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Introduction au traitement
numérique du signalVers son utilisation en arithmétique entière
Olivier Sentieys
ENSSAT — Universite de Rennes 1
IRISA — Equipe de recherche R2D2
SATENSENSSAT
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 1
Agenda
Introduction et classification des signaux
1. Échantillonnage et reconstruction des signaux
2. Signaux à temps discret
Quelques outils du traitement du signal
3. Transformation en Z
4. Transformation de Fourier
Quelques applications typiques en traitement du signal
5. Systèmes discrets
6. Filtrage numérique
7. Transformée de Fourier rapide (FFT)
8. Filtrage adaptatif
9. Quantification et arithmétique entière
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 2
Definitions
• Modéliser – ou identifier – consiste en l’analyse d’un signalou d’un système, dans le domaine temporel ou fréquentiel(i.e. spectral). On parlera également d’estimation.
• Synthétiser – ou générer – un signal.
• Transmettre un ensemble de signaux sur un support.
• Transformer un ensemble de signaux à l’aide d’un système linéaire : filtrer, moduler, coder, . . . ou non linéaire : ()2, | |, . . .
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 3
Classification des signaux et systemes
• Dimension du signal Signal scalaire pouvant prendre des valeurs réelles ou
complexes : x(t). Signal vectoriel pouvant prendre des valeurs réelles ou
complexes : [R, V, B] = TV (t).
• Dimension des variables du signal Signal mono-dimensionnel qui correspond à des fonctions
à un seul argument, comme par exemple le temps. Signal multi-dimensionnel qui correspond à des fonctions à
plusieurs arguments : [I] = TV (t, x, y).
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 4
Classification des signaux et systemes
Caractéristiques temporelles
• Signaux à temps continu ou signaux analogiques : s(t). Lavariable t ∈ R.
• Signaux à temps discret : s(n) (ou s(nT )). La variable n ∈ Z.Ces signaux sont définis pour certaines valeurs de la variablet : s(n) = s(nT ) = s(t)ct=nT .
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 5
Classification des signaux et systemes
Valeurs prises par le signal
• Signaux à valeurs continues pouvant prendre une valeurréelle dans un intervalle continu.
• Signaux à valeurs discrètes prenant seulement des valeursparmi un ensemble fini de valeurs possibles (i.e.quantification).
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 6
Classification des signaux et systemes
Prédictibilité des signaux
• Signaux déterministes qui peuvent être représentésexplicitement par une fonction mathématique.
• Signaux aléatoires qui évoluent dans le temps d’une manièreimprévisible. Il est cependant possible de décriremathématiquement certaines caractéristiques statistiques deces signaux.
Olivier Sentieys – Introduction au traitement numerique du signal – p. 7
1 Echantillonnage et reconstruction
des signaux
Théorème d’échantillonnage de Shannon
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 8
Historique du Theoreme d’echantillonnage - I
De tout temps, l’Homme a cherché à échantillonner ... a
1918 E.T. Whittaker s’intéresse aux représentations analytiquesd’une fonction connue seulement pour des valeurséquidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nwCeci l’a conduit à la forme finale de la série cardinale :
∞∑
n=−∞
f(a + nw)sin
(
πw
(t − a − nw))
πw
(t − a − nw)
aMerci a Simon Mathieu de l’Universite Laval pour cet historique precis
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 9
Historique du Theoreme d’echantillonnage - I
De tout temps, l’Homme a cherché à échantillonner ... a
1918 E.T. Whittaker s’intéresse aux représentations analytiquesd’une fonction connue seulement pour des valeurséquidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nwCeci l’a conduit à la forme finale de la série cardinale :
∞∑
n=−∞
f(a + nw)sin
(
πw
(t − a − nw))
πw
(t − a − nw)
1928 Nyquist s’intéresse à la communication télégraphique. Lavitesse d’échantillonnage de Nyquist correspond à la vitesseminimale pour laquelle on peut obtenir une reconstructionstable.aMerci a Simon Mathieu de l’Universite Laval pour cet historique precis
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 9
Historique du Theoreme - II
1933 Kotel’nikov a introduit ce théorème dans la littératurescientifique russe.
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 10
Historique du Theoreme - II
1933 Kotel’nikov a introduit ce théorème dans la littératurescientifique russe.
1948 Shannon énonce un théorème qui selon lui estgénéralement admis dans le domaine des communications :Whittaker Kotel’nikov Shannon — WKS
Si une fonction f(t) ne contient pas de fré-quences supérieures à ωmax en radianspar seconde, alors elle est complètementdéterminée par l’ordonnée d’une série depoints espacés de T = π
ωmaxsecondes.
