introduccion de probabilidades
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ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO
REALIZADO POR:
DRA. PATRICIA GUEVARA V.
SANGOLQUI, 2008
Dra. Patricia Guevara Vallejo ii
INDICE 1. TEORÍA DE LAS A LAS PROBABILIDADES ______________________________ 1
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD___________________________________ 1 1.1.1. Experimento ____________________________________________________________________ 1 1.1.2. Espacio muestral (Ω)______________________________________________________________ 1 1.1.3. Evento _________________________________________________________________________ 2 1.1.4. Definición clásica de probabilidad ___________________________________________________ 2
1.2. AXIOMATIZACIÓN DE LAS PROBABILIDAD MEDIANTE LOS CONJUNTOS_____ 3 1.2.1. Axiomas _______________________________________________________________________ 3 1.2.2. Eventos son Mutuamente excluyentes ________________________________________________ 3
1.3. REGLAS DE PROBABILIDAD ________________________________________________ 3 1.3.1. Regla de Adición de eventos________________________________________________________ 3 1.3.2. Regla de Probabilidad conjunta (Multiplicación) ________________________________________ 6 1.3.3. Regla de probabilidad total _________________________________________________________ 9 1.3.4. Teorema de Bayes ________________________________________________________________ 9
1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS ________________________________________________ 11 1.5. TÉCNICAS DE CONTEO ____________________________________________________ 13
1.5.1. Regla mn ______________________________________________________________________ 13 1.5.2. Permutaciones __________________________________________________________________ 13 1.5.3. Combinaciones _________________________________________________________________ 14 1.5.4. Fórmula de Stirling ______________________________________________________________ 14 1.5.5. Aplicaciones ___________________________________________________________________ 14
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS ________________________________________________ 15
2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD _________________________________ 16 5.1. DEFINICIONES ____________________________________________________________ 16
5.1.1. Variable aleatoria _______________________________________________________________ 16 5.1.2. Función de densidad f(x)__________________________________________________________ 16 5.1.3. Función de distribución F(x)_______________________________________________________ 17 5.1.4. Esperanza matemática____________________________________________________________ 18 5.1.5. Varianza ______________________________________________________________________ 18 5.1.6. Coeficiente de asimetría __________________________________________________________ 18 5.1.7. Coeficiente de curtosis ___________________________________________________________ 18
5.2. EJERCICIOS PROPUESTOS ________________________________________________ 19 5.2.1. Modelos de distribución de probabilidad _____________________________________________ 20
5.3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL_________________________________________________ 21 5.3.1. Funciones de densidad y distribución binomial ________________________________________ 21 5.3.2. Medidas descriptivas de la v.a. binomial _____________________________________________ 21
5.4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON _______________________________________________ 23 5.4.1. Funciones de densidad y distribución de Poisson _______________________________________ 23 5.4.2. Medidas descriptivas: ____________________________________________________________ 23
5.5. EJERCICIOS PROPUESTOS ________________________________________________ 24 5.6. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA _______________________________________ 26
5.6.1. Funciones de densidad y distribución Hipergeométrica __________________________________ 26 5.6.2. Medidas descriptivas_____________________________________________________________ 26
5.7. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL _______________________________________________ 27 5.7.1. Función de densidad normal _______________________________________________________ 27 5.7.2. Medidas descriptivas de una variable aleatoria normal___________________________________ 27 5.7.3. Función de distribución normal ____________________________________________________ 28 5.7.4. Variable aleatoria normal estándar __________________________________________________ 28 5.7.5. Función de densidad y distribución normal estándar ____________________________________ 29 5.7.6. Propiedades de la función de densidad normal y normal estándar __________________________ 29
Dra. Patricia Guevara Vallejo iii
5.7.7. Propiedades de la función de distribución normal y normal estándar________________________ 29 5.7.8. Uso de las tablas de la distribución normal____________________________________________ 30
1
1. TEORÍA DE LAS A LAS PROBABILIDADES La probabilidad surge de los juegos de azar, cuando se trataba de determinar las posibilidades que tenía un jugador de ganar o de perder. Intuitivamente la Probabilidad se podría decir es el grado de certeza con el cual un acontecimiento puede ocurrir. La teoría de las probabilidades juega un papel importante en la inferencia estadística. Ejemplo: Si una compañía produce productos que deben contener un peso dado, y en el proceso dichos productos tienen un peso inferior o superior al especificado, esto trae consecuencias negativas para la empresa, ya que si el peso es inferior los clientes se quejarán diciendo estar perjudicados, mientras que si el peso es superior, sería perjudicial económicamente para la empresa. Para controlar el proceso se puede tomar una muestra aleatoria para determinar el de productos que están fuera de los límites permitidos. 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD 1.1.1. Experimento Es un proceso por el cual se obtiene una observación. Ejemplos: a) Lanzamiento de una moneda, b) Lanzamiento de un dado, c) Número de artículos defectuosos en una fábrica. 1.1.2. Espacio muestral (Ω) El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles del experimento. S lo notará con Ω. Ejemplos: a) Del experimento lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es: Ω = {C, S} b) Del experimento lanzamiento de un dado, el espacio muestral es: Ω = {1,2,3,4,5,6,} c) Del experimento “Lanzamiento de dos monedas”, se tiene espacio un muestral: Ω = {CC, CS, SC, SS}
d) Complete el espacio muestral del experimento “Lanzamiento de dos dados”: (1,1) (1,2); (2,1) (1,3); (2,2); (3,1) ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ); ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ); ( , ) ( , ); ( , ) ( , )
C
C
S
SC
S
2
1.1.3. Evento Es un subconjunto del espacio muestral, se lo puede notar con letras Ei o A, B, etc. Ejemplos: a) Del experimento lanzamiento de una moneda, puede interesar el evento C: Se observa cara b) Del experimento lanzamiento de un dado, puede interesar el evento A: Se observa el número
6 Los eventos pueden ser simples y compuestos. Se llama simple, si el evento no se puede descomponer en otros eventos, mientras que el evento compuesto se puede descomponer en dos o más eventos simples. Ejemplos: a) Del experimento lanzamiento de una moneda, un evento simple es C: Se observa cara. b) Del experimento lanzamiento de un dado, se tienen algunos eventos simples: E1: Se observa
el número 1, . . . , E6: Se observa el número 6, etc.; y se tienen algunos eventos compuestos: A1: Se observa número par, A2: Se observa el número impar, etc.
1.1.4. Definición clásica de probabilidad Si un experimento que está sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si nA de estos resultados tienen un atributo A, la probabilidad de A es la proporción de nA con respecto a n.
