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8/17/2019 INTRODUCCIÓN_f2columnas.doc

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METODOS NUMERICOS CON EXCEL Ing. Gonzalo Fano Miranda

MÉTODOS NUMÉRICOS CON EXCEL

Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodosnuméricos, es la siguiente:

Por que sucedió todo esto?

Para introducir la forma de trabajar con métodos numéricos en la solución deproblemas, veremos el siguiente:

PRO!"#$%

&alcular la velocidad instant'nea de un cuerpo en ca(da libre cerca de la superficieterrestre, suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo es igual a ) y que las*nicas fuer+as que act*an sobre el cuerpo son la fuer+a de gravedad y la fuer+a deresistencia del aire, la cual suponemos que es linealmente proporcional a la

velocidad del cuerpo%

olución $nal(tica%

Usamos la segunda ley de -e.ton, que establece:

/ 0 m a

!a cual podemos escribir en la forma:

!as 1ipótesis sobre las fuer+as que act*an sobre elcuerpo nos indican que:

donde 2g3constante de gravedad4 es la fuer+a de gravedad y2c3coeficiente de arrastre4 es la fuer+a de resistencia del aire%

ustituyendo esto *ltimo obtenemos:

"quivalentemente:

5ue es nuestro modelo matem'tico del problema% "n este caso identificamosnuestro modelo como una ecuación diferencial de primer orden de variablesseparables%

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Procedemos a separar las variables:

6ntegramos ambos miembros de la ecuación:

7e lo cual

obtenemos:

, 283cte de integración4

Para calcular la constante de integración, usamos la 1ipótesis de que la velocidadinicial del cuerpo es )% "sto es, si % ustituyendo estos valores en laecuación de arriba, obtenemos:

&on lo cual obtenemos:

/inalmente, despejamos en función de :

!a cual resuelve el problema de forma e9acta%

Para fijar un ejemplo particular, supongamos que tenemos los siguientes datos:

&alculemos los valores %

!o *nico que tenemos que 1acer es sustituir los valores de m, c y g:

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/inalmente sustituimos los valores del tiempodesde 1asta y escribimos los resultados en la siguiente tabla:

t 2s4 v 2cms4

) )

; %=@A

B ;=))%@


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&uando es cercano a , podemos quitar el l(mite y obtener la siguiente

apro9imación :

!o cual, al sustituirlo en nuestro modelo matem'tico nos da:

7e aqu( podemos despejar y obtener lo siguiente:

"sta *ltima fórmula, la cual es una fórmula recursiva, nos permite calcular la

velocidad si conocemos la velocidad en el tiempo anterior % -uestro

punto de partida es que la velocidad inicial es ), es decir, , y de aqu(podemos calcular, con la ayuda de nuestra fórmula recursiva, la velocidad en

tiempos subsecuentes% "videntemente éstos c'lculos son apro9imaciones, y entrem's cercanos sean los tiempos, mejores ser'n dic1as apro9imaciones%

Por ejemplo, retomando los datos que fijamos arriba, tenemos la fórmula:

&omo dijimos arriba, comen+amos con % Para apro9imar , tenemosdos opciones: podemos apro9imarla directo, saltando del tiempo al tiempo

, o bien podemos usar intervalos m's pequeEos de tiempo, digamos delongitud )%B s, para obtener una mejor apro9imación%

!a primera opción nos da , mientras que la segunda opción arroja lossiguientes resultados:

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t 2s4 v 2cms4

) )

)%B ;A@

)%> C

)%@ ===%@


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= B@;%C=@;@<

7onde 1emos omitido los datos intermedios para no 1acer m's larga la tabla%

i 1acemos una comparación entre la tabla de valores e9actos y esta *ltima devalores apro9imados, vemos que 1ay diferencias entre los datos obtenidos, esdecir, en la segunda tabla se 1an cometido ciertos errores que deben ser medidos ylo que es m's importante, debemos tener alguna forma de poder afirmar: Felresultado que obtuve es lo suficientemente buenoF%

ERRORES

!os errores numéricos se generan con el uso de apro9imaciones para representar cantidades yo operaciones% "sto da lugar a dos tipos de errores:

truncamiento

"rrores

redondeo

!os errores de truncamiento, resultan de representar apro9imadamente unprocedimiento matem'tico e9acto% Por ejemplo, en la solución numérica alproblema del objeto en ca(da libre, usamos una apro9imación al proceso dederivación, el cual es un procedimiento matem'tico e9acto%

"sto genera errores de truncamiento durante elprocedimiento%

!os errores de redondeo resultan de representar apro9imadamente n*meros queson e9actos% Por ejemplo, a*n en la Fsolución e9actaF al problema del objeto enca(da libre, los resultados impresos en la tabla de velocidades no son totalmentee9actos puesto que el numero e es un n*mero irracional y por lo tanto su e9tensióndecimal es infinita y no periódica lo que nos impide escribirlo de formacompletamente e9acta% Usando = decimales, tenemos:

"sto genera errores de redondeo durante los c'lculos%

"n ambos casos tenemos que:

valor verdadero 0 valor apro9imado G error

Definición% 7efinimos el error absoluto como:

0 valor verdadero 3 valor apro9imado

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"sta definición de error tiene un pequeEo defecto, como veremos en el siguiente:

"jemplo%

$l medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado

apro9imado de ;A,AAA cms% mientras que al medir la longitud de un clavo, seobtiene el resultado de A cms% uponiendo que los valores verdaderos de la varillay el clavo son de B),))) cms% y ;) cms% respectivamente, calcular el error absolutoen ambos casos%

olución% Denemos los siguientes resultados:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

"n ambos casos, el error absoluto es igualH, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir,necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar alas siguiente definición%

Definición% 7efinimos el error relativo como sigue:

"sto es,

I también se define el error relativo porcentual, como sigue:

"s decir,

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7e 1ec1o el error que m's usamos es este *ltimo, ya que nos da una idea en tantopor ciento del error que se est' cometiendo%

Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:

#ientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:

Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o nogravedad del error que se est' cometiendo% "s claro, que en el caso de la varilla no

es trascendente ya que representa solamente un )%))=J con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que esdel ;)J del valor verdadero%

/inalmente, mencionaremos que un proceso de apro9imación puede detenersecuando el valor absoluto del error relativo porcentual es menor que una cierta cota,fijada de antemano%

in embargo, todav(a tenemos un pequeEo defecto en nuestro an'lisis del error%!os métodos numéricos se aplican en realidad, a problemas que no se puedenresolver anal(ticamenteK en nuestro ejemplo del cuerpo en ca(da libre, en realidadno es necesario aplicar ning*n método numérico, puesto que conocemos lasolución e9acta del problema% Por lo tanto, en una situación real, desconoceremosel valor verdadero de la solución al problemaK luego entonces estaremosimposibilitados de calcular el error relativo porcentual%

!a forma de resolver este problema es pensar que para obtener una ciertaapro9imación a un valor, tuvimos que 1aber obtenido una apro9imación anterior almismo valor% Una ve+ calculada la nueva apro9imación procedemos a calcular otraapro9imación al mismo valor y as( sucesivamente% i el método realmenteconverge a un resultado 2que esperamos sea a la solución del problema4, todas

estas

apro9imaciones se estar'n apro9imando entre s( y al valor al cual convergen%

Definición% 7efinimos el error apro9imado porcentual, como sigue:

&omo mencionamos anteriormente, el proceso se detiene cuando se 1a logradodisminuir el valor absoluto del error apro9imado porcentual 1asta un cierto rangofijado de antemano% "sto es, cuando

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e puede probar que si tomamos entonces podemos tener laseguridad de que la apro9imación ó resultado tiene al menos cifras significativas,

es decir, posee al menos d(gitos confiables%

"jemplo%

Usar el siguiente resultado de series,

para apro9imar el numero irracional 1asta > cifras significativas%

olución% Primero calculamos el valor de como sigue:

"n seguida, usamos la serie, agregando un término cada ve+, para obtener nuevas

apro9imaciones 1asta que se logre que %

"n el primer paso, tenemos simplemente un término:

"n el segundo paso, tenemos la suma de dos términos:

$qu(, podemos calcular el primer error apro9imado:

eguimos agregando términos de la serie puesto que no se 1a cumplido elobjetivo:

Denemos que,

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I calculamos el error apro9imado correspondiente:

"l proceso se continua 1asta lograr la meta% Resumimos los resultados en lasiguiente tabla:

Ltérminos

$pro9% alvalor e

"rror apro9imado

; ;

B B =)J

C B%= B)J

> B%@@@@@@@@ @%B=J

= B%)J

@ B%;@@@@@@ )%C)J

B%;


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SOLUCIONES DE ECUACIONES NO LINEALES

Una ra(+ de una función )( x f es un n*mero 0 x tal que 0)( 0 = x f % Dambién se

dice que 0 x es una ra(+ de la ecuación 0)( 0 = x f % "n este curso, consideraremossolamente ra(ces reales%Meométricamente, una ra(+ de una función representa un punto donde la gr'fica de

)( x f cru+a al eje x ,

"n esta gr'fica, vemos que la ra(+ es 1= x %

Ejemplos.

