introduccion al mathcad
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5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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2009
InnovacinEducativa
RicardoVillafaaFigueroa
ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASESMATHCADEjemplosdeclculosimblicoutilizandoMathcadparalaenseanzayaprendizajedelasmatemticas. Orientacinalaenseanzamediasuperior.
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ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
TABLADECONTENIDO
Introduccin........................................................................................................................................ 4
EjemplosdeClculoSimblico.......................................................................................................... 10
Representacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticas.......................................... 10
Simplificacindeexpresionesalgebraicas(comandoSimplify).................................................... 10
Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)............................................ 11
Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcin Factor)........................................ 13
Definicindefunciones................................................................................................................. 14
Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve)....................................................................... 15
Solucindeunsistemadeecuaciones.......................................................................................... 16
Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot)............................................................. 17
Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)................................................................ 20Suma ydiferenciadematrices................................................................................................. 20
Productodeunamatrizporunescalar..................................................................................... 20
Productodedosmatrices......................................................................................................... 20
Inversadeunamatriz................................................................................................................ 21
Determinantes.......................................................................................................................... 21
Clculodesumatorias(comando/funcinSum).......................................................................... 23
Clculodeproductos(comando/funcinMul)............................................................................ 24
Clculodelmites(comando/funcinLimit)................................................................................ 25
Clculodederivadas(comando/funcinDiff).............................................................................. 26
Clculodeintegrales(comando/funcin Int).............................................................................. 27
AplicacionesGeneralesdelClculoSimblicoenelSalndeClases................................................ 28
AplicacionesenTrigonometra.......................................................................................................... 33
Grficasdefuncionestrigonomtricas..................................................................................... 33
Ecuacionestrigonomtricas...................................................................................................... 35
AplicacionesenGeometraAnaltica................................................................................................ 36
Distanciaentredospuntos........................................................................................................... 36
PuntoMedio.................................................................................................................................. 37
Lnearecta..................................................................................................................................... 39
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Ecuacindeunarectaquepasapordospuntosdados............................................................ 39
Ecuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigen................................................. 41
nguloentredosrectas............................................................................................................ 43
Tringulos...................................................................................................................................... 46
Clculodelosngulosinterioresdeuntringulo..................................................................... 46
Clculodelreadeuntringulo............................................................................................... 49
Clculodelbaricentro/centroidedeuntringulo.................................................................... 54
Clculodelortocentrodeuntringulo..................................................................................... 60
Circunferencia............................................................................................................................... 63
Parbola........................................................................................................................................ 69
AplicacionesenClculoDiferencial................................................................................................... 73
Lmites........................................................................................................................................... 73
Derivadas....................................................................................................................................... 75
Bibliografa........................................................................................................................................ 86
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INTRODUCCIN
Amaneradeintroduccin,podemosdecirqueloslenguajescomputacionalesdeclculosimblico
son aquellos que permiten la representacin y el manejo computacional de expresionesalgebraicas.
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3 x 2+( ) 3 x 6+=
c radio2=
Loslenguajessimblicos trabajanconvariablesoletrastalcomoloharaunprofesorenun
pizarrnoennotasdeclasesparademostraralgnteoremaoderivaralgunafrmula
matemtica.
x y+( )2 x2 2 x y+ y2+
3 2+( )2
3( )2
2 3( ) 2( )+ 2( )2+ 25
Sucapacidaddeclculosepuedeobservarenlafacilidadconquerealizanoperaciones
algebraicasbsicascomoson:suma,resta,multiplicacin,divisinypotenciacindemonomiosy
polinomios.
3x2
4x+ x 2x2+ 5 x2 3+=
x 1+( ) x 1( ) x2
1
x y+
3 x y+( )
1
3
As mismo, tienen capacidades de simplificacin, factorizacin y expansin de expresiones
algebraicas.
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x
x x
x 1
simplify 1
x 2 1+=
2x y+( )2
expand 4 x2
4 x y+ y2
+=
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4 x2
4 x y+ y2+ factor 2 x y+( )2=
El clculo simb lico
hace por el lgebra, por
la trigonometra, por el
clculo y por el lgebra
lineal lo que la
calculadora cientfica
hace por la aritmtica.
Estaampliagamade facilidadespermitenalprofesordisponer
de una calculadora algebraica para acelerar clculos o una
herramienta didctica para explicar o ejemplificar conceptos
terico prcticosdellgebra.
Ademsde lascapacidadesbsicasmencionadas, los lenguajesdeclculosimblicocuentancon
una amplia gama de funciones matemticas para solucionar sistemas de ecuaciones e
inecuacioneslineales,encontrarracesrealesycomplejasdepolinomios.
x2
1 solve1
1
=
7x 4y+ 13
5x 2y 19
solve x, y, 3 2( )=
Cuentanconherramientas,notacionesysmbolosque amplansuusoen latrigonometra,en la
geometraanalticayenelclculo integralydiferencial;proporcionandoconestoun contexto
pedaggico muy amplio para la explicacin conceptual del lgebra, sus herramientas y sus
consecuentesaplicacionesenlas matemticas,enlaingenierayenlasciencias.
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1
5
x
x=
15=
1
5
i
i=
120=
2x
x 1+
x 1lim
3=
xx3
3x2+ 5+( )d
d3 x
26+=
x3 x2
6 x+
d x3
3 x2+=
Los lenguajes simblicos tienen la capacidad de generar grficas a partir de funciones o
representacionesalgebraicas.
f1 x( ) x2
=
h1 x( ) x2
3+=
g1 x( ) x2
3= 5 2.5 0 2.5 5
5
2.5
10
f1 x( )
g1 x( )
h1 x( )
x
Esta capacidad de graficacin permite al estudiante comprender ms fcilmente las relaciones
subyacentesentrelaestructuramatemticaysurepresentacinvisual,almismotiempoquehace
posible que el estudiante derive expresiones matemticas a travs de la visualizacin de una
grficaoviceversa(apropiacinvisual). Lagraficacintambinpermitecrearmodeloscambiando
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el valor de losparmetrosque generan las grficas y conesto analizar y entender conmayor
profundidadlasrelacionesentrecadaparmetroylagrficaquerepresenta.
f x( ) 2x3
9x2 12+=
0 1 2 33
4
5
6
f x( )
x
Lacapacidadyflexibilidaddeloslenguajesdeclculosimblicosepuedenampliarcontinuamente
atravsdesusfacilidadesdeprogramacinycreacindebibliotecasde funcionesmatemticas
especializadas. Estas facilidades han hecho que lenguajes comerciales como Mathematica,
Maple,MaximayMathcadseconviertanenverdaderoshitosdelacomputacinmodernaporsus
ampliasaplicacionespedaggicas,de investigacinydeaplicacinenreastandiversascomo la
Biologa,laMedicina,laFarmacia,laGenticaylasCienciasJurdicas,entreotras.
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ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASES
Loslenguajesdeclculosimblicopermitenalprofesordematemticas,ingenierayciencias:
Crearambienteseducativosinteractivos,
desarrollarmaterialeducativoy
formarcomunidadesdeprofesores,estudiantes,e investigadores.
