentatodanessunaautoritĂ delmercato.
2)Ifuturiflussidicassaâ riferitiaduncapitalelacuientità èstabilitanelcontratto(ilcd.nozionale)â possonointerpretarsi,perentrambeleparti,comeportafogliobbligazionari oportafoglidicontrattiforward.
3)Loscopoprincipaledelloswapconsistenelmodificarelatipologiadiunaposizionedebitoria(p.es.trasformareunapassivitĂ contrattaatassofissoinunapassivitĂ atassovariabile,oviceversa)
4)Loswapèestremamentediffusonellapraticafinanziaria.Ilmercatodegliswapammontaacentinaiadimiliardidieuro.
5)Latipologiadicontrattoswapmaggiormentediffusaèloswapplain vanilla,nelqualeloscambioriguardapostediammontarefissocontropostediammontarevariabile.
6)Dinormaloswapèalal netto,cioèadogniscadenzafissatadalcontrattolepartiliquidanoladifferenzatraiflussienonlâinteroflusso.
Introduzione ai derivati finanziariSwap
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Esempio (swap su merci). Unâazienda elettrica acquista mensilmente ! barili di petrolio peralimentare i propri impianti di produzione. In tal modo, lâazienda è esposta alla fluttuazionedel prezzo spot del petrolio "($) che di mese in mese si osserverĂ sul mercato. Il flusso dicassa dellâazienda è variabile, essendo pari a ! ¡ "($).Temendo un aumento del prezzo del petrolio, lâazienda decide di modificare la tipologia delflusso, trasformando la successione di pagamenti variabili (!Ă"($'), $'= 1,2, ⌠, -) in unasuccessione di pagamenti fissi (!Ă. ad ogni scadenza $').Chiaramente lâazienda dovrĂ trovare una controparte disposta ad accettare lo scambio, cioè apagare fisso contro variabile.
Aziendaelettrica
Mercatospotdelpetrolio
ContropartePagamentifissi!Ă.
Pagamentivariabili!Ă"($')Pagamenti
variabili!Ă"($') PetrolioAd ogni epoca $/ le parti liquidano la differenza0 $' = !Ă" $' â !Ă. = ! ¡ [" $' â .].
Se 0 $' > 0 lâazienda elettrica guadagnaSe 0 $' < 0 lâazienda elettrica perde.
Introduzione ai derivati finanziariSwap
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Problema.Come valutare il contratto, cioè qual è il ÂŤgiustoÂť prezzo fisso ! e come lo si determina?Seguendo la notazione dellâesempio, ad ogni scadenza "# (% = 1,2, ⌠, +) sappiamo che ilsaldo è
ma allâepoca iniziale non è noto il prezzo spot che il sottostante avrĂ allâepoca "#. Tale prezzopuò essere stimato attraverso il suo prezzo forward - ", "# .
Quindi, allâepoca t di stipula dello swap, il saldo stimato per ciascuna delle scadenze "# è
ed il valore dello swap allâepoca t è dato dalla somma dei futuri saldi attualizzati. Cioè:
Il valore dello swap allâepoca di stipula viene uguagliato a zero in modo che assumerela posizione lunga o corta nello swap dipenda solo dalle aspettative delle parti.Pertanto, il valore / (entitĂ del pagamento fisso unitario) che verifica la
determina quanto la gamba fissa dello swap deve pagare ad ogni scadenza "# (cioè qual è ilÂŤgiustoÂť prezzo dellâassicurazione).
0#123 4 ", "# 5 - ", "# â / = 0 âš / = â#123 4 ", "# - ", "#â#123 4 ", "#
: "# = 5 ; < "# â /
: "# = 5 ; - ", "# â /
= = 0#123 4 ", "# : "# = 0#123 4 ", "# 5 - ", "# â /
Introduzione ai derivati finanziariPrincipio generale di valutazione di uno swap
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
SchemaConriferimentoalloscadenzario!", !$, ⌠!&,adogniscadenza!$ (' = 0,⌠, *)
suundatonozionale+.