nnAp A=)( , donde 0≤nA≤n
Ejemplo: De un estudio realizado a 200 graduados, se determinó que 60 de ellos no estaban empleados en su área. ¿Cuál será la probabilidad de que un graduado no esté empleado en su área?. Solución: Sea el evento A: graduado que no está empleado en su área nA= 60 La probabilidad de que un graduado no trabaje en su área, es p(A)=
20060 =0,30
Nota.- Si existe poca o ninguna experiencia sobre un fenómeno que permita hallar su probabilidad, se puede utilizar la probabilidad subjetiva, la misma que se basa en opiniones disponibles, por lo que “La probabilidad de suceda un evento, es asignada por una persona en base a cualquier información que esta disponga”. 1.1.4.1. Propiedades de la probabilidad La probabilidad se interpreta como una frecuencia relativa, por lo tanto cumple con las siguientes propiedades: 1) Dado evento simple Ei, se cumple 0≤P{Ei}≤ 1 2) La suma de las probabilidades es 1, es decir ∑
ii )p(E =1
Ejemplos: a) Del experimento lanzamiento de una moneda, dados los eventos: C: Observar cara, S:
Observar sello, la probabilidad de ocurrencia de cada evento es: p(C)= ½, p(S) = ½ b) Del experimento lanzamiento de un dado, con eventos E1: Se observa número par, E2: Se
observa el número impar, y sus probabilidad de ocurrencia son: p(E1)=3/6, p(E2)=3/6
c) En la “extracción de cartas con reposición” de un juego de naipes, se tiene un espacio muestral formado por 52 resultados: Ω ={2♣,..., K♣, 2♦,..., K♦, 2♥,..., K♥, 2♠,..., K♠} Se puede hallar la probabilidad para los siguientes eventos:
3
P(As♥) = 1/52 P(♥) = 13/52 P(Ω) =1
1.2. AXIOMATIZACIÓN DE LAS PROBABILIDAD MEDIANTE LOS CONJUNTOS
Los eventos pueden ser asociados con la teoría de conjuntos, por lo que el espacio muestral Ω estará asociado con el conjunto universo, el evento nulo con el conjunto vacío, y los eventos se asocian con conjuntos cualquiera. Los axiomas relacionados con la teoría de conjuntos y los eventos se enuncian a continuación. 1.2.1. Axiomas Sean A, B, eventos cualquiera, ∅ evento nulo y Ω espacio muestral (universo). Entonces:
Operación y Significado Gráfico de interpretación Ω Evento seguro
p(Ω) = 1
∅ Evento nulo p(∅) = 0
A
Evento A p(Ac)=1 - p(A)
Ac CA, A’,
¬A
Evento contrario: No sucede A
p(Ac)=1 - p(A)
A∪B Suceden A o B. (implica que al menos uno de los dos eventos)
p(AoB) = p(A) + p(B) – p(A∧B)
p(AoB) = p(A) + p(B)
A ∩B Suceden A y B (implica que los dos eventos suceden a la vez)
p(A∧B)
1.2.2. Eventos son Mutuamente excluyentes Los eventos A y B, se dicen Mutuamente excluyentes, cuando estos no tienen resultados comunes; luego A∩B=∅, por lo que p(∅)=0. 1.3. REGLAS DE PROBABILIDAD
1.3.1. Regla de Adición de eventos Si A y B son eventos cualquiera, entonces: P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B). En general, si se tienen n eventos Ei, entonces: P(E1∪...∪En)=P(E1)+...+P(En)–...–P(Ei∩Ej)–...– P(E1∩... ∩En). Caso particular.- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∪B)=P(A)+P(B)
A
A
A B
A
B
4
Nota.- Sean A y Ac dos eventos mutuamente excluyentes, como Ω =A ∪ Ac. luego P(S) = P(A)+P(Ac) =1, o también: P(Ac) = 1 – P(A) Ejemplos: 1. En el lanzamiento de una moneda se definen dos eventos mutuamente excluyentes:
A:“Observar cara”; B:“Observar sello”. Determine P(A∪B) =
2. En el lanzamiento de un dado se definen los eventos: C:“Observar uno”; D:“Observar dos”; E:“Observar números menores que 4”; F:“Observar números impares. Determine P(C∪D) = P(E∪F) =
3. En la extracción de cartas, se definen muchos eventos no excluyentes; ejemplo de ello son: G: “Extraer un As♥”; H: “Extraer carta de ♥”. Son eventos no excluyentes. Determine P(G∪H) =
4. Si P(A)= 0.3, P(B)=0.2 y P(A∩B)=0.1, determine las siguientes probabilidades. (sec.2.3-
Montgomerry, Ej. 2.45) a) P(Ac)=
b) P(A∪B)=
c) P(Ac∩B)=
d) P(A∩Bc)=
e) P[(A∪B)c]=
f) P(Ac∪B)]=
g) P[(A∩B)c]= 5. La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor
para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos.
La curva cumple con los requerimientos Si (B1) No (B2) Total
Si (A1) 345 5 350 El acabado superficial cumple con los requerimientos No (A2) 12 8 20
5
Total 367 13 370 a. Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los
requerimientos de acabado superficial? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de
acabado superficial o con los de curvatura? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de
acabado superficial o que no cumpla con los de curvatura? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de
acabado superficial y de curvatura?
1.3.1.1. Probabilidad condicional La probabilidad condicional del evento B dado que el ocurrió el evento A, se define como: p(B|A) = p(A∧B)/p(A) La probabilidad condicional del evento A dado que el ocurrió el evento B, se define como: p(A|B) = p(B∧A)/p(B) Ejemplo: 6. Con los datos del análisis de las flechas, realice lo siguiente:
a. Si se sabe que la flecha cumple con los requerimientos de curvatura, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial?
b. Si se sabe que la flecha no cumple con los requerimientos de curvatura, ¿cuál es la
probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no cumpla con los requerimientos de curvatura, si se sabe
que la flecha no cumple con los requerimientos de acabado superficial?
7. En el experimento “extracción de cartas sin reposición”, determine lo siguiente:
a. ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo en la primera extracción? P(♥) =
b. ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera extracción se observó un As de corazón rojo?
P(♥│As♥) =
c. ¿Cuál es la probabilidad de observar una carta de corazón rojo, si se sabe que en la primera extracción se observó un cinco de trébol?
6
P(♥│5♣) = 1.3.2. Regla de Probabilidad conjunta (Multiplicación) Supóngase que se realiza un control de 10 elementos que contiene una caja, y se conoce que 3 de estos son defectuosos, entonces la probabilidad de que sea seleccionado un defectuoso es p=3/10; si se hace una nueva extracción sin reposición, la probabilidad es afectada por el primer resultado. Por ejemplo si el primero ya fue defectuoso, la nueva probabilidad sería 2/9, a ésta última probabilidad se la llamará “condicional”. 1.3.2.1. Regla general de multiplicación Utilizada para calcular una probabilidad conjunta se define como la probabilidad de que ocurran A y B al mismo tiempo. De modo que si A y B son dos eventos cualquiera: p(A∧B) = p(A).p(B|A). 1.3.2.2. Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes, cuando la ocurrencia del uno no afecta en la probabilidad de ocurrencia del otro. Es decir, Si A y B son independientes, si se cumple una de las siguientes proposiciones:
i) P (A/B) = P(A) j) P (B/A) = P(B) k) P(A∧B) = P(A)P(B)
Esto significa que el conocimiento de la realización del evento B no aporta en nada al conocimiento de la realización del evento A y viceversa. Para las aplicaciones y demostraciones de la independencia de eventos se usa la siguiente propiedad. Ejemplo 8. Supóngase que se tienen 10 rollos de película fotográfica, en una caja y se sabe que tres son
defectuosos. Se selecciona uno al azar, la probabilidad de extraer uno defectuoso es p(D) = 3/10, y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es p(Dc) = 7/10.
Caso 1) Extracciones con reposición: Se elige después un segundo rollo, haciendo reposición del primero, entonces la probabilidad de que el segundo rollo sea defectuoso no cambia, pero se tienen dos posibilidades, por lo que: p(D/D) = 3/10 p(D/Dc) = 3/10
Si nuevamente se hace reposición antes de la segunda extracción, entonces la probabilidad de que el segundo rollo sea satisfactorio no cambia, pero se tienen dos posibilidades, por lo por lo que: p(Dc/D) = 7/10 p(Dc/Dc) = 7/10 Caso 2) Extracciones sin reposición: Se elige un segundo rollo, sin haber hecho reposición, entonces la probabilidad de que el segundo rollo sea defectuoso, tiene dos posibilidades: p(D/D) = 2/9 p(D/Dc) = 3/9
Si nuevamente no se repone el rollo saliente, entonces la probabilidad de que el segundo rollo sea satisfactorio tiene dos posibilidades, por lo por lo que:
7
p(Dc/D) = 7/9 p(Dc/Dc) = 6/9 Ejemplo 9. Considere el ejemplo anterior. Ahora se seleccionarán dos rollos uno después de otro. ¿Cuál
es la probabilidad: a) De seleccionar uno defectuoso seguido de otro defectuoso? b) De seleccionar uno defectuoso seguido de uno sin defectos? c) De seleccionar uno sin defectos seguido uno defectuoso?
Halle dichas probabilidades en el caso 1) y en el caso 2)
Caso 1) a) p(DD)=P(D∩D)= b) p(DDc)=P(D∩Dc)= c) p(DcD)=P(Dc∩D)= Caso 2)
d) p(DD)=P(D∩D)=p(D)p(D/D) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
92
103
e) p(DDc)=P(D∩Dc)=p(D)p(Dc/D) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
97
102
f) p(DcD)=P(Dc∩D)=p(Dc)p(D/Dc) = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
93
107
Ejemplo 2.36 (Tomado de Probabilidades y Estadística de Douglas Montgomery) 10. Supóngase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es
0.01 y si las muestras son independientes; esto es, la probabilidad de que una muestra contenga una molécula rara no depende de las características de ninguna de las demás muestras. Si se analizan 15 muestras,
a) ¿cuál es la probabilidad de que todas las moléculas sean raras?
Sea Ei: Evento donde la i-ésima muestra de aire contiene moléculas raras, i=1,2,…,15 p(E1) = 0.01 p(E1∩ E2∩ … ∩En) = p(E1)p(E2) … p(En) = 0.0115 =
b) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las moléculas sea rara?