;% !as ra(ces de 9)( 2 −= x x f son 3= x y 3−= x %

;% B% !a función 1)( 24 ++= x x x f no tiene ra(ces%

B% C% !a función senx x f −= 5)( no tiene ra(ces%

C% >% !as ra(ces de )7)(3)(1()( +−+= x x x x f son ,1−= x 3= x y 7−= x %

"studiaremos varios métodos numéricos para apro9imar ra(ces de ecuaciones%

MÉTODO GRÁICO

"ste método b'sicamente se usa para locali+ar un intervalo donde la función tienealguna ra(+%

Ejemplo !

!ocali+ar un intervalo donde la función xe x f x ln)( −= − tenga una ra(+%

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Sol"ción

Para calcular la ra(+ de )( x f 1acemos 0)( = x f , de donde xe x ln=− % Por lo

tanto, el problema equivale a encontrar el punto de intersección de las funciones xe x g −=)( y x xh ln)( = %

&onocemos bien estas gr'ficas:

7e lo cual, concluimos que un intervalo donde se encuentra la *nica ra(+ es [ ]5.1,1 %"n realidad, no nos interesa ser m's finos en la b*squeda del intervalo, ya queposteriormente aplicaremos métodos m's sistem'ticos para apro9imar mejor lara(+% 7igamos que la utilidad del método gr'fico radica en proveernos de unintervalo con el cual comencemos a trabajar%NHendifQ

Ejemplo #!ocali+ar un intervalo donde la función 1arctan)( −+= x x x f tenga una ra(+%

Sol"ción

-uevamente, para calcular la ra(+ de )( x f 1acemos 01arctan =−+ x x , de dondetenemos x x −= 1arctan % $s(, el problema equivale a encontrar el punto de

intersección de las gr'ficas de las funciones x x g arctan)( = y x xh −= 1)( %

Conocemos bien las gráfcas de estas nciones!

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7e donde vemos claramente que un intervalo donde se encuentra la *nica ra(+ es

el intervalo [ ]1,0 %

MÉTODO DE LA $ISECCI%N

"l método de bisección se basa en el siguiente teorema de &'lculo:

Teo&em' (el )'lo& In*e&me(io

ea )( x f continua en un intervalo [ ]ba, y supongamos que )()( b f a f < %

"ntonces para cada z tal que )()( b f z a f %

'sicamente el Deorema del alor 6ntermedio nos dice que toda función continuaen un intervalo cerrado, una ve+ que alcan+ó ciertos valores en los e9tremos del

intervalo, entonces debe alcan+ar todos los valores intermedios%

"n particular, si )(a f y )(b f tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente 0= z , y por lo tanto, el Deorema del alor 6ntermedio

nos asegura que debe e9istir ( )ba x ,0 ∈ tal que 0)( 0 = x f , es decir, debe 1aber por

lo menos una ra(+ de )( x f en el intervalo ),( ba %

"l método de bisección sigue los siguientes pasos:

ea

)( x f

continua,

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i+ "ncontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienen ea )( x f

cont(nua,

i4 i+ "ncontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienen

signos opuestos, es decir,

ii4 ii+ !a primera apro9imación a la ra(+ se toma igual al punto medio entre a x

y b x :

iii4 iii+ "valuar )( r x f % /or+osamente debemos caer en uno de los siguientescasos:

•

"n este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen signos opuestos, y por lo

tanto la ra(+ se encuentra en el intervalo [ ]r a x x , %

•

"n este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen el mismo signo, y de aqu( que)( r x f y )( b x f tienen signos opuestos% Por lo tanto, la ra(+ se encuentra en el

intervalo [ ]br x x , %

•

"n este caso se tiene que 0)( =r x f y por lo tanto ya locali+amos la ra(+%

"l proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, 1asta que:

es decir,

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Ejemplo !

$pro9imar la ra(+ de xe x f x

ln)( −= − 1asta que%1=−= −e f

iii+ Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la ra(+, 1acemos lasiguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la ra(+ se encuentra en el intervalo [ ]5.1,25.1 %

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"n este punto, vemos que todav(a no podemos calcular ning*n error apro9imado,puesto que solamente tenemos la primera apro9imación% $s(, repetimos el proceso

con el nuevo intervalo [ ]5.1,25.1 %

&alculamos el punto medio 2que es nuestra segunda apro9imación a la ra(+4:

$qu( podemos calcular el primer error apro9imado, puesto que contamos ya con laapro9imación actual y la apro9imación previa:

Puesto que no se 1a logrado el objetivo, continuamos con el proceso%

"valuamos 006561.0)375.1ln()375.1( 375.1 %@J

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;%BCJ;%BA@@


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Puesto que )5.0( f y )1( f tienen signos opuestos, entonces la ra(+ se locali+a en

el intervalo [ ]1,5.0 %

"n este punto, solo contamos con una apro9imación, a saber,5.0

1=r x , que es

el primer punto medio calculado%Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio a1ora del intervalo[ ]1,5.0 ,

5ue es la nueva apro9imación a la ra(+ de )( x f %

$qu( podemos calcular el primer error apro9imado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso%

"valuamos 03935.0175.0)75.0arctan()75.0( >=−+= f %

I 1acemos la tabla de signos:

Puesto que )5.0( f y )75.0( f tienen signos opuestos, entonces la ra(+ se locali+aen el intervalo [ ]75.0,5.0 %

&alculamos el punto medio,

I el nuevo error apro9imado:

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"l proceso se debe continuar 1asta que se logre el objetivo%

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

$pro9% a la ra(+ "rror apro9%

)%=)%= CC%CCJ)%@B= B)J)%=@B= ;;%;;J)%=C;B= =%AJ)%=;A=C;B= )%=J

7e lo cual, vemos que la apro9imación buscada es51953125.0

8=r x

"l m#todo de bisecci$n %or lo general es lento& ' en casos como el de lasigiente gráfca& %ede ser demasiado lento(

"n un caso como éste, el proceso de bisección comien+a a acercarse a la ra(+ deforma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la ra(+ seencuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra m's cerca de alguno delos e9tremos del intervalo% er(a bueno implementar un método que tome encuenta este detalle%

"sto da lugar al siguiente método de apro9imación de ra(ces%

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MÉTODO DE LA REGLA FALSA

&omo mencionamos anteriormente, ser(a bueno considerar si la ra(+ de unaecuación est' locali+ada m's cerca de alguno de los e9tremos del intervalo%

&onsideremos nuevamente una gr'fica como la anterior,

7onde 1emos agregado la l(nea recta que une los puntos e9tremos de la gr'fica en

el intervalo [ ]ba, %

"s claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos elpunto donde cru+a al eje x esta recta, nos apro9imaremos muc1o m's r'pido a lara(+K ésta es en s(, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmentela *nica diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo dem's losdos métodos son pr'cticamente idénticos%

upongamos que tenemos una función)( x f

que es cont(nua en el intervalo[ ]ba x x , y adem's, )( a x f y )( b x f tienen signos opuestos%

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&alculemos la ecuación de la l(nea recta que une los puntos ))(,( aa x f x , ))(,( bb x f x

( )abemos *e la %endiente de esta recta esta dada %or!

Por lo tanto la ecaci$n de la recta es!

Para obtener el cruce con el eje x , 1acemos 0= y !