Ce théorème prend sa source dans les travaux de Borel,Cauchy et De La Vallée Poussin au milieu du XIXe siècle.
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 10
Reconstruction
Classe de fonctions de Paley-Wiener (largeur de bande limitée)regroupe les fonctions telles que :
PWB =
f ∈ L2(R) : supp f ⊆ [−σ, σ]
,
où f est la transformée de Fourier définie dans L1(R), i.e. ladéfinition usuelle de la transformée et supp f est le plus petitsupport de f . Le théorème nous conduit à la série cardinaleutilisée pour reconstruire la fonction originale :
f(t) =∑
n∈Z
f( n
w
)
sinc(
t −n
w
)
(1)
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 11
Theoreme d’echantillonnage de Shannon
Il est possible de reconstruire le signal continu à partir du signaldiscret si le signal analogique est à bande limitée, i.e. X(ω) estnulle pour |ω| > ωmax
On obtient alors :
ωmax <2π
T− ωmax (2)
2fmax < fN avec fN =1
T(3)
fN est la fréquence limite d’échantillonnage ou encoreappelée fréquence de Nyquist.
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 12
Exemple d’echantillonnage
Soit xa(t) correspondant à une sinusoïde de fréquence f = 2Hz.La fréquence de Nyquist correspond à fN = 2 × 2 = 4Hz.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
Val
eur
du s
igna
l
Signal echantillone a 1.6Hz
fe = 1.6Hz, reconstruction imparfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13
Exemple d’echantillonnage
Soit xa(t) correspondant à une sinusoïde de fréquence f = 2Hz.La fréquence de Nyquist correspond à fN = 2 × 2 = 4Hz.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
Val
eur
du s
igna
l
Signal echantillone a 3.2Hz
fe = 3.2Hz, reconstruction imparfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13
Exemple d’echantillonnage
Soit xa(t) correspondant à une sinusoïde de fréquence f = 2Hz.La fréquence de Nyquist correspond à fN = 2 × 2 = 4Hz.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
Val
eur
du s
igna
l
Signal echantillone a 6.4Hz
fe = 6.4Hz, reconstruction parfaite1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 13
Chaıne de traitement
CAPTEUR
a b c d e f
ProcesseurE/B
ACTIONNEUR
ConvertisseurN / A
ConvertisseurA / N
ActionNumérique
t
A (v)
(a)
t
B (v)
(b)t
E (v)
(e) t
F (v)
(f)t
(c)
0.2 0.3 0.5 0.5 0.4
t(d)
0.3 0.3 0.2 0.3 0.4
1. Echantillonnage et reconstruction des signaux – p. 14
2 Signaux a temps discret
2. Signaux a temps discret – p. 15
Signaux a temps discret
• Séquence X de nombres dans laquelle le nieme nombre estx(n). On écrira :
X = x(n) −∞ < n < ∞ n ∈ Z
• x(n) est égal à la valeur du signal analogique xa(t) au tempst = nT , i.e.
x(n) = xa(nT ) −∞ < n < ∞
• T : période d’échantillonnage, fe = 1T
: fréquenced’échantillonnage
2. Signaux a temps discret – p. 16
Signaux a temps discret
1. Impulsion unité δ(n), δ(n − k)
2. Echelon unité
u(n) =∞
∑
k=0
δ(n − k)
3. x1(n) = Aαn
x2(n) = Aαnu(n)
4. Sinusoïdex3(n) = A cos (nω0T + ϕ)
5. Cas général
x(n) =+∞∑
k=−∞
x(k)δ(n − k).
e.g. p(n) = δ(n) + 0.5δ(n − 2) − 0.5δ(n − 4)
2. Signaux a temps discret – p. 17
Proprietes des signaux a temps discret
1. Signaux causaux
x(n) = 0, ∀n < 0
2. Énergie totale : finie ou infinie
E(∞) ,
∞∑
n=−∞
|x(n)|2 (4)
3. Puissance moyenne : finie ou infinie
Pm , limN→∞
1
N
N
2∑
n=−N
2
|x(n)|2 (5)
2. Signaux a temps discret – p. 18
Proprietes des signaux a temps discret – 2
5. Intercorrélation entre deux signaux x(n) et y(n)
Rxy(k) ,
+∞∑
n=−∞
x(n)y(n + k) = Ryx(−k) (6)
6. Convolution linéaire entre deux signaux x(n) et y(n)
ϕxy(k) = x(k) ∗ y(k) ,
+∞∑
n=−∞
x(n)y(k − n) (7)
2. Signaux a temps discret – p. 19
Signaux aleatoires
Un signal est dit aléatoire si sa valeur instantanée x(t) ne peutêtre prévue avec certitude.