AMBIENTESACADMICOSINTERACTIVOS
Lasmltiplesalternativasqueofreceelclculosimblicoparaelmanejodeexpresionesmatemticasysurepresentacingrficavisualpermitenalprofesorcrearambientes
acadmicosinteractivosparalademostracin,exploracinyeldescubrimientodenuevos
conceptostantoenlascienciascomoenlasmatemticasmismas.
Losambientesacadmicosinteractivospermitenalestudianteinvestigarpropiedades,
relacionarconceptos,plantearyprobarhiptesis,hacerdeducciones,establecerteoremasy
plantearyresolverproblemasbasadosenmatemticas.
Lasimplificacinenelmanejoalgebraicopermitealestudianteyalprofesorconcentrarseen
problemasdemayorcomplejidadyalcance;yconesto,analizarmsalternativaspara
solucionarunproblemamatemticodado.
Loslenguajessimblicospermitendistinguirclaramenteentrelatecnologacomputacional,
losmtodosasociadosparasuuso,losconceptosmatemticosinvolucradosylosproblemas
quesedeseanresolver. Paradigmaqueesvlidoparaotrosusosdelatecnologaenelsaln
declases.
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DESARROLLODEMATERIALEDUCATIVO
Los lenguajes de clculo simblico son herramientas que facilitan el desarrollo de material
educativobasadoencomputadorasatravsde:
Libroselectrnicos
Calculadorasgraficadorasespecializadasparaelanlisisdefunciones
matemticasoelanlisisdeespaciosgeomtricos.
Desarrollodecuestionariosinteractivosdereforzamiento.
Desarrollodematerialdedifusin/textos/ejerciciosenlared(Internet)
COMUNIDADES
DE
PROFESORES
DE
MATEMTICAS
Y
DE
CIENCIAS
La facilidad que proporciona la Internet para publicar el material didctico elaborado con un
lenguajesimblico,permiteformarcomunidadesdeprofesores,investigadoresypracticantesque
intercambian continuamente experiencias y materiales en la red. Esta
colaboracin facilita la creacin de bibliotecas digitales que diseminan las
mejoresprcticasyherramientasparaelaprendizajede lasmatemticasy
delascienciasendiferentesnivelesydisciplinas.
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EJEMPLOS DE CLCULO SIMBLICO
Elclculosimblicoreproducedesdeunacomputadoralosconceptos,lasreglasylasnotacionesutilizadasenellgebratradicional.
Representacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticas
Enunlenguajedeclculosimblicoseutilizanlosmismossmbolosqueenellgebratradicional.
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3x 2y+ 1+
x
2
y
2
+ 25+
x 1+( )2
x 1+( ) x 1( )+
2x 3y+ 16
Simplificacinde
expresiones
algebraicas
(comando
Simplify)
Normalmentelasimplificacindeexpresionesalgebraicasserealizademaneraautomticacomoseobservaenlossiguientesejemplos:
3 x 2+( ) 3 x 6+=
x 1+( )2
x 1+( )x 1+=
2
a
3
a+
2
b+
5
b+
5
a
7
b+=
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Sinembargo,siintentamossimplificarlasiguienteexpresintendramoscomoresultado:
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Enestoscasosesnecesarioutilizarelcomandocorrespondientedesimplificacin(simplify):
Acontinuacinsemuestranotrosejemplosdesimplificacinalgebraica:
Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)
Observemoselsiguienteejemplo.
Desarrollarlaexpresin:
x2
2 x+ 1+
x 1+
x2
2 x+ 1+
x 1+
=
x2
2 x+ 1+
x 1+ simplify x 1+=
1 a( )3
a 1 simplify a 1( )2=
x2
5x 6+
2a x 6a simplify
x 2
2 a=
a x2
9a
3x 3y x2 x y+simplify
a x 3+( )
x y
Siintentamosporlosmtodosanterioresobtendramos:
Multiplicacindirecta:
=
b
3a 2a b+( )
3 a 2a b+( ) 3 a 2 a +( )=
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Simplificacin:
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3 a 2a b+( ) simplify 3 a 2 a b+( )=
Elmtododirectodelamultiplicacinyelmtododelasimplificacinnodesarrollanlaexpresin;
paraestoutilizamoselcomandoexpand:
3a 2a b+( ) expand 6 a2 3 b a
Veamosotrosdosejemplosdeexpansinalgebraica:
+=
a b+( ) a c+( ) expand a2 a b+ a c+ b c+=
3aa b+
a2
expand 3 b
a
Ejemplosdeexpansinalgebraicaaplicadaabinomiosytrinomios:
3+=
x y+( )3 expand x3 3 x2 y+ 3 x y2+ y3+=
x y+ z+( )2 expand x2 2 x y+ 2 x z+ y2+ 2 y z+ z2+=
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Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcin Factor)
Elcomandofactorseutilizaparasimplificarexpresionesalgebraicas.
Factorizacindepolinomios:
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Factorizacindediferenciadecuadrados:
Factorizacindeuntrinomiocuadradoperfecto:
Factorizacindeuntrinomiodelaforma:
3a3
6a2 factor 3 a2 a 2( )=
1
3
a2 2
6a
3+ factor a
2a 1+( )
3=
x2
y2 factor x y( ) x y+( )=
1
4m
4n
6 factor m
22 n
3( ) (m2 2 n3+ )4
=
x2
2x y+ y2+ factor x y+( )2=
x2
4 x y+ 4 y2+ factor x 2 y+( )2=
x2
b x+ c+
x2 5x 6+ factor x 2( ) x 3( )=
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Definicindefunciones
Loslenguajesdeclculosimblicopermitenalusuariodefinirsuspropiasfunciones. A
continuacinsemuestranalgunosejemplos.
Funcinparaelencontrareldobledeunnmerocualquiera:
f x( ) 2:=
Ejemplosdeuso:
f 4( ) 8
f 1
4
1
2
Clculossimblicos:
f a( ) 2 a
f z
2
Funcinparaencontrarelreadeuntringulo:
Area_TringuloBase Altura,( ) Base Altura
2:=
Ejemplosdeuso:
Area_Tringulo10 5,( ) 25
Clculosimblico:
Area_Tringuloa b,( ) a b
2
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Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve)
Elcomandoutilizadopararesolverecuacionesessolve.
