introduzione

Introduzione

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Geometria descrittiva dinamica

Questo learning object introduce alla procedura di rappresentazione descrittiva del piano geometrico.

Con esso si individuano e caratterizzano gli elementi geometrici e descrittivi necessari per determinare la rappresentazione ortogonale di un piano

comunque collocato nello spazio del diedro.

Il piano lo si analizza riguardandolo come superficie rigata piana.

La presentazione termina con l’esempio di tre test di verifica: un test grafico, un test teorico ed un test di logica.

Dopo i test di verifica sono presentati alcuni temi da svolgere come esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici.

La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione, per gli elaborati grafici, che prende in esame i tre momenti del processo

rappresentativo: conoscenza, capacità e competenza.

Presentazione

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI

ELEMENTI PRIMITIVI

Il piano:rappresentazione

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio Fragassi

Il disegno di copertina è stato eseguito nell’anno scolastico 2007/08 da LattanzioAmbratonella della classe 1° sezione C

del “Liceo Artistico Statale G. Misticoni” di Pescaraper la materia : “Discipline geometriche”

IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella

Mostacci

Geometria descrittiva dinamicaAl sommario

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Sommario rappresentazioneSfogliare Titolo dell’argomento

Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni

Test di verifica - grafico

Test di verifica - teorico

Test di verifica - logico

Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici

Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche

CopertinCopertinaa

Vai aVai a

Vai aVai a

Vai aVai a

Vai aVai a

Vai aVai a

Vai aVai a

Vai aVai a

Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente formalizzazione insiemistica

22 r| !wr che si legge

per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano”

Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione definita ed orientata

Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva

w r| r !wr -

SommariSommarioo Proiezione rappresentazione e definizione tipologica del Proiezione rappresentazione e definizione tipologica del

pianopiano

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1) elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1)

Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle caratterizzazioni fisiche ed agli ambiti grafici di questi

Ricordiamo che gli elementi rappresentativi di una retta r sono le tracce T1r e T2r (Fig.44) ottenute come intersezione della retta con i semipiani del diedro, cioè come T1r = r 1

T1r = r 1mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni

descrittive

'2r

1r

T

T

'P r' ''1r

2r

T

T

''P 'r'

Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque collocata nello spazio

SommariSommarioo

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)

Se consideriamo la stessa nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una sequenza di punti reali (tracce) che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45)

Poiché la retta si sposta secondo una direzione definita ed orientata, i punti di intersezione risponderanno, per la loro collocazione sul semipiano del diedro, alla legge descrittiva che vuole una retta definita mediante una

direzione assegnata I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano” e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano, geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono:

t1 = Traccia prima o traccia uno del piano

t2 = Traccia seconda o traccia due del piano


Definito tutto quanto sopra, e ricordando la formalizzazione

descrittiva del piano w r| r !wr

-

volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto

T t-

1r1

T t-

2r2

retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1)

retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2)

Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui, implicitamente, il piano attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1 e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”


Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce

Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello stesso punto

Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una direzione assegnata e definita, essa, nel suo movimento

nello spazio, passando da un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra

Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto

r lt T1r T2r

per questo motivo le tracce del piano hanno sempre un punto in comune sulla linea di terra

Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed e ricordare che la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre

piani Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta

che muovendosi genera il piano (Fig.46)

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli

elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5) elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5)In conclusione ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio solido secondo una direzione definita (parallelamente a se stessa) determina un insieme di punti reali definiti ed orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo. Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2

Infine per quanto sopra esposto le due tracce devono necessariamente essere incidenti sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improprio) e, per l’aspetto

dinamico, contemporaneamente

Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente tabella

Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella che segue

Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche

Elemento geometric

o

Didascalia

elemento

Didascalia elementi

rappresentativi

Nomenclatura elemento

Definizione geometrica

Definizione fisica

Piano

t1

t2

Traccia 1a o traccia 1

Traccia 2a o traccia 2

Retta

Retta Reale

Reale

SommariSommarioo Test di verifica - graficoTest di verifica - grafico

Risoluzione

Poiché la risoluzione grafica è particolarmente complessa si è preferito ridimensionare la finestra del dato per rendere più chiaro lo sviluppo degli algoritmi grafici risolutivi

lt

A’

A”

B’

B”

C”

C’

a”

a’T1a

T2a

b”

b’

T1b

T2b

t1

t2

lt

T1a

T2a

a”a’

X’

X”

b’

b”

T1bT2b

t1

t2

lt

D’D”

E’

E”

F’

F”

a’

a”

T2a

T1a

T1b

b”

b’

t2

t1

lt

T1x

T2x

x”

x’

M”

M’

X’

X’

y”

y’

T1y

T2y

t2

t1

SommariSommarioo Test di verifica - teoricoTest di verifica - teorico

RisoluzioneRisoluzione

WIID WID WIIID WIVD

SommariSommarioo Test di verifica - logicoTest di verifica - logico

RisoluzioneRisoluzione

a”

a’

t1

t2

b’

b”a’

a”errore

t1

t2

a’a”

b’

b”

a”

a’

t1

t2

SommariSommarioo Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati graficiEsercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici

Definire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani assegnati una Definire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani assegnati una retta ed un punto esternoretta ed un punto esterno

A(A’=1; A”=3)

D(D’=4; D= - 1)C(C’=-4; C”= - 2)

B(B’= - 3; B”=1)

d(T1d=6; T2d=4)c(T1c=2; T2c= 4)b( T1b=1; T2b= 3)

a( T1a=3; T2a= 3)

h(T1h=2; T2h=5)

H(H’= - 4; D= - 4)

g(T1g=2; T2g= - 4)

G(G’=4; C”= - 2)

f( T1f= -3; T2f= - 3)

F(F’= - 4; F”=2)

e( T1e=2; T2e=- 3)

E(E’=2; E”=4)

Eseguire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani descritti nei caratteri geometrici

(1+ 2

+ // lt)

( 1- 2 + // lt)

Definire la rappresentazione ortogonale dei piani così caratterizzati

1) Piano proiettante in 1a proiezione nel II D

2) Piano generico nel IV D

3) Piano di profilo nel IV D 4) Piano proiettante in 2a proiezione nel I D

5) Piano generico parallelo alla lt nel IID 6) Piano orizzontale nel IV D

SommariSommarioo Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche

VALUTAZIONE DEI TEST E DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHEOgni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50



Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)



Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:

1)Conoscenze teoriche

2)Capacità logiche

3)Competenze grafiche

Elementi della valutazione

VALUTAZIONI PUNTI MAX

1

4

3

2

PUNTEGGIO TOTALE

0,00 0,50 1,000,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

2,50

2,50

2,50

2,50

10,00

Test Eserc.

introduzione

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