• ExempleSoient a(ω) et φ(ω) deux variables aléatoires,
X(t, ω) = a(ω) sin(2πf0t + φ(ω))
définit un signal aléatoire.
• Signaux de parole, mesures, théorie de l’information, ...• Protection aux perturbations aléatoires
2. Signaux a temps discret – p. 20
Statistique du premier ordre
• Fonction de répartition
FX(x; t) = ProbX(t) ≤ x
• Fonction de densité de probabilité
fX(x; t) =d
dxFX(x; t) ⇔ FX(x; t) =
∫ x
−∞
fX(u; t)du
• Moments non centrés d’ordre k
mk(t) = E[Xk(t)] =
∫
R
xkfX(x; t)dx
• Moments centrés d’ordre k Mk(t) = E[(X(t) − E[X(t)])k] Moment centré d’ordre 2 : variance σ2
X(t)
2. Signaux a temps discret – p. 21
Outils en traitement numérique du signal
3 Transform ee en Z
3. Transformee en Z – p. 22
Transformee en Z
La transformée en Z établit une correspondance entre l’espacedes signaux à temps discret et l’espace des fonctionsanalytiques (ou holomorphes) définies sur un sous-ensemble duplan complexe, appelé domaine de convergence DCV .
On définit la transformée en Z (dite unilatérale) par :
Z [x(n)] = X(z) =
∞∑
n=0
x(n)z−n (8)
DCV correspond à l’extérieur du disque de convergence définipar |z| > r avec :
limn→∞
|x(n)|1
n = r
3. Transformee en Z – p. 23
Proprietes de la TZ
1. Linéarité
x(n) = ax1(n) + bx2(n) X(z) = aX1(z) + bX2(z)
2. Théorème du retard et de l’avance
Z [x(n − k)] = z−kX(z)
Z [x(n + k)] = z+kX(z) −
k−1∑
n=0
x(n)zk−n
3. Dérivation dans l’espace en z
Z [n.x(n)] = Y (z) = −zd
dzX(z)
3. Transformee en Z – p. 24
Proprietes de la TZ – 2
5. Théorème de la valeur initiale
x(0) = limz→∞
X(z)
6. Théorème de la valeur finale
limn→∞
x(n) = x(∞) = limz→1
z − 1
zX(z) = lim
z→1(1 − z−1)X(z)
7. Théorème de la convolution linéaire discrète
x(n) = x1(n) ∗ x2(n) X(z) = X1(z)X2(z)
3. Transformee en Z – p. 25
Transformee en Z inverse
Soit X(z) la transformée en Z du signal x(n). On définit latransformée en Z inverse, la relation déterminant x(n) à partirde X(z) telle que :
x(n) =1
2πj
∮
C
zn−1X(z)dz (9)
Il existe trois principales méthodes :
1. l’intégration sur un contour fermé en utilisant le calcul desrésidus,
2. le développement en puissance de z ou de z−1,
3. le développement en fractions élémentaires.
3. Transformee en Z – p. 26
Outils en traitement numérique du signal
4 Transform ee de Fourier d’un signal
discret
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 27
Rappels sur les signaux continus
Soit un signal analogique xa(t) dont la transformée de Fourierest définie par :
Xa(jω) =
∫
∞
−∞
xa(t)e−jωtdt (10)
avec ω = 2πf .On retrouve le signal temporel à partir de sa transformée par latransformée de Fourier inverse définie par la relation suivante :
xa(t) =1
2π
∫
∞
−∞
Xa(jω)ejωtdω (11)
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 28
TF d’un signal discret non periodique
Pour un signal x(n) discret quelconque non périodique, satransformée de Fourier (TF ) s’écrit :
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x(n)e−jnΩ (12)
X(ejΩ) peut être exprimée à partir de la transformée en Z par larelation :
X(ejΩ) =∞
∑
n=−∞
x(n)z−n∣
∣
z=ejΩ = X(z)|z=ejΩ (13)
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 29
TF d’un signal discret non periodique – 2
• L’équation (12) implique que le TF n’existe que si le cercle unité,caractérisé par z = ejΩ, appartient au domaine de convergence deX(z).