Resolverlaecuacin6x 7 2x 1+
6x 7 2x 1+ solve x, 2=
Resolverlaecuacin
x
x 1+
5
8+
5
2 x 1+( )
3
4+
x
x 1+
5
8
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Resolverlaecuacin
Resolverlaecuacin
+ 5
2 x 1+( )
3
4solve x, 3=+
x2
7x 10+ 0
x
2
7x 10+ 0 solve x,
5
2
=
a x2
b x+ c+ 0
a x2 b x+ c+ 0 solve x,
b b2
4 a c 2 a
b b2
4 a c
=
+
2 a
-
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Solucindeunsistemadeecuaciones
Resolverelsiguientesistemadeecuaciones
2x 3y+ 163x 7y 1
2x 3y+ 16
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Unsistemacontresvariables
3x 7y 1
solve x, y, z, 5 2 0( )=
x y+ z+ 6
x y+ z+ 6
x y 2x+ 5
x y 3x 10
x y 2x+ 5 solve x, y, z, 1 8 15( )=
x y 3x 10
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Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot)
Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuacin
y 4x 8+Graficamoselladoderechodelaecuacin:
4 2 0 2 4
8
8
16
24
4x 8+
x
Conelcomandosolvetenemoselsiguienteresultado:
4x 8+ solve 2=
Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuacin
y x2
x 2
Otraformaderesolverestaecuacinesescribirlaenfuncindex:
f x( ) x2
x 2=
ygraficarlafuncinobtenida:
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2 1 0 1 2f x( )
x
Utilizandoelcomandosolveobtendramos:
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Resolverelsiguientesistemadeecuacionesporelmtodogrfico
Representamoselpardeecuacionescomofuncionesparasugraficacin:
f x( ) solve x,
1
2
=
x y+ 5
x y 1
x y+ 5 solve y, 5 =
f1 x( ) 5 =
x y 1 solve y, x 1=
f2 x( ) x 1=
-
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19
6 3 0 3 67
2.5
2
6.5
11
f1 x( )
f2 x( )
x
Utilizandoelcomandosolve:
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x y+ 5
x y 1
solve x, y, 3 2( )=
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Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)
Suma
y
diferencia
de
matrices
Sumaryrestarlassiguientesmatrices:
M1
1
2
0
2
5
1
3
2
5
= M11
2
0
2
5
1
3
2
5
=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Productodeunamatrizporunescalar
Multiplicarlasiguientematrizpor5:
Producto
de
dos
matrices
Multiplicarlasdossiguientesmatrices:
M1 N1+
1
3
3
0
6
1
6
3
5
= M1 N111
3
4
4
3
0
1
5
=
M1
1
20
2
5
1
3
2
5
=
M1( ) 5( )
5
10
0
10
25
5
15
10
25
=
-
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21
A1
1
0
1
2
1
0
= B11
1
0
1
=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
InversadeunamatrizInvertirlasiguientematrizymultiplicarelresultadoobtenidoporlamatizoriginal:
Determinantes
Obtenereldeterminantedelasiguientematriz:
A1( ) B1( )
3
1
1
2
1
0
=
C1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
C1 1
1
2
1
2
0
1
20
1
2
0
1
2
1
2
= C1 C1 11
0
0
0
1
0
0
0
1
=
D2
1
2
1
3
7
3
5
9
5
=
-
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D2 0=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
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Clculodesumatorias(comando/funcinSum)
Sumatorianumricadelosprimeroscinconmerosnaturales
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Sumatoriasimblicadelosprimeroscinconmerosnaturales.
1
5
x
x=
15=
1
5
i
ni=
n1 n2+ n3+ n4+ n
Sumatoriasimblicadelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales:
+=
1
5
i
1
ni
5
1
n2
=
1
n1+
1
n3+
1
n4+
1
n5+=
-
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Clculodeproductos(comando/funcinMul)
Productonumricodelosprimeroscinconmerosnaturales:
1
5
i
i=
120
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Productosimblicodelosprimeroscinconmerosnaturales:
=
1
5
i
ni=
n1n2n3n4n
Productosimblicodelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales:
=
1
5
i
1
ni
5
=
1
n1n2n3n4n5=
-
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Clculodelmites(comando/funcinLimit)
Ejemplosbsicos:
3x
2x2
1+( )lim
19=
1x
x2
x x
1lim
3=
2x
x2
4
x 2
lim
4=
Clculosdellmiteporlaizquierdayporladerecha:
f x( ) 1
1 x2
=
1x
f x( )lim+
=
1x
f x( )lim
=
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Clculodederivadas(comando/funcinDiff)
Calcularladerivadadelassiguientesexpresionesysimplificarelresultadosiesnecesario:
x5 3x4+ x3+ 10+
x3
3x2
x2
x
xx5
3x4+ x3+ 10+( )
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
d
d5 x
412 x
3+ 3 x2+=
x
x3
3x2
x2
x
(
d
d
6 x 3 x2
x x2
x3
3 x2 ) 2 x 1( )
x x2( )
2=
6 x 3 x2
x x2
(x3 3 x2 ) 2 x 1( )
x x2( )
2 simplify
2
x 1( )21+=
-
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Clculodeintegrales(comando/funcin Int)
Ejemplodeclculodeintegralesindefinidas:
xx3
d x
4
4=
xx2
5+( )2
d x
5
5
10 x3
3
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Ejemplosdeclculodeintegralesdefinidas:
+ 25+=
xex
d ex=
0
3
xx2
d 9=
1
1
xx2
1+( )2
d 56
15=
1
0
1
xex
d e =
-
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APLICACIONES GENERALES DEL CLCULO SIMBLICO EN EL
SALN DE CLASES
Ejemplo1
Elsiguienteejemplomuestraelmanejoalgebraicotradicionalversuselmanejosimblicoparala
solucindeunsistemadeecuaciones.
Resolve deecuaciones:relsiguientesistema
1 7 4 13
2 5 2 19
Mtodotradicional(igualacin)
DespejarlaincgnitaXenelpardadodeecuaciones:
7x 4y+ 13=
x 13 4y
7=
5x 2y 19=
x 19 2y+
5=
IgualarlosvaloresobtenidosparalasX:
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13 4y
7
19 2y+
5
ResolverentrminosdeYlaecuacinanterior:
=
2y5 13 4y( ) 7 19 +( )=
65 20y 133 14+=
-
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20 y 14y 133 65=
34 y 68=
y 2=
SustituirelvalordelaYobtenidaenlaecuacin(1)seobtiene:
7x 4 2( )+ 13= 7x 8 13=
x 3=
Solucindadaconunlenguajedeclculosimblico:
7x 4y+ 13=
5x 2y 19=
solve x, y, 3 2( )=
Reflexiones:
Enelmtodotradicionalnosinteresaelconocimientopormenorizadodelprocesoalgebraicoparalasolucindelsistemadeecuaciones
Estemtodotieneunenfoquedidctico. Elestudianteyelprofesorestninteresadosen
conocerunmtodoenparticularparalasolucindeunsistemadeecuaciones.
Conelusodelclculosimbliconosinteresanicamentelasolucin(independientementedelmtodoutilizadoporelsistemacomputacionalpararesolverlo)
Estemtodotieneunenfoquedeeficiencia:rapidezyexactitud.Elprofesoryel
estudiantebuscannicamentelasolucinalsistemadeecuacionesdado.
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-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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30
Ejemplo2
Supongamosquelaecuacin 12representaelcomportamientoseguidoporuna
pelotadebeisboldespusdequeunjugadorlehapegadoconciertavelocidadyconcierto
ngulo. Calcularlossiguientesdatos:
a) Elalcancehorizontaldelapelotay
b) laalturamximaalcanzada.
Solucin
Parafacilitarlasolucindelproblema,vamosestablecerlaecuacinenfuncindexygraficarla:
f x( ) x2 x+ 12+=
10 5 0 5 10
100
50
50
f x( )
x
Ajustemoslosparmetrosoriginalesparatenerunmayoracercamientoalagrfica(zoom):
4
2 0 2 4
10
10
f x( )
x
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-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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31
VamosaencontrarlospuntosdeintercepcinconelejedelasX:
f x( ) solve3
4
=
Lospuntosdeintercepcinsonx1=3yx2=4.