Osservazioni⢠Comunemente, come tasso variabile negli IRS viene assunto il London Interbank Offer Rate
(Libor), cioè il tasso di interesse interbancario riconosciuto sui depositi.⢠In genere è la sola differenza + ¡ (./ â 1) ad essere liquidata ad ogni scadenza.
ParteA ParteBcorrispondeiltassodiinteressefissor
corrispondeiltassodiinteressevariabile.'
Graficamente,sulloscadenzario! = !0 , !1 , ⌠, !*
t t1 ⌠ti ⌠tnStipulaIRS
C(c1 - r) C(ci - r) C(cn - r)C(c0 - r)
Introduzione ai derivati finanziariSwap su tassi di interessi (IRS, Interest Rate Swap)
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Per valutare il tasso IRS (tasso swap), per il quale â a differenza dei tassi interbancari a breve(Euribor, Libor, tasso di rifinanziamento BCE ecc.) â non esiste un fixing ufficiale per le diversedurate dello swap, si ragiona in modo analogo allâesempio prima considerato, calcolando:(a) il valore attuale della gamba fissa, al tasso IRS incognito,(b) il valore della gamba variabile, ai tassi dedotti dalla curva dei rendimenti generata dai tassiosservati sul mercato (p.es. Euribor)e uguagliando i due valori al momento della stipula dello swap. Cioè(*)
!"# $ 1 + '( )*)+ + !"# $ 1 + ', )*)- + âŻ+ !"# $ 1 + '/ )*)0 == 2(4, 4() $ 1 + '( )*)+ + 2(4, 4(, 4,) $ 1 + ', )*)- + âŻ+ 2(4, 4/*(, 4/) $$ 1 + '/ )*)0
!"# = 2(4, 4() $ 1 + '( )*)+ + 2(4, 4(, 4,) $ 1 + ', )*)- + âŻ+ 2(4, 4/*(, 4/) $ 1 + '/ )*)0
1 + '( )*)+ + 1 + ', )*)- + âŻ+ 1 + '/ )*)0 =
= â89(/ 2(4, 48*(, 48) $ 1 + '8 )*):
â89(/ 1 + '8 )*):
essendo:⢠IRS il tasso IRS che rende uguali, alla stipula, i valori attuali della gamba fissa e variabile
(cosiddetto ÂŤmark to marketÂť nullo)⢠'8 il tasso zero coupon vigente nel periodo 48-esimo (; = 1,⌠, =)⢠2(4, 48*(, 48) il tasso di rendimento forward vigente tra 48*( e 48 (p.es. lâEuribor) (evidentemente
2(4, 4() è il tasso spot osservato al momento della stipula dello swap)
(avendo posto 4 = 4>)
(*) Si osservi che, comparendo come fattore in entrambi i membri dellâuguaglianza, il nozionale ? è stato semplificato
Introduzione ai derivati finanziariValutazione di un IRS
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Lasocietà Apuòindebitarsisecondoleduealternative:(a1)Tassofissoparial4%(b1)TassovariabileparialLibor semestrale(L6m)
Lasocietà B,chehaunostandingcreditiziomenoelevato,puòindebitarsisecondoleduealternative:(a2)Tassofissoparial6%(b2)TassovariabileparialLibor semestrale+50bp(L6m+0,50)
SupponiamochelasocietĂ Aintendaavvalersidelfinanziamentoatassovariabile(b1),mentrelasocietĂ Bintendefinanziarsiatassofisso(a2).
Seinfattisupponiamoche
SeleduesocietĂ siâaccontentasseroâdellecondizionilorooffertedalmercatopagherebberoilfinanziamentorispettivamenteuntassoparialLibor semestrale(A)euntassofissoparial6%(B).MaentrambelesocietĂ possonospuntarecondizioni miglioriattraversolastipuladiunopportunoIRS.
