Human Induced Vibration of Steel Structures

11/4/2008 RFS2-CT-2007-00033

Introduction aux vibrations

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Vue d’ensemble• Les bases

– Equation du mouvement– Fréquence propre– Masse modale– Amortissement

• Vibrations d’origine humaine

• L’objectif du contrôle

• Essai dynamique

Vue

d’en

sem

ble

RFS2-CT-2007-00033 3

Bases

Dynamique = position de la masse en fonction du temps

Position: x(t) Vitesse: v(t) = Accéleration: a(t) =

dtd

dtd

∫dt∫dt

)(tx& )(tx&&

Base

s

RFS2-CT-2007-00033 4

Equation du mouvement

Système à un dégrée de liberté (oscillateur simple)

m

c d

{ExternalInternal

tFtxktxctxm )()()()( =++4444 34444 21

&&&

)(/)(/)(/)( tFtxtxtx &&&

Base

s

RFS2-CT-2007-00033 5

Equation du mouvement

Equation différentielle d’un système oscillant librement :

Base

s

m

k c

Amortissement:Expliquation plus loin

{

02

02

20

0

2

00

0

2

0

0

0

=++

===++

===++

==++

)()()(

)()()(

;)()()(

)sin()()()()(

txtxDtx

Dtxtxtx

mk

mctx

mktx

mctx

tAtxtxktxctxmExterneInterne

ωω

ωδξωδ

ωδ

ω

&&&

&&&

&&&

4444 34444 21&&&

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Fréquence propre

• Fréquence propre = f en 1/s• Fréquence angulaire: en rad/s• Vibration harmonique (sinusoïdale) :

Base

s

)sin()( tAtx ⋅= 0ω

Vibration 1 Hz Vibration 2 Hz

fπω 20 =

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Amplitude

Temps en s

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Amplitude

Temps en s

RFS2-CT-2007-00033 7

Fréquence propre

• Détermination pour un oscillateur simple

– système non-amorti

– système amorti

• Détermination manuelle (poutre)

• Détermination par ordinateur

Base

s

mk

=0ω

02

0 1 ωωω ≈−= DD

1. Harmonique: j=1

2. Harmonique: j=24

20 l

EIjμ

πω )( ⋅=

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Fréquence propre

• Chaque fréquence a son propre mode d’oscillation

• Il y a autant de fréquences propres et de modes que de degrés de liberté (dynamique)

• Plus la fréquence est basse, plus son énergie est basse

• 1ère fréquence propre ⇒ énergie la plus basse ⇒⇒ fréquence la plus probable

Base

s

1. Harmonique: j=1

2. Harmonique: j=2

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Analyse spectrale

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Amplitude

Time in s

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Amplitude

Time in s

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Amplitude

Time in s

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Amplitude

Time in s

L’évolution dans le temps peut être décrite par un ensemble d’ondes sinusïdales et leurs amplitudes

Spectre

+ + +

Fréquence, Hertz

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Amplitude

Temps en s

Evolution dans le temps

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Masse modale

• Tous les modes d’un système peuvent être réduit àun oscillateur simple

• La fréquence reste inchangée• La fréquence peut être déterminée grâce aux

équations de base utilisant les valeurs “modales”• Masse modale ≈ masse activée

Base

s modal

lmoda

mk

=0ω

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Amortissement• Effet : Diminution de l’amplitude• Conversion de l’énergie

– par frottement– par déformation– par flux de fluide– etc.

• Dépend des– matériaux composant la structure– assemblages– finitions et meubles– amplitude des vibrations– fréquence– etc.

Base

s

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AmortissementTaux d’amortissement ξ (Xsi)

• 100% Amortissement critique • 10% Amortissement critique

Base

s

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0% 100%

Amplitude

Temps en s

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0% 10%

Amplitude

Temps en s

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Spécification de l’amortissement• coefficient d’amortissement c [Ns/m]

(force d’amortissement FD = - c v)• décrément logarithmique Λ [-]

(pour la détermination de l’amortissement)• Taux d’amortissement ξ [-]

– relation à c:

– relation à Λ:224 Λ+

Λ=

πξ

mkc

mc

22 0

==ω

ξ

Base

s

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AmortissementDétermination à partir de mesures

1,063,04

63,0

63,015,053,0ln

21

:2

63,028,053,0ln

11

:1

ln1

22

0

=+π

=ξ

==Λ

=

==Λ

=

=Λ

nExemple

nExemplexx

n n

Base

s

1.00

0.150.28

0.53

-1.5

-1

n=1n=2

fréquence propre: 1Hz

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Amplitude

Temps en s

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Vibrations d’originehumaineLe mouvement humain excite AUSSI les structures !