Paraencontrarelalcancehorizontaldelapelota,supondremosquelapelotahasidogolpeadaen
elpuntox1yquelapelotatocaelsueloenpuntox2:
Distanciahorizontalx2x1=4(3)=7(unidadesdedistancia)
Enunaecua n ma elvrticedelaparbolavienedadoporci delafor
2 ,
4
4
Sustituyendolosvaloresdea,bycdelaecuacindadaenlafrmulaobtenemos:
a 1=
b 1=
c 12=
b2a
1
2= 0.5=
4a c b2
4a
49
4
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
LaalturamximalaalcanzaenelpuntoX=0.5yesdeY=12.25(unidadesdealtura).
= 12.25=
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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32
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Reflexiones:
Enestecaso,elmtodoseguidoparalasolucindelaecuacindesegundogradonoestanrelevantecomoloeslacomprensindeloquerepresentaenslamismaecuacin:
o Unaparbola
o Elpuntomximo(omnimo)delaparboladadoporsuvrticeo LospuntosdecorteenelejedelasX(dadasenlasolucindelaecuacin)
Estostreselementosnosconducenalasolucindelproblema:
o Elpuntodearranquedelabola(lospuntosdecorteenelejedelasX)
o Lamximaalturaalcanzada(elvrticedelaparbola)
Enesteejemplo,tomarelevanciaelusodeunacalculadoraodeunpaquetecomputacional
paracentrarseenelproblemaysusolucin,ydejarensegundotrminoelmtodoalgebraico
odeprocedimiento.
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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33
APLICACIONES EN TRIGONOMETRA
Grficasdefuncionestrigonomtricas
Ejemplo1
Graficarlasfuncionessenoycosenoenelrangode0 a2.
Solucin
Definir rafica
0 1 2
elrangode g cin:
0 1.571 3.142 4.712 6.2831.5
0.75
0
0.75
1.5
sin x( )
cos x( )
x
Ejemplo2
Graficarlasfunciones,3 y5 enelrangode 2a2. Observarel
efectodelcoeficientedelafuncinenamplituddelafuncin.
Solucin
Definirelra godegra
0 2 ,1 2
n ficacin:
Graficarlasfunciones:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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34
6.283 3.142 0 3.142 6.283
5
0
5
sin x( )
3sin x( )
5sin x( )
x
Ejemplo
3
Graficarlasfuncionesy 3enelrangode 2a2. Observarelefectodel
coeficientedelaX,enelargumentodelafuncin, sobrelafrecuenciadelafuncin.
Solucin
Definirelra rafica
0 2 1 2
ngode g cin:
Graficarlasfunciones:
6.283 3.142 0 3.142 6.2832
1
0
1
2
sin x( )
sin 3x( )
x
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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35
Ecuacionestrigonomtricas
Ejemplo4
Resulvaselasiguienteecuacinparavaloresnonegativosde ymenoresde2. Grafiquela
ecuacin.
2sin ( ) 1 0
Solucin
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Paraobservarmejorlospuntosdecorteenelejedelas,convertiremoslosresultadosobtenidos
aunnmerorealdetresdecimalesygraficaremoslafuncinenunrangode0a.
2sin ( ) 1 0 solve ,
6
5
6
=
60.524=
5
62.618=
0 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.142
1
0.5
0.5
1
2sin ( ) 1
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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36
APLICACIONES EN GEOMETRAANALTICA
Distanciaentredospuntos
Ejemplo
DemostraranalticamentequelasdiagonalesdeunrectnguloABCDsoniguales.
Solucin
Definirloscuatropuntosqueformanlasdiagonales:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
A0
0
= B0
Definirunafrmulaparaencontrarladistanciaentredospuntosdados:
Utilizarlafrmuladedistanciadefinidaanteriormenteparaencontrarlalongituddelas
diagonales.
DistanciaentreladiagonalAC:
b
= Ca
b
= a
Da
0
= a
b
Distancia P Q,( ) P1 Q1( )2
P2 Q2( )2+=
DistanciaA C,( ) a2 b2+=
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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37
DistanciaentreladiagonalBD:
Distancia B D,( ) a2 b2+=
El resultado encontrado demuestra que las diagonales son iguales.
PuntoMedio
Ejemplo
Demostraranalticamentequeelsegmentoqueunelospuntosmediosdelosdosladosdeun
tringulo,esparaleloaltercerladoytienelamitaddesulongitud.
Solucin
Solucin
Definirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
A0
0
= B
0
Definirunafrmulaparaencontrarelpuntomedioentredospuntosdados:
ConsideremoslospuntosmediosdelosladosAByAC:
b
=
b
aC
0
=
a
PuntoMedio X Y,( )
X1 Y1+
2X2 Y2+
2
=
-
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38
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
D PuntoMedio A B,( )= B
D
0
b
2
=
E PuntoMedio A ,( )= CC
E
a
2
0
=
Calculemos la delsegm
1 DE DistanciaD, E
longitud entoDEqueunelospuntosmediosdeltringulo:
DE a
2
4
b2
4+=
Simplificandoelresultadoobtenido(asumimosqueelvalordeaybsonmayoresquecero):
a2
4
b2
4+
simplifyassume ALL 0>,
a2
b2+
2=
CalculemoslalongituddeltercerladoparaleloyqueesparaleloalsegmentoDE:
BC Distancia C,( )= BB
BC a2
b2+=
Dividamoselresultadoobtenidoentredos:
BC
2
a2
b2+
2=
AldividirentredoslalongituddelsegmentoBC,obtenemoselmismovalorqueelobtenidopara
DEenlaexpresin(1).
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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39
Lnearecta
Ecuacindeunarectaquepasapordospuntosdados
TEOREMA
Laecuacindeunarectaquepasaporlospuntos 1 1( , )x y y 2 2( , )x y estdadapor:
2 12 2
2 1
( )(y y
y y x xx x
)
=
con 1 2x x
Ejemplo
DeterminarlaecuacindelarectaquepasaporlospuntosP1(10,5)yP2(0,5);graficarla
ecuacinobtenida,calcularsupendienteyngulodeinclinacin, ydeterminarlascoordenadasde
corteenelejeXyenelejeY.