⢠lasocietà Acontraggailprestitoatassofisso(pagandoadogniscadenzail4%)
⢠lasocietà Bcontraggailprestitoatassovariabile(pagandoadogniscadenzailL6m+50bp)
⢠leduesocietà stipulanounIRSinbasealqualelasocietà Acorrispondeadogniscadenzaallasocietà BilL6m-75bpincambiodelpagamento,dapartedellasocietà B,deltassofissoparial4%.
Introduzione ai derivati finanziariEsempio di IRS
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Calcoliamo,perunnozionaleunitario,ilsaldoperleduesocietĂ allagenericascadenzati:
Paga Incassa Saldo
SocietĂ A4%
L6m- 0,754%
4% - (4%+L6m- 0,75)=- (L6m- 0,75)
SocietĂ BL6m+0,50
4%L6m- 0,75 L6m- 0,75- (L6m+0,50+4%)=-
5,25%
Concludendo
⢠Lasocietà A,chevuoleindebitarsialtassovariabile,pagauntassoparialLibor semestralemeno75bp (senzastipulareloswapavrebbepagatoilLibor semestrale)
⢠Lasocietà B,chevuoleindebitarsialtassofisso,pagauntassoparial5,25% (senzastipulareloswapavrebbepagatoil6%)
LastipuladellâIRSconvieneadentrambelesocietĂ .
Introduzione ai derivati finanziariEsempio di IRS
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Definizione (Opzione)Una opzione call [put] sul sottostante !" è il diritto di comprare [vendere] il sottostante alprezzo contrattualmente stabilito # (prezzo di esercizio, strike price).
Tale diritto può essere esercitato: $alla scadenza - ./01.23 345./36
3275. la scadenza - (./01.23 69351:626)
Il costo <" (= < -) dellâopzione call [put] è detto premio dellâopzione.
Osservazioni
⢠I forwards e i futures obbligano il detentore del contratto a consegnare o ad accettare laconsegna del sottostante alla scadenza. Le opzioni conferiscono al detentore il diritto, nonlâobbligo, di acquistare o vendere il sottostante.
⢠Uno dei problemi principali consiste nel calcolare il premio <" in modo che esso non generiarbitraggi. Al momento della scrittura dellâopzione allâepoca =, <" non è noto. Anche nel corsodella vita dellâopzione (quando il premio <" viene stabilito dal mercato attraverso ladomanda e lâofferta), lâopzione può non essere scambiata frequentemente. Dâaltro canto, unoperatore potrebbe avere lâesigenza di conoscere il valore giornaliero di <", per esempio pervalutare i suoi rischi o per avvantaggiarsi di un possibilemispricing.
Introduzione ai derivati finanziariOpzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Graficamente, il profitto/perdita può essere descritto come segue:
!(#)
P/P
Pro(itto
X - c
XPerdita
c
Posizione corta put
Posizione lunga put
CALL PUT
!(#)
P/P
Pro(itto
X + c
X
Perdita
c
Posizione corta call
Posizione lunga call
Introduzione ai derivati finanziariPayoff di unâopzione (a scadenza)
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Acquisto di
- 100 opzioni call con sottostante Apple Inc. (AAPL)
- Scadenza (maturity): T = 3 mesi
- Prezzo di esercizio (Strike price): X = 480$- Premio : c = 9.83$ (*)
Il prezzo dellâApple Inc. sia 460$.
Se alla scadenza (3 mesi)
(a) Il prezzo di Apple Inc. è !(#) > 480$, il compratore eserciterĂ lâopzione e, per ogni opzione inportafoglio, il saldo sarĂ S(T) â X â c.