Sea Ec i: Evento donde la i-ésima muestra de aire no contiene moléculas raras, i=1,2,…,15
p(Ec1) =(Ec
1) 0.99 p(Ec
1∩ Ec2∩ … ∩Ec
n) = p(Ec1)p(Ec2) … p(Ecn) = 0.9915 =
11. De una encuesta a los ejecutivos de una empresa enfocada a la lealtad a la empresa, se plantearon dos preguntas ¿si tuviera una oferta de trabajo igual o ligeramente mejor a la actual se quedaría o no la empresa actual?, la respuesta se le asoció con el tiempo de servicio del empleado, y se construyó la siguiente tabla de contingencia:
8
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo: a) ni se quede en la empresa, ni tenga más de 10 años de servicio? b) tenga entre 6 y 10 años en la empresa dado que no se queda? c) Realice un diagrama de árbol que represente estos eventos y sus respectivas
probabilidades de la tabla. Se construirá el diagrama de árbol partiendo de los eventos simples A1: Se quedaría, A2: No
se quedaría, con las siguientes probabilidades, p(A1) =200120 , p(A2) =
20080 .
Prob. a Priori Prob. Condicionales Prob. Conjuntas
Total = 1.000
Tiempo de servicio Lealtad
B1: Menos de 1 año
B2: 1 – 5 años
B3: 6 – 10 años
B4: Más de 10 años
Total
A1: Se quedaría 10 30 5 75 120 A2: No se quedaría 25 15 10 30 80 Total 200
10/120
30/120
5/120
75/120
< 1 año p(A1)p(B1/A1) = 12010
200120 x = 0.050
6 – 10 años p(A1)p(B3/A1) = 025.0120
5200120
=x
> 10 años p(A1)p(B4/A1) = 0375.012075
200120
=x
1 – 5 años p(A1)p(B2/A1) = 150.012030
200120
=x
25/80
15/80
10/80
30/80
< 1 año p(A2)p(B1/A2) = 125.08025
20080
=x
6 – 10 años p(A2)p(B3/A2) = 050.08010
20080
=x
> 10 años p(A2)p(B4/A2) = 150.08030
20080
=x
1 – 5 años p(A2)p(B2/A2) = 075.08015
20080
=x
p(A1) =200120
p(A2) = 20080
9
1.3.3. Regla de probabilidad total Definición: Supóngase que E1, E2, . . . , En, son eventos mutuamente excluyentes, entonces: P(B) = P(E1∩B) +P(E2∩B) + . . . +P(En∩B) = P(E1)P(B/E1) +P(E2)P(B/E2) + . . . + P(En)P(B/En) Puesto que, B = (E1∩B) ∪ P(E2∩B) ∪ . . . ∪ P(En∩B), Ejemplo 12. La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a mediad que las hojas de la
cuchilla se desgastan. Sólo el 1% de productos cortado con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados con cuchillas de filo promedio exhiben irregularidades y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas presenta irregularidades. Si el 25% de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte son nuevas, el 60% tienen un filo promedio y el 15% de las cuchillas están desgastadas, ¿cuál es la proporción de productos que tendrán cortes irregulares?
1.3.4. Teorema de Bayes En el ejemplo de los semiconductores se cuenta con una tabla que muestra todas las probabilidades entre los eventos A y B, ya sean las probabilidades conjuntas, condicionales y totales, pero no siempre ocurre esto. Supóngase que se conoce p(B/A), pero se quiere determinar p(A/B), en este caso hace falta una nueva regla de probabilidad que nos permita hallar está probabilidad, llamada Teorema de Bayes. Comencemos con un caso particular, dados los eventos A y B, se tiene que p(A∩B) = p(B∩A), pero a su vez, p(A∩B) = p(A)p(B/A) = p(B∩A) = p(B)P(A/B)
Por lo tanto: p(A/B) = p(B)
p(B/A)p(A)
Lo que implica p(A/B) puede determinarse en función de la información previa, p(B/A) y p(B)
En general para hallar este tipo de probabilidades cuando se tienen más eventos requiere de los siguientes elementos:
E1 E2 E3 En . . .
E1∩B E2∩B E3∩B En∩B
10
Probabilidades a Priori, que son las probabilidades iniciales con base al nivel actual de información, se denota con p(Ei)
Probabilidades condicionales: P(B/Ei) Probabilidad total: p(B)
Teorema de Bayes Sean E1, E2, . . . , En, eventos mutuamente excluyentes, y B un evento cualquiera, y dados los eventos condicionales B/Ei entonces:
)E)p(Bp(E...)E)p(Bp(E)E)p(Bp(E)E)p(Bp(E
)Bp(Enn2211
iii +++
= =p(B)
)E)p(Bp(E ii
Ejemplo: 13. Suponga que el 5% de una población padece de una enfermedad, se A1 el evento “tiene la
enfermedad” y A2 el evento “no tiene la enfermedad”. Existe una prueba para detectar la enfermedad aunque no es muy exacta. Sea B el evento “la prueba indica que la enfermedad está presente”. De acuerdo a los datos históricos, se conoce que: si una persona padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la misma es 0.90, y si una persona no padece la enfermedad la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la misma es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona esté enferma dado que la prueba resultó positiva?
Solución: Eventos y probabilidades a priori (datos) Eventos y probabilidades simples: A1: “tiene la enfermedad” p(A1) = 0.05 A2: “no tiene la enfermedad p(A2) = 0.95 Eventos y probabilidades condicionales • B: “la prueba indica que la enfermedad está presente” p(B) = ? • B/A1: “la prueba indica que la enfermedad está presente, dado que la persona
tiene la enfermedad” p(B/A1) = 0.90 • B/A2: “la prueba indica que la enfermedad está presente, dado que la persona no
tiene la enfermedad” p(B/A2) = 0.15 Evento y probabilidad a posteriori (lo que se desea encontrar) Hallemos primero la probabilidad de que “la prueba indica presencia de la enfermedad en
cualquiera de las condiciones indicadas inicialmente”: p(B) = 0.05*0.90+0.95*0.15 = 0.14925 luego el evento A1/B:“tiene la enfermedad, dado que la prueba resultó positiva” tiene
probabilidad de ocurrencia
==+
=p(B)
)A)p(Bp(A)A)p(Bp(A)A)p(Bp(A
)A)p(Bp(A)Bp(A 11
2211
111
14925.090.0*05.0)Bp(A1 = = 0.3015
11
1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 14. Una caja contiene 12 esferas de colores de las cuales 2 son amarillas, 3 blancas, 4 rojas y
tres negras. Con dicha información: a. Halle la probabilidad de extraer una bola blanca o roja b. Halle la probabilidad de extraer una bola negra o roja
15. Un estudio de 200 cadenas de comestibles reveló estos ingresos, después del pago de impuestos:
Ingresos (dólares). Después de pagar los impuestos Números de empresas Menos de 1 millón De 1 a 20 millones Más de 20 millones
102 61 37
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena seleccionada al azar tenga menos de un millón (de dólares) en ingresos después de pagar los impuestos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena seleccionada al azar tenga ingresos entre 1 y 20 millones, o bien más de 20 millones, después de pagar los impuestos?
16. Los eventos X y Y son mutuamente excluyentes. Supóngase que p(X) =0.30 y p(Y)=0.2,
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra X o Y? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no suceda ni X ni Y?
17. Cada uno de los cinco posibles resultados de un experimento aleatorio es igualmente probable. El espacio muestral S = {a, b, c, d, e}. Sean A: el evento {a, b} y B; el evento {c, d, e}. Determine lo siguiente.
a) P (A)= b) P (B)= c) P (CA)= d) P (A∪B)= e) P (A∩B)=
18. Hallar las siguientes probabilidades, en la segunda extracción de una carta (sin reposición) a. P(As ♥/ As♥) = b. P(♥/As♥)= c. P(♣2/♥)=
19. Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen dos piezas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Se consideran los eventos A: La primera pieza seleccionada es del proveedor local, B: La segunda pieza seleccionada es del proveedor de otro estado, Halle: (Ejerc. 2.55 Montgomery) p(A) = p(B/A) = p(A∩B)= P (A∪B)=
20. Hallar las siguientes probabilidades, en la segunda extracción de una carta (sin reposición)
a. P(As ♥/ As♥) = b. P(♥/As♥)= c. P(♣2/♥)=
21. Un circuito trabaja sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en la figura. Supóngase que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito trabaje?. Ej. Resuelto. 2.37 (Tomado de Probabilidades y Estadística de Douglas Montgomery
0.90
0.90
0.90
0.95
0.950.99a b
12
22. La siguiente tabla de contingencia contiene la historia de 940 obleas en proceso de fabricación de semiconductores. Sea A el evento “La oblea tiene altos niveles de contaminación” y B el evento “La oblea están en el centro del dispositivo electrónico”. Tabla.- Obleas en proceso de fabricación
En el centro del instrumento
Contaminación alta Si (B1) No (B2) Total
Si (A1) 514 68
No (A2) 112 246
Total
Halle la probabilidad de que: a) la oblea tenga “altos niveles de contaminación” b) la oblea esté en el centro del dispositivo” c) la oblea esté en el centro del dispositivo y tenga altos niveles de contaminación” d) la oblea esté en el centro del dispositivo o contenga altos niveles de contaminación” e) la oblea esté no esté en el centro del dispositivo pero tenga altos niveles de
contaminación” f) la oblea ni tenga altos niveles de contaminación ni esté en el centro del dispositivo” g) tenga altos niveles de contaminación o no esté en el centro del dispositivo
23. Un lote contiene 500 contenedores para jugo de naranja congelado contiene cinco que están
defectuosos. Se toman al azar dos sin reemplazo. Ejerc. 2.61 Montgomery) a. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo contenedor sea defectuoso si el primero lo fue? b. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean defectuosos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean aceptables?