Solucin
Definicinnumricadelospuntos:
P1 105
= P2 0
5
=
Definicindelarectaenfuncindedospuntos:
recta A B, x,( )B2 A2
B1 A1 x A1( ) A2+=
Definicindelapendientedelarecta:
m A B,( )B2 A2
B1 A1=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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40
Clculodelaecuacinsimblicadelarecta:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Graficarlafuncin:
Clculodelapendienteyngulodeinclinacin:
PuntodecorteenX (cuandoy = 0):
PuntodecorteenY(cuando x = 0):
recta P1 P2, x,( ) x 5+=
10 5 0 5 10
5
5
10
15
recta P1 P2, x,( )
x
m P1 P2,( ) 1=atan m P1 P2,( )( ) 45 de=
y 0
recta P1 P2, x,( ) y solve x, 5
=
x
0
recta P1 P2, x,( ) 5=
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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41
Ecuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigen
TEOREMA
Laecuacindeunarecta(noparalelaalejeY)quecortaointerceptaalejeYenelpunto(0,b),y
tieneunapendienteigualames:
Ejemplo
Hallarlaecuacindelarectaconpendientem=1yconordenadaenelorigenb=5. Graficarla
ecuacinencontradaycalcularelgradodeinclinacindesupendiente
Solucin
Definirlosvaloresparamyparab:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
m 1:= b 5:=
Definirlafrmulaentrminosdem,byx:
f m b, x,( ) m x b+=
Encontrarlaecuacindelarectasolicitada:
f m b, x,( ) x 5
-
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42
Apartirdelafuncindefinidagraficarlafuncin:
10 5 0 5 10
15
10
5
5
f m b, x,( )
x
Calcularelngulodependientedelarecta:
atan 45m( ) de=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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43
nguloentredosrectas
TEOREMA
DadasdosrectaL1yL2,conpendientesm1ym2,respectivamente,elngulo queseformacuando
sevadeL1 aL2enladireccincontraria a llasdelrelojestdadaporalasdel smaneci
tan
1
con 1
Ejemplo
Encuentreelnguloentrelasrectas:
x 3y+ 2+ 0
x 3y+ 5+ 0
PrimeraSolucin
DefinimoslosvaloresdeA1,B1,A2yB2paralasecuacionesdadas:
A1 1:= B1 3:= A2 1:= B2 3:=
Calculamoslaspendientesdecadaunadelasrectas:
m1A1
B1
1
3:=
m2A2
B2
1
3:=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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44
Calculamoselnguloentrelasdosrectas:
tan m1 m2
1 m1 m2+
3
4:=
atan tan( )180
36.87=
Segundasolucin
Aislandoloscoeficientesdelaprimeraecuacinycalculandolaprimerapendiente:
A x 3yy+ 2+ coeffs x, 3 y 2+1
:=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
B x 3y+ 2+ coeffs y,x 2+
3
:=x
A1 A2 1:=
B1 B2 3:=
m1A1
B1
1
3:=
Aislandoloscoeficientesdelasegundaecuacinycalculandolasegundapendiente:
A x 3+ 5+ coeffs x,3 y 5
y+
1
:= y
B x 3y+ 5+ coeffs y,5 x
3
:= x
-
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45
A2 A2 1:=
B2 B2 3:=
m2A2
B2
1
3:=
Calculandoelnguloentrelasdosrectas:
tan m1 m2
1 m1 m2+
3
4:=
atan tan( )180
36.87=
SolucingrficadadaporGeogebra:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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46
Tringulos
Clculodelosngulosinterioresdeuntringulo
Ejemplo
CuntomidenlosngulosinterioresdeltringulocuyosvrticessonlospuntosA(2,6),B(3,1)
yC(4,5)?
Solucin
Representacingrficadelproblema:
Frmulaparacalcularlapendienteentredospuntosdados:
my2 y1
x2 x1
yy:=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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47
RepresentacindelospuntosylapendienteenMathcad:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Clculodelngulo entrelosladosAByAC:
Clculodelngulo entrelosladosAByBC:
Ay1
x1
:=
x1 x2B
y2
:=
x2
mB2 A2
B1 A1
B:=
m1B2 A2
B1 A1
7
5:=
m3C2 A2
C1 A1
11
2:=
tan m3 m1
1 m3 m1+
69
67:=
atan tan( )180
45.843=:=
m2B2 C2
B1 C1
4
7:=
tan m1 m2
1 m1 m2+
69
7:=
atan tan( )180
84.207=:=
-
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48
Clculodeltercerngulodeltringulo:
SolucingrficadadaporGeogebra:
180 49.95=:=
ClculoSimblicoconMathcad
RicardoVillafaaFigueroa
-
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49
Clculodelreadeuntringulo
Ejemplo
CalcularelreadeltringulocuyosvrticessonA(1,1),B(3,4)yC(5,1).
Primerasolucin
Dadaslascoordenadasdelosvrtices,elreadeuntringulovienedadaporlasiguientefrmula:
K 1
2y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1
DefinirlosvrticesdadosentrminosdeMathcad:
A1
1
:= B
3
4
:= C
5
1
:=
SuequivalenteencoordenadasX,Yeselsiguiente:
x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:= 2:= x3 C y3 C1:= 2:=
DefinirelreaentrminosdeMathcadycalcularsuvalor:
K 12
y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1:=
K 13
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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Segundasolucin
Lafrmula
K 1
2
y1 y3( ) x2 x1 x3( ) y2 x1 y3+ x3 y1
Sepuedeexpresarentrminosdeundeterminante:
K 1
2
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1
1
1
:=
Donde
x1 A1
:= y1 A2
:= x2 B y2 B1
:= 2
:= x3 C y3 C1
:= 2
:=
Obtenemos:
K 13
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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51
Tercerasolucin
Sepuedeobtenerelreadeuntringuloenfuncindelalongituddecadaunodesuslados
utilizandolafrmuladeHern:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
cK s s a( ) s b( ) s ( ) Dondea,bycrepresentancadaunadelaslongitudesdeltringuloysvienedadaporlafrmula:
s 1
2a b+ c+( )
Grficamentepodemosobservareltringulodadodelasiguientemanera:
Paracalcularlalongituddecadaunodeloslados,definimoslasiguientefrmula(distanciaentre
dospuntosdados):
Longitud P Q,( ) P1 Q1( )2
P2 Q2( )2+:=
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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52
Calculamoslalongituddecadaunodeloslados.
LadoBC:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
a LongitudB C,( ) 29:= a 5.385=
LadoAC:
b Longitud A C,( ) 2 10:= b 6.325=
LadoAB:
c Longitud A B,( ) := 5
CalculamoselvalordesydeK(readeltringulo):
s
1
2 a b+ c+( ):=
s 10 29
2+
5
2
+
cK s s a( ) s b( ) s ( ):=
K 10 29
2
5
2
+
10
29
2
+ 5
2
10
29
2
+ 5
2
+
29
2
10 5
2
+
K simplify 13
-
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SolucingrficadadaporGeogebra:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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54
Clculodelbaricentro/centroidedeuntringulo
Ejemplo
Losvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(4,0),B(3,4)yC(4,1). Encontrarelbaricentro
deltringulo.
Solucin
Mediana:rectaquepasaporelvrticeyporelpuntomediodelladoopuesto.
Baricentro:puntodeinterseccindelasmedianasdeuntringulo.
Representacinvisualdelproblema(Geogebra):
Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:
PuntoMedio X Y,( )
X1 Y1+
2
X2 Y2+
2
:=
Definirlostrespuntosdados:
A4
0
:= B
3
4
:= C
4
1
:=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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55
Calcularlospuntosmediosdecadaunodelosladosdeltringulo:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
D PuntoMedio A B,( ):= E PuntoMedio B C,( ):= F PuntoMedio A C,( ):=
D12
2
E
7
2
3
2
F0
1
2
Definirlafrmulaparacalcularlaecuacindelasmediatrices:
f A B, x,( )B2 A2
B1 A1 x A1( ) A2+:=
Calcularlasecuacionesdelasmediatrices:
l1 f A E, ,( ):= l1
x
5
4
5+
xx
l2 3 x
2
1
2
l2 f B F, x,( ):= x
l3 f C D, ,( ):=
l3 5
3
2 x
3
xx
Calcularelpuntodeinterseccin(baricentro/centroide)dedosdelasmediatrices:
l1 y
l2 y solve x, y, 1 1( )
l1 y solve x, y, 1 1( )
l3 y
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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56
Baricentro/centroide. RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra.