#ultiplicando por ab x x − nos da:

/inalmente, de aqu( despejamos x :

"ste punto es el que toma el papel de r x en lugar del punto medio del método debisección%

$s( pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

ea )( x f cont(nua,

i4 i+ "ncontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienensignos o%estos& es decir&

ii4 ii+ La %rimera a%ro+imaci$n a la ra,- se toma igal a!

iii4 iii+ "valuar )( r x f % /or+osamente debemos caer en uno de los siguientescasos:

•

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"n este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen signos opuestos, y por

lo tanto la ra(+ se encuentra en el intervalo [ ]r a x x , %

•

"n este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen el mismo signo, y de

aqu( que )( r x f y )( b x f tienen signos opuestos% Por lo tanto, la ra(+ se

encuentra en el intervalo [ ]br x x , %

•

"n este caso se tiene que 0)( =r x f y por lo tanto ya locali+amos la ra(+%

"l %roceso se .el.e a re%etir con el ne.o inter.alo& /asta *e!

Ejemplo !

Usar el método de la regla falsa para apro9imar la ra(+ de xe x f x ln)( −= − ,

comen+ando en el intervalo [ ]2,1 y 1asta que%1


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I 1acemos nuestra tabla de signos:

7e donde vemos que la ra(+ se encuentra en el intervalo [ ]397410482.1,1 (Con este ne.o inter.alo& calclamos la ne.a a%ro+imaci$n!

"n este momento& %odemos calclar el %rimer error a%ro+imado!

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso%

"valuamos0011654346.0)321130513.1()(

2


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Observe la rapide+ con la cual converge el método de la regla falsa a la ra(+, adiferencia de la lentitud del método de la bisección%

Ejemplo #

Usar el método de la regla falsa para apro9imar la ra(+ de 1arctan)( −+= x x x f ,

comen+ando en el intervalo [ ]1,0 y 1asta que%1=+=r x f


7e lo cual vemos que la ra(+ se locali+a en el intervalo [ ]5600991535.0,0 %

As, %es& calclamos la ne.a a%ro+imaci$n!

1 calclamos el error a%ro+imado!

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avan+ando en el proceso%

"valuamos 000511533.015231330281.0)5231330281.0arctan()( 2 >=−+=r x f %

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7e los cual vemos que la ra(+ se locali+a en el intervalo [ ]5231330281.0,0 & con elcal %odemos calclar al sigiente a%ro+imaci$n!

1 el sigiente error a%ro+imado!

Como se /a cm%lido el obeti.o& concl,mos *e la a%ro+imaci$n bscada es!

-uevamente observamos el contraste entre la rapide+ del método de la regla falsacontra la lentitud del método de la bisección%

Por supuesto que puede darse el caso en el que el método de la regla falsaencuentre la apro9imación a la ra(+ de forma m's lenta que el método de labisección% &omo ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función

1)( 6 −= x x f , comen+ando en el intervalo [ ]5.1,0 , donde notar' que mientras que el

método de bisección requiere de < apro9imaciones para lograr que%1


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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

"ste método, el cual es un método iterativo, es uno de los m's usados y efectivos% $ diferencia de los métodos anteriores, el método de -e.ton3Rap1son no trabajasobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo%

upongamos que tenemos la apro9imación i x a la ra(+ r x de )( x f ,

Dra+amos la recta tangente a la curva en el punto ( ))(, ii x f x K ésta cru+a al eje x

en un punto 1+i x que ser' nuestra siguiente apro9imación a la ra(+ r x %

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Para calcular el punto 1+i x , calculamos primero la ecuación de la recta tangente%abemos que tiene pendiente

1 %or lo tanto la ecaci$n de la recta tangente es!

Sacemos 0= y :

I despejamos x :

2e es la $mla iterati.a de eton5Ra%/son %ara calclar la sigientea%ro+imaci$n!

,si

-ote que el método de -e.ton3Rap1son no trabaja con intervalos donde nosasegure que encontraremos la ra(+, y de 1ec1o no tenemos ninguna garant(a deque nos apro9imaremos a dic1a ra(+% 7esde luego, e9isten ejemplos donde estemétodo no converge a la ra(+, en cuyo caso se dice que el método diverge% inembargo, en los casos donde si converge a la ra(+ lo 1ace con una rapide+impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por e9celencia%

Dambién observe que en el caso de que 0)( =′ i x f , el método no se puede aplicar%7e 1ec1o, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es1ori+ontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ning*n punto, a menos que

coincida con éste, en cuyo caso i x mismo es una ra(+ de )( x f H

Ejemplo !

Usar el método de -e.ton3Rap1son, para apro9imar la ra(+ de xe x f x

ln)( −= − ,

comen+ando con 10 = x y 1asta que%1


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7e aqu( tenemos que:

&omen+amos con 10 = x y obtenemos:

"n este caso& el error a%ro+imado es&

&ontinuamos el proceso 1asta reducir el error apro9imado 1asta donde se pidió%

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


;

;%B@;>B; B;%;AJ;%C)A;))C C%)@J;%C)AAAC


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&omen+amos sustituyendo0

0 = x

para obtener:

"n este caso tenemos un error apro9imado de%100%100

5.0

05.0=×

−=∈a

&ontinuamos con el proceso 1asta lograr el objetivo% Resumimos los resultado enla siguiente tabla:


))%= ;))J)%=B);A=B< C%


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+=+

i

ii x

R x x

2

11

"sta fórmula era conocida por los antiguos griegos 2Serón4%

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos 26= R y apliquemos la fórmula

obtenida, comen+ando con 50 = x % Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

$pro9% a la ra(+ "rror apro9%==%; ;%A@J=%)AA);A@)< )%);AJ=%)AA);A=;> )%)))));


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MÉTODO DE LA SECANTE

"ste método se basa en la fórmula de -e.ton3Rap1son, pero evita el c'lculo de laderivada usando la siguiente apro9imación:

2Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en ca(da libre4%

ustituyendo en la fórmula de -e.ton3Rap1son, obtenemos:

5ue es la fórmula del método de la secante% -ótese que para poder calcular elvalor de

, necesitamos conocer los dos valores anteriores y %

Obsérvese tambien, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa% !adiferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobreintervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,encuentra la apro9imación casi con la misma rapide+ que el método de -e.ton3Rap1son% &laro, corre el mismo riesgo de éste *ltimo de no converger a la ra(+,mientras que el método de la regla falsa va a la segura%

Ejemplo !Usar el método de la secante para apro9imar la ra(+ de ,

comen+ando con , y 1asta que %

SoluciónDenemos que y , que sustituimos en la fórmula de

la secante para calcular la apro9imación :

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&on un error apro9imado de:

&omo todav(a no se logra el objetivo, continuamos con el proceso% Resumimos losresultados en la siguiente tabla:


); ;))J)%@;B@AA>B;CC @%BCJ)%@=BA;B@= )%)


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7e lo cual conclu(mos que la apro9imación a la ra(+ es:

MÉTODO DEL PUNTO FIJO 2ITERACIÓN)

"ste método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

i la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar enambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada%

Ejemplos-;4 !a ecuación se puede transformar en %B4 !a ecuación se puede transformar en %

7ada la apro9imación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

upongamos que la ra(+ verdadera es , es decir,

Restando las *ltimas ecuaciones obtenemos:

Por el Deorema del alor #edio para derivadas, sabemos que si es cont(nuaen y diferenciable en entonces e9iste tal que

%

"n nuestro caso, e9iste en el intervalo determinado por y tal que:

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7e aqu( tenemos que:

O bien,

Domando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término es precisamente el error absoluto en la

ésima iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en

la ésima iteración%

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuir' el error en la siguiente

iteración% "n caso contrario, el error ir' en aumento%

"n resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la ra(+ si

para en un intervalo que contiene a la ra(+ y donde es cont(nua y

diferenciable, pero diverge si en dic1o intervalo%

$nalicemos nuestros ejemplos anteriores:

• "n el ejemplo ;, y claramente se cumple la condición de que

% Por lo tanto el método s( converge a la ra(+%

• "n el ejemplo B, y en este caso,

% Por lo tanto, el método no converge a la ra(+%

Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo !Usar el método de iteración del punto fijo para apro9imar la ra(+ de ,

comen+ando con y 1asta que %

Solución&omo ya aclaramos anteriormente, el método s( converge a la ra(+%

$plicando la fórmula iterativa tenemos,

&on un error apro9imado de

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$plicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

I un error apro9imado de %

6ntuimos que el error apro9imado se ir' reduciendo muy lentamente% "n efecto, senecesitan 1asta ;C iteraciones para lograr reducir el error apro9imado menor al ;J%"l resultado final que se obtiene es:

&on un error apro9imado igual al %

Ejemplo #

Usar el método de iteración del punto fijo para apro9imar la ra(+ de, comen+ando con y 1asta que %

