introducere fractali

8/8/2019 Introducere fractali

1/29

IntroducereSe pare c nimeni nu este indiferent fa de fractali. De fapt, muli privesc prima lor n

cu geometria fractal ca o experien cu totul nou, att din punct de vedere estetic, ct i tiinific.

Benoit Mandelbrot Frumuseea fractalilor, 1986Rigla i compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate

geometriei, al crei printe este considerat i n ziua de azi Euclid din Alexandria, nc din secolul tim cu toii c geometria euclidian este un ansamblu deleme, corolare, teoremei demonstraii, car

folosete doar patru noiuni fundamentale: punct, dreapt, plan i spaiu, i care se bazeaz pe cele ciaxiome, enunate de Euclid n cartea sa Elementele.Orice obiect al muncii omului era scufundreprezentat n spaiul 1D, 2D, 3D. Dar Natura, n imensa ei complexitate, nu s-a limitat la a consgeometrice doar n acest spaiu att de particular, a crui msur este un numr ntreg i mai mic de

Privind n natur, observm imagini imposibil de ndesat ntr-o viziune euclidian, precumcoastei Normadiei, al crestei munilor, al norilor, chiar i brocolli i conopida, care nu pot fi codefinite geometric la fel de uor.

Apariia calculatorului a permis ptrunderea n acest univers n care rigla i compassunt suficiente pentru reprezentarea unor obiecte prea complexe pentru a putea fi integrate geometric. Acesta este universul fractalilor, definit in 1975 odat cu apariia primei cri a lui M"Les objects fractales, forme, hasard et dimension".

Fiind primele forme geometrice nebazate pe linii drepte sau liniarizabile, fractalii au fost cciudenii i abandonate de matematicieni cci erau dezordonat de complexe. Neliniari, deci imconstruit prin linii nentrerupte, este nevoie de calculator pentru a fi trasai.

Mandelbrot, considerat Printele geometriei fractale, a inventat i numele defractal, care vine d

latinescul frangere a sparge n fragmente neregulate. El nota patetic:Deoarece algebra deriv dicuvntul arab jabara (a lega mpreun), ntre cuvintele fractal i algebr este o contradetimologic.

Din nefericire pentru aceia dintre noi crora le place s controleze lucrurile, mare parte natural nu se conformeaz cu uurin ecuaiilor liniare. Formele neliniare, fractale, sunt mregul dect excepie. Aa cum spunea Benoit Mandelbrot n cartea sa Geometria fractal a natuNoriinu sunt sfere, munii nu sunt conuri, liniile de coast nu sunt cercuri, iar scoara copacilor nu e netTehnicile noastre matematice au repurtat un mare succes n prezicerea fenomenelor excepionalaproape liniare, cum ar fi traiectoriile pro 10110h71k iectilelor, planetelor i particulelor. Subiecte (i imediat folositoare) cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor i dinamica formativconstant previziunile.

Fractalii nu ofer n mod neaprat sperana c putem controla aceste fenomene nelcontr, ncepem s nelegem c haosul i imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse n natur dimaginat vreodat. Oricum, fractalii ne ofer instrumente puternice pentru modelarea i vsistemelor neliniare. n majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul i strureale mult mai uor i mai succint dect cu formele liniare.

1
http://ro.wikipedia.org/wiki/Lem%C4%83http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Corolar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorem%C4%83http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Demostra%C5%A3ie&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Demostra%C5%A3ie&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Puncthttp://ro.wikipedia.org/wiki/Puncthttp://ro.wikipedia.org/wiki/Puncthttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Planhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iuhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iuhttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Corolar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorem%C4%83http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Demostra%C5%A3ie&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Puncthttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Planhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iuhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Lem%C4%83


2/29

Capitolul 1Ce sunt fractalii?

n ochii minii, un fractal este un mod de a vedea infinitul.James Glick, Haos, 1986

1.1. Scurt istoricAa cum am menionat mai sus, Euclid a construit o geometrie bazat pe logic i pe nite

intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta i planul (axiome): Prin oricare dou puncte distincte trece o dreapt i numai una;Orice segment de dreapt poate fi prelungit lainfinit (sub forma unei drepte ); Dat fiind un segment de dreapt, se poate construi uncerc cu centrul la unul din capetele segmentu

i care are segmentul drept raz ;Toate unghiurile drepte sunt congruente;

Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singur paralel la acea dreapt.n geometria euclidian, trei puncte necoliniaredetermin un plan i numai unul, iar patru punnecoplanaredetermin unspaiu. Simplu i logic. Observaiile nu au avut nici un rol n gndirea euclid

Aproape dou milenii mai trziu, n 1600, Rene Decartes a zguduit geometria euclidian, sspaiul fizic poate fi disecat i msurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localiznd astfel fiecarspaiu printrei dimensiuni liniare. Ideea c Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburiformat fundamentul tiinei moderne asupra lumii.

Un secol mai trziu, Gottfried Wilhelm Von Leibniz i Sir Isaac Newton au dus lucrurile mfcnd o presupunere periculoas i revoluionar, pe care nu au putut-o demonstra matematic iniic orice curb este de fapt un numr infinit de segmente de dreapt (numitetangente). Astfel, ei au invencalculul diferenial . Ideea de baz a acestuia este c orice curb mrit la infinit se aseamn din ce mult cu o dreapt, iar limitaacestui proces este tocmai linia cu care ar semna curba la infinit. Leib putut s i explice ns de ce teoria lui ddea rezultate n majoritatea cazurilor, dar uneori ducea laneateptate. Dei chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapt infinitezimal, ea a rmas n folrezultate n majoritatea cazurilor. Presupunerea c, la infinit, curbele de fapt sunt similare drepten picioare, dei apariia iminent a unor forme imposibil de supus liniaritii avea s zguduie iar m

Fig. 1.1. Aproximarea curbelor cu linii tangenteTotul a nceput n 1875 cnd marele matematician german Karl Waierstrass a descris o curb

care nu putea fi difereniat, deci nu prea s aib nici o tangent. O mulime de curbe ciudate auapar, denumite Galerie de montri.