Nota. Elpuntodeinterseccindelasmedianastambinsepuedeencontrarmediantelasiguiente
frmula:
Interseccion A B, C,( )
A1
3
B1
3+
C1
3+
A2
3
B2
3+
C2
3+
:=
Interseccion A B, C,( ) 11
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
5/21/2018 Introduccion Al Mathcad
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57
Ejemplo
Demostrarquesiuntringulotienelosvrticesen x1, y1` a
, x2 , y2` a
, x3, y3` a
,elpuntode
interseccindesusmedianasestenx1 + x2 + x2
3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff
,y1 +y2 +y2
3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff
f g
Paraesteejercicio,tomeencuentaquelasmedianasdeltringuloconcurrenenunpuntoque
estadosterciosdeladistanciadecadavrticealamitaddesuladoopuesto.
Solucin
Definirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:
Calcularcadaunodelospuntosmediosdelosladosdelafiguradada:
A y1
x1
:=
x1 x2
B y2
:=
x2 x3
C y3
:=
x3
PuntoMedio X Y,( )
X1 Y1+
2
X2 Y2+
2
:=
D PuntoMedio B,( ):= AA
-
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58
D
x1
2
x2
2+
y1
2
y2
2+
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
E PuntoMedio C,( ):= AA
E
x1
2
x3
2+
y1
2
y3
2+
F PuntoMedio C,( ):= BB
F
x22
x32
+
y2
2
y3
2+
Definirlafrmulaquecalculaelpuntodedivisindeunsegmentoenunarazndada:
PuntoRazon A B, r,( )A1 r B1 A1( )+
A2 r B2 A2( )+
:=
Definirlarazn:
razon 2
3:=
Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeA:
PuntoRazon A F, razon,( )
x1
3
x2
3+
x3
3+
y1
3
y2
3+ y3
3+
-
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59
Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeB:
PuntoRazon B E, razon,( )
x1
3
x2
3+
x3
3+
y1
3
y2
3+ y3
3+
Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeC:
PuntoRazon C D, razon,( )
x1
3
x2
3+
x3
3+
y1
3
y2
3+
y3
3+
Las coordenadas del punto de interseccin de los segmentos AF, BE y CD son
iguales.
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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Clculodelortocentrodeuntringulo
Ejemplo
Losvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(3,0),B(0,2)yC(1,2). Encontrarlas
ecuacionesdecadaunodesusladosyelortocentro.
Solucin
Alturadeuntringulo:eslarectaquepasaporunvrticeyesperpendicularalarectaque
contienealladoopuesto.
Ortocentro:Interseccinde lastresalturasdeltringulo.
Representacinvisualdelproblema(Geogebra):
Definirlostrespuntosdados:
A3
0
:= B
0
2
:= C
1
2
:=
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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61
Definirlafrmulaparacalcularlapendienteentredospuntos:
m A B,( )B2 A2
B1 A1:=
Calcularlapendienteparacadaunodelosladosdeltringulo:
LadoAB:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
mAB m A B,( ):=
mAB 2
3
LadoBC:
mBC m B C,( ):=
mBC 4
LadoCA:
mCA m C A,( ):=
mCA 1
2
Definirlafrmulapuntopendienteparacalcularcadaunadelasecuacionesdelasalturas:
f A m, x,( ) m x A1( ) A2+:=
AlturaquepasaporA(perpendicularaBC):
m 1
mBC:=
eqA f A m, x,( )y
y x
4
3
4+:= y
AlturaquepasaporB(perpendicularaCA):
m 1
mCA:=
-
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62
eqB y f B m, x,( ) y 2 x 2+:=y
AlturaquepasaporC(perpendicularaAB):
m 1
mAB
:=
eqC f C m, x,( )y
ClculoSimblicoconMathcad
RicardoVillafaaFigueroa
y 3 x
2
1
2:= y
Calcularelpuntodeinterseccindedosdelasalturas:
eqAeqB
Ortocentro. RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra.
solve x, y,
5
7
47
0.714 0.571( )=
eqA
eqC
solve x, y,
5
7
47
0.714 0.571( )=
-
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63
Circunferencia
Ejemplo1
Encontrarlaecuacindelacircunferenciaqueestangentealarecta3 4 4 0ycuyocentroestsobrelasrectas5 7 0, 4 9 0.Graficarcadaunadelasecuaciones
queintervienenenelproblema.
Solucin
Encontrarelcentrodelacircunferencia(laintercepcinentrelasdosrectas):
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Encontrarlascoordenadashykdelcentroobtenido(elresultadovienedadoenunvectordeunacolumnaydosfilas)
Calcularlalongituddelradio(ladistanciadelcentroalatangentedelacircunferencia).
Frmulaparacalcularladistanciadeunpuntoaunarecta:
Asignarlosvaloresdeloscoeficientesdelatangentedada
ylascoordenadasdelcentroenlafrmuladedistanciaparaobtenerelradio
Centro5x y 7+ 0
x 4 0
y 9+ solve x, y, 1 2( ):=
h Centro h 11 1,:=
k Centro1 2,:= k 2
distanciaA B, C, x1, y1,( ) A x1 B y1+ C+A B+
:=2 2
A 3:= B 4:= C 4:=
r distancia A B, C, h, k,( ):=
-
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64
Sustituirlascoordenadasdelcentroyelradioenlafrmulageneralparaobtenerlacircunferencia
pedida:
Circunferencia h( )2 y k( )2+ r2x
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
simplify x2
2 x+ y2+ 4 y 5+ 9:= x
Circunferencia x2
2 x+ y2+ 4 y 5+ 9
Visualizargrficamenteelproblema.
Paragraficarlasrectasdadasylacircunferenciaencontrada,ponemos cadaunadelasecuaciones
enfuncindex.
Rectasdelcentro:
f1 x( ) 5x y 7+ 0 solve y, 5 x 7+:=
f1 x( ) 5 x 7+
f2 x( ) x 4y 9+ 0 solve y,x
4
9
4+:=
f2 x( ) x
4
9
4+
Rectatangente:
f3 x( ) 3x 4y 4 0 solve y,3 x
41:=
f3 x( ) 3 x
41
Circunferenciaencontrada:
Cir x( ) Circunferenciasolve y,x 2( ) x 4+( ) 2+
2 x 2( ) x 4+( )
:=
Lasolucindelacircunferencianosdevuelvedosmediascircunferencias(elresultado
dadoesunvectordeunacolumnaydosfilas):
-
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65
Primeracircunferencia:
Cir x( )1 1, x 2( ) x 4+( ) 2+
Segundacircunferencia:
Cir x( )2 1, 2 x 2( ) x +( ) 4
Grficafinal
10 5 0 5 10
10
5
5
10
f1 x( )
f2 x( )
f3 x( )
Cir x( )1 1,
Cir x( )2 1,
x
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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66
Ejemplo2
Deduciruna(s)ecuacin(es)delodeloscrculosderadio4,cuyocentroestenlarecta
4 3 7 0yes(oson)tangentesa3 4 34 0.