• X(Ω) est périodique de période 2π. Ceci implique que le spectred’un signal discret est périodique .
La TF inverse est obtenue à partir de la transformée en Zinverse de X(z). On obtient :
x(n) =1
2π
∫ 2π
0X(ejΩ)ejnΩdΩ =
1
2π
∫ π
−π
X(ejΩ)ejnΩdΩ (14)
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 30
TF d’un signal discret non periodique – 3
Exemple : x(n) = anu(n)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.5
1
an avec a=0.75
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
Module
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1
−0.5
0
0.5
1Argument
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 31
TF d’un signal discret non periodique – 4
Exemple : x(n) = an, pour n = 0 . . . N − 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.5
1
an limité à 6 points
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
Module
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−2
−1
0
1
2
Argument
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 32
TF d’un signal discret periodique
Pour un signal xp(n) discret périodique de période N , unedécomposition en série de Fourier doit être utilisée sous laforme :
Xp(k) =N−1∑
n=0
xp(n).e(−2jπ n.k
N), k = 0, 1 . . . N − 1 (15)
xp(n) =1
N
N−1∑
k=0
Xp(k).e(2jπ n.k
N), n = 0, 1 . . . N − 1 (16)
Sa Transformée de Fourier s’écrit alors :
Xp(ejΩ) =
∞∑
k=−∞
Xp(k)δ
(
Ω − k2π
N
)
(17)
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 33
TF d’un signal discret periodique – 2
Exemple : x(n) = an, pour n = 0 . . . N − 1, periodique N
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.5
1
an périodique 6
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
Module
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1
−0.5
0
0.5
1Argument
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 34
Proprietes de la transformee de Fourier
1. Linéarité ou superposition
a.x(n) + b.y(n) a.X(ejΩ) + b.Y (ejΩ)
2. Décalage en temps-fréquence
x(n − n0) e−jn0ΩX(ejΩ)
x(n)ejnΩ0 X(ej(Ω−Ω0))
3. Dérivation en fréquence
n.x(n) jdX(ejΩ)
dΩ
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 35
Proprietes de la transformee de Fourier
5. Produit de convolution
x1(n) ∗ x2(n) =∞
∑
i=−∞
x1(i) ∗ x2(n − i) X1(ejΩ).X2(e
jΩ)
6. Théorème du fenêtrage (ou de la modulation)
x1(n).x2(n) 1
2π
∫ π
−π
X1(ejΘ).X2(e
j(Ω−Θ))dΘ
7. Théorème de Parseval (conservation de la puissance)
∞∑
i=−∞
|x(i)|2 =1
2π
∫ π
−π
|X(ejΩ)|2dΩ
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 36
Transformee de Fourier discrete (TFD)
X(k) =N−1∑
n=0
x(n)e−j 2πkn
N , k = 0, · · · , N − 1 (18)
x(n) =1
N
N−1∑
k=0
Xkej 2πkn
N , n = 0, · · · , N − 1 (19)
• Calcul rapide (Fast Fourier Transform, FFT )
4. Transformee de Fourier d’un signal discret – p. 37
5 Syst emes discrets
5. Systemes discrets – p. 38
Representation temporelle
Stratégie générale d’analyse d’un système linéaire invariant :
1. Décomposition du signal d’entrée en une somme de signaux oufonctions de base.
e(n) =∑
k
αkek(n)
2. Etude de la réponse du système pour l’ensemble des fonctions debase.
sk(n) = T [ek(n)]
3. Recomposition de la sortie en appliquant le principe desuperposition.
s(n) =∑
k
αksk(n)
5. Systemes discrets – p. 39
Produit de convolution
e(n) =+∞∑
k=−∞
e(k)δ(n − k)
s(n) = T [e(n)] = T [
+∞∑
k=−∞
e(k)δ(n − k)] =
+∞∑
k=−∞
e(k)T [δ(n − k)]
On pose h(n) = T [δ(n)], alors
s(n) =
+∞∑
k=−∞
e(k)h(n − k) = e(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ e(n)
Un système discret est donc entièrement caractérisé par sa réponseimpulsionnelle h(n). L’opération ∗ liant la sortie s(n) à l’entrée e(n) et àla réponse impulsionnelle du système h(n) est appelée produit deconvolution.