2
http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Segment_de_dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Segment_de_dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Infinithttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Cerchttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Raz%C4%83_(geometrie)&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Congruen%C5%A3%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Paralel%C4%83http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Coliniar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Planhttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Coplanar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iuhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iuhttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Segment_de_dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Infinithttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreapt%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Cerchttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Raz%C4%83_(geometrie)&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Congruen%C5%A3%C4%83&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Paralel%C4%83http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Coliniar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Planhttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Coplanar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C5%A3iu


3/29

1.2. Primii fractali faimoiTriunghiul lui SierpinskiPolonezul Waclav Sierpinski a pornit de la un triunghi pe care l-a divizat n patru pri ega

divizat cele trei pri marginale n acelai mod, continund procesul la infinit. Figura obinut eTriunghiul lui Sierpinski.

Fig. 1.2. Triunghiul lui SierpinskiUn alt mod de construcie a aceleiai forme pornete de la un triunghi plin, n care decup

identice, n loc de a trasa linii. Rezultatul este acelai dei este numit n aceast manier Sita lui S

Fig. 1.3. Sita lui SierpinskiCovorul lui Sierpinski este o alt form care a nedumerit matematicienii, format la fel, p

variate:

Fig. 1.4. Covorul lui Sierpinski 1

Fig. 1.5. Covorul lui Sierpinski 2Principala problem era legat de aria acestor figuri. Din moment ce ele erau alctuite din se

dreapt, care, matematic, nu au nici arie, nici lime, matematicienii au convenit c aria figurilormult ns deoarece nu puteau spune ct este aria, dac nu ar fi 0.

Matematicianul italian Giueppe Peano, profesor extraordinar de calcul infinitezimal la Undin Torino, folosindu-se de Covorul lui Sierpinski, a demonstrat c o curb continu, fr lime (

arie), poate umple o poriune de spaiu, deoarece la infinit, ntre linii nu va mai rmne deloc spaide umplere a spaiului). Curba va avea aadar aria ptratului care o mrginete, dei este acontinuare din segmente de dreapt.

Praful lui Cantor Matematicianul german Georg Cantor, cel care a dezvoltat singur teoria seriilor, a creat n 18

denumit Praful lui Cantor. Ea este construit din fragmentarea segmentelor de dreapt unidimconinnd la sfrit doar puncte de dimensiune 0, dei este n continuare alctuit din segmente de

3
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Sierpinski_triangle_evolution.svg


4/29

Fig. 1.6. Praful lui Cantor Curba lui KochMatematicianul suedez Helge Von Koch, fascinat de infinit ca toi colegii si n timpul mari

matematic, a construit curba liniei de coast. El a pornit de la o dreapt pe care a desenat uexterior. Pe fiecare segment de dreapt al aceleiai forme a desenat cte un triunghi, .a.m.d. Ase poate crea Curba liniei de coasta Koch i pornind de la un ptrat, sau de la un triunghi echilateracruia desenm triunghiuri echilaterale.

Fig. 1.7. Curba lui Koch

Fig. 1.8. Fulgul de zpad KochCurba lui Koch d natere la un paradox interesant. De fiecare dat cnd un nou triunghi es

figurii 12, lungimea liniei evident crete. Totui, aria interioar a curbei lui Koch rmne mai miccercului care trece prin vrfurile triunghiului iniial. O linie de lungime infinit care nconjoar o a

Lungimea curbelor este diferit, pornind de la tipul de generare. La primul nivel, lungimea

figura 11 va fi de patru treimi din segmentul de dreapt, iar lungimea curbei similare generate cu fi de cinci treimi, adic 133, respectiv 166, dac lungimea segmentului iniial este de 100. Pentraceast dificultate, matematicienii au inventat dimensiunea fractal, prezentat n cele ce urmeaz.

La nceputul secolului al XX-lea, cercetarea n domeniul acestor curbe complexe s-a lovit piedic: calculul laborios. Matematicienii trudeau zile i chiar luni, calculnd i desennd pentrunite aproximaii foarte inexacte i srace n detalii ale curbelor neliniare infinit detaliate. Din 191960, limitele calculului manual au mpiedicat orice proces serios n geometria complexitii i infi

Apoi au aprut calculatoarele. La nceput, nimeni nu s-a gndit s foloseasc aceste mainconstruite pentru calcule contabile sau pentru utilizri militare, n cercetarea matematic. Apoi, caau nceput s atrag atenia matematicienilor, prin furnizarea sutelor de zecimale ale numerelor rdcinii ptrate din 2. Dar matematicienii erau nc nelinitii de bazarea calculelor pe aproximcare a ndrznit s foloseasc simularea pe calculator a fost un biolog: Aristid Lindenmayer, careideea automatelor celulare pentru a modela dezvoltarea organismelor vii. El era n special idezvoltarea celulei i de modele ramificate ale plantelor.

1.3 . Definiie Fractalii sunt reprezentri ale planului complex, ntr-o manier recursiv. Un obiect fractal

dificil de surprins n complexitatea sa, el necesit din partea observatorului un efort imaginativ, o4


5/29

mental de natura unui proces nesfrit, care este nsi esena fractalilor - ei i pstreaz forma, inde mult am mri o reprezentare. n termenii cei mai generali, un fractal demonstreaz o limit; obieste chiar limita acestui proces cu numr infinit de operaii.