24. (Ejerc. 2.67 Montgomery). La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el periodo de garantía es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante el periodo de garantía es 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos, y el 10% se humedece, ¿qué porcentaje de conectores fallará durante el periodo de garantía?
25. (Ejerc. 2.68 Montgomery). Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de los rollos de tela de nylon. De los rollos de tela de utilizados por el fabricante, 70% son de algodón y 30% son de nylon, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar uno de los rollos éste sea defectusos?
26. (Ejerc. 2.69 Montgomery). En la fabricación de un adhesivo químico, el 2% de todos los lotes contienen materia que proviene de dos embarques diferentes. Esto sucede cuando los tanques de almacenamiento son rellenados y lo que queda de un lote es insuficiente para llenar otro tanque. Solo es necesario volver a procesar el 5% de los lotes con materia prima que proviene de un solo embarque. Sin embargo, la viscosidad de los lotes que contienen materia prima de dos o más embarques es más difícil de controlar, y el 40% de estos lotes requieren un procesamiento adicional para almacenar la viscosidad requerida. Sea A: el evento en que un lote contiene material prima de dos embarques diferentes, y B: el evento en que el lote requiere de procesamiento adicional. Determine las probabilidades siguientes: p(A), p(A’), p(B/A), p(B/A’), p(A∩B),p(A∩B’), p(B)
• Ejercicios 2.83 – 2.91 de las secciones 2.6, (pág. 91) y 2.7, (pág. 92-93), Probabilidades y Estadística aplicadas a la ingeniería “Douglas Montgomerry”
• Ejercicios: 34 – 36 del Cap. 5, pág. 166, Estadística para Administr. y Economía, Masson
13
1.5. TÉCNICAS DE CONTEO Introducción.- Algunos espacios muestrales tienen pocos elementos pudiéndose contar directamente, pero otros necesitan de técnicas para su enumeración y determinación del total de éstos. A continuación se tratarán algunas de las técnicas de conteo a usarse en este curso. Objetivo.- Definir las principales técnicas de conteo para determinar el número de elementos que tiene y espacio muestral y aplicar este concepto en la determinación de probabilidades. 1.5.1. Regla mn Problema 1:¿Cuántas y cuáles son las parejas de un hombre y una mujer se pueden formar con 4 hombres y 3 mujeres?. Sol.
X H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3
Definición.- Dados m elementos de un grupo y n elementos de otro grupo, es posible formar mxn pares que contienen un elemento de cada grupo. También pueden formarse n-plas. Ejemplos: En el lanzamiento de dos dados, se tienen 36 = 6x6, resultados, que corresponde al número
total de puntos (parejas) del espacio muestral S; por ejemplo (1,1), (1,2),...,(6,5) y (6,6). En el experimento: Lanzamiento de tres monedas (o una moneda lanzada tres veces), es
mejor analizar que si m=n=2, el número total de ternas que se pueden formar es mnp=23=8, esto es, CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC y SSS.
1.5.2. Permutaciones Problema 2: En una sala de espera hay cuatro sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden colocarse 4 personas en estas sillas? Sol.
=
Problema 3: En una sala de espera hay solamente dos sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden colocarse 4 personas en estas sillas? Sol.
=
Definición.- El número de formas en que se pueden ordenar n objetos distintos tomados r (r≤n) a la vez denotamos por nPr, o, Pn,r que se lee “permutaciones de n objetos tomados r a la vez”.
Pn,r = n(n-1) (n-2)...(n-r+1) = r)!(n
n!−
donde n! = n(n-1)...1.0!, y 0!=1.
Luego de los problemas 3 y 4 se tiene:
14
1.5.3. Combinaciones Problema 4: En una sala de espera hay solamente dos sillas, entonces ¿de cuáles y cuántas formas pueden colocarse 4 personas en estas sillas, si no interesa el orden de colocación? Sol.
=
Definición.- El número de formas en que se pueden ordenar n objetos distintos tomados r (r≤n) a la vez donde no interesa el orden, se denota por nCr, o, Cn,r y se lee “combinaciones de n
objetos tomados r a la vez”. Cn,r = r)!(nr!
n!−
Ejemplo: Las combinaciones de 7 objetos tomados 3 a la vez son: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛37 =
)!37(!3!7−
= !4!.3
!7 = 35
Observación.- La diferencia entre una permutación y una combinación es que en la primera se respeta el orden de los arreglos, mientras que en la segunda el interés solo recae en contar el número de selecciones diferentes, es decir no considera el orden. 1.5.4. Fórmula de Stirling El número de formas en las que se pueden asignar n objetos distintos en k grupos diferentes que contienen n1, n2,...,nk objetos respectivamente (permutaciones con repetición), es:
N=!!...nn!n
n!
k21
en donde ∑=
K
1i
n i =n
Ejercicio El psicólogo de un colegio tiene que visitar doce estudiantes en una semana. Los estudiantes son tres de primer curso, cinco de segundo curso, dos de tercero y dos de cuarto. ¿Cuántos ordenamientos distintos de las visitas puede preparar el psicólogo, si desea diferenciar los clientes solo por curso?.
1.5.5. Aplicaciones Supongamos que de 20 estudiantes de un curso elegimos 10 al azar, con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún estudiante sea elegido más de una vez?. Solución: Aplicado el concepto de probabilidad P (A) = nA/n, Número total de casos: Siendo 10≤ 20 y si seleccionamos al azar con sustitución encontramos
1 2 ... 10 20 20 ... 20
luego: (20) (20)...(20)=(20)10 son los casos totales. Número de casos favorables (si ningún estudiante se repite)
1 2 ... 10 20 20-1 ... 20-(10-1)
Luego: 20(20 – 1)...(20 – 10 + 1) =)!1020(
!20−
Por tanto P (A)= 10
20
)!1020/(!20 − = 0.0655= 6.55%
15
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un vendedor de un cierto tipo de automóvil dispone de tres variedades de llantas, 5 de color y 2 de puertas, ¿cuántas posibilidades tienen de elegir el cliente?
2. Una compañía vende teléfonos móviles ofreciendo 5 estilos, 4 colores y 7 opciones de
servicio. ¿Cuántos teléfonos diferentes puede ofrecer esta compañía? 3. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 5 adornos en una vitrina? 4. Se deben dictar una secuencia de cuatro conferencias en un mismo día, ¿cuántas
posibilidades se tienen para ordenarlas de acuerdo a un horario? 5. Supóngase que se disponen de 8 máquinas pero solo caben 3 en el espacio donde deben
colocarse, de cuántas formas deben colocarse en dichos espacios? 6. ¿Cuántas comisiones de dos alumnos se pueden formar con 9 alumnos?. ¿Cuál es la
probabilidad de que salga seleccionado una comisión en particular? 7. ¿Cuántos comités formados por un Presidente, Vicepresidente y un Tesorero, se pueden
formar con 9 alumnos?. ¿Cuál es la probabilidad de que salga seleccionado un comité en particular?
8. La compañía PIONER fabrica tres modelos de receptores de estéreo, cuatro bocinas, y tres
aparatos de discos compactos. Cuando los tres tipos de componentes compatibles se venden juntos forman un “sistema”. ¿Cuántos sistemas distintos pueden ofrecer una empresa?