5. Systemes discrets – p. 40
Produit de convolution – 2
Exemple
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
indice temporel: n
repo
nse
impu
lsio
nnel
le h
(n)
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
indice temporel: n
sign
al e
ntrØ
e e(
n)
-30 -20 -10 0 10 20 300
1
2
3
4
5
6
7
8
indice temporel: n
sign
al d
e so
rtie
y(n
)
h(n) : réponse impul-sionnelle
e(n) : entrée du sys-tème
s(n) : réponse du sys-tème à l’entrée
5. Systemes discrets – p. 41
Equation aux differences finies
Une équation aux différences finies peut s’écrire sous la forme :
s(n) = −
N∑
k=1
aks(n − k) +
M∑
k=0
bke(n − k) (20)
• Système récursif ou non-récursif• Réponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR) ou finie (RIF ou
FIR)
5. Systemes discrets – p. 42
Fonction de transfert en z
La fonction de transfert en z H(z) d’un système est définie par :
H(z) =S(z)
E(z)(21)
H(z) est également la transformée en Z de la réponseimpulsionnelle h(n) du système.
À partir de l’équation aux différences (20), on obtient :
H(z) =
∑Mk=0 bkz
−k
1 +∑N
k=1 akz−k=
N(z)
D(z)(22)
5. Systemes discrets – p. 43
Representation frequentielle
Soit l’entrée e(n) = ejnωT = ejnΩ pour −∞ < n < +∞ d’un SLIde réponse impulsionnelle h(k). La sortie peut alors s’écrire :
s(n) =∞
∑
k=−∞
h(k)ej(n−k)Ω = ejnΩ∞
∑
k=−∞
h(k)e−jkΩ
H(ejΩ) =∞
∑
k=−∞
h(k)e−jkΩ
H(ejΩ) est appelé réponse fréquentielle du système. On étudieson module et sa phase :
H(ejΩ) = |H(ejΩ)|ej arg[H(ejΩ)]
5. Systemes discrets – p. 44
Representation frequentielle – 2
Exemple : H(z) = 11+0.5z−1
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real part
Imag
inar
y pa
rt
5. Systemes discrets – p. 45
Representation frequentielle – 2
Exemple : H(z) = 11+0.5z−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
Normalized frequency (Nyquist == 1)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5
0
5
10
Normalized frequency (Nyquist == 1)
Mag
nitu
de R
espo
nse
(dB
)
5. Systemes discrets – p. 45
6 Filtrage num erique
6. Filtrage numerique – p. 46
Filtrage numerique
Modification des réponses temporelles et fréquentielles d’unsignal discret
Un filtre numérique est défini par :• sa réponse impulsionnelle ;• sa fonction de transfert en z ;• son équation aux différences finies ;• sa réponse fréquentielle.
Deux principales classes :• filtre RIF ;• filtre RII.
6. Filtrage numerique – p. 47
Fonction de transfert en z
H(z)X(z) Y(z)
a) Forme directe
H1(z)
X(z) Y(z)
b) Forme parallèle
H2(z)
HM(z)
. . .
H1(z)X(z) Y(z)
c) Forme cascade
H2(z) HM(z). . .
FIG. 1 – Représentations en fonction de transfert en z
6. Filtrage numerique – p. 48
Specification
Gabarit défini par sa sélectivité, son ondulation en BP, sonatténuation en BA
ΩπΩp
1
|H(ejΩ)|
1-δ1
1+δ1
δ2
Ωa
Ωπ
Ωp
0 dB
|H(ejΩ)| (dB)
20log(1-δ1)
20log(1+δ1)
20logδ2
Ωa
a) Gabarit fréquentiel linéaire b) Gabarit fréquentiel en dB
FIG. 2 – Gabarit fréquentiel d’un filtre passe-bas
6. Filtrage numerique – p. 49
Filtres RII
H(z) =N(z)
D(z)=
∑Ni=0 bi.z
−i
1 +∑N
i=1 ai.z−i(23)
y(n) =N
∑
i=0
bi.x(n − i) −N
∑
i=0
ai.y(n − i) (24)
Principales caractéristiques des filtres RII :
1. une bande de transition qui peut être étroite ;
2. une instabilité potentielle due à des pôles situés en dehorsdu cercle unité (i.e. ∃i, |pi| ≥ 1 ;
3. une instabilité numérique (i.e. après quantification descoefficients et du signal).