Fractalii pot prea foarte complicai fa de formele geometrice clasice. Liniile drepte, arcelcurbele, poligoanele, etc., au un lucru n comun: chiar dac unele nu sunt drepte, ele sunt considedatorit diferenierii (mrind la infinit frontiera lor, obinem tangenta). n cazul formelor neliniareinfinit imaginea lor, obinem n continuare detalii complexe.

ns, ei sunt de obicei nite procese foarte simple care produc rezultate complicate. Aceast se transfer i asupra Teoriei Haosului. Dac ceva are rezultate complicate, nu nseamn neaprat un input complicat. Este posibil ca haosul s se fi strecurat n proces, producnd rezultate complica

Fractalii sunt forme auto-similare, aceasta nsemnnd c structura ntregului sistem e deseori ren fiecare poriune a sa. Un sistem va arta auto-similar cnd fore asemntoare acioneaz lanivele ale scrii. Natura abund n forme auto-similare, cum ar fi liniile de coast, ramurile care scu copacii, vrful munilor care are aceeai form ca ntregul munte, valurile i norii mici sunt o re

mai mari. i astfel putem caracteriza ntr-un mod nou mediul nconjurtor.1.4. Dimensiunea fractalO noiune elementar cnd discutm despre fractali estedimensiunea fractal . Formal, spunem c un

este n-dimensional dac avem nevoie de n variabile pentru a descrie vecintatea unui punct. Aceasdimensiunii este numit dimensiunea topologic a setului.

Uneori apar confuzii cu privire la dimensiunea unei figuri. Evident, o linie are dimensiuneadimensiunea 2, un cub dimensiunea 3. Deseori se crede ns c o sfer are dimensiunea 3, ea nepdect n spaiu, nu i n plan. Dar sfera este bidimensional: fiecare prticic a ei arat ca o poriunntr-o poriune aa mic, este nevoie doar de dou coordonate pentru a reprezenta un punct.

ntr-o exprimare liber, dimensiunea fractal este o msura a ct de complicat este o fisimilar. Exist mai multe definiii i metode de a determina dimensiunea fractal a unei figuri.

n1919, matematicianul Hausdorff, a introdus o nou dimensiune, dimensiunea fractal sau dHausdorff. Aceast dimensiune, msoar numrul de mulimi de diametre mai mici, necesare pento figur. Dac acest numr este ntreg, atunci dimensiunea este topologic, altfel, dimensiunea este

Besicovitch, dezvoltnd lucrrile anterioare ale lui Hausdorff, a afirmat c formele ar pntradevr dimensiuni fracionare cum ar fi 1,3 sau 2,5. Curbe precum cele ale lui Sierpinski i ale putea fi explicate cu ajutorul aceste dimensiuni.

n mod concret, dimensiunea Hausdorff/Besicovitch este definit ca raportul dintre logaritmude copii i logaritmul mrimii seminei corespunztoare fiecrei copii. Pentru linia de co

triunghiular vom gsi dimensiunea fractal log4/log3=1,2618, deoarece sunt patru copii i fietreime din mrimea seminei, iar pentru linia de coasta ptrat: log5/log3=1,46.Dimensiunea fractal a prafului lui Cantor este log2/log3=0.63, deci acest obiect are dimen

mare dect punctul (0) i mai mic dect linia (1).Dimensiunea fractal a triunghiului lui Sierpinski este log(3)/log(2) = 1.585.Pentru a fi clasificat oficial ca fractal, o form trebuie s aib dimensiunea Hausdorff-Besic

mare ca dimensiunea sa topologic tradiional.

5


6/29

Munii, norii, copacii, florile au dimensiuni ntre 2 i 3, i putem deduce multe doar din dimunui corp. Dimensiunea fractal, aa cum a denumit-o mai trziu Mandelbrot, a devenit un instrummsurare a spaiului.

6


7/29

Capitolul 2Aplicaii curente ale fractalilor

...ntotdeauna au existat zone mari ale tiinei n care metodele analitice simple puteau fi caplicate. Fenomenele naturale erau prea complexe. n legtur cu ele, oamenii ridicau din um zdrnicie i enunau teorii calitative sau aproximaii grosolane, sau nu emiteau nici o prere. Acestdomeniile n care fractalii i gsesc o mulime de aplicaii.

D.E. Thomsen,Science News, 1987

2.1. Avantajele utilizrii fractalilorFractalii prezint anumite avantaje datorit crora sunt larg folosii n modelarea asp

comportamentului unor sistemelor naturale:Fractalii pot reprezenta cu uurin fore similare acionnd la mai multe niveluri ale scrii

geometria liniar nu poate.

Fractalii ofer deseori o metod mai compact de nregistrare a imaginilor i datelor compvectorii liniari.Cu ajutorul fractalilor, se pot gsi curbe fractale care s aproximeze un set de date

temperaturi nregistrate ntr-o anumit perioad de timp, preurile unei aciuni la burs ntr-un interetc.)

Fractalii pot fi folosii pentru a construi modele folositoare ale unor sisteme imprevizibileunde ecuaiile liniare dau gre.

Fractalii sunt folosii n diverse discipline, precum: economie, astronomie, fizic i dinamicchimie, cardiologie, ornitologie, etc.

2.2. EconomieBenoit Mandelbrot i-a ntemeiat geometria fractal bazndu-se n principal pe simularea sa

de succes a tendinei preurilor bunurilor de consum, iar analiza pieei rmne una dintre cele maiaplicaii ale geometriei fractale.

n economie, probabil cel mai important lucru este prezicerea ntr-un mod ct mai sigur a centmpla pe pia dup o perioad de timp. Pn recent, teoria dominant folosit n acest scopPortofoliului. Conform acesteia, probabilitatea schimbrilor de pe pia puteau fi modelate prin Gauss:

Fig. 2.1. - Probabilitatea schimbrilor de pe piaPresupunnd c aceast teorie este corect, putem conchide c schimbrile foarte mici sunt

frecvente, iar schimbri foarte mari au loc extrem de rar. Acest lucru nu este ns adevrat n p

7


8/29

aceast curb, putem observa probabilitatea schimbrilor rapide apropiindu-se de 0, schimbrivzute lunar pe pia. Recent, la 20 de ani de la descoperirea fractalilor, Benoit Mandelbrot introdteorie fractal care poate fi folosit mai eficient dect Teoria Portofoliului n analiza pieei.