9. ¿Cuántas banderas de tres franjas de colores se pueden diseñar con 6 colores? 10. Para identificar un artículo de ropa se utilizará códigos de barra con cuatro dígitos, si no
debe repetirse dígito alguno, ¿cuántas codificaciones se pueden formar? 11. Un entrevistador seleccionará 4 personas al azar de 10 personas disponibles. ¿Cuántos
grupos de 4 personas son posibles? 12. Una agencia ambiental, desea seleccionar para un estudio una muestra de 5 rellenos
sanitarios. Si dispone de 20 rellenos, ¿cuántas muestras posibles se pueden formar? 13. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas, si se
dispone de 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas? 14. ¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 mujeres y 6
hombres? 15. Una compañía ofrece 3 cargos, para lo cual dispone de 8 candidatos, 6 de los cuales son
hombres, determine: a. La probabilidad de que se seleccione a 3 hombres b. La probabilidad de que se seleccione a 2 mujeres c. La probabilidad de que se seleccione a 2 hombres y una mujer d. La probabilidad de que se seleccione a 2 mujeres y un hombre
16
2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD El estudio de las variables aleatorias y el modelo matemático que siguen permitirá el cálculo de las probabilidades. 5.1. DEFINICIONES 5.1.1. Variable aleatoria Una variable aleatoria (v.a.) X, es una función que asigna un número a cada resultado del espacio muestral, es decir: X: S→ R. Se la denota con X y los valores que ésta toma con x. Por ejemplo, en el experimento lanzamiento de dos monedas interesa la variable aleatoria: “número de caras”, y en la siguiente tabla se muestran los resultados del espacio muestral y las respectivas asignaciones numéricas realizadas por la función variable aleatoria.
Espacio muestral: Ω Variable aleatoria: X SS SC, CS CC
0 1 2
Existen dos tipos de variables aleatorias, que son discretas y continuas, las mismas que van a generar las distribuciones discretas y las distribuciones continuas. Una v.a. discreta toma un rango finito de valores. Ejemplo: En una institución hay 100 empleados, de modo que si la v.a. es X: número de ausentes el día Lunes, entonces: X= 0,1, ... ,100 Una v.a. continua es aquella que toma un rango infinito de valores en R. Ejemplo: X: altura de una persona: X= 1.70, 1.71, 1.80, 1.83, . . . , El evento {X=x} indica que, el interés recae en determinar los resultados del espacio muestral para los cuales X=x, y su probabilidad respectiva es, es p(X=x) 5.1.2. Función de densidad f(x) Sea X una v.a., la función de densidad de probabilidad es una función cuyo dominio es la variable aleatoria X (conjunto de números reales) y recorrido es el intervalo [0, 1], y se define como: f: X [0, 1], f(x) = p(X=x). Esta función satisface las siguientes propiedades: Si X es variable aleatoria discreta:
i) 0≤f(x) ≤1 ∀ x∈X ii) ∑
Xf(x) =1, si X es v.a. discreta,
Si X es variable aleatoria discreta: i) 0≤f(x) ≤1 ∀ x∈X
ii) ∫+∞
∞−
f(x)dx = 1, si X es v.a. continua
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Ejemplo: v.a. discreta En un proceso de fabricación de partes moldeables de plástico en términos de tamaño y coloración, en una de las primeras corridas del proceso se determina:
Características del Plástico moldeable Espacio muestral: Coloración, Tamaño Valores de la v.a. Probabilidad
Aprobado, Aprobado Aprobado, Reprobado Reprobado, Aprobado Reprobado, Reprobado
2 1 1 0
0.64 0.16 0.16 0.04
Total 1.00
5.1.3. Función de distribución F(x) Sea X una v.a., la función de distribución de probabilidad es una función cuyo dominio es la variable aleatoria X (conjunto de números reales) y recorrido es el intervalo [0, 1], y se define como la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico de x, es decir:
Si X es variable aleatoria discreta: F: X [0, 1], F(x0) = p(X≤x) = ∑≤ 0i xx
f(x) ,
Esta función satisface las siguientes propiedades: i) 0≤F(x) ≤1 ∀ x∈X ii) F(xi) ≤F(xj) si xi<xj iii) P(X>x) =1- P(X≤x) = 1-F(x) iv) P(xi≤ X ≤xj) = F(xj) – F(xi-1) = xi<xj
Si X es variable aleatoria continua: F: X [0, 1], F(x0) = p(X≤x0) = ∫∞−
0X
f(x)dx ,
Esta función satisface las siguientes propiedades: i) 0≤F(x) ≤1 ∀ x∈X ii) F(xi) ≤F(xj) si xi<xj iii) P(X>x) = p(X≤x) = 1-F(x)
iv) P(xi≤ X ≤xj) = F(xj) – F(xi) = ∫j
i
x
x
f(x)dx , xi<xj
Observación.- Para el caso continuo, se tiene que p(X≤x) = p(X<x) Ejemplo: v.a. discreta Halle la función de densidad y la función de distribución de probabilidad de las características del Plástico moldeable
X=x f(x) = p(X=x). F(x) = p(X≤x)
X=2 X=1 X=0
P(X=2) = 0.64 P(X=1) = 0.32 P(X=0) = 0.04
0.64 0.96 1.00
Ejemplo: v.a. continua Halle la función de densidad y la función de distribución de probabilidad de las características del Plástico moldeable
18
5.1.4. Esperanza matemática La esperanza matemática o valor esperado de una v.a. X se interpreta como el promedio y se define como: μX=E(x)=∑
x
x.f(x) , si X es v.a. discreta
∫+∞
∞−
= x.f(x)dxμX , si X es v.a. continua
Si X y Y son v.a. independientes y a, b, c son constantes, la esperanza matemática E(x) cumple las siguientes propiedades: i) E(c) = ii) E(X - μX) = 0 iii) E(aX+bY)=
5.1.5. Varianza La varianza de una v.a. X se define como: V(X) = ∑=−=
x
2X
2x
2X .f(x))μ-(x)μE(Xσ si X es v.a. discreta
V(X)= ∫+∞
∞−
=−= .f(x)dx)u-(x)μE(X 2x
2x
2Xσ , si X es v.a. continua
Si X y Y son v.a. independientes y a, b, c son constantes, la varianza V(x) cumple las siguientes propiedades: 1) Var(x) ≥ 0 2) Var(a) = 3) Var(ax+bY) =
5.1.6. Coeficiente de asimetría Estudiada anteriormente, se puede definir como: α3=μ3/σ2, donde μ3= E(x-μ)3. 5.1.7. Coeficiente de curtosis Estudiada anteriormente, se puede definir como: α4=μ4/σ2, donde μ4= E(x-μ)4.
Ejemplo: La producción diaria de 600 partes contiene 40 que no satisfacen los requerimientos del cliente. Del lote se eligen al azar sucesivamente 2 partes sin reemplazo.
Sea X la v.a. “número de partes de la muestra que no cumplen con los requerimientos”. ¿Cuál es la función de f.d.p.a. de X? Solución: X = 0, 1, 2 P(X=0)= (560/600)*(559/599) = 0.8710 P(X=1)= 2*(560/600)*(40/599)= 2*(0.0623)= 0.1246 P(X=2)= (40/600)*(39/599) = 0.0044 1.0000 luego: FX(0) = 0.87410 FX(1) = P(X≤0) + P(X≤1) = 0.87410 + 0.1246 = 0.9956 FX(2) = P(X≤0) + P(X≤1) + P(X≤2)= 0.87410 + 0.1246 + 0.0044 = 1.0
19
5.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el experimento lanzamiento de dos dados, interesa la v.a. X: “Valor de la suma de resultados”, para ésta determine a) la función de densidad, b) la función de distribución c) la esperanza matemática y d) varianza y desviación estándar, e) factores de forma.
X Evento f(x) F(x) x.f(x) (x-u) (x-u)2 (x-u)3 (x-u)2 f(x) (x-u)3 f(x) (x-u)4 f(x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Función de densidad Función de distribución
X: suma de las caras del dado
X: suma de las caras del dado
12111098765432
Freq
uenc
y
7
6
5
4
3
2
1
0
Función de distribución de probabilidad acumulada de
X (suma lados del dado)
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Además halle lo siguiente:
a. P(X<2) =
b. P(X≥2) =
c. P(2<X<5) =
d. P(X≥5) =
e. Esperanza matemática E(X) =
f. Coeficiente de asimetría y curtosis
20
2. Sea la v.a. X: “número de caras en el experimento lanzamiento de dos monedas”; halle: a) la función de densidad, b) la función de distribución, c) determine las probabilidades de que se observe al menos una cara, dos caras, tres caras, menos de 3 caras.
X Evento fx(x)= P(X=x) Fx(x)= P(X≤x)
3. El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a,b,c,d,e,f} y cada resultado es
igualmente probable. Se define la v.a. de la siguiente manera: Resultado a b c d e f
X 0 0 1 1 2 3
a) Determine la f.d.p.
X Evento fx(x)= P(X=x) Fx(x)= P(X≤x) 0 1 2 3
Total b) P(X=1)= c) P(0.5< X <2.7)= d) P(X >2)= e) P(0≤X<2)= f) Gráfico f.d.p.a
5.2.1. Modelos de distribución de probabilidad Existen diferentes modelos de distribución de probabilidad tanto para el caso de variables aleatorias discretas como variables aleatorias continuas. Para el caso discreto tenemos los modelos matemáticos: Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeométrico, etc. Para el caso continuo tenemos los modelos matemáticos: normal, exponencial, gamma, uniforme, etc.