6. Filtrage numerique – p. 50
Filtres RIF
H(z) =N−1∑
i=0
bi.z−i (25)
y(n) =
N−1∑
i=0
bi.x(n − i) =
N−1∑
i=0
h(i).x(n − i) (26)
Principales caractéristiques des filtres RIF :
1. une bande de transition plus large ;
2. des méthodes de synthèse efficaces ;
3. une stabilité inhérente (∑N−1
n=0 |h(n)| < ∞) ;
4. une meilleure stabilité numérique que les RII ;
5. une phase qui peut être exactement linéaire.
6. Filtrage numerique – p. 51
Structures des filtres RIF
Graphe flot de signal dérivé de l’équation aux différences finies
+
+
+
Z-1
Z-1
b1
bN-1
bN
x(n-1)
x(n-N)
x(n) y(n)b0
+
Z-1
+
Z-1
+
+
Z-1
b1
bN-1
bN
y(n)b0
x(n)
a) Structure directe b) Structure transposée
FIG. 3 – Structures des filtres RIF
Pcalcul (MMACS) > (N + 1).Fe/106 (27)
6. Filtrage numerique – p. 52
Structures des filtres RII
H(z) =N(z)
D(z)= [N(z)]×
[
1
D(z)
]
=
[
N∑
i=0
bi.z−i
]
×
[
1
1 +∑N
i=1 ai.z−i
]
(28)
RII
Z-1
Z-1
b1
bN-1
bN
x(n-1)
x(n-N)
x(n) y(n)
Z-1
Z-1
-a1
-aN-1
-aN
y(n-1)
y(n-N)
+
+
+
+
+
+
Z-1
Z-1
b1
bN-1
bN
x(n) y(n)
Z-1
Z-1
-a1
-aN-1
-aN
+
+
+
RIF
a) Cascade b) Structure directe
b0 b0
FIG. 4 – Structures directes des filtres RII
6. Filtrage numerique – p. 53
Structures des filtres RII – 2
W (z) = 1D(z) .X(z)
Y (z) = N(z).W (z)
w(n) = x(n) −∑N
i=1 ai.w(n − i)
y(n) =∑N
i=0 bi.w(n − i)(29)
b) Structure canonique transposée
+
Z-1
+
Z-1
-a1
-aN-1
-aN
+
+
Z-1
b1
bN-1
bN
y(n)b0
x(n)
a) Structure canonique directe
y(n)
Z-1
Z-1
-a1
-aN-1
-aN
Z-1
b1
bN-1
bN
b0x(n) +
+
+
+
+
+
w(n)
w(n-1)
w(n-N)
FIG. 5 – Structures canoniques des filtres RII
6. Filtrage numerique – p. 54
7 Transform ee de Fourier rapide
(FFT)
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 55
Transformee de Fourier rapide (FFT)
La transformation de Fourier rapide (TFR), ou encore FastFourier Transform (FFT), est directement issue d’uneréorganisation du calcul des matrices de la transformée deFourier discrète (TFD).
X(0)
X(1)...
X(N − 1)
=
1 1 1 · · · 1
1 W 1N W 2
N · · · WN−1N
......
......
...
1 W 2N W 4
N · · · W2(N−1)N
1 WN−1N W
2(N−1)N · · · W
(N−1)2
N
×
x(0)
x(1)...
x(N − 1)
(30)
avec WN = e(−2j π
N)
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 56
FFT Decimation in Time (DIT)
X(k) =∑
n pair
x(n).WnkN +
∑
n impair
x(n).WnkN (31)
X(k) =
N/2−1∑
n=0
x(2n).W 2nkN +
N/2−1∑
n=0
x(2n + 1).W(2n+1)kN (32)
X(k) =
N/2−1∑
n=0
x(2n).WnkN/2 + W k
N
N/2−1∑
n=0
x(2n + 1).WnkN/2 (33)
X(k) = G(k) + W kN .H(k) (34)
X(k +N
2) = G(k) − W k
N .H(k) (35)
où G(k) : TFD sur les N/2 points d’indices pairs,
H(k) : TFD sur les N/2 points d’indices impairs.