Solucióni despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,

"n este caso, tenemos que ( Un .ista-o a la gráfca&

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que

el método s( converge a la ra(+ buscada%

$plicando la fórmula iterativa, tenemos:

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&on un error apro9imado del ;))J%

$plicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

&on un error apro9imado igual al B;J%

"n este ejemplo, el método solo necesita de = iteraciones para reducir el error menor al ;J% Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

$pro9% a la ra(+ "rror apro9%)

3)%B ;))J3)%;==>@;=)@ B;J3)%;@@C)CA)= @%C>J3)%;@C>;))@> )%C=J

7e donde vemos que la apro9imación buscada es:

EJERCICIOS

NOTA- Usa todos los d(gitos en tu calculadora para que la apro9imación sea lo m'se9acta posible%

!. Usa el método de bisección para apro9imar la ra(+ de

comen+ando en el intervalo y 1asta que %

Solución %

#. Usa el método de bisección para apro9imar la ra(+ de


Solución %

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,. Usa el método de la regla falsa para apro9imar la ra(+ de


Solución %

. Usa el método de la regla falsa para apro9imar la ra(+ de


Solución %

/. Usa el método de -e.ton3Rap1son para apro9imar la ra(+ de


Solución %

0. Usa el método de -e.ton3Rap1son para apro9imar la ra(+ de ,


Solución %

1. Usa el método de la secante para apro9imar la ra(+ de


Solución %

2. Usa el método de la secante para apro9imar la ra(+ de


Solución %

3. Usa el método de iteración del punto fijo para apro9imar la ra(+ de


Solución %

!4. Usa el método de iteración del punto fijo para apro9imar la ra(+ de


Solución %

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

"studiaremos sistemas de ecuaciones de la forma :

nnnnnn

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=+++

=+++

=+++

2211

22222121

11212111

donde ija

, jb

son constantes y j x

son las incógnitas% e dice que el sistematiene n ecuaciones con n incógnitas o simplemente que es de nn× %

"n la notación ija

, i se refiere al renglón, y j se refiere a la columna donde est'ubicado el elemento correspondiente%

MATRICES

"l sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial sidefinimos:

i + !a matriz de coeficientes:

ii + !a matriz de incógnitas:

iii + !a matriz de términos independientes o resultados:

"ntonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial:

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donde el producto indicado es el producto de matrices%

O5ERACIONES ELEMENTALES

Para una matri+ A se definen tres operaciones elementales por renglones 2 ocolumnas 4K nos remitiremos a las operaciones por renglones% &uando se efect*anlas operaciones elementales se obtiene una matri+ equivalente, y se utili+a els(mbolo de equivalencia%

I .6 Intercambiar dos renglones

Ejemplo- i intercambiamos el renglón ; y C:

T

II .6 Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero

Ejemplo- i multiplicamos el renglón C por B:

III .6 Sumar un renglón a otro renglón

Ejemplo- i sumamos el renglón C al renglón B:

T

!as operaciones 66 y 666 se combinan para sumar un m*ltiplo de un renglón a otrorenglón%

Ejemplo-

7i+ &omen+amos con la matri+:

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7ii+ #ultiplicamos el renglón ; por B:

T

7iii+ umamos el renglón ; al renglón B:

T

7i8+ /inalmente multiplicamos por 2

1

el renglón ; 2 lo cual anula el paso

2ii4 4:

T

$1orrando pasos podemos escribir simplemente:

T

/inalmente, las operaciones elementales se utili+an para 1acer cerosV debajo de

alg*n elemento0≠ija %

Ejemplo- Sacer ceros debajo del elemento 11a en la siguiente matri+:

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Solución! emos que para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón ; por B , y sumarlo al renglón B% Dambien podemos multiplicar el mismo renglón ; por WC, y sum'rselo al renglón C:

T

"l objetivo final es transformar una matri+ $ en una matri+ escalonada %

Definición. Una matri+ se llama escalonada si el primer elemento no cero en cadarenglón est' m's a la derec1a que el del renglón anterior%

Ejemplos-

!+ !a matri+

s( es escalonada%

#+ !a matri+

no es escalonada%

Obviamente el escalonamiento de una matri+ se logra 1aciendo cerosV debajo delos elementos adecuados%

Eje&cicios-

!+ Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matri+:

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Solución! !a notación se e9plica por s( sola:

#+ "scalonar la siguiente matri+:

Solución% Procedemos como en el ejercicio anterior:

Denemos a1ora todas las 1erramientas para estudiar nuestros dos primerosmétodos numéricos de solución a sistemas de ecuaciones lineales%

METODOS DE SOLUCION

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METODO DE GAUSS

"ste m#todo se a%lica %ara resol.er sistemas lineales de la orma!

"l m#todo de eliminaci$n 6assiana 7sim%le8& consiste en escalonar la matri-amentada del sistema!

%ara obtener n sistema e*i.alente !

donde la notación ija'

se usa simplemente para denotar que el elemento ija

cambió% e despejan las incógnitas comen+ando con la *ltima ecuación y 1aciaarriba% Por esta ra+ón, muc1as veces se dice que el método de eliminaciónMaussiana consiste en la eliminación 1acia adelante y sustitución 1acia atr's%

Ejemplo-

9( Resol.er el sigiente sistema de ecaciones!

usando el método de eliminación Maussiana 2simple4%

Solución ! "scalonamos la matri- amentada del sistema!

1 di.idiendo el segndo rengl$n entre :3 & tenemos la matri- e*i.alente!

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Por lo tanto& el sistema e*i.ale a!

7e la *ltima ecuación tenemos 103 = x K sustitu(mos este valor en la

ecuación de arriba para obtener 182 −= x K sustitu(mos estos valores en la

ecuación de arriba para obtener 71 = x %

Por lo tanto& la solci$n del sistema es!

#+ Resol8e&-

usando eliminación Maussiana 2simple4%

Solución! "scalonando la matri- amentada del sistema!

Por lo tanto& el sistema e*i.ale a!

7e la ecuación 2 C 4 obtenemos 23 = x K sustitu(mos arriba para obtener 42 = x K

sustitu(mos arriba para obtener 41 = x %

Por lo tanto la solución del sistema es:

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"l método de eliminación Maussiana 2simple4 puede presentar un problemacuando uno de los elementos que se usan para 1acer ceros, es cero%

Por ejemplo, supóngase que en alg*n paso del proceso de 1acer cerostenemos la siguiente matri+:

"s claro que el elemento 022 =a no puede usarse para 1acer cerosH

"ste problema se puede resolver f'cilmente intercambiando los renglones By C % 7e 1ec1o, el resultado que obtenemos es la matri+ escalonada :

in embargo, el problema puede presentarse también si el elemento aquel es muy cercano a cero%

Ejemplo- Resol.er el sigiente sistema& sando eliminaci$n 6assiana7sim%le8

Solución. Usando eliminaci$n 6assiana 7sim%le8 obtenemos!

2e nos da el sistema e*i.alente!

7e donde, 32

2 = x; sstit,mos arriba ' obtenemos!

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"l resultado cambia dr'sticamente de acuerdo al n*mero de cifrassignificativas que se usen% Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

LCifras

Significativas

2X4Error relativo porcentual

C )%@@ 3CC ;),))) J

> )%))@ 3C ;,))) J

= )%)))@ ) ;)) J

@ )%))))@ %C ;) J

)%@@@@@@ )%CC ; J

2X4 Para calcular este error se tomó el valor verdadero de 3

11 = x

%

A/ora resol.emos el mismo sistema %ero intercambiando los renglones 9 ' <

Lo cal nos da el sistema e*i.alente!

7e donde obtenemos 3

22 = x

; sstit'endo arriba nos da!

-uevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados enla siguiente tabla:

L

CifrasSignifi

2X4

Error elativo

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cativas

!orcentual

C )%@@ )%CCC )%; J> )%@@@ )%CCCC )%); J= )%@@@@ )%CCCCC )%)); J@ )%@@@@@ )%CCCCCC )%))); J )%@@@@@@ )%CCCCCCC )%)))); J

"n este *ltimo caso, vemos que el error relativo porcentual no var(a dr'sticamentecomo en la solución anterior%

$s(, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos para1acer ceros% "n general, para evitar este problema se elige como elemento para1acer ceros 2el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote4como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos%

$ este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminaciónMaussiana, nos d' el llamado método de eliminación Maussiana con pivoteo2parcial4%

Podemos resumir el pivoteo 2parcial4 como sigue:

• YPara elegir el elemento pivote en la primer columna se escoge el elementomayor 2con valor absoluto4 de toda la primer columna%

• YPara elegir el elemento pivote en la segunda columna, se escoge el elementomayor 2con valor absoluto 4 de toda la segunda columna e9ceptuando el

elemento 12a %

• YPara la tercer columna se e9cept*an los elementos 13a y 23a , etc%

"n n diagrama matricial& tenemos *e los elementos %i.otes de cada colmnase escogen de entre los sigientes!