21
5.3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que: i) los ensayos son independientes ii) cada ensayo tiene dos posibles resultados, denominados “éxito” y “fracaso”, y iii) la probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante recibe el
nombre de experimento binomial 5.3.1. Funciones de densidad y distribución binomial La variable que cumple con las condiciones anteriores se denomina v.a. binomial y se define como X: “número de éxitos en n ensayos”, y tiene una funciones de densidad y de distribución de probabilidad con parámetros n y p, como se indica a continuación: Función de densidad: fax(x; napa) = f(x) = P(X=x) = nCxpx(1-p)n-x, x = 0, 1, 2,...,n Función de distribución: Fx(x; napa) = F(x) = P(X≤x)=∑f(x), x = 0, 1, 2,...,n 5.3.2. Medidas descriptivas de la v.a. binomial
Media Varianza Coeficiente de asimetría Coeficiente de curtosis
E(x) = np Var(x) =npq 1/23 (npq)pqα −
= npq6pq-13α4 +=
Observación: Se ha podido determinar que si: • Si P<1/2, entonces la distribución binomial presenta un sesgo positivo • Si p=1/2, entonces la distribución binomial es simétrica • Si P>1/2, entonces la distribución binomial presenta un sesgo negativo Ejemplos:
A continuación se presentan las gráficas de distribuciones para diferentes valores de n y p.
n=4; p=0.1; μ=4(0.1)=0.4; σ=4(0.1)(0.9)=0.36
0.6561
0.2916
0.04860.00360.00010
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilidad
x
n=4; p=0.3; μ=4(0.3)=1.2; σ=4(0.3)(0.7)=0.84
0.2401
0.4116
0.2646
0.07560.0081
00.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
0.45
Probabilidad
x
n=4; p=0.5; μ=4(0.5)=2.0; σ=4(0.5)(0.5)=1.0
0.0625
0.25
0.375
0.25
0.0625
00.1
0.20.3
0.4
Probabilidad
x
n=4; p=0.7; μ=4(0.7)=2.8; σ=4(0.7)(0.3)=0.84
0.00810.0756
0.2646
0.4116
0.2401
00.10.20.30.40.5
Probabilidad
x
22
Ejemplos: 1. Usted ha contratado 8 recepcionistas telefónicas para que tomen los pedidos de una línea de
productos deportivos que su empresa está comercializando. Una recepcionista está ocupada el 30% del tiempo catalogando un pedido. Usted no desea que la probabilidad de que una llamada del cliente reciba una señal de ocupado exceda el 50%. ¿Debería usted contratar más recepcionistas si 3 clientes llaman? Solución: X: Número de veces en las que la línea está ocupada n = 8 (número de ensayos) p = 0.3 probabilidad de que la línea esté ocupada p(X=3) = 8C3*0.33*0.75= 0.2541 No es necesario contratar más recepcionistas, ya que la probabilidad es menor que el 0.5
2. Un proceso de grabación de discos produce un 20% de unidades defectuosas. Se toma una
muestra de tamaño 8 de modo que la proporción de defectuosos se mantenga constante en la población, y que cada disco tenga la misma probabilidad de ser incluido en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que a) no se encuentren discos defectuosos, b) de encontrar dos discos defectuosos?; c) de que se encuentren más de 5 discos defectuosos?; d) de encontrar 4 o menos discos defectuosos?; e) ¿Cuál es el número promedio de discos defectuosos? Solución Contestando a las preguntas se tiene: a) f(0) = p(X=0) = 8C0 (0,2)0(0,8)8 = 0,16777 b) f(2) = P(X = 2) = 8C1(0,2)2(0,8) 76 = c) P(X>5) = P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)= 0,00115+0,00008+0,00000 = d) P(X≤4)= F(4) = 0.9896 e) E(x) = u = np = 8*0.2 = 1.6 discos defectuosos f) Graficar las funciones de densidad y funciones de distribuciones
X P(X = x) = f(x) P(X ≤ x) = F(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0,1678 0,3355 0,2936 0,1468 0,0459 0,0092 0,0012 0,0001 0,0000
0.1678 0.5033 0.7969 0.9437 0.9896 0.9988 0.9999 1.0000 1.0000
Tot. 1,00000
0.16777
0.33554
0.29360
0.14680
0.04588
0.00918
0.00115
0.00008
0.00000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
p(X=x)
X: no. Unidades defectuosas
Distribución de probabilidad de la v.a. X
0.16777 0.
50332 0.
79692
0.94372
0.98959
0.99877
0.99992
1.00000
1.00000
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
p(X<=x)
X: no. Unidades defectuosas
Func. distr.probab. aucmulada v.a. X
23
5.4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON En muchos problemas puede interesar determinar el “Número de sucesos o éxitos por unidad de tiempo”. Esos problemas pueden estar relacionados con la teoría de colas, y ejemplos para este tipo de variable son: número de personas por hora que llegan a una fila de espera, número de autos por minuto que llegan al peaje, número de llamadas por realizadas a la central telefónica. Sin embargo, también puede interesar estudiar el “Número de sucesos o éxitos por otro de tipo de unidad”, que puede ser: número de fallas por metro cuadrado, número de defectos por lote, etc. En general, se define variable aleatoria de Poisson, como una variable aleatoria discreta, donde X es el “Número de sucesos o éxitos por unidad de tiempo o espacio”, la misma que debe ocurre dentro de un proceso con las siguientes características:
i) La probabilidad de observar un éxito, depende solamente de la longitud de tiempo o espacio, por lo que si el tiempo es mayor, entonces, mayor es el número de llegadas. Y es proporcional a la longitud del intervalo.
ii) La probabilidad de observar más de un éxito en el intervalo pequeño tiende a cero, si se la compara con un intervalo en el que ocurre una sola llegada.
iii) La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es independiente de lo ocurrido en otro intervalo.
5.4.1. Funciones de densidad y distribución de Poisson Si el número promedio de ocurrencias en el intervalo es μ>0, la v.a. X definida como “número de ocurrencias en el intervalo” tiene una distribución de Poisson con parámetro λ, y las funciones de densidad y probabilidad de X son respectivamente:
x!λe)λxP(Xf(x)
xλ−
=== ; x = 0, 1, 2,...
∑−
=≤=x
xλ
x!λe)λxP(XF(x) ; x = 0, 1, 2,...
5.4.2. Medidas descriptivas: Valor esperado E(X) = λ Varianza V(X) = σ2 = λ, λσ = En ocasiones, λ no está dado explícitamente, pero puede hallarse con np, o mλ Ejemplo: Supóngase que para un alambre, el número de fallas está descrito por una v.a. X de Poisson con una media de 2.3 fallas por milímetro.
a) Determine la probabilidad de tener dos fallas en un milímetro de alambre. P(X=2) = fx(2; 2.3) =
2!(2.3)e 22.3−
=
b) Determine la probabilidad de tener 10 fallas en cinco milímetro de alambre. Antes se debe hallar: E(X) = 5*2.3 = 11.5 fallas por cinco milímetros de alambre P(X=10) = fx(10; 11.5) =
10!(11.5)e 1011.5−
=
24
5.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El profesor Bradley anima a sus estudiantes de estadística a “actuar de forma prudente” a
consultarlo si tienen dudas mientras se preparan pata el examen final. Parece que la llegada de los estudiantes a la oficina del tutor se ajusta a una distribución de Poisson, con un promedio de 5.2 estudiantes cada veinte minutos. El profesor está preocupado, ya que si muchos estudiantes necesitan sus servicios, puede resultar algún problema de congestión.
a. El tutor debe determinar la probabilidad de que cuatro estudiantes lleguen durante cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema de congestión. Si la probabilidad excede el 20%, se contratará un segundo profesor.
b. El tutor debe calcular la probabilidad de que más de cuatro estudiantes lleguen durante algún período de 20 minutos. Si es mayor que el 50%, las horas de oficina del tutor se aumentarán, permitiendo a los estudiantes extender el horario de tutoría.
c. Si la probabilidad de que más de siete estudiantes lleguen durante un período cualquiera de 30 minutos excede 50%, el mismo profesor Bradley ofrecerá tutoría adicional.
Montgomerry - Sección 3.9
2. Ejerc. 94. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con media 4. calcule las probabilidades siguientes:
a. P(X=0) b. P(X<=2) c. P(X=4); d. P(X=8) 3. Ejerc. 96. Suponga que el número de clientes que entran a un banco en una hora es una v.a.
de Poisson, y que P(X=0)=0.05. Calcule la media y la varianza de X.