Solucin
Disponemosdetrescondicionespararesolverelproblema:
1. Elradio
radio 4:=
2. Unpuntocualquiera(h,k)quepaseporlacircunferenciadebetambinsatisfaceralarecta
quepasaporelcentro:
4h 3k + 7+ 0
3. Lafrmuladedistanciadeunpunto(elcentrodelarecta)aunarecta(latangenteala
recta):
distancia A x B y1+ C1
+
A2
B2+
:= x1
3 h 4 k+ 34+
32
42+
radio
Con estas tres condiciones podemos plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valoresde las coordenadas del centro, h y k.
Centro1
4 3k+ 7h + 0
3 h 4 k+ 34+
32
42+
radio
:=
hh
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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67
El valor absoluto del numerador nos da dos valores.
Primera solucin (valor positivo):
Centro1
4h 3k + 7+ 0
3 h 4 k+ 34+3
24
2+radio
solve h, k, 2 5( ):=
h Centro11 1,:= h 2
k Centro11 2,:= k 5
Sustituyendoelvalordehykobtenidos:
x h( )2 y k( )2+ radio2 x 2( )2 y 5+( )2+ 16
Expandiendolaexpresinresultante:
x 2( )2 y 5+( )2+ 16 0 expand x2 4 x y2+ 10 y+ 13+ 0
Segunda solucin (valor negativo)
Reiniciar valores para el segundo clculo
h h:= k k:=
Centro2
4h 3k + 7+ 0
3 h 4 k+ 34+
32
42+
radio
solve h, k,134
7
195
7
:=
h Centro21 1,:=
k Centro21 2,:=
Sustituyendoelvalordehykpreviamentecalculados:
x h( )2 y k( )2+ radio2 x 134
7
2
y 195
7+
2+ 16
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-
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68
Expandiendolaexpresinencontrada:
x 134
7
2
y 195
7+
2
+ 16 expand x2 268 x
7 y2+
390 y
7+
55981
49+ 16
Simplificandolaexpresin:
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49 x2 268 x
7
y2+ 390 y7
+ 55981
4949 x
2 1876 x 49 y2+ 2730 y+ 55197++ 16 0 0
-
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69
Parbola
Ejemplo1
Graficarlastressiguientesfuncionesyobservarelefectodeltrminoindependiente:
f x( ) x2= g x( ) x2 10+= h x( ) x2 10=
Solucin
20
40
f x( )
g x( )
h x( )
x
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-
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Ejemplo2
Graficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefecto delsignonegativoenelcoeficientedeX:
f x( ) x2= g x( ) x2=
40
20
20
40
f x( )
g x( )
x
Ejemplo3
GraficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefectodelcoeficientedelaX:
f x( ) x
2
= g x( ) 3x2
= h x( ) 10x2
=
20
20
40
f x( )
g x( )
h x( )
x
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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Ejemplo4
Determinarlaecuacindelaparbolaensuformanormalquepasaporlospuntos(3,4),(0,1)y
(2,9)ycuyoejeesparaleloalejey. Graficarlaecuacinresultante,
Solucin
Comoelejedelaparbolaesparaleloalejey,sustituimosenlaecuacin
x2
D x+ E y+ F+ 0
lostrespuntosdadosylaecuacinresultantelaalmacenamosenunavariabletemporalpara
despusutilizarlaenlasolucindelsistemadeecuacionesresultante:
f1 x2
x+ E y+ F+ substitutex 3D
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
, y 4, 3 D 4 E+ F+ 9+:= D
E f2 x2 D x+ y+ F+ substitutex 0, y 1, E F+:= E
E f3 x2
D x+ y+ F+ substitutex 2, y 9, 9 E 2 D F+ 4+:= E
Resolviendoelsistemadeecuaciones:
f1 0
f2 0
f3 0
solve D, E, F, 2 1 1( )
Sustituyendolosvaloresobtenidosenlaformanormal:
f4 D x+ E y+ F+ substituteD 2x2
, E 1, F 1, x2 2 x y 1+:=x
f4 x
22 x y 1+
-
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Paragraficarlaecuacin,dejamoslaexpresinobtenidasloentrminosdexyalmacenamosel
resultadoenunanuevaecuacin:
f5 x( ) f4 0 solve y, x2 2 x 1+:=
10 5 0 5 10
50
100
150
f5 x( )
x
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-
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APLICACIONES EN CLCULO DIFERENCIAL
Lmites
Ejemplo1
Puededemostrarsequeelreadeunpolgonodenladosigualesinscritoenuncrculoderadio1
estdadopor
Ann
2sin
2
n
=
Completarlafrmulaconlossiguientesvaloresden:6,10,1000,10000.
Solucin
Definimoslafrmulaenfuncindenyprocedemosasustituirlosvaloressolicitados:
A n( ) n
2sin
2
n
=
A 6( ) 2.5980762114=
A 10( ) 2.9389262615=
A 1000( ) 3.1415719828=
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Nota. Observecomoelltimovalortiendea.Calculemoselvalordelafuncincuandontiende
ainfinito:
A 10000( ) 3.1415924469=
n 2
nsin
2
n
lim =
-
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Ejemplo2
Estudiarelcomportamientodelasiguientesucesin cuandontiendeainfinito.2 1
2n
+
Solucin
Representarlasucesinenformadefuncinparafacilitarsuestudio:
f n( ) 2 1
2n
+=
Construirunatabladevaloresbajounrangodadoyobservarelcomportamientodelafuncin.
Paraesto,leasignaremosanunvalorquevayacambiandodesdeunvalorinicialde1hastaun
valorfinaldadode50(puedeescogercualquierrangodevaloresparasuestudioeneserangoen
particular):
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
n 1 50..=
f n( )
2.5
2.25
2.125
2.063
2.031
2.016
2.008
2.004
2.002
2.001
2
2
2
...
=
Observarquelafuncintomaelvalorde2cuandoxtiendeaunvalormuygrande. Utilizandolafuncinparaelclculodellmitedeunafuncintambinobtenemoselmismovalor:
xf x( )lim
2=
-
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75
SemuestralagrficadelafuncindadaparacomprobarvisualmentequecuandoXtiendea
infinitoelvalordellmitetiendea2:
10 0 10
2
3
4
5
f x( )
x
Derivadas
Ejemplo1
Encontrarlosvrtices(puntomximoomnimo)delafuncin completando
eltrinomiocuadradoperfecto.