Ejemplo !-

Usar eliminaci$n 6assiana con %i.oteo %ara resol.er el sigiente sistema!

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Solución! "scribimos la matri- amentada del sistema!

Para escoger el primer elemento pivote en la columna ;, tomamos el elementomayor con valor absoluto entre 3; , 3B y 3)%B , el cual obviamente es el 3B K por lotanto intercambiamos el renglón ; y B 2éste es el primer pivoteo reali-ado8!

I procedemos a 1acer ceros debajo del pivote% Para ello, multiplicamos el renglón

; por 2

1

y se lo sumamos al renglón B% Dambién, multiplicamos el renglón ;

por 2

2.0−

y lo sumamos al renglón C% "sto nos da la matri+:

Olvid'ndonos del renglón ; y de la columna ;, procedemos a escoger el pivotede la columna B, pero unicamente entre )%= y ;%B= , el cual obviamente resulta ser ;%B=% Por lo tanto intercambiamos los renglones B y C 2éste es el segundo pivoteo reali-ado8!

I procedemos a 1acer ceros debajo del elemento pivote% Para ello multiplicamos el

renglón B por 25.1

05.−

' lo smamos al rengl$n 3 %ara obtener!

!a cual es una matri+ escalonada% "l sistema equivalente es:

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1 con la sstitci$n /acia arriba& obtenemos la solci$n del sistema!

Ejemplo #.

Usar eliminaci$n 6assiana con %i.oteo %ara resol.er el sigiente sistema deecaciones!

Solución. La matri- amentada del sistema es !

"l elemento pivote en la columna ; es el 10− & lo *e nos obliga a intercambiarlos renglones 9 ' 3!

=aciendo ceros debao del %i.ote& obtenemos!

A/ora el elemento %i.ote en la colmna < es el 594(>>& el cal está biencolocado& ' no /a' necesidad de intercambiar renglones( Procedemos a/acer ceros debao del %i.ote& lo cal nos da la sigiente matri- escalonada!

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"scribiendo el sistema e*i.alente& ' resol.iendo con la sstitci$n /acia arriba&obtenemos la solci$n del sistema!

METODO DE GAUSS - JORDAN

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"ste método utili+a las mismas técnicas de eliminación Maussiana 2incluyendo elpivoteo4, pero con el objetivo de finali+ar con una matri+ de la siguiente forma:

donde n I es la matriz identidad de nxn (

Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la *nica diferencia que el pivotese usa para 1acer ceros 1acia abajo y 1acia arriba%

Ejemplo !- Usar el m#todo de 6ass5?ordan %ara resol.er el sigientesistema!

Solución! Comen-amos con la matri- amentada!

Procedemos a /acer el %rimer %i.oteo& ' %ara ello& intercambiamos losrenglones 9 '

' /aciendo ceros debao del %i.ote& obtenemos!

T

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A/ora& %ara colocar adecadamente el segndo %i.ote intercambiamos losrenglones < ' 3!

Para 1acer ceros arriba del pivote ;%B=, multiplicamos el renglón B por 25.15−

y selo sumamos al renglón ;K para 1acer ceros debajo del mismo pivote, multiplicamos

al mismo renglón B por 25.15.0−

y se lo sumamos al renglón C % Dodo esto nos da:

$1ora procedemos a 1acer ceros arriba del pivote )%)A % Para ello, multiplicamos

el renglón C por 09.085.0

y se lo sumamos al renglón BK igualmente multiplicamos el

renglón C por 09.09.1−

y se lo sumamos al renglón ;% Dodo esto nos da:

/inalmente para 1acer los ;Zs 2 unos 4 en la diagonal principal, multiplicamos los

renglones ; , B, y C por 25.1

1,

2

1−

y 09.0

1

, respectivamente% Obtenemos entoncesla matri+ final:

La cal nos da la solci$n del sistema de ecaciones!

Ejemplo #. Usar el m#todo de 6ass5?ordan %ara resol.er el sigientesistema!

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Solución( "scribimos la matri- amentada del sistema!

Observamos que el primer elemento pivote est' bien colocado y por lo tanto no 1aynecesidad de intercambiar renglones% Por lo tanto 1acemos ceros debajo del pivote

111 =a K para ello, multiplicamos el renglón ; por )%> y se lo sumamos al renglón B,

y también multiplicamos el mismo renglón ; por W)%= y se lo sumamos al renglónC% "sto nos da la siguiente matri+:

Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor 2con

valor absoluto4 entre 8.222 =a y 432 −=a , el cual obviamente es éste *ltimo% Por lo

tanto, debemos intercambiar el renglón B y el renglón C% Denemos entonces:

Procedemos a 1acer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivoteKpara ello, multiplicamos el renglón B por )%= y lo sumamos al renglón ;, y también

multiplicamos el mismo renglón B por 48.2

y lo sumamos al renglón C% "sto nos da:

-uestro tercer elemento pivote es 15.033 −=a % Para 1acer ceros arriba de este

elemento, multiplicamos el renglón C por 15.05.0− y lo sumamos al renglón B, y

también multiplicamos el mismo renglón C por 15.075.2

y lo sumamos al renglón ;% [stonos da:

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/inalmente, 1acemos los ;Zs 2unos4 en la diagonal, multiplicando el renglón B por 41− y el renglón C por 15.0

1− % [sto nos da la matri9 final:

Por lo tanto& la solci$n del sistema de ecaciones es!

MATRI" IN#ERSA

Una de las aplicaciones del método de Mauss3\ordan, es el c'lculo de matricesinversas% Recordamos primero la definición de matri+ inversa%

Definición. ea A una matri+ de nxn % !a matriz inversa de A es una matri+ "de nxn tal *e!

e escribe1−= A B para denotar la matri+ inversa% &uando la matri+ inversa e9iste,

es *nica, pro no siempre e9iste la matri+ inversa%Un resultado de algebra lineal prueba que la matri+ inversa1− A e9iste si y solo

si el determinante de A es distinto de cero%"l método de Mauss3\ordan procede como sigue:

"s decir, en una matri+ comen+amos por escribir la matri+ A, y a su derec1aagregamos la matri+ identidad n I del mismo orden que la matri+ AK enseguida

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aplicamos el método de Mauss3\ordan para 1acer los ceros y unos y obtener del

lado i+quierdo la matri+ identidad n I % 7el lado derec1o lo que obtendremos ser' lamatri+ inversa de A%

Ejemplo !. Usar el m#todo de 6ass5?ordan %ara calclar la matri- in.ersa dela sigiente matri-!

Solución. "n una matri+, colocamos la matri+ A y a su derec1a agregamos la

matri+ identidad 2 I !

"l primer elemento pivote 411 =a est' bien colocado y procedemos a 1acer ceros

debajo de este elemento% Para ello, multiplicamos el renglón ; por 41− y lo

sumamos al renglón B% "sto nos da:

-uestro segundo elemento pivote es 25.022 =a % Para 1acer ceros arriba de este

elemento, multiplicamos el renglón B por 25.011− y lo sumamos al renglón ;% "sto nos

da:

/inalmente, 1acemos los ;Zs en la diagonal principal% Para ello, multiplicamos el

renglón ; por41

y el renglón B por 25.01

% "sto nos da la matri+ final:

Por lo tanto, conclu(mos que la matri+ inversa de A es!

Ejemplo #. Usar el m#todo de 6ass5?ordan %ara calclar la matri- in.ersade!