4. Ejerc. 97. Montgomerry: A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una v.a. Poisson. Suponga que, en promedio , se reciben 10 llamadas por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora.? b. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen tres llamadas o menos en una hora.? c. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente quince llamadas en una hora.? d. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente quince llamadas en tres horas?
Resp. a) 0.6703 b) n0.9921 c) 0.000175 5. Ejerc.: 98. El número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una v.a.
Poisson con una media de 0.1 defectos por metro cuadrado. a. ¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de tela? b. ¿Cuál es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en 20 metros cuadrados de tela? d. ¿Cuál es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados
de tela? 6. Si la variable aleatoria X sigue una distribución binomial, con n=10, p=0.05 Calcule las
probabilidades siguientes: a. P(X=5) b) P(X<=2) c) P(X>=9) d) P(3<=X<5)
Resp. a) 0.246, b) 0.055, c) 0.011, d) 0.322
7. Halle el valor de x, tal que P(X<=2) = 0.85, si se conoce que el número de ensayos es 10, y la probabilidad de éxito para la variable aleatoria binomial X es: 0.25.
Estadística Básica en Administración –Berenson, Levine, cáp.7, pág.260, ej. 7.5.: 17-19
25
8. Suponga que los registros de garantías muestran que la probabilidad de que un carro nuevo
necesite una reparación de garantía en los primeros noventa días es 0.05. Si selecciona una muestra de tres nuevos carros, ¿Cuál es la probabilidad de que: a. ¿Ninguno necesite una reparación de garantía? b. ¿Al menos uno necesite una reparación de garantía? c. ¿Más de uno necesite una reparación de garantía? d. ¿Qué suposiciones son necesarias en a? e. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad en a?
9. La probabilidad de que un vendedor venda una suscripción a una revista a alguien que ha sido seleccionado aleatoriamente del directorio telefónico es 0.2. Si el vendedor le habla a 10 individuos esta tarde, ¿cuál es la probabilidad de que: a. ¿No se venda una suscripción? b. ¿Se venda exactamente dos suscripciones? c. ¿Se vendan al menos dos suscripciones? d. ¿Se vendan a lo más dos suscripciones?
10. Una parte importante de las responsabilidades del servicio a clientes de una empresa pública
de gas natural se refiere a la rapidez con se pueden atender las llamadas relativas a la falta de calefacción en una casa. Suponga que una variable de servicio de importancia se refiere a sí la persona de reparaciones llega o no a la casa en un período de dos horas. Los datos pasados indican que la probabilidad es de 0.60 de que la persona de reparaciones llegue a la casa en un período de dos horas. Si se selecciona una muestra de cinco llamadas de servicio de “falta de calefacción”, ¿cuál es la probabilidad de que una persona de reparaciones llegue a: a. ¿Las cinco casas en un período de dos horas? b. ¿Al menos a tres casa en el período de dos horas? c. Encuentre la probabilidad de que la persona de reparaciones llegue a cero, una y dos
casas y grafique el histograma para la distribución de probabilidad. d. ¿Cuál es la forma de la distribución graficada, explique?
Resp. a) 0.0778, b)0.6826, c) P(X=0)=0.0102, P(X=1)=0.0768, P(X=2)=0.2304 Estadística aplicada a las ciencias sociales y a la educación – WAYNE W. DANIEL. Capítulo 3. Ejercicio 9 – pág. 79.
11. En una zona geográfica, el 15% de los adultos son analfabetos. Dada una muestra aleatoria de 25 adultos de ésta área, ¿cuál es la probabilidad de que el número de analfabetos sea: a. ¿Exactamente 10? b. ¿Menos de 5? c. ¿Cinco o más? d. ¿Entre 3 y 5 inclusive? e. ¿Menos de 7 pero más de 4? Resp.: a) 0.0016, b) 0.6822, c) 0.3178, d) 0.5848, e)
0.2484
26
5.6. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA La distribución binomial es útil cuando el muestreo se realiza con reemplazo, sin embargo cuando esto no ocurre, es necesario utilizar la distribución hipergeométrica. 5.6.1. Funciones de densidad y distribución Hipergeométrica Si n es una muestra de tamaño relativamente grande una población finita conocida N y un experimento arroja solo dos posibles resultados (éxito y fracaso), el mismo que se repite n veces sin reemplazo, por lo que, la probabilidad de éxito varía entre un ensayo y otro, entonces se define bajo estas condiciones la variable aleatoria hipergeométrica X: “número de éxitos”, cuya función de densidad con parámetros N, r, n es:
nN
xnrNxr
CCC
x)p(Xf(x) −−=== , x = 0, 1 ,2, …, mín (r, n) donde:
N es el tamaño de la población r es el número de éxitos en la población (N-r: número de fallas) n es el tamaño de la muestra x es el número de éxitos en la muestra
Y la función de distribución es: ∑ −−=≤=X nN
xnrNxr
CCC
x)p(XF(x)
5.6.2. Medidas descriptivas E(X) = np V(X) = np(1-p)[(N-n)/(N-1)] donde p=r/N (proporción de éxitos en la muestra) Ejercicios. 1. (Ej. Propuesto: Estad. Webster, pág. 13)
En una empresa de materias primas, se debe contratar 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan título? Solución X: “Número de candidatos con título universitario” N = 30 candidatos, r = 22 candidatos tienen título universitario n = 10 tamaño de la muestra (número de ensayos que se realizan) x = 5 candidatos con título universitario cuya probabilidad se calcula:
1030
51022)(30522
CCC
5)p(X −−== =
2. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionar 12
para ser enviados al Japón a estudia un nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el
lejano oriente?. b) 3 o más de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para
el lejano oriente?. c) Máximo 8 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir
para el lejano oriente?. Deber: Probabilidades y Estadística de D. Montgomerry: Ejercicios 3.89 – 3.92
27
5.7. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal es un modelo matemático que permite estudiar el comportamiento de una variable, a través del cálculo de las probabilidades y la predicción de eventos.
La distribución normal, es una de las distribuciones más importantes dentro de la Estadística, por su aplicabilidad en diferentes situaciones reales dentro de la Administración, la Biología, la Agronomía, la Medicina, etc. El matemático Carlos Gauss(1777-1855), fue quien aporto en el estudio de esta distribución. Y a la gráfica de la función de densidad tiene la forma de una campana a la que se le ha llamado “Campana de Gauss”. No todos los fenómenos se pueden estudiar a través de la distribución normal, ya que, las distribuciones podrían ser sesgadas o puntiagudas. Por lo que para poder usar esta distribución como modelo, debe comprobarse que la distribución de los datos es normal. Una herramienta útiles para ello, es la prueba no paramétrica, como por ejemplo la prueba de Kolmogorov – Smirnov.
5.7.1. Función de densidad normal Una variable aleatoria X se distribuye normalmente si su función de densidad es:
2
σμx
21
X e2πσ
1(x)f⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= , -∞<X<∞ , e=2,71828... y π=3,14159
Donde la media μ=E(X) y la varianza Var(X)=σ2 son los parámetros de la distribución. Si X tiene una distribución normal con media μ y varianza σ2, se la puede notar: X ∼ N(μ, σ2). La función de densidad, tiene las siguientes características:
i) Es simétrica alrededor de la media, por lo que, la media, moda y mediana son iguales. ii) Tiene la forma de una campana, llamada “Campana de Gauss”. iii) Asintótica respecto al eje X. iv) Los puntos de inflexión tienen abscisas los μx ±σx
5.7.2. Medidas descriptivas de una variable aleatoria normal
Media Varianza Coeficiente de asimetría Coeficiente de curtosis E(x) = μ Var(x) =σ2 α3 = 0 α4 = 3
5.7.2.1. Nota Si se representan gráficamente distribuciones de diferentes variables aleatorias, se puede observar que: Si tienen las misma media pero diferentes desviaciones estándar se puede notar el efecto de una
menor o mayor dispersión. Si tienen la misma desviación estándar pero diferente media, se puede notar el efecto de una
traslación de la media. Por lo tanto, los cambios en la los valores de μ no alteran la forma de la distribución, pero si
modifican la posición de la curva en el eje de las abscisas, mientras que cambios en σ2 pueden modificar drásticamente la forma de la distribución pero no cambian la posición de la curva en el eje de las abscisas. Ello debido a que μ es un parámetro de localización, mientras que σ2 es un parámetro de escala o de dispersión.