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 57
FFT Decimation in Time (DIT) – 2
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
N/2 points
N/2 points
TFD
TFD
x(0)
x(2)
x(4)
x(6)
x(1)
x(3)
x(5)
x(7)
W18
W28
W38
W48
W58
W68
W78
W08
FIG. 6 – Décomposition DIT de la TFD
• N2 log2N multiplications de nombres complexes
• Nlog2N additions/soustractions de nombres complexes
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 58
FFT Decimation in Time (DIT) – 3
Xm(p)
Xm(q) Xm+1(q)
Xm+1(p)
-1W rN
FIG. 7 – Papillon DIT de la TFR
Xm+1(p) = Xm(p) + W rN .Xm(q)
Xm+1(q) = Xm(p) − W rN .Xm(q)
(36)
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 59
FFT Decimation in Time (DIT) – 4
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(0)
X(8)
X(4)
X(12)
X(2)
X(10)
X(6)
X(14)
X(1)
X(9)
X(5)
X(13)
X(3)
X(11)
X(7)
X(15)
FIG. 8 – Graphe d’une FFT DIF sur 16 échantillons
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 60
Autres graphes
• Decimation in Frequency (DIF)• Radix 4, . . .• Géométrie constante• . . .
7. Transformee de Fourier rapide (FFT) – p. 61
8 Filtrage adaptatif
8. Filtrage adaptatif – p. 62
Filtrage adaptatif
• Pas de connaissance a priori des propriétés des signaux etsystèmes aléatoires traités
• Le filtre «optimal» se construit au fur et à mesure de l’arrivéedes échantillons
• Les coefficients du filtre s’adaptent selon un critère d’erreur• Convergence vers le filtre «optimal»
• Égalisation, codage, annulation d’écho, caractérisation ouextraction d’informations, filtrage et réduction de bruit
8. Filtrage adaptatif – p. 63
Annulation d’echo acoustique
Microphone
Loud speaker
near end speach
AmbientNoise
Reflections
to far end speaker
from far end speaker
+-
HtComputation of coefficients
FIG. 9 – Annulation d’écho acoustique
8. Filtrage adaptatif – p. 64
Algorithme du gradient stochastique
• Minimise l’erreur quadratique entre le filtre et son optimal :Least Mean Square (LMS)
• Minimisation de la fonction d’erreur par la méthode dugradient stochastique
Filtrage :
yn = UTn Wn−1
Erreur :εn = yn − yn
Gradient :Wn = Wn−1 + µnεnUn
8. Filtrage adaptatif – p. 65
9 Quantification et arithm etique
enti ere
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 66
Bruit d’une conversion analogique/numerique
FIG. 10 – Bruit de conversion analogique numérique
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 67
Modele du bruit de quantification
+ y
e
xQ( ) yx
• Hypothèses : e(n) est stationnaire, e(n) n’est pas corrélé avec x(n), les bruits de quantification sont statistiquement indépendants, e(n) est un bruit blanc uniformément réparti, e(n) est borné par le pas de quantification, la distribution de probabilité de e(n) est uniforme, l’ergodicité implique que les moyennes temporelles et statistiques
sont équivalentes.• Selon la loi de quantification utilisée :
arrondi : me = 0, σ2e = q2
12 , troncature : me = q
2 , σ2e = q2
12 .
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 68
Modeles du bruit (dus aux calculs)
Xe = −2m.S +
m−1∑
−n
bi2i, Xs = −2m.S +
m−1∑
−j
bi2i (37)
Xs est le résultat de la quantification de Xe, i.e. Xs = Q[Xe]
b1 bj-1 bj bn-2 bnbn-1bj+1
Bits tronqués k bitsBits restants b-k bits
j-nk avec =
2-j+1 2-j 2-n+2 2_n2-n+12-j-1
bm-1 bm-2 b2-n
2-n
b1-n b-nb-j-1b-jb-j+1
FIG. 11 – Représentation des données lors d’une troncature
L’expression du bruit de quantification correspondant à la différenceentre les deux variables Xe et Xs, est la suivante : bg =
∑ni=j−1 b−i2
−i
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 69
Modeles du bruit – 2
p(xq) =
2k−1∑
i=0
2−kδ(xq − i.2−n) (38)
xq.2n0 1 2 3
2-k
p(xq)
2k -1
FIG. 12 – Fonction de distribution du bruit généré lors d’une troncature
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 70
Modeles du bruit – 3
La moyenne de cette variable aléatoire est la suivante :
µbg=
+∞∑
i=−∞
yip(yi) =2k
−1∑
i=0
i.2−n.2−k (39)
soit
µbg= 2−j−1(1 − 2j−n) =
q
2(1 − 2−k) (40)
La variance de cette variable aléatoire est égale à :
σ2bg
=
+∞∑
i=−∞
y2i p(yi) − µ2
bg(41)
soit
σ2bg
=2−2j
12(1 − 22(j−n)) =
q2
12(1 − 2−2k) (42)
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 71
Modeles du bruit – 4
op + +
Erreurpropagée
Erreur
générée
x
y
bs bs bq
bx
by
bp bg
z
FIG. 13 – Modélisation du bruit de calcul
• Propagation des bruits dans le graphe• . . .