Considerm un an de activitate de pia i reprezentarea grafic a preului n fiecare lun. Volinie frnt cu suiuri i coboruri. Dac lum una din aceste luni i realizm un grafic mai detaliasptmn, vom obine o linie foarte similar, cu suiuri i coboruri. Dac detaliem curba din cmult, pe fiecare zi, ora, chiar minut sau secund, vom obine aceleai, numai c mai mici, suiuri iAceasta este auto-similaritatea Brownian.

Mandelbrot a definit o metod de a crea fractali pe baza descrierii de mai sus. El a bazat-o pcu generator i a creat fractali care pot modela piaa. n Februarie 1999 el a publicat nScientific Americciva dintre aceti fractali, alturi de grafice ale pieei, artnd ct de asemntori sunt.

n aceast metod, se pornete de la o form, numit generator. Generatorul trebuie s fie cosegmente de dreapt, pentru a obine i creterea i scderea preului. De exemplu, luam o lininlocuim fiecare segment cu linia frnta iniial, obinnd dup un numr de pai urmtorul grafic:

Fig. 2.2.a

Fig. 2.2.b

Fig. 2.2.c Grafic fractal de modelare a pieeicomparativ cu un model al teoriei de portofoliu:

Fig. 2.3. Grafic de modelare a pieei (Teoria de Portofoliu)Una din revelaiile majore ale analizei fractale a pieei este memoria sau persistena pe pia

economice tradiionale iau n considerare un consumator care triete totdeauna n prezent, care i baza preurilor curente ale pieei i pe dorina perfect raional de a obine profit n orice momenare att memorie pe termen lung, ct i pe termen scurt i este persistent la fiecare scar posibil,

8


9/29

secole. Adevratul participant la economie i aduce aminte i cnd a obinut profit maxim, i cnd bunicul ferma.

n domeniul pieei, ca i n alte domenii n care fractalii i haosul dau rezultate, rareori se dode folositori pentru prezicere, pe ct sunt pentru simulare. Simularea fractal poate modela i prezice ngeneral statistic a unui sistem, fr a i prezice comportarea ntr-un anumit moment.

Preul bumbacului era subiectul preferat al lui Mandelbrot, deoarece existau date disponibile a sute de ani de comer. El prezenta ns o constan ciudat: aceeai variaie ntr-o perioada de sntr-o perioad de zeci de ani sau de civa ani. El a numit acest lucruinvariana de scar . Dei valoarevarianei din scar rmne constant, aceasta este imposibil de prezis n orice moment i la oricscrii. Simulrile lui asupra preului bumbacului in 1953 continu s prezic cu exactitatecantitatea devariaiedin preul bumbacului, att lunar ct i anual, dar nu pot pretinde c indic preul bumbacul2008.

2.3. AstronomieUnul dintre cei mai frumoi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La nceputul a

Michel Henon de la observatorul din Nisa din Frana a observat o comportare tulburtoare ntrmodel al stelelor care orbiteaz ntr-o galaxie. Cteva dintre orbite erau line i stabile, n timp ce aaproape aleatoare. La nceput, a ignorat orbitele anormale, creznd ca ele apar datorit unor eroinexplicabile.

n cele din urm, Henon a descoperit c acest tip de comportare haotic era o parte esenial orbitelor stelare. Planetele, ca orice obiect din Univers, se supun legii gravitaionale a lui Newtolegea lui Newon pare relativ simpl, poate fi greu de pus n practic, deoarece ntr-un univers reagravitaionale ale altor planete i stele fac ca orbita planetei analizate s fie mai puin previzibilaproximaii, astronomii pot prezice care va fi traiectoria orbitelor corpilor cereti din sistemul nsptmna viitoare sau peste douzeci de ani; unii dintre ei cred ns c nu putem afirma sigur undele peste un milion de ani.

Trebuie specificat ns c orbitele planetelor nu sunt fractali; ele se apropie sensibil de elipsDac plasm ns poziia planetei noastre sub anumite condiii, descoperim c se ncadreaz n licurbe numite bazin de atracie. Acesta, de cele mai multe ori, este un fractal.

Henon, dup ce a studiat modele care explicau comportarea turbulent a fenomenelor terestreun model i pentru orbitele planetare. Dei n trecut nu era folosit, denumim acum acel tip de modHenon l-a folositatractori stranii. Spre deosebire de modelele liniare clasice, care par s prezictotdeauna traiectoria fiecrui corp ceresc, ei ofer un amestec de comportri nesigure. Vechile pstreaz capacitatea de a previziona pe termen scurt, dar cercetri recente au artat c, pe termen

de comportare al sistemului nostru solar este cel puin incert.2.4 MeteorologieMeteorologii, ca i economitii, investesc o cantitate enorm de efort, bani i energie nc

prezic ce se va ntmpla mine i sptmna urmtoare. Ambele categorii fac sute de previzfolosind teorii binecunoscute, bazate pe secole de calcule i cercetri, dar dau gre, previziunile ecele meteorologice fiind cunoscute pentru inexactitatea lor. Vremea poate fi previzionat suficie

9


10/29

pentru cel mult dou zile, dar dincolo de aceasta, prediciile sunt slabe. Fractalii nu au fost de ma jocul previziunii meteorologice, dar au ajutat explicnd de ce aceasta nu d rezultate.

nregistrrile pe termen lung ale datelor climaterice deseori prezint cicluri auto-reflectoareari care dureaz civa ani, un deceniu sau chiar secole de cldur. nregistrrile fcute pe dezvluie perioade uscate de un mileniu. Viaa de zi cu zi ne sugereaz c ciclurile neregulate de au loc i n perioade de o lun, sau o sptmn. Figura urmtoare confirm acest lucru.