*(+) Saldounitario N° Saldototale
481$ 481-480-9.83=-8.83 100 -883$
482$ 482-480-9.83=-7.83 Âť -783$
483$ 483-480-9.83=-6.83 Âť -683$
484$ 484-480-9.83=-5.83 Âť -583$
485$ 485-480-9.83=-4.83 Âť -483$
486$ 486-480-9.83=-3.83 Âť -383$
487$ 487-480-9.83=-2.83 Âť -283$
S(T) Saldounitario N° Saldototale
488$ 488-480-9.83=-1.83 100 -183$
489$ 489-480-9.83=-0.83 Âť - 83$
490$ 490-480-9.83=0.17 Âť +17$
491$ 491-480-9.83=1.17 Âť +117$
492$ 492-480-9.83=2.17 Âť +217$
493$ 493-480-9.83=3.17 Âť +317$
494$ 494-480-9.83=4.17 Âť +417$
(*) Il prezzo c è stato calcolato usando la formula di Black e Scholes (per un supporto online si veda, p.es., il software disponibile
online allâindirizzo: http://www.cboe.com/LearnCenter/OptionCalculator.aspx)
Introduzione ai derivati finanziariEsempio di opzione
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
(b) Il prezzo di Apple Inc. è !(#) < 480$, il compratore non eserciterĂ lâopzione ed il saldocomplessivo sarĂ â 100 ¡ - = â 100 ¡ 9.83$ = â983$.
Prezzo ascadenza delsottostante!(#)
P/PPro5itto
489,83(X+c)
480(X)
Perdita
9.83(c )
Graficamente, il profitto/perdita può essere descritto come segue:
Introduzione ai derivati finanziariEsempio di opzione
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
ObiettivoDeterminare una formula chiusa in grado di esprimere !" come una funzione del prezzo delsottostante e di altri parametri rilevanti.
Al tempo #, la sola âformulaâ conosciuta per !" è quella che restituisce !$.Infatti, assumendo che⢠Non ci siano commissioni e/o costi aggiuntivi⢠Sia uguale a zero lo spread bid-ask (denaro-lettera) su %" e !",allora a scadenza !$ può assumere solo due valori:
Out-of-money: %$ < ' â !$ = 0 (Inquesto caso,il sottostante può essere compratonel mercato per%$ < '.Nessundetentorerazionalediopzionieserciterebbeildirittodicomprareilsottostantealprezzo')
In-the-money: %$ > ' â !$ = %$ â ' (Inquesto caso,lâopzione verrebbe banalmenteesercitata perchĂŠ il sottostante può esere acquistatoalprezzo ' evenduto alprezzo %$,inmododaguadagnareunprofittonettougualea%$ â ')
In breve, !$ = max[%$ â ', 0] â (%$ â ')6
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
!"
Valore opzione in #:max[) â +,, 0]
Valore opzione in 0
Valore opzione in 0 + 1
) +
!"
Valore opzione in #:max[+, â ), 0]
Valore opzioni in 0
Valore opzionein 0 + 1
) +
I grafici mostrano il valore di una call (sx) e di una put (dx) in vari momenti prima dellascadenza. Si osservi che per 0 < # il valore dellâopzione è una funzione continua e smooth. Soloa scadenza il valore dellâopzione diviene una funzione lineare spezzata con un punto angolosoin corrispondenza del prezzo di esercizio.
Opzione Call Opzione Put
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Problema:Comecalcoliamo il premio !"?(Ingenerale:Comeprezziamo unâopzione?)Sia# = 30$ ilprezzodelsottostanteeassumiamodiconoscerechetraquattromesiessosarĂ # = 32$ o# = 28$.Inoltre,sia* = 0.05 (5%) iltassoprivodirischio.VogliamovalutareilprezzodiunâopzioneEuropeascrittasutaletitoloedaventeprezzodiesercizio0 = 31$ escadenzaaquattromesi.SappiamocheallascadenzalâopzionevarrĂ
max # â 0, 0 = 7max 32 â 31,0 = max 1,0 = 1 89 # = 32$
max 28 â 31,0 = max â3,0 = 0 89 # = 28$
Graficamente,
S=30
S=32
S=28
Valoredellâopzione=1
Valoredellâopzione=0
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Pervalutarelâopzioneprocediamonelmodoseguente:
1. Costruiamounportafogliodiopzionieazionitalecheilsuovaloreallascadenzasianotoecerto;
2. PoichÊilportafogliodefinitiin1)èprivodirischio(cioè,ilsuovaloreènotooggiqualechesialostatodelmondoascadenza),iltassodiinteressecheutilizziamoperattualizzareèquelloprivodirischio