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 72
Filtrage d’un bruit de quantification
RSB =σ2
x
σ2e
=σ2
x
q2/12= 12 × 22(b−1)σ2
x (43)
RSBdB = 10 log RSB = 6.02 × b + 4.77 × 10 log σ2x (44)
FIG. 14 – Filtrage d’un bruit de quantification
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 73
Filtrage d’un bruit de quantification – 2
En sortie du filtre, si on considère que le filtre ne génère pas debruit, on aura alors :
y(n) = x(n) ∗ h(n) + e(n) ∗ h(n) = x(n) ∗ h(n) + f(n) (45)
où f(n) est le bruit de quantification en sortie du filtre. On définitalors les moyennes mf et puissance du bruit σ2
f du bruit f(n) :
mf = me
+∞∑
n=−∞
h(n) = meH(ej0) (46)
σ2f = σ2
e
+∞∑
n=−∞
|h(n)|2 =σ2
e
2π
∫ π
−π
|H(ejΩ)|2dΩ (47)
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 74
Effets de la quantification
Filtrage RIF H(z) =∑N−1
i=0 bixn−i
×
×
×
×
×
FIG. 15 – Bruits de quantification dans un filtre RIF
• bgx représente le bruit en entrée du filtre associé au signal x(n).• bgbi
représente le bruit généré par les multiplications.• bgadd représente le bruit généré par le changement de format en sortie du filtre.
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 75
Effets de la quantification – 2
Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture simpleprécision
σ2f = σ2
e
N−1∑
n=0
|h(n)|2 + Nq2
12(48)
Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture doubleprécision
σ2f = σ2
e
N−1∑
n=0
|h(n)|2 +q2
12(49)
Débordement du filtre RIF
|y(n)| ≤ xmax
N−1∑
n=0
|h(n)| (50)
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 76
Effets de la quantification – 3
Filtrage RII du second ordre
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 77
Pour plus d’informations...
References
[Bel87] M. Bellanger. Traitement Numérique du Signal. CollectionCNET-ENST, MASSON, 1987.
[EW92] Van Den Enden and Werdeckh. Traitement Numérique duSignal : Une Introduction. Masson, 1992.
[HL97] D. Hanselman and B. Littlefield. Matlab : the language oftechnical computing. Prentice Hall, 1997.
[Ka91] M. Kunt and al. Techniques modernes de TraitementNumérique du Signal. Collection CNET-ENST, PressesRomandes, Masson, 1991.
[ME93] C. Marven and G. Ewers. a simple approach to Digital SignalProcessing. Texas Instruments Mentors, 1993.
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 78
Pour plus d’informations...
References
[MSY98] J. McClellan, R. Schafer, and M. Yoder. DSP First : aMultimedia Approach. Prentice Hall, 1998.
[OS75] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Digital SignalProcessing. Prentice-Hall, 1975.
[OS99] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Discrete-Time SignalProcessing, second edition. Prentice-Hall, 1999.
[PM96] J. Proakis and D. Manolakis. Digital Signal Processing :Principles, Algorithms and Applications. Prentice Hall, 1996.
[Poa97] B. Poart. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley& Sons, 1997.
[SS88] R. David S. Stearns. Signal Processing Algorithms. PrenticeHall, 1988.
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 79
Pour plus d’informations...
http ://lasti.enssat.fr/GroupeArchi/enseignements/Tns
∑−
=−=
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 80
Table des matieres
Table des mati eres1 Échantillonnage et reconstruction des signaux 8
2 Signaux à temps discret 15
3 Transformée en Z 22
4 Transformée de Fourier d’un signal discret 27
5 Systèmes discrets 38
6 Filtrage numérique 46
7 Transformée de Fourier rapide (FFT) 55
8 Filtrage adaptatif 62
9 Quantification et arithmétique entière 66
9. Quantification et arithmetique entiere – p. 81