Fig. 2.4. nregistrrile pe o perioad de 600 de zile ale temperaturilor din Middlesex, statul VermontAcest tip de date este greu de caracterizat prin metodele liniare tradiionale. Modelarea pr

sinusoidal ar pierde aparena de cicluri mbinate unul n altul, i acesta este tocmai aspectul cel made modelat. Acest lucru se poate face aproximnd datele cu o curb fractal, nu n scopuri an predictive, ci pentru a sugera caracterul esenial al curbei.

Fig. 2.5. Aproximare fractal a figurii 2.4n 1961, Eduard Lorentz, meteorolog i matematician la MIT, pasionat de studiul vremii, a da introdus n istorie, pornind de la modelarea vremii pe calculator, efectul fluturelui i atracto prezentate n capitolul urmtor.

Graficele fractale sunt cele mai adecvate reprezentri ale formelor neregulate ciclice, prezende date complexe, privind evoluia n timp a fenomenelor naturale i economice. Cutremurele evasemenea prin seismograma lor complexitate i forme auto-similare, deoarece undele de avertizare

10


11/29

lui sunt nite cutremure n miniatur, iar cutremurul principal este o perioad de activitate intensdin subperioade similare. Activitatea seismic este greu de modelat cu ajutorul curbelor tradiional

Alte fenomene uor de modelat cu ajutorul fractalilor sunt debitele rurilor, evoluia preului ula burs, cursul valutar, etc.

2.5. Dinamica fluidelor i chimiaTurbulena n dinamica fluidelor reprezint starea de micare a unui fluid, caracterizat de

haotice i stohastice. Aceasta include difuzii, convecii i variaii rapide ale presiunii i vitezeispaiu. Turbulena reprezint nc un domeniu incontrolabil de savani, ea rezistnd tuturor apliniare i consumnd foarte mult timp calculatoarelor.

Lorentz a fost unul dintre cei mai nverunai exploratori ai analizei neliniare a fluidelor, prinLorenz, prezentat n Capitolul 3. Sistemul de ecuaii din care a derivat Atractorul Lorentz estetridimensional, i deterministic. n dinamica fluidelor, atractorul Lorentz este un model realist turbulente dintr-un cilindru mic de fluid nchis, pe msur ce i se aplic o nclzire continuinferioar a cilindrului. Cele trei variabile ale sistemului corespund vitezei fluidului, temperaturii

modificare a temperaturii.O metod de simulare a mai multe fenomene diferite din fizic, chimie i electricitate esteagregarealimitat de difuzie. La nceputul simulrii pe calculator, se plaseaz n centrul unui cerc o bucatmaterie artificial. Apoi calculatorul lanseaz aleator, una dup alta, particule din jurul cercului cla ntmplare, pn ies din cerc sau ader la alt particul ntlnit. Treptat, particulele virtualedendrite fractaleorientate din centrul cercului spre circumferin. Acestea prezint trei proprieti dfractalilor: auto-similaritate, dimensiune fractal i lacune. Ele pierd din densitate pe msur dimensiune.

Fig.2.6. Dendrite fractale formate prin agregarea limitat de difuzieProcese fizice care dau natere la astfel de forme sunt agregarea cenuii n couri, depunerea

celulele electrolitice, difuzia bulelor de gaz prin lichidele vscoase i descrcrile electrice n Aceste sisteme sunt departe de echilibru, ele primind i disipnd cantiti importante de energie. Scalculator ntoarce cumva procesul real pe dos, particulele artificiale deplasndu-se lent din exinterior, n timp ce structura dendritic real se formeaz rapid din interior spre exterior.

2.6. FizicExist patru clase fundamentale de sisteme fizice:- sisteme liniare conservative (pendul fr frecri care oscileaz liber)- sisteme neliniare conservative (pendul fr frecri, mpins)

11


12/29

- sisteme liniare disipative (pendul care oscileaz liber ntr-o atmosfer care i opune rezi- sisteme neliniare disipitave (pendul mpins ntr-o atmosfer care i opune rezisten).Sistemele neliniare au fost mereu considerate ciudate i mai puin importante. Sistemele

disipative sunt chiar iremediabile. Dar lumea real este alctuit tocmai din astfel de sisteme, iaracestora se face tocmai prin atractori fractali haotici. Fizicienii au ajuns la concluzia c o gamcomportri complexe, unele de o mare regularitate, rsar acum din ceea ce nainte era doar hsisteme fizice i chimice fluctueaz printr-o serie de schimbri majore de la ordinea liniar la cohaotic i napoi. A doua lege a termodinamicii are i o faet surprinztoare: multe sistemorganizeaz i creeaz spontan o ordine proprie acolo unde nu era nici un fel de ordine.

2.7. Grafica pe calculatorDomeniul cel mai larg n care sunt folosii fractalii astzi este grafica pe calculator. Multe

comprimare a imaginilor folosesc algoritmi fractali pentru a comprima fiiere grafice la mai puindin dimensiunea original. Artiti ai graficii pe calculator folosesc forme fractale pentru a creamodele intrinseci; producii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale.

Fig. 2.7. Peisaj fractaltiina, matematica i tehnologia nu mai sunt domeniile plictisitoare, inestetice i rigide, c

frumusee care face competiie artei.

Capitolul 3Tehnici de reprezentare a fractalilor

12


13/29

Pentru imaginaie, calculatorul poate fi un prieten foarte puternic. Ca i matematicile, el nu nulrgete orizontul imaginaiei, dar o i disciplineaz i o controleaz.