Parafacilitarelejercicio,ledamosalafuncinlasiguienteforma:
Multiplicamoslaecuacinpora,elcoeficientedela :
a x2
b x+ c+
x2 b
ax+ c
a+
y
a
Pasamoseltrminoindependientealaderechadelaecuacin:
x2 b
ax+ y
a
c
a
Completamoselcuadradoalaizquierdadelaexpresinsumandoaambosmiembroselcuadrado
delamitaddelcoeficientedex:
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-
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x2 b
ax+ b
2
4 a2
+ y
a
c
a
b2
4 a2
+
Reducimoseltrinomiocuadradoresultanteenladoizquierdodelaecuacin:
x b
2a+
2y
a
c
a
b2
4 a2
+
Simplificamoselextremodeladerechadelaecuacin:
x b
2a+
2 1
ay
b2
4 a+ c
o
x b
2a+
2 1
ay
4 a c b2
4 a
Laexpresinobtenidarepresentalasegundaformaordinariadelaecuacindelaparbolacuyo
vrticeeselpunto
2 ,4
4
Reflexiones:
Esteejercicioesesencialmentedeprocedimientoydeinterpretacindelresultadoobtenido. Esdepocaayudaunacalculadoraounpaquetecomputacional
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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77
Ejemplo2
Laecuacingeneraldeunaparbolavienedadaporlafrmula 0;utilizandoel
conceptodederivada,determinelascoordenadasdelvrticedelaecuacin.
Solucin
DefinimoslaecuacinenfuncindeX:
f x( ) a x2
b x+ c+=
DerivamoslafuncinconrespectoaX:
xf x( )
d
db 2 a+=
Igualamosacerolaexpresinencontrada(elvalordelapendientevaleceroenelpuntomximoomnimodeunafuncin), resolvemosparaXyencontramoslaprimeracoordenada:
b 2 a x+ 0
b 2 a x+ 0 solve x,b
2 a=
ConelvalordeXencontramoselvalorY,lasegundacoordenadabuscada:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
f b
2 a
c b
2
4 a=
c b
2
4 a factor
4 a c b2
4 a=
Lascoordenadasdelvrticedelaparbolavienendadapor:
2 ,
4
4
-
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78
Reflexiones
Esteejerciciomuestralafacilidadpararesolverelproblemaconlaayudadeunaherramientadeclculosimblico. Elestudiantedebeconocerlosprincipiosmatemticosquesustentan
estasolucin
Ejemplo3
A desudefinicinalgebraica,calcule laderivadadelafuncin 1 enelpuntopartir
5.Compruebesuresultadoutilizandolafuncinlmiteylafuncinderivadadadaporun
sistema computacional.
Solucin
Definimosenvalordelavariableyeldelafuncindada:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
x
x 5=
f x( ) x2
1+=
Ladefinicinalgebraicadeladerivadadeunafuncinvienedadaporlafrmula:
f x h+( ) f ( )
h
Paraencontrarsusolucinnumricaconstruiremosunatabladevaloresyobservaremos su
tendencia. Paraesto,establecemosunvalorinicialde0.001,unvalorfinalde0.0001yun
incrementoparalavariablehde0.0009:
h 0.001 0.0009, 0.0001..=
-
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79
Conlosvaloresdadosparaxyparah,calculamoslatablacorrespondienteyobservamosla
tendenciadelaexpresin:
f x h+( ) f ( )
h
x
10.001
10.001
10.001
10.001
10.001
10
10
10
10
10
Enlatablaanteriorseobservaunatendenciaalnmero10.
Aplicandolafrmuladelmitesobrelamismaexpresintenemos:
0h
f x h+( ) f x( )
h
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
Aplicandolafuncindederivacinseobtieneelmismoresultado:
Ejemplo4
Dadalasiguientefuncin , (1)encontrarsuderivada,(2)elvalorde lapendienteencualquierpuntodadodelacurva,(3)laecuacindelapendienteenelpuntoseleccionadoy(4)
graficarlaecuacinylaecuacindelapendienteenelpuntodado.
Solucin
lim
10=
xf x( )
d
d10=
-
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80
1) Encontrarladerivada
Definirlafuncin:
f x( ) x2=
Calcularladerivadasimblicamente:
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
2) Valorde lapendienteencualquierpuntodadodelacurva
Definircualquierpuntonyasignarleunvalor:
Calcularelvalordeladerivadaenelpuntondefinidoanterior(sealmacenarelvalorencontrado
enunavariablellamadam(dependiente)parasuusoposterior:
3) Ecuacindelapendienteenelpuntoseleccionado
Paraidentificarlaecuacindelapendiente,definimosunafrmuladeclculoenfuncindela
pendienteyunpunto:
Calculamoslascoordenadasdelpuntodeinterseccinentrelarectaylacurvadada:
xf x( )
d
d2=
n 1
2=
mn
f n( )d
d=
m 1=
recta pendiente P, x,( ) pendiente x P1( ) P2+=
P nf n( )
=
-
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81
P
1
2
1
4
=
ConlapendientemyelpuntoPpodemosidentificarlaecuacindelarectapendiente:
recta m P, x,( ) x 1
4=
Gradodeinclinacindelapendiente:
atan 45m( ) de=
atan m( )
4=
4) Graficade laecuacindada ylaecuacindelapendienteenelpuntodado:
Definirelrangodegraficacin:
x2 8=x1 5= y2 30=y1 5=
5 0 5
10
20
30
f x( )
recta m P, x,( )
x
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-
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82
Nota.
Enesteejerciciosemuestralaposibilidaddecrearunaplantillaparalasolucindeestetipode
problemas.Conlaplantillacreadasepuedenresolverproblemassemejantesyobservarelcambio
quesetieneenlasolucinalcambiarunparmetrodado;porejemplo,vamosaresolverelmismo
problemacambiandoelvalordelpuntodeintercepcinden=an=3:
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n 3=
mn
f n( )d
d=
m 6=
Pn
f n( )
=
P3
9
=
recta m P, x,( ) 6 x 9=
atan m( ) 80.538de=
5 0 5
10
20
30
f x( )
recta m P, x,( )
x
-
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83
Ejemplo5
Dadalacurva
2,hallar:
a) Lainclinacindelacurvacuando 1
b) LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.c) Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2 3 6
Solucin
a) Lainclinacindelacurvacuando 1
DefinimoslacurvaenfuncindeX:
f x( ) x
3
3x2 2+=
Calculamoslainclinacindelacurvaenelpunto x=1:
x 1=
xf x( )
d
d1=
Inclinacindelacurva:
atanx
f x( )
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b) LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.
LacurvaesparalelaalejeXcuandolapendienteenesepunto(s)esigualacero; sederivala
funcin,seigualaaceroyseencuentraelpuntobuscado:
c) Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2x3y=6.
d
d45 de
=
xf x( )d
d 0 solve x,
2
0
=
-
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Silarectadadaesparalelaalapendientebuscadadebetenerlamismapendiente:
Pendientedelarecta2x3y=6:
Transformamoslaecuacindadaalaforma dondemeslapendientedelarecta.
2x 3y 6 solve y, 2 x3
2=
m 2
3
2 0.75 0.5 1.75 3
5
2.5
2.5
5
x3
3x
2 2+
x
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-
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2 0.75 0.5 1.75 3
5
2.5
2.5
5
x3
3x
2 2+
2 x
32
ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
-
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ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa
BIBLIOGRAFA
Diferentesejemplospresentadosenestosapuntesacadmicoshansidotomadosdelossiguientes
libros:
LehmanC.,1959,GeometraAnaltica. EditorialUTHEA,Mxico.
OteyzaE.,LamE.,HernndezC.,Carrillo,RamrezA.,2005,GeometraAnaltica. EditorialPearson,
PrenticeHall,Mxico.