1

Cap. 8: La onda alterna.

Produccin (generacin) Transmisin (transporte) - Distribucin

El trmino alterna indica solo que la forma de onda se alterna entre dos niveles prescritos en

una secuencia establecida.

2

Caractersticas y definiciones del voltaje de c. a. senoidal.

Los voltajes de c. a. senoidales estn disponibles en varias fuentes. La ms comn es la toma

de corriente domstica normal la cual proporciona un voltaje de c. a. producido en una planta de

energa elctrica.

La mayora de las plantas elctricas utilizan como combustible agua, petrleo, carbn, gas o

fusin nuclear.

En cada caso, un generador de c. a., tambin llamado alternador, es el componente principal

en el proceso de conversin de energa.

La potencia suministrada a la flecha desarrollada por una de las fuentes de energa citadas,

hace girar un rotor (construido de polos magnticos alternos) en el interior de los devanados que estn

alojados en el estator e induce un voltaje a travs de los devanados.

Parmetros de un voltaje senoidal.

Valor instantneo: Se indica con letras minsculas en cualquier instante (e1, e2, i1, i2, etc.).

Amplitud pico: Valor mximo de la onda medido a partir de su valor promedio o medio (Em para

fuentes de voltaje, Vm para cadas de voltaje a travs de una carga).

Valor pico: Valor instantneo mximo de una funcin medido respecto al nivel de cero volts.

Valor pico a pico: Lo indican las expresiones Ep-p o Vp-p.

Parmetros de un voltaje senoidal.

Forma de onda peridica: Forma de onda que se repite de manera continua despus del mismo

intervalo.

Perodo (T): Tiempo de una forma de onda peridica (s).

Ciclo: Parte de una forma de onda contenido en un perodo.

Frecuencia (f): Cantidad de ciclos que ocurren en un segundo (Hz).

Ejemplo 1.

Para la forma de onda senoidal:

e1

Vp-p

1 1T , f

f T

3

Cul es el valor pico? (8 V) Cul es el valor instantneo a los 0.3 y a los 0.6 segundos? (-8 V y 0 V) Cul es el valor pico a pico de la forma de onda? (16 V) Cul es el perodo de la forma de onda? (0.4 s) Cuntos ciclos se muestran considerando de 0 a 1.4 segundos? (3.5 ciclos) Cul es la frecuencia de la forma de onda? (2.5 cps o 2.5 Hz)

Ejemplo 2.

Determine el perodo de una forma de onda peridica con una frecuencia de:

a) 60 Hz b) 1000 Hz

Solucin:

a)

b)

Ejemplo 3.

Determine la frecuencia de la forma de onda de la figura (tiempo en ms):

t

v

t

e

31 1T 10 s 1msf 1000

1 1T 0.01667 s 16.67 ms

f 60

(Seg)

(ms)

4

Solucin:

Segn la figura, T = (25 ms 5 ms) o (35 ms 15 ms) = 20 ms = 20 10-3 s

La forma de onda senoidal es de particular importancia puesto que se presta con facilidad para

las matemticas y los fenmenos asociados con circuitos elctricos.

La unidad de medicin para el eje horizontal puede ser el tiempo, grados o radianes. Recuerde

que:

1 rad = 57.296 = 57.3

2 rad = 360

Radianes Grados180

180Grados Radianes

Velocidad angular = distancia grados o radianes

tiempo

2

2 f rad / s , t , tt T

Ejemplo 4.

Determine la velocidad angular de una onda seno cuya frecuencia es 60 Hz.

Solucin:

2 f 2 60Hz 377 rad / s

Ejemplo 5.

Determine la frecuencia y el perodo de la onda seno si = 500 rad/s.

Solucin:

Como 2

2 f :T

O bien: 500 rads / s 1 1

f 79.58Hz, T 12.57 ms2 2 f 79.58

Ejemplo 6.

Dada = 200 rad/s, determine cunto tiempo le llevar a una onda senoidal pasar a travs de un ngulo de 90.

Solucin:

/ 2y t 0.00785 s 7.85ms

t 200 rad / s 400

Ejemplo 7.

Determine el ngulo a travs del cual una onda senoidal de 60 Hz pasar en un perodo de 5 ms.

Solucin:

3t 2 f t 2 60Hz 5 10 s 1.885rad 108

3

1 1f 50 Hz

T 20 10 s

3

2 2 rad 1 1T 12.57 ms y f 79.58 Hz

500rad / s T 12.57 10

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Formato general para el voltaje o corriente senoidal.

El formato matemtico de la forma de onda senoidal es:

m mA sen A sen t

Donde:

Am : es el valor pico de la forma de onda

: es la unidad de medicin para el eje horizontal (grados o radianes)

Para cantidades elctricas como corriente y voltaje, el formato general es:

m m

m m

i I sen I sen t

e E sen E sen t

Donde las letras maysculas con el subndice representan la amplitud y las minsculas i y e

representan el valor en un instante t.