28
5.7.3. Función de distribución normal Una variable aleatoria X ∼ N(μ, σ2), con función de densidad (1), tiene una función de distribución (distribución de probabilidad acumulada):
∫∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=<=0
2x
σμx
21
0X e2πσ
1)xP(X(x)F
5.7.4. Variable aleatoria normal estándar La función de densidad de una variable aleatoria normal es compleja, mucho más aún cuando deben calcularse las probabilidades, ya que debería realizarse el cálculo de integrales definidas. Por lo que se debe recurrir a métodos numéricos para la evaluación de las integrales. Y construir una tabla para ello sería físicamente imposible, ya que está sujeto a las infinitas combinaciones de la media y la varianza.
Para evitar estos problemas, se ha definido una nueva variable aleatoria, llamada normal estándar, la misma que se despoja de las unidades de medida y tiene una sola media y varianza para cualquier variable con la que se trabaje. Al tomar esta nueva variable lo que se ha logrado es una traslación de ejes, de modo que la media coincida con el origen del sistema de referencia.
X
f(X)
Z
f(Z)
µx
µz=0
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Definición.- Si X ∼ N(μ, σ), entonces la variable aleatoria
x
x
σμXZ −
=
se denomina variable aleatoria normal estándar, la misma que tiene media cero y varianza uno.
Se demuestra que E(Z)=0
E(Z) = E 0)μ(μσ1)μE(x
σ1
σux
xxx
xxx
x =−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
Se demuestra que Var(Z)=1
Var(Z)=Var 1σσVar(X)
σ1)μVar(X
σ1
σμX
x2
x2
x2x
x2
x
x ===−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
5.7.5. Función de densidad y distribución normal estándar Si Z tiene distribución normal estándar con media 0 y varianza 1, se denota: Z ∼ N(0, 1). Y la función de de densidad y distribución de probabilidad para esta variable se definen a continuación.
Función de densidad normal estándar: 2Z
z
2
e2π1(z)f
−= -∞<z<∞
Función de distribución normal estándar: ∫∞−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=z z
21
Z dze2π1(z)F
2
-∞<z<∞
5.7.6. Propiedades de la función de densidad normal y normal estándar
Si X ∼ N(μ, σ2), entonces 1) 0≤ fx(x) ≤ 1 2) ∫+∞
∞−
=1(x)fX
Si Z ∼ N(0, 1), entonces 1) 0≤ fz(z) ≤ 1 2) ∫+∞
∞−
=1(z)fz
5.7.7. Propiedades de la función de distribución normal y normal estándar Si X ∼ N(μ, σ2), x, x1, x2 dos números reales tales x1 < x2, entonces 1) P(x1 ≤ X ≤ x2) = P(X≤ x2) – P(X≤ x1) = F(x2) – F(x1) 2) P(X > x) = 1 – P(X≤ x1) = 1 – F(x) Usando la variable aleatoria Z ∼ N(0, 1), y siendo z, z1, y z2 números reales tales que z1 < z2 entonces las propiedades anteriores se pueden expresar como:
1) P(x1 ≤ X ≤ x2) = P(x1-μ ≤ X-μ ≤ x2-μ) = P ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
≤−
σμx
σμX
σμx 21 = P(z1≤Z≤ z2) = F(z2) – F(z1)
2) P(X > x) = P ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
>−
σμx
σμX = P(Z>z) = 1-F(z)
Para la variable aleatoria normal estándar Z ∼ N(0, 1) se definen propiedades específicas por la propiedad de simetría de ésta distribución. 1) P(Z ≥ z) = 1- P (Z ≤z) = P(Z≤-z) 2) P(– z ≤ Z ≤ z) = 1 – 2P(Z ≤ – z) = 2P(Z ≤ z) – 1
30
5.7.8. Uso de las tablas de la distribución normal
Las tablas para la función de distribución acumulada se definen para la variable Z ∼ N(0, 1), con valores positivos y negativos, mientras que existen otras tablas diseñadas solamente para valores positivos1. La primera tabla contiene valores de Z de –3,6 a 3,6 distribuidos a lo largo de una primera columna con el número entero y un dígito decimal, mientras que a partir de la segunda columna se distribuye la segunda cifra decimal. En las celdas interiores se encuentran los valores de las probabilidades P(Z≤z), que corresponden al área bajo la curva limitado por el punto crítico z. Por ejemplo para calcular P(Z≤1,96), se busca en la primera columna el número 1,9 y en las columnas el centésimo 0,06; luego la celda intersección de la fila y columna correspondientes es la probabilidad buscada; en este caso ese número es 0,975 por lo que: P(Z ≤ 1,96) = 0,975
Z = 1.96
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
1.6 0.9452 0.8277 0.7961 0.7870 0.7844 0.7836 0.7834 0.7833 0.78331.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.96251.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.98122.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.98542.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887
Ejemplo Considere la variable aleatoria normal estándar Z ∼ N(0,1), halle las siguientes probabilidades.
a) P(Z ≤ 1,73) = 0,9582
b) P(Z≥1,73) = 1 – 0,9582 = 0,0418.
c) P( –0,17 ≤ Z ≤1,82) =
d) P(-3,6 3,6)Z ≤≤ =
e) P(Z 4,1−≤ o Z ≥2,8).
Dado que {z ≤ -1,4} ∩ {z ≥2,8} = ∅ tenemos que: P(Z 4,1−≤ o Z≥ 2,8) = P(Z )8,2()4,1 ≥+−≤ ZP = P(Z 0,08340,00260,08082,8)P(Z1,4) =+=−≤+−≤
1 Por ejemplo Si z>0, entonces: P(Z ≤ z)= 0.5+p(Z≤ z) y si z>0 P(Z ≤ z)= 0.5 - p(Z≤ z)
31
e) Encontrar el valor de z tal que: P(Z ≥ z) = 0,4602 El valor de z que se busca es aquel cuya área a su derecha es 0,4602 O si consideramos que P(Z ≥ z) = 0,4602 = 1 - P(Z ≤ z) P(Z ≤ z) = 0,5398 Luego, se ubica esta área bajo en la tabla de distribución, para hallar el valor correspondiente a Z; y el valor correspondiente de z es 0,1; es decir, P(Z ≤ 0,1) = 0,5398
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 f) Hallar z tal que: P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,8
0,8 = P(– z ≤ Z ≤ z) = 1 – 2P(Z ≤ – z); de donde: P(Z ≤ -z) = 0,1 En la tabla el valor correspondiente a dicha probabilidad es –z= –1,28 es decir z = 1,28.
Probabilidad para diferentes desviaciones de la media. Puesto que la media corresponde al valor Z = 0, el área correspondiente a una desviación estándar -1<Z<+1, es decir la probabilidad de que la variable se encuentre a una desviación estándar de la media expresada como P(-1<Z<+1) es 0.6827; luego la probabilidad de estar a dos desviaciones y tres desviaciones estándar de la media son respectivamente: P(-2<Z<+2)= 0.9545 y P(–3<z<+3) = 0.9973.
En la estimación de parámetros y prueba de hipótesis es común hallar los puntos críticos en la distribución normal estándar que delimitan las áreas del Para diferentes estimaciones y prueba de hipótesis es común utilizar los porcentajes 90%, 95% y 99% para los niveles de confianza, que corresponden a las áreas bajo la curva de 0.90, 0.95 y 0.99; los mismos que tienen sus respectivos puntos críticos en la distribución normal estándar, los que se resumen a continuación: Nivel de confianza Área unilateral superior Área bilateral 99% z = 2,33 z = 2,58 95% z = 1,64 z = 1,96 90% z = 1,28 z = 1,64 Ejercicios 1. Sea X una variable aleatoria distribuida de forma normal con media 50 y varianza 100,
encontrar P(X ≤ 30) Sol. Como σ2 = 100, la desviación estándar es σ = 100 =10 P(X ≤ 30) = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
105030
σμXP = P(Z ≤ –2) = 0.0228
-3 -2 -1 0 1 2 3
z
68.27
95.45
99.73
32
2. Si el tiempo (en segundos) que una bacteria resiste a determinado antibiótico se distribuyera de forma normal con media 1200s y varianza 14400s2, ¿cuál es la proporción de bacterias que resisten más de 1000 segundos? Sol. X: tiempo (seg) de resistencia al antibiótico, X ∼ N(1200, 14400), σ = 14400 = 120 P(X≥1000)= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≥120
12001000ZP = P(Z≥ –1.67) = 1 – P(Z≤ –1.67) = 1– 0,0475 = 0,9525
Luego la proporción de bacterias que resiste más de 1000 segundos ante el antibiótico es 0.9525.
3. En el estudio del ingreso en la población, se sabe que éste se distribuye de forma normal con
un ingreso promedio de $345 y una desviación estándar de $46. Si se elige un ciudadano al azar, a. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo inferior a $280? b. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $324? c. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $400? d. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo superior a $324? e. ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga un sueldo entre $300 y superior a $360? f. ¿Cuál es el ingreso que es superado por el 80% de esa población?