Richard Dawkins, Ceasornicul Orbn ultimii ani, interesul n teoria haosului i geometria fractal s-a intensificat, pe msur ce

tiin au descoperit pas cu pas c multe dintre procesele din Univers pot fi descrise utiliznd acIndustria graficii pe calculator ncorporeaz rapid aceste tehnici pentru a genera imagini uimitor d precum i structuri naturale realiste. Algoritmii variai i rezultate lor afieaz o mare diversitate. apreciere a graficii fractale pe calculator necesit n prealabil prezentarea conceptelor matematice baza geometriei fractale i o cunoatere a aplicaiilor tiinifice a acestora, aspecte prezentate n precedente.

Formele fractale sunt aproape imposibil de trasat fr ajutorul calculatorului. Formgenereaz fractalii sunt de multe ori relativ simple, dar trebuie calculate repetat, fiecare iterairezultatul precedentei. Rezultatele cele mai precise sunt atinse cu ajutorul calculatorului. Grafica p

faciliteaz de asemenea comparaiile ntre formele naturale i imitaiile lor computerizate.Majoritatea fractalilor sunt generai lund un set de date i introducndu-le ca date ntr-o ecuaie. Rezultatul acestei ecuaii este apoi furnizat ecuaiei din nou, acest feedback repetnnumr dorit de pai sau pn cnd comportamentul valorilor de intrare este determinat. Criteriile procesului sunt diferite n funcie de tipul de fractal.

Exist mai multe tehnici de reprezentare (atractorii stranii, pentru sisteme haotice, metodRaphson, care se bazeaz pe gsirea soluiei unei ecuaii polinomiale, agregarea limitat de difuzieSisteme-L.

3 .1. Sistemul funciei iterative (IFS)Codurile IFS (Iterated Function System) sunt utilizate pentru a descrie fractalii liniari (un

corect ar fi fractali afini, datorit transformrilor afine pe care le folosesc). Un fractal liniar estecare poate fi definit prin copii ale ei nsei create prin transformri afine. Exist i alte tipuri de conin forme auto-similare, cum ar fi binecunoscutul set Mandelbrot.

IFS nlocuiete un poligon cu alte poligoane, pe baza unui generator. La fiecare iteraie, fieceste nlocuit cu o versiune scalat, rotit i translatat a poligonului n generator.

Matematica din spatele fractalilor liniari este surprinztor de simpl, necesitnd doar cuntransformri liniare. Un astfel de sistem de funcie iterativ este compus dintr-un set de transformfi orice transformare afin normal. Singura restricie impus este contracia transformtransformarea aduce dou puncte mai aproape unul de altul.

Fiecare transformare are asociat o anumita probabilitate de alegere, p; suma acestoModul de funcionare a sistemului este urmtorul: se alege un punct iniial, i la fiecare iteraie eanumit transformare pe baza probabilitilor asignate, iar punctele rezultate sunt desenate pe foaie

Practic, pentru a crea un IFS pentru o imagine dorit, procedeul este simplu. Lum imafrunze, spre exemplu, o scalm, rotim i translatm pn cnd aceast versiune micorat a imageste cuprins n interiorul imaginii mari. Aceasta va fi prima transformare a setului de transform pasul urmtor, se va lua din nou imaginea iniial, se va scala, roti, translata astfel nct s ocupe u

13


14/29

forma iniial, neacoperit de transformarea precedent. Suprapunerea este de preferat s fie ct mrepet acest procedeu pn cnd toat suprafaa imaginii este acoperit de copii micorate ale ei de transformri utilizate devine setul de transformri IFS pentru reprezentarea fractal a imaginii d

3.1.1. Jocul pisiciiDick Oliver propune n cartea sa Fractali un joc practic bazat pe primele cercet

fractalilor pentru a nelege cum funcioneaz calculatorul.Pentru aceasta este nevoie de cteva foi de hrtie, un creion, o rigl i o mn sigur

crea un fractal aspectuos. Paii sunt urmtorii:1. Desenai ceva, de exemplu, o pisic, n mijlocul unei foi de hrtie.2. Desenai trei copii cu dimensiunile jumtate din cele ale primului desen.3. Desenai trei copii n jurul acestora, n exact acelai aranjament.4. Continuai.

Pe msur ce copiile devin tot mai mici, ele devin doar puncte. Dac desenul este pre puncte formeaz binecunoscutul fractal Triunghiul lui Sierpinski. Jocul pisicii gse

desennd aproximaii din ce n ce mai apropiate de el. Destul de adecvat, aceast tehnic esteaproximare succesiv .

Fig. 3.1. Jocul pisicii

3.1.2. Jocul haosuluiAcest joc, uneori numit algoritmul iteraiei aleatoare, este unul dintre un set de algoritmfi folosii pentru a genera fractali liniari. A fost inventat de Michael Barnsley la Georgia Tech. Ereferit ca un generator pentru Sita lui Sierpinski, dar jocul haosului poate genera orice fractal liniar

Etapele jocului haosului sunt:ncercuii trei puncte oarecare de pe o foaie de hrtie i n mijloc desenai un punct.

14


15/29

Alegei la ntmplare unul din punctele ncercuite i desenai un punct la jumtatea distaultimul punct pe care l-ai desenat i acest punct.

Repetai pasul doi pentru foarte mult timp. Dac msurai jumtile distanelor cu oconsiderabil s-ar putea ca n cele din urm s vedei din nou Triunghiul lui Sierpinski.

Jocul haosului gsete fractalul srind aleator printre prile lui, scond la iveal fractalu punct, pe msur ce jocul avanseaz. Aceasta este denumititeraia aleatoare. Ambele tehnici foloserelaiile geometrice dintre pri pentru a defini un fractal.

Jocul haosului este un exemplu de proces aleator care duce la un rezultat predeterminat.Astzi, nelesul jocul haosului a fost generalizat i se refer acum la un mod de a genera atra

punctul fix, al unui sistem de funcie iterativ. ncepnd cu un punct X0, iteraii succesive sunXk+1=fk(Xk), unde fk este o funcie din setul IFS, selectat aleator pentru fiecare iteraie. Iteractre punctul fix din IFS. Dac X0 aparine atractorului IFS, toate iteraiile rmn n interiorul atrcu probabilitate 1, formeaz un set dens n acesta.