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Solución. "n una matri+, colocamos la matri+ A ' a s derec/a agregamos lamatri- identidad!

emos que el primer elemento pivote 211 =a est' bien colocado y procedemos a

1acer ceros debajo de este elemento% Para ello multiplicamos el renglón ; por 25.0

y

lo sumamos al renglón BK también, multiplicamos el mismo renglón ; por 23125.0

y losumamos al renglón C% "sto nos da:

Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor 2con

valor absoluto4 entre2.022 =a

y

25.132 −=a

, el cual obviamente es éste *ltimo%Por lo tanto, debemos intercambiar el renglón B y el renglón C% Denemos entonces:

Procedemos a 1acer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivoteK

para ello, multiplicamos el renglón B por 25.14− y lo sumamos al renglón ;, y

también multiplicamos el mismo renglón B por 25.12.0

y lo sumamos al renglón C% "stonos da:

-uestro tercer elemento pivote es 4.033 =a % Para 1acer ceros arriba de este

elemento, multiplicamos el renglón C por 4.0125.3− y lo sumamos al renglón B, y

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también multiplicamos el mismo renglón C por 4.010

y lo sumamos al renglón ;% "stonos da:

/inalmente, 1acemos los ;Zs en la diagonal principal% Para ello multiplicamos el

renglón ;, B y C por 21

, 25.11− y 4.0

1

, respectivamente% "sto nos da la matri+ final:

Por lo tanto, conclu(mos que la matri+ inversa de A es!

METODO DE GAUSS-SEIDEL

"l método de Mauss3eidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser unmétodo bastante eficiente% &omen+amos con nuestro sistema de ecuaciones:

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7e la ecuación ; despejemos 1 x , de la ecuación B despejemos 2 x , ], de la

ecuación n despejemos n x ( "sto nos da el sigiente connto de ecaciones!

"ste *ltimo conjunto de ecuaciones son las que forman nuestras fórmulasiterativas% Para comen+ar el proceso iterativo, le damos el valor de cero a las

variables n x x ,,2 K esto nos dar' un primer valor para 1 x % #'s precisamente,tenemos que:

"nseguida, sustitu(mos este valor de 1 x en la ecuación B, y las variables

n x x ,,3 siguen teniendo el valor de cero% "sto nos da el siguiente valor para 2 x !

"stos *ltimos valores de 1 x y 2 x , los sustitu(mos en la ecuación C, mientras que

n x x ,,4 siguen teniendo el valor de ceroK y as( sucesivamente 1asta llegar a la*ltima ecuación% Dodo este paso, nos arrojar' una lista de primeros valores paranuestras incógnitas, la cual conforma nuestro primer paso en el proceso iterativo%7igamos que tenemos:

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@ol.emos a re%etir el %roceso& %ero a/ora sstit'endo estos ltimos datosen .e- de ceros como al inicio& obtendremos na segnda lista de .alores %aracada na de las inc$gnitas( Digamos *e a/ora tenemos!

"n este momento& %odemos calclar los errores a%ro+imados relati.os& res%ectoa cada na de las inc$gnitas( As,& tenemos la lista de errores como sige!

"l %roceso se .el.e a re%etir /asta *e!

donde s∈ es una cota suficiente prefijada%

Ejemplo !

Usar el m#todo de 6ass5)eidel %ara a%ro+imar la solci$n del sistema!

1asta que%1


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"stas *ltimas, son nuestro juego de fórmulas iterativas%

&omen+amos el proceso iterativo, sustituyendo los valores de 032 == x x en la

primera ecuación, para calcular el primer valor de 1 x !

$1ora, sustituimos 66667.21 = x y 03 = x en la segunda ecuación, para obtener

2 x !

$1ora sustituimos 66667.21 = x y 82381.22 −= x en la tercera ecuación, para

obtener 3 x !

As,& tenemos nestra %rimera a%ro+imaci$n a la solci$n del sistema!

Puesto que todav(a no podemos calcular ning*n error apro9imado, repetimos elproceso pero a1ora con los *ltimos datos obtenidos para las incógnitas:

ustituyendo 82381.22 −= x y 1051.73 = x en la ecuación ; obtenemos6626.31 = x % ustituyendo 6626.31 = x y 1051.73 = x en la ecuación B obtenemos24404.32 −= x K finalmente, sustituyendo 6626.31 = x y 24404.32 −= x en la ecuación

C obtenemos 06106.73 = x ( As,& tenemos la segnda lista de .alores dea%ro+imaci$n a la solci$n del sistema!

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$1ora si podemos calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas%Denemos:

Puesto que no se 1a logrado el objetivo, debemos repetir el mismo proceso con los*ltimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas% -ótese que aunque el

error apro9imado 3,a∈

ya cumple con ser menor al ;J, esto se debe de cumplir para los tres errores apro9imadosH

Por lo tanto re%etimos el mismo %roceso( mitiendo los %asos intermedios&obtenemos!

1 en este caso tenemos los sigientes errores a%ro+imados!

emos que a1ora si se 1a cumplido el objetivo para cada uno de los erroresapro9imados% Por lo tanto, conclu(mos que la solución apro9imada es:

O9se&8'ción% "s lógico preguntarse si siempre el método de Mauss3eidelconverge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar quela respuesta es -O%

Un resultado de $n'lisis -umérico nos da una condición suficiente para laconvergencia del método%

T$o%$&'% "l método de Mauss3eidel converge a la solución del sistema si se

cumple la condición de que la matri+ de coeficientes del sistema sea una matri+diagonalmente dominante& es decir& si se cm%le la sigiente condici$n!

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,paracada

!a condición de ser una matri+ diagonalmente dominante simple mente significaque los elementos de la diagonal son mayores 2en valor absoluto4 que la suma de

los valores absolutos de los dem's elementos del mismo renglón% -ótese que en elejemplo anterior, la matri+ si es diagonalmente dominante y por lo tanto, el métodode Mauss3eidel si converge a la solución del sistema%

in embargo, la condición de la matri+ diagonalmente dominante, solamente es unacondición suficiente pero no necesaria, es decir, e9isten sistemas de ecuacionesque no cumplen con la condición y que si convergen a la solución y también e9istensistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a lasolución%

/inalmente, obsérvese que aunque un sistema no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que si se cumpla con estacondición mediante un intercambio de renglones, como veremos en el siguienteejemplo%

Ejemplo #

Usar el m#todo de 6ass5)eidel %ara a%ro+imar la solci$n del sistema!

1asta que%1


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&omen+amos entonces el proceso iterativo sustituyendo los valores de 02 = x y03 = x en la ecuación ; para obtener 1 x !

$1ora sustitu(mos 84.181 −= x y 03 = x en la ecuación B para obtener 2 x !

Para terminar la primera iteración, sustitu(mos 84.181 −= x y 152.32 −= x en la

ecuación C para obtener 3 x !

Por lo tanto los .alores obtenidos en la %rimera iteraci$n son!

Puesto que solo tenemos la primera apro9imación de la solución del sistema,

debemos seguir avan+ando en el proceso iterativo% ustituyendo 152.32 −= x y04613.03 −= x en la ecuación ;, obtenemos 69765.191 −= x K sustituyendo69765.191 −= x y 04613.03 −= x en la ecuación B, obtenemos 42775.32 −= x K

sustituyendo 69765.191 −= x y 42775.32 −= x en la ecuación C, obtenemos05207.03 −= x % Por lo tanto, nuestra segunda apro9imación es:

I a1ora si podemos calcular los errores apro9imados para cada una de lasincógnitas% Denemos:

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Puesto que no se 1a cumplido el objetivo, debemos seguir avan+ando en elproceso iterativo% Resumimos los resultados como sigue:

Te&ce&' i*e&'ción-

C"'&*' I*e&'ción-

As,& el obeti.o se /a logrado /asta la carta iteraci$n ' tenemos *e los .alores

a%ro+imados de la solci$n del sistema son!

EJERCICIOS

NOTA- "n todos los ejercicios, redondea tus resultados a cinco decimales%!. Usa el m#todo de 6ass con %i.oteo %ara resol.er el sigiente sistema!