3. Sfruttandola2)calcoliamoilcostodelportafoglioe,poichĂŠessoincludelâopzione,ilvaloredellâopzionestessa.
EsempioCostruiamounportafogliocheabbiaunaposizionelungasuD azionieunaposizionecortasuunacall.Cichiediamo:esisteunvalorediD perilqualeilportafogliocosĂŹcostruitosiaprivodirischio?Inquestocaso,comelodeterminiamo?
Separiamoiduecasi:
Ilprezzodelsottostantesaleda$30 a$32 Ă Ilportafogliovale$32ĂDâ $1;Ilprezzodelsottostantescendeda$30 a$28 Ă Ilportafogliovale$28ĂD.
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Quanteazionioccorrerebbecomprarepergarantirsicheilvaloredelportafogliononcambi,qualechesiailprezzodelsottostante?
Richiediamoche$32 $ â â $1 = $28 $ â
dallaqualesegueâ= 0,25.
Quindi,ilportafogliocompostoda:
. ./012345 62 7. 89 .:25;2< =>;624. 62 ? 5@:25;>
èprivodirischio!
Infatti,⢠Seilsottostantesalea$32 (membrosinistrodellâuguaglianza),ilportafogliovarrĂ $7⢠Seilsottostantescendea$28 (membrodestrodellâuguaglianza),ilportafogliovarrĂ
ugualmente$7.
PoichĂŠilportafoglioèprivodirischio,assumendolâassenzadiopportunitĂ diarbitraggio,essodeverenderetantoquantoiltassoprivodirischio.Ciòimplicacheilvaloredelportafoglio($7tra4 mesi)deveesserescontatoaltassoprivodirischio,cioè
$7BCD,DE$FGH = $6,8843
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
PoichÊilprezzodelsottostanteèS=$30,ilvalore(presente)delportafoglioè
! " â â % = $30 " 0,25 â % = $7,5 â %% essendoilprezzodellâopzione(ilpremio).Neconsegueche:
$7,5 â % = $6,8843cioè:
% = $7,5 â $6,8843 = $0,6157
Conclusione
Inipotesidiassenzadiarbitraggio,lâopzionedevevalere$0,6157.
Infatti,se:
⢠% > $0,6157,ilportafogliocosterebbemenodi$6,8843 (quindirenderebbepiÚdeltassoprivodirischio);
⢠% < $0,6157,sipotrebbevenderealloscopertoilportafoglio(ilcheequivarrebbeaprendereaprestitodeldenaroaduntassodiinteressepiÚbassodeltassoprivodirischio).
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
⢠Generalizziamolâesempio.⢠Sia:
⢠!:ilprezzodelsottostante⢠":ilprezzodellâopzione⢠#:lamaturity⢠$ > 1⢠0 < ) < 1.
Loschemadiviene
!
!$"*
"!)"+
Comenellâesempio,ilportafoglioprivodirischioècostruitomedianteunaposizionelungasuDunitĂ delsottostanteedunaposizionecortasullâopzione.Seilprezzodelsottostantesale,ilportafogliovarrĂ !$ , â â "*Seilprezzodelsottostantescende,ilportafogliovarrĂ !) , â â "+
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
DigressioneComesivedrĂ nelseguito,loschemavieneestesonellâambitodeimodellilattice(modellibinomiali),chedefinisconounastrutturaadalberoicuinodisonoindividuatiunavoltachesiastatafissataunaunitĂ dimisuradeltempo(!).