Fig. 3.2. Jocul haosului

3 .2. Sisteme Lindenmayer (L-Systems)3.2.1. Scurt istoricn 1968, Aristid Lindenmayer, biolog la Universitatea din Utrecht, Olanda, a introdus o meto

modelare a dezvoltrii plantelor. Acum numit L-Sistem, metoda lui Lindenmayer este un tiprecursiv, un instrument general de construire a unor obiecte complexe pornind de la un obiecnlocuind pri din acesta conform instruciunilor furnizate de un set de reguli de rescriere.

15


16/29

Reprezentri grafice ale Sistemelor Lindenmayer au fost publicate prima oar n 1974 deLindenmayer, i de Hogeweg i Hosper. Potenialul Sistemelor-L de a crea imagini realiste ale plandemonstrat n 1978 de Smith. n 1979, Szilard i Quinton au artat c Sistemele Lindenmayer curbe fractale. n 1982, Dekking a gsit dimensiunea pentru cteva curbe generate de Sisteme-Prusinkiewicz a creat mai mute exemple de fractali i plante generate astfel, obinnd versiuni tridde Sisteme-L.

3.2.2. Descrierea procesuluin versiunea cea mai simpl, un Sistem-L const dintr-un alfabet, un set de simboluri,

un string (ir) de simboluri din alfabet i un set de reguli de producie, care atribuie fiecrei litere aun string P(a) de litere din alfabet. Stringul P(a) este numit succesorul lui a.

Vom descrie procesul folosind urmtorul set de figuri. Pornim cu o linie, pe care mateo numescaxiom .

n continuare, trebuie definit o transformare, numitregul de produciede ctre matematicieVom ridica pe centrul liniei un ptrat, cu lungimea laturilor egal cu o treime din lungimea lininiiale.

Repetm acest proces pentru fiecare dintre cele cinci linii i obinem urmtoarea figur

Privind la aceast iteraie, poate fi greu de observat care este axioma i regula de producie, dCapitolul 1 ca aceasta este Curba lui Koch dreptunghiular. Matematicienilor le place s exprimefolosind simboluri, caractere normale cu nelesuri speciale. Acest lucru este folositor mai ales cnla implementarea acestora pe calculator. Lucrul util n cazul sistemelor-L este c folosete puin pentru a descrie i axioma i regulile de producie. Un exemplu de alfabet poate fi:

Simbol nelesF Deseneaz o linie

+ Spre dreapta cu un anumit unghi- Spre stnga cu un anumit unghif Mergi mai departe fr a desena o linie

Fig. 3.3. Alfabet L-SistemPentru a descrie Curba lui Koch printr-un L-Sistem trebuie s stabilim condiiile iniiale,

regula de producie.

16


17/29

Component Descriere textual Descriere matematicCondiii iniiale 1) lungimea liniei 1 inch

2) unghiul de 90 de grade3) direcia iniial dreapta

1) L = 12) A = 903) AI = 0o

Axiom Deseneaz o linie. FRegul de producienlocuiete fiecare linie cu o linie cu un ptratridicat in centru, latura lui fiind de o treime dinlungimea liniei.

New L = L/3F -> F-F+F+F-F

Fig. 3.4. L-Sistem pentru Curba lui KochRegula spune s nlocuim fiecare linie (sau fiecare F) cu urmtoarea secven de simboluri: F

S artm matematic cum crete fractalul lui Koch:

IteraieImaginea

fractal irul descriptor

Axiom FPrima

iteraie F-F+F+F-F

A douaiteraie F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F

A treiaiteraie

F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-

F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F

A patraiteraie

F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-

F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-

17


18/29

F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-

F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F

Fig. 3.5.- Desfurarea procesului L-Sistem pentru Curba lui Koch

Capitolul 4Realizarea aplicaiei

n plus fa de utilitatea ei n descrierea complexitii lucrurilor naturale, geometria fractal obinevenit ocazie pentru revitalizarea educaiei matematice. Conceptele geometriei fractale sunt viintuitive. Formele implicate au o atractivitate estetica mare i o mare diversitate a aplicaiilor. De geometria fractal ne poate ajuta s ne opunem impresiei c matematica este arid i inaccesibil i

motiva pe studeni s nvee despre acest uimitor i captivant domeniu de studiu. Hartmut Jurgens, H.O. Peitgen i Dietmar Saupe, Limbajul Fractalilor, Scientific American, 1

Subiectul acestei lucrri l reprezint fractalii i aplicaiile lor curente i practice n domenii sptiinei, aspecte detaliate n capitolele precedente.

18


19/29

Scopul aplicaiei curente este de a implementa i prezenta vizual fractalul rezultat in urmfunctiei f(x)=z3-1 , in limbajul de programare C , folosindu-se de convergenta sirului, ea fiind rep printr-un cod de culori.

Programul contine o interfata a utilizatorului in care ne este prezentat un meniu cu tasteltimpul programului.