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

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Fréquence d’un pas

Probabilité de la fréquence d’un pas

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

fs,m = 1.503 Hz

σf = 0.141 Hz

fs,m = 1.837 Hz

σf = 0.126 Hz

fs,m = 2.06 Hz

σf = 0.148 Hz

fs,m = 1.80 Hz

σf = 0.268 Hz

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

Step frequency fs [Hz]

Prob

abili

ty d

ensi

ty fu

nctio

n f x

(x)

slownormal fasttotal

Fonc

tion

de d

ensi

téde

pro

babi

lité

Fréquence d’un pas fs en Hz

lent

normal

rapide

total

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Composante verticale

132.6 132.8 133 133.2 133.4 133.6 133.8 134 13

Time [sec]

0100200300400500600700800900

1000

Forc

e [N

]

43 43.2 43.4 43.6 43.8 44 44.2 44.4 44.6

Time [sec]

0100200300400500600700800900

1000

Forc

e [N

]

22.6 22.8 23 23.2 23.4 23.6 23.8 24 24.2

Time [sec]

0100200300400500600700800900

1000

Forc

e [N

]

Marchelente

Marchenormale

Marcherapide

force mesurée de réaction

Contact initialMise en charge

PositionnementPré-balancement

Force de réaction au sol pour un pied

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

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Composante verticale

Combinaison des deux pieds

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

Phase positionnement droit

Contactbilatéral

Mouvement du centre de gravité de l’humainsi synchronisé: mouvement de CoG = vibration des ponts

Vitesse

Amplitude

forces de réaction verticale du sol

Mise en charge positive

Timing du support simpleEt double du pied

Contact initialgauche

Contactbilatéral

Contactbilatéral

Contactbilatéral

Contact initialgauche

Contact initialdroit

Contact initialdroit

Phase positionnement droit

Phase positionnement gauche

Contactsimple droit

Contactsimple gauche

Contactsimple droit

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Composante transversale

130 131 132 133 134Temps [s]

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

F lat[k

N]

130 131 132 133 134

Temps [s]

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

F vert

[kN

]

Valeurs mesurées (3 pas)• forces transversales

• forces verticales

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

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Application des chargesen analyse de pas de temps

time

distance

Pied gauchePied droit

• Charge verticale (coefficients voir le rapport VoF)

• Charge horizontale – constante– dépends de la synchronisation et de l’accélération

88

77

66

55

44

33

221/)( tKtKtKtKtKtKtKtKGtF ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Time [s]

F ver

t/G [-

] 1,5 Hz

0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Time [s]

F ver

t/G [-

] 2,4 Hz

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

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Synchronisation

• Négligeable pour les planchers• Négligeable pour les vibrations verticales• Non négligeable pour les vibrations transversales

Vitesse

Déplacement latéral

Apport d’énergiedu pied droit

Mouvement lat. du plancher

Force de contact transversaldu pied droit

Vibr

atio

ns d

'orig

ine

hum

aine

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L’objectif du dimensionnement• Pour les deux types de structure, l’objectif est le confort.• La perception des vibrations est individuelle et dépend de :

– L’âge et l’état de santé des personnes– La situation individuelle lors des vibrations– La posture de la personne (assise, debout, allongée)– L’attente de la vibration (attente, surprise)– La direction de la vibration (horizontale, verticale)– L’amplitude de la vibration (accélération)– La fréquence de la vibration– La durée et la répétition de la vibration– etc.

• Les exigences de confort pour les ponts et pour les planchers sont différentes.

• Classification du confort dans les deux cas.

L’ob

ject

if du

dim

ensi

onne

men

t

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Essai dynamique

• L’essai dynamique est nécessaire– en cas de doute– lorsque les amortisseurs doivent être installés

• Le but de l’essai est– détermination des propriétés dynamiques de la structure

• fréquence propre• mode• amortissement

– détermination du confort• Les procédures d’essai dépendent de l’objectif

recherché• La valeur mesurée est l’accélération

Essa

i dyn

amiq

ue

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Accéléromètres

Spécifications :– Gamme de fréquence 0,1 Hz .... 50 Hz pour les ponts

1,0 Hz ….200 Hz pour les planchers– Sensitivité min. 19 mV/G– Plage d’accélération ±0,5 g

Piézoélectrique Capacitive

Essa

i dyn

amiq

ue

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Emplacement desaccéléromètres• Pré-calcul recommandé• L’emplacement dépend des modes étudiés

• Recommandation : Utilisation de plusieurs accéléromètres

1. Harmonique

2. Harmonique

Essa

i dyn

amiq

ue

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Types d’essai

Essais d’identification• détermination des propriétés

dynamiques de la structure– fréquences propres– modes– amortissement

• essais de vibration ambiante• essais de vibration forcée• essais de vibration libre

Essais de performance• détermination du confort• essai d’identification à

effectuer au préalable• essai de marche sous

condition d’utilisation

Essa

i dyn

amiq

ue

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Essai de vibration ambiante

• Une structure est en mouvement perpétuel du fait des conditions ambiantes

• La structure répond aux conditions ambiantes en oscillant dans ses modes propres

• Vibrations ambiantes sont très faibles ⇒ Utilisations d’accéléromètres très sensiblesEs

sai d

ynam

ique

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Test de vibration libre

• Impulsion courte• Vibration libre jusqu’à la stabilisation du système

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200

Temps [s]

accé

léra

tion

[m/s

²]

Essa

i dyn

amiq

ue

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Les types d’impulsionsExcitation par les talons Marteau calibré

Sauts importants sur les ponts

sur planchers sur planchers et ponts

Essa

i dyn

amiq

ue

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Test de performance• La structure est testée sous condition normale

d’utilisation• La charge escomptée doit être appliquée

– nombre escomptée de personnes– dans la manière escomptée de mouvement

Essa

i dyn

amiq

ue

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Questions & Réponses