Sol"ción-

#. Usa el método de Mauss con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

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Sol"ción-

,. Usa el método de Mauss3\ordan para resolver el siguiente sistema:

Sol"ción-

. Usa el método de Mauss3\ordan para resolver el siguiente sistema:

Sol"ción-

/. &alcula la matri+ inversa de las siguientes matrices usando el método de Mauss3\ordan:

i4 ii4

Sol"ciones-

i4

PUBLIDRAT 304


67/135


ii4

0. Usa el método de Mauss3eidel 1asta que%1


68/135


INTER5OLACI%N

"n este cap(tulo estudiaremos el important(simo tema de la interpolación de datos%eremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolaciónsegmentaria 2splines4%

&omencemos dando la definición general%

Definición. 7ados 1+n puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gr#ficamente como puntos en el plano cartesiano$

i e9iste una función )( x f definida en el intervalo [ ]n x x ,0 2donde suponemos que

n x x x


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*n tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales( !uesto &ueevidentemente pueden e%istir una infinidad de funciones polinomiales deinterpolación para una misma tabla de datos$ se +ace una petición e%tra para &ue

el polinomio de interpolación $ sea ,nico(

Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que adem'sde interpolar los datos, es el de menor grado posible%

&aso n0)

T$n$&o( lo( '*o(

En este caso$ tenemos &ue 0)( y x f =

-polinomio constante. es el polinomio de

menor grado tal &ue 00)( y x f =

$ por lo tanto$ es el polinomio de interpolación(

&aso n0;

/enemos los datos:

En este caso$ el polinomio de interpolación es la función lineal &ue une a los dos puntos dados( !or lo tanto$ tenemos &ue

)()( 001

010 x x

x x

y y y x f −

−

−+=

es el polinomio de interpolación(

0a siguiente gr#fica representa este caso:

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1bservación!

emos que en el polinomio de interpolación del caso n0; se encuentra como

primer término, 0 y , que es el polinomio de interpolación del caso n0)%

Continuemos:

&aso n0B

/enemos los datos:

!ara este caso$ el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2(/omando en cuenta la observación anterior$ intu)mos &ue el polinomio deinterpolación ser# como sigue:

término cuadr'tico

!or lo tanto$ planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

))(()()( 102010 x x x xb x xbb x f −−+−+=

Si asignamos 0 x x =

$ se anulan los valores de 1b y 2b $ &ued#ndonos el resultado:

00)( b x f =

Como se debe cumplir &ue 00)( y x f =

$ entonces:

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00 b y =

Si asignamos1 x x =

$ el valor de2b

&ueda anulado$ resultando lo siguiente:

)()( 01101 x xbb x f −+=

Como se debe cumplir &ue 11)( y x f = y ya sabemos &ue 00 b y = $ entonces)( 01101 x xbb y −+= $ de lo cual obtenemos el valor para 1b :

1

01

01 b x x

y y=

−

−

Asignando 2 x x = $ vamos a obtener :

))(()()( 1202202102 x x x xb x xbb x f −−+−+=

Como se debe cumplir &ue 22)( y x f = $ y ya sabemos &ue 00 b y = y

1

01

01 b x x

y y=

−

−

$ sustitu)mos estos datos para después despejar el valor de 2b :

))(()( 120220201

0102 x x x xb x x

x x

y y y y −−+−−

−+=

3e lo cual podemos +acer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

)(

)(

022

12

02

01

0102

x xb x x

x x x x

y y y y

−=−

−−

−−−

A+ora en el numerador del miembro iz&uierdo de la igualdad$ le sumamos un cero( )11 y y +− $ de tal manera &ue no se altere la igualdad:

A continuación$ aplicamos un poco de #lgebra para as) obtener los siguientesresultados:

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4 finalmente despejando a 2b vamos a obtener :

0201

01

12

12

2 x x

x x

y y

x x

y y

b −

−

−−

−

−

=

!or lo tanto$ el polinomio de interpolación para este caso es:

1bservación!

5emos &ue efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del casoanterior$ m#s un término e%tra &ue es de un grado mayor$ pero adem#s vemos &uecada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación$ se forman a base decocientes de diferencias de cocientes de diferencias$ etc( Esto da lugar a ladefinición de diferencias divididas finitas de 6e7ton$ como sigue:

DIERENCIAS DI)IDIDAS INITAS DE NE:TON

!as diferencias divididas finitas de -e.ton, se define de la siguiente manera:

ji

ji

ji x x

x f x f x x f

−

−=

)()(],[

k i

k j ji

k ji x x

x x f x x f x x x f

−

−=

],[],[],,[

PUBLIDRAT 304


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•

•

•

0

011011 ],,[],,[],,,,[

x x x x f x x f x x x x f

n

nnnn

−−= −−

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso espec)fico :

03

0121230123

],,[],,[],,,[

x x

x x x f x x x f x x x x f

−

−=

on$ ' (u +$,

13

1223123

],[],[],,[ x x

x x f x x f x x x f −−=

012

0112012

],[],[],,[

x x

x x f x x f x x x f

−

−=

4 donde a su vez:

23

2323

)()(],[

x x

x f x f x x f

−

−=

etc(

!odemos a+ora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación(

5OLINOMIO DE INTER5OLACI%N DE NE:TON CON DIERENCIAS DI)IDIDAS

D'o( 1+n '*o(

El polinomio de interpolación de -e.ton se define de la siguiente manera:

PUBLIDRAT 304


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110102010 −

−−−++−−+−+=nn

x x x x x xb x x x xb x xbb x f

on$

( )00 x f b =

],[ 011 x x f b =

[ ]0122 ,, x x x f b =

[ ]0,, x x f b nn

=

!ara calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 $ es conveniente construir una tabla de

diferencias divididas como la siguiente :

1bsérvese &ue los coeficientes del polinomio de interpolación de 6e7ton$ seencuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas(

Ejemplo !% &alcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

PUBLIDRAT 304


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4 utilizar la información de dic+a tabla$ para construir el polinomio de interpolaciónde 6e7ton(

olución%

P%oc$$&o( co&o (i.u$

!or lo tanto el polinomio de interpolación de 6e7ton es :

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( −++−++−++= x x x x x x x f

Ejemplo #. &alcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

4 usar la información en la tabla$ para construir el polinomio de interpolación de6e7ton(

olución% P%oc$$&o( co&o (i.u$

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!or lo tanto el polinomio de interpolación de 6e7ton nos &ueda :

))(2)(3(20238.0)2)(3(66667.1)3(35)( x x x x x x x f ++−++−++=

Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación$ veamos como el imponer la restricción del grado m)nimo$ implica la unicidad del polinomio deinterpolación(

/E1EMA (

Si n x x x ,,, 10 son n,meros reales distintos$ entonces para valores arbitrarios

n y y y ,,, 10 e%iste un polinomio ,nico( ) x f n $ de a lo m#s grado n$ y tal &ue:

( ) iin y x f = para toda ni ,,2,1,0 =

DEMOSTRACIÓN!

En realidad$ no probaremos formalmente la e%istencia de un polinomio deinterpolación$ aun&ue informalmente aceptamos &ue dada cual&uier tabla de datos$el polinomio de 6e7ton siempre e%iste(

!robemos la unicidad del polinomio de interpolación(

upongamos que ( ) x g n es otro polinomio de interpolación de a lo m's grado n,

S$' ( ) ( ) ( ) x g x f xh nnn −=

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( ) ( ) ( ) 0=−=−=∴ iiininin y y x g x f xh /'%' *oo ni ,2,1,0 =

Por lo tanto,( ) xh

n tiene 1+

n ra(ces distintas, y es un polinomio de grado a lom's n, esto solamente es posible si ( ) 0= xhn %

( ) ( ) x g x f nn =∴

0u$ $( lo 1u$ 1u$%2'&o( /%o3'%!

Sin embargo$ aun&ue el polinomio de interpolación es ,nico$ pueden e%istir

diversas formas de encontrarlo( *na$ es mediante el polinomio de 6e7ton$ otramediante el polinomio de 0agrange(

5OLINOMIO DE INTER5OLACI%N DE LAGRANGE

-uevamente tenemos los datos :

"l polinomio de interpolación de 0agrange se plantea como sigue:

)()()()( 1100 xl y xl y xl y x P nn+++=

7onde los polinomios )( xl i se llaman los polinomios de !agrange,correspondientes a la tabla de datos%

&omo se debe satisfacer que 00 )( y x P = , esto se cumple si 1)( 00 = xl y 0)( 0 = xl i

para toda 0≠i %

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&omo se debe satisfacer que 11)( y x P = , esto se cumple si 1)( 11 = xl y 0)( 1 = xl i

para toda 1≠i %

I as( sucesivamente, veremos finalmente que la condición ( ) nnn y x P = se cumple si

( ) 1=nn xl y ( ) 0=ni xl para toda ni ≠ %

"sto nos sugiere como plantear los polinomios de !agrange% Para ser m's claros,

analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl % 7e acuerdo al an'lisis anterior

vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para )(0 xl :

1)( 00 = xl y0)(0 = j xl , para toda 0≠ j

Por lo tanto, planteamos )(0 xl como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )no x x x x x xc xl −−−= 21

&on esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl % !a constante c sedeterminar' para 1acer que se cumpla la primera condición:

( ) ( ) ( ) ( )n x x x x x xc xl −−−=⇒= 0201000 11

( ) ( ) ( )n x x x x x xc

−−−=⇒

02010

1

Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nn

x x x x x x

x x x x x x xl −−−

−−−

=02010

210

$n'logamente se puede deducir que:

( )∏

∏

≠

≠

−

−

=

ji

i j

ji

i

j

x x

x x

xl

)(

)(

, para n j ,,1=

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Ejemplo !