Cod sursa in C:#include#include#include#include#include

int x0=320,y0=240,unit,g;

complex z1,z2,z3,p[101],rez;

void init_grafica(){int gdriver = DETECT, gmode, errorcode;

initgraph(&gdriver, &gmode, "c:\\tclite\\bgi");errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk){

printf("Eroare la initializare grafica: %s\n", grapherrormsg(errorcode));printf("Apasati orice tasta pentru iesire:");getch();exit(1);

}}

void xoy(){

int i,j;

setcolor(WHITE);line(x0,0,x0,480);

line(0,y0,640,y0);

settextstyle(SMALL_FONT,HORIZ_DIR,6);

19


20/29

outtextxy(x0-10,y0+2,"0");outtextxy(620,y0+12,"X");outtextxy(x0+15,10,"Y");

//sageata de pe OX

line(640,y0,640-unit/5,y0-unit/10);line(640,y0,640-unit/5,y0+unit/10);

//sageata de pe OY

line(x0,0,x0+unit/10,unit/5);line(x0,0,x0-unit/10,unit/5);

//afiseaza liniile mici care indica unitatea de masurafor(i=1;i


21/29

//cadranul 2for(i=1;i


22/29

printf("\n\t q - incheiere program");

printf("\n\n\t Codul culorilor");textcolor(4);printf("\n\n\t ");cprintf("1 puncte convergente la z1");

textcolor(2);printf("\n\t ");cprintf("2 puncte convergente la z2");

textcolor(1);printf("\n\t ");cprintf("3 puncte convergente la z3");

textcolor(6);printf("\n\t ");cprintf("4 puncte neconvergente");

do{fflush(stdin);opt=getch();

}while(opt!='q' && opt!='a' && opt!='i');return(opt);

}

void calc_frac(){

complex numa,numi;double prec,t1,t2,dist;short i,j,k,maxr,minr,maxi,mini,u;//maxr,minr,maxi,mini - limitele de calcul al graficului (r - real, i- imaginar)

maxr=640-x0;minr=-x0;maxi=y0;

22


23/29

mini=-(480-y0);

prec=0.6/2.5;

//prec - precizia cu care se calculeaza distanta dintre 2 termeni consecutivi//ai sirului de convergenta al fiecarui punct din plan catre una din solutii

//solutiile pentru functia z^3-1

z1=complex(1,0);

z2=complex(-0.5,sqrt(3)/2);

z3=complex(-0.5,-sqrt(3)/2);

for(i=minr;i


24/29

/* if(k>=5){

putpixel(x0+i,y0-j,BROWN);}

*/if(dist


25/29

}

void grafic(){

cleardevice();calc_frac();xoy();

}

char meniu_grafic(){

char opt;

init_grafica();

grafic();do

{opt=getch();fflush(stdin);switch(opt)

{case 'p':if(unit51)

{unit-=50;grafic();

};break;case 'o':if(unit2)

{unit-=1;

25


26/29

grafic();};break;

case 'd':if(x0>-640){

x0-=unit;grafic();

};break;case 'a':if(x0


27/29

return(opt);}

void main(){

char opt;unit=200;opt='h';do

{switch(opt)

{case 'h':opt=ajutor();

break;case 'a':opt=meniu_grafic(); break;

case 'q':break;}

}while(opt!='q');closegraph();

}

ConcluziiGeometria fractal v va face s vedei totul diferit. Riscai s pierdei imaginea din copi

norilor, pdurilor, galaxiilor, frunzelor, pietrelor, torentelor, covoarelor, crmizilor i a multolucruri.

Michael Barnsley, Fractali pretutindeni, 1988Geometria fractal este fr ndoial una dintre marile evoluii a matematicii secolului al

ofer oamenilor de tiin un model matematic care mbrieaz neregularitile din natur. Numfractalilor din natur este suficient pentru a justifica studiul fractalilor. Recunoaterea unui obiec poate ajuta nelegerii comportamentului su. Multe fenomene naturale pot fi descrise prin

27


28/29

geometriei fractale. Prin urmare, fractalii au devenit din ce n ce mai importani. Ceea ce a ncepconcept matematic are acum numeroase aplicaii n tiin.

Fractalii au o larg plaj de modele vizuale fascinante, dintre care multe au aplicaii tiinificUnele sunt referite drept curbe ale dragonului, n timp ce altele imit exact lanuri de muni. Fimita suiurile i coborurile pieei bunurilor i serviciilor i bursei de valori, micrile nere particulelor moleculare, activitile seismice, traiectoriile corpilor cereti, temperaturile pe ndelungat de timp, sau creterea plantelor. i-au gsit aplicabilitatea n domenii diverse, pre biologie, sociologie, meteorologie, astronomie, teoria haosului i mai ales, economie. Mandelbrgeometria fractal chiar n studiul transmisiei acustice a zgomotelor i a grupurilor galactice.

Multe dintre tehnicile matematice au gsit un teren solid n industria graficii computerizcrearea unor imagini uimitoare, precum i a unor structuri care imit fidel realitatea. Din anii 19sunt larg folosii, i cel mai mult n tiina informaticii. Producii cinematografice importante i foloefecte speciale, sistemele de redare grafic pe calculator i folosesc pentru a crea structuri naturalede tiin i matematicienilor le sunt indispensabili.

Interesul crescnd n grafica fractal a fost de asemenea influenat de proliferarea microcalc puternice. Numeroase articole despre fractali au aprut n publicaii tehnologice. Parte din ac pornete din natura imprevizibil a anumitor fractali; un pasionat poate petrece ore n ir explornformelor pe care le poate crea un singur program.

tiina, matematica i tehnologia nu mai sunt domeniile plictisitoare, inestetice i rigide, cfrumusee care face competiie artei.

28


29/29

Bibliografie :

Totul despre C si C++,Dr. Kris Jamsa i Lars Klander , Editura Teora 2005

www. wikipedia.org

Motorul de cautarewww.google.ro Dick Oliver Fractali , editura Teora, 1996

Benoit Mandelbrot Frumuseea fractalilor, 1986

Niculae Viinoiu Statistica formelor economice. Teoria catastrofelor, fractalilor ihaosului, editura Lumina Lex, 2001

29
http://www.librarie.net/autor/1393/dr-kris-jamsa-lars-klanderhttp://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/http://www.wikipedia.org/http://www.google.ro/http://www.google.ro/http://www.librarie.net/autor/1393/dr-kris-jamsa-lars-klanderhttp://www.wikipedia.org/http://www.google.ro/

introducere fractali

Documents