Loschemageneraleèilseguente
Fissataunavariazionerialzistaoribassistaper",siprocedeinavantifinoadarrivareallamaturitydellâopzione.Unavoltacalcolatoilvalorediciascunnodoterminale,siprocedearitrosoperdedurreilvaloredelderivatoadogniscadenzaintermediafinoadarrivareallâepocainiziale#.
""!
"$
"!%
"$%
"!$ = "$!
"$'
"!'
"$%!
"!%d
"$(
"!(
"$'!
"!'$
"!%$%
# # + ! # + 2! # + 3! # + 4!
âŚâŚ
âŚ
âŚâŚ
âŚ
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Uguagliandoiduevalori!" # â â &' = !) # â â &*
segue
â= &' â &*!" â !)
LâacquistodiD unitĂ delsottostanterendeilportafoglioprivodirischio(delta-hedging).Neconseguecheilsuorendimentodeveessereugualealtassoprivodirischio+:
(!" # â â &')./01 = ! # â â &
Valoreattualedelportafoglio Costoinizialedelportafoglio
SostituendoD,siha
!" # &' â &*!" â !) â &' ./01 = ! # &' â &*!" â !) â &
dallaquale,riducendoopportunamente,& = ./01 2&' + (1 â 2)&* ,
dove2 = 678/*'/* .
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Riconsideriamola! = #$%& '!( + (1 â ')!. ,
con' = 012$.($. .
Notiamoche0 ⤠#%& â 6
7 â 6 ⤠1 âş 6 ⤠#%& ⤠7.
Ladisuguaglianza6 ⤠#%& èbanalmentevera,essendoequivalentealn 6 ⤠;< .
PoichĂŠ0 < 6 < 1,ln 6 < 0mentre;< > 0.
Ladisuguaglianza#%& ⤠7 èequivalentea;< ⤠ln 7 .
Maln 7 = ln ?(? ,cherappresentailrendimentologaritmodelsottostantetra0 e<.PoichÊiltitoloèrischioso,talevalorenonpuòessereinferiorealrendimentoprivodirischiovalutatonellostessoperiodo(premioperilrischio).
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Quindi,concludiamoche0 ⤠# = %&' â )
* â ) ⤠1
laqualeconsentediinterpretare , comelaprobabilitĂ cheilprezzodelsottostantesalga.
CosĂŹ,1 â # = 1 â -./01201 = 20-./
201 èinterpretabilecomelaprobabilità cheilprezzodelsottostantescenderà .
Quindi,sipuòinterpretarelaquantitĂ #32 + (1 â #)31
Comeilvaloreattesodelvalorefinaledelderivato.Inquestomodo,larelazione3 = %0&' #32 + (1 â #)31
puòesserelettacomesegue:
Ilprezzodellâopzioneèugualealvaloreattuale,calcolatoaltassoprivodirischio,delvaloreattesodelvalorefinaledelderivato.
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495
Datalaprecedenteinterpretazionedi! comeprobabilità ,ilvaloreattesodelprezzodelsottostantealtempo" è
# $% = !$' + 1 â ! $+ â # $% = !$(' â +) + $+dallaquale,sostituendo!,siha
# $% = /0% â +' â + $ ' â + + $+ = /0%$
Concludendo,⢠ilvaloreattesodelprezzodelsottostantealtempo" èugualealprezzocorrentedel
sottostantecapitalizzatoaltassoprivodirischio(cioè,ilprezzodelsottostantecresceinmediaaltassoprivodirischio).
⢠Interminidiversi,assumereche1 sialaprobabilità dirialzodelprezzodelsottostanteèequivalenteadassumerecheiltassodirendimentodelsottostantesiaugualealtassoprivodirischio.
⢠Ilmercatocheobbedisceaquestaleggeèdettoneutralealrischio elavalutazionecheitraderfannoèdettavalutazioneneutralealrischio.
⢠Lamisura! èdettamisuradiprobabilità neutralealrischio.
Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio
https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495