&alcular el polinomio de !agrange usando los siguientes datos:

Solución. Denemos que:

)()()()()( 3321100 xl y xl y xl y xl y x f +++=

)(3)(2)()(2)( 3210 xl xl xl xl x f −++−=

donde:

48

)7)(5)(3(

)6)(4)(2(

)7)(5)(3()(0

−

−−−=

−−−

−−−=

x x x x x x xl

16

)7)(5)(1(

)4)(2)(2(

)7)(5)(1()(1

−−−=

−−

−−−=

x x x x x x xl

16

)7)(3)(1(

)2)(2)(4(

)7)(3)(1()(2

−

−−−=

−

−−−=

x x x x x x xl

48

)5)(3)(1(

)2)(4)(6(

)5)(3)(1()(3

−−−=

−−−=

x x x x x x xl

ustituyendo arriba, el polinomio de !agrange queda definido como sigue:

−−−−

−−−−

−−−+

−−−=

16

)5)(3)(1(

8

)7)(3)(1(

16

)7)(5)(1(

24

)7)(5)(3()(

x x x x x x x x x x x x x f

PUBLIDRAT 304


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Ejemplo #%

&alcular el polinomio de !agrange usando los siguientes datos:

Solución. Denemos que:

)()()()()( 3321100 xl y xl y xl y xl y x f +++=

)(2)(3)()()( 3210 xl xl xl xl x f −+−=

donde:

48

)4)(2(

)6)(4)(2(

)4)(2)(0()(0

−

−−=

−−−

−−−=

x x x x x x xl

16

)4)(2)(2(

)4)(2)(2(

)4)(2)(2()(1

−−+=

−−

−−+=

x x x x x x xl

16

)4)(2(

)2)(2)(4(

)4)(0)(2()(2

−

−+=

−

−−+=

x x x x x x xl

48

)2)(2(

)2)(4)(6(

)2)(0)(2()(3

−+=

−−+=

x x x x x x xl

ustituyendo arriba, el polinomio de !agrange queda como sigue:

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−+−

−

−++

−−+−

−

−−=

24

)2)(2(

16

)4)(2(3

16

)4)(2)(2(

48

)4)(2()(

x x x x x x x x x x x x x f

"n el cap(tulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomiosde !agrange%

INTERPOLACIÓN DE SPLINES

Derminamos este cap(tulo, estudiando un tipo de interpolación que 1a demostradoposeer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseEo por computadora,por ejemplo, de tipos de letra%

"sta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines%!a idea central es que en ve+ de usar un solo polinomio para interpolar los datos,podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formarnuestra interpolación%

&abe mencionar que entre todas, las splines c,bicas 1an resultado ser las m'sadecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente%

$s( pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline est'formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen

entre si bajo ciertas condiciones de continuidad%

Definición% 2Splines de grado 8 4

7ada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que n x x x


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iii 4 ( ) x s tiene derivada cont(nua 1asta de orden 1−k en [ ]n x x ,0 %

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 4

7ados los 1+n puntos

Una función spline de grado ; que interpole los datos es simplemente unir cadauno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

&laramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado ;% $s(,tenemos que para ested caso:

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈

∈

=

− nnn x x x si x s

x x x s x s

x x x si x s

x s

,

,

,

)(

1

212

101

donde:

i4( ) x s j es un polinomio de grado menor o igual que ;

ii4 ( ) x s tiene derivada continua de orden 89;


83/135


iii4(

j j y x s = , para n j ,,1,0 = %

Por lo tanto, la spline de grado ; queda definida como :

( )

[ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

∈−+

∈−+

∈−+

=

−−−− nnnnnn x x x si x x x x f y

x x x si x x x x f y

x x x si x x x x f y

x s

,,

,,

,,

1111

211121

100010

donde],[ ji x x f es la diferencia dividida de -e.ton%

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 5

Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos lossiguientes datos :

I procedamos a calcular la interpolación por splines de grado B%

Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :

[ ]

[ ]

[ ]9,7

7,5.4

5.4,3

"n cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de gradoB, como sigue:

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( )

[ ]

[ ]

[ ]

∈++

∈++

∈++

=

9,7

7,5.4

5.4,3

33

2

3

22

2

2

11

2

1

x sic xb xa

x sic xb xa

x sic xb xa

x s

Primero, 1acemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos% "sdecir, se debe cumplir que:

5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ==== s s s s

$s(, se forman las siguientes ecuaciones:

5.2395.2)3( 111 =++⇒= cba s

=++

=++⇒=

15.4)5.4(

15.4)5.4(1)5.4(

222

2

111

2

cba

cba s

=++

=++⇒=

5.2749

5.27495.2)7(

333

222

cba

cba s

5.09815.0)9( 333 =++⇒= cba s

Sasta aqu(, tenemos un total de @ ecuaciones vs% A incógnitas%

"l siguiente paso es manejar la e9istencia de las derivadas cont(nuas% "n el casode las splines de grado B, necesitamos que la spline tenga derivada cont(nua deorden 89;, es decir, primera derivada continua%

&alculamos primero la primera derivada:

( )

[ ]

[ ]

[ ]

∈+

∈+

∈+

=′

9,72

7,5.42

5.4,32

33

22

11

x sib xa

x sib xa

x sib xa

x s

emos que esta derivada est' formada por segmentos de rectas, que pudieranpresentar discontinuidad en los cambios de intervalo% "s decir, las posibles

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discontinuidades son 5.4= x y 7= x % Por lo tanto para que ( ) x s′ sea cont(nua,se debe cumplir que:

( ) ( ) 2211 5.425.42 baba +=+

o lo que es lo mismo,

2211 99 baba +=+

Dambién debe cumplirse que:

( ) ( ) 3322 7272 baba +=+

o lo que es lo mismo,

3322 1414 baba +=+

$s(, tenemos un total de < ecuaciones vs% A incognitasK esto nos da un grado delibertad para elegir alguna de las incógnitas% "legimos por simple conveniencia

01 =a %

7e esta forma, tenemos un total de < ecuaciones vs% < incógnitas% "stas son lassiguientes:

3322

221

333

333

222

222

11

11

1414

95.0981

5.2749

5.2749

15.425.20

15.4

5.23

baba

babcba

cba

cba

cba

cb

cb

+=+

+=

=++

=++

=++

=++

=+

=+

"ste sistema de ecuaciones tiene lasiguiente forma matricial:

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Usando Mat+ematica se obtiene la siguiente solución:

3.91

6.24

6.1

46.18

76.6

64.0

5.5

1

3

3

3

2

2

2

1

1

−=

=

−=

=

−=

=

=

−=

c

b

a

c

b

a

c

b

ustituyendo estos valores 2junto con 01 =a 4, obtenemos la función splinecuadr'tica que interpola la tabla de datos dada:

( )

[ ]

[ ]

[ ]

∈−+−

∈+−

∈+−

=

9,73.916.246.1

7,5.446.1876.664.0

5.4,35.5

2

2

x si x x

x si x x

x si x

x s

!a gr'fica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de latabla de datos, as( como la spline cuadr'tica% "sta gr'fica se generó usando E%cel %

"l siguiente caso, que es el m's importante en las aplicaciones, sigue e9actamentelos mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en ve+ detrabajar con polinomios cuadr'ticos, lo 1ace con polinomios c*bicos%

FUNCIONES SPLINES CU6ICAS

Para 1acer m's firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente aeste caso 28;=4%

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7ados los 1+n datos:

Una spline c*bica que interpola estos datos, es una función )( x s definida comosigue :

( )

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈

∈

=

−− nnn x x x si x s

x x x si x s

x x x si x s

x s

,

,

,

11

211

100

donde cada ( ) x si es un polinomio c*bicoK ( ) iii y x s = , para toda ni ,,1,0 = y tal

que ( ) x s tiene primera y segunda derivadas cont(nuas en [ ]n x x ,0 %

Ejemplo !%

6nterpolar los siguientes datos mediante una spline c*bica :

introducciÓn_f2columnas.doc

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