Corriente y voltaje particular.

El ngulo al cual se alcanza un nivel de voltaje particular:

1

m

m m

e ee E sen , sen , sen

E E

As mismo, con un nivel de corriente particular:

1

m

m m

i ii I sen , sen , sen

I I

Ejemplo 8.

Si e = 5 sen , determine e cuando = 40 y = 0.8 .

Solucin:

Para = 40 : e = 5 sen 40 = 5 (0.6428) = 3.21 V

Para = 0.8 : 180

Grados 0.8 144

e = 5 sen 144 = 5(0.5878) = 2.94 V

* Ponga su calculadora en grados o en radianes.

Ejemplo 9.

Determine:

a) el ngulo al cual la magnitud de la funcin senoidal e = 10 sen 377 t es de 4 V. )

b) el tiempo al cual alcanza la magnitud.

Solucin:

a) 1 1 1

m

e 4Vsen sen sen 0.4 23.58

E 10V

Tambin se alcanza en 180 - 23.58 =156.42

b) 23.58 0.412rad180

0.412radt, t 0.00109 s 1.09ms

377 rad / s

Tambin se alcanza en: 156.42 2.73rad180

6

2.73radt 0.00724 s 7.24ms

377 rad / s

Relaciones de fase.

Hasta ahora se han visto ondas senoidales que alcanzan su mximo valor en /2 o en 3/2 o con un valor cero en 0, y 2. Pero si la onda se desplaza a la izquierda o a la derecha de 0, la expresin es:

mA sen t

Donde es el ngulo (en grados o en radianes) que la onda se desplaza siendo positivo a la izquierda y negativo a la derecha.

m mA sen t o A sen t

En t = = 0, la magnitud de m mA sen A sen

Algunas relaciones son:

cos = sen ( + 90) sen = cos ( 90)

- sen = sen ( 180)

- cos = sen ( + 270) = sen ( 90) sen (-) = - sen cos (-) = cos

Los trminos adelanto y retraso se utilizan para indicar la relacin entre dos ondas senoidales

de la misma frecuencia trazadas en el mismo sistema de ejes.

En la figura siguiente, se dice que la onda coseno va 90 delante de la curva seno y se dice que

la curva seno va 90 detrs de la curva coseno.

La relacin de fase entre dos ondas indica cul va delante o detrs y por cuntos grados o

radianes.

Coseno Seno

7

Ejemplo 10.

Cul es la relacin de fase entre las formas de onda senoidales de cada uno de los siguientes grupos?

a) v = 10 sen (t + 30), i = 5 sen (t + 70)

b) i = 15 sen (t + 60), v = 10 sen (t - 20)

c) i = 2 cos (t + 10), v = 3 sen (t - 10)

i = 2 sen (t + 100) d) i = - sen (t + 30), v = 2 sen (t + 10)

i = sen (t + 210) i = sen (t - 150)

Solucin:

a) i va 40 adelante de v; o v va 40 detrs de i.

b) i va 80 adelante de v; o v va 80 detrs de i.

c) i va 110 adelante de v; o v va 110 detrs de i.

wt

v, i

wt

v, i

8

d) i va 160 detrs de v; o v va 160 adelante de i.

Valor promedio.

El valor promedio de cualquier corriente o voltaje es el valor indicado en un medidor de c. d.

Se obtiene de la manera siguiente:

Si es una onda senoidal o alguna otra, se debe encontrar el rea mediante algn mtodo. El

rea de un pulso positivo (o negativo) de una onda seno es 2 .

wt

v, i

wt

v, i

a

suma algebraica de las reasG

longitud dela curva

Am

9

Ejemplo 11.

Determinar el valor promedio en Volts de la forma de onda de la figura siguiente:

Solucin:

Por inspeccin es bastante obvio que:

Ejemplo 12.

Determine el valor promedio en Volts de la forma de onda de la figura siguiente:

a

a

m m 00

m m m

rea A sen d A cos

A Cos Cos0 A 1 1 2A

1 ciclo

V

V

m m2A 2Asuma algebraica de las reasG 0 Vlongitud dela curva 2

10

Solucin:

Si el ciclo es 2.

Ejemplo 13.

Determinar el valor promedio en (mV) de la forma de onda de la siguiente figura.

Solucin:

El valor pico a pico es de: 16 + 2 = 18 mV

Su amplitud es 9 mV; luego, la ecuacin es: v = 9sen t - 7

Valor eficaz (rms).

En electricidad y electrnica, en corriente alterna, a la raz cuadrada del valor cuadrtico

medio (en ingls root mean square, abreviado RMS o rms), de una corriente variable se

denomina valor eficaz y se define como el valor de una corriente rigurosamente constante (corriente

continua) que al circular por una determinada resistencia hmica pura produce los mismos efectos

calorficos (igual potencia disipada) que dicha corriente variable (corriente alterna).

tv

R1 R2

m 2 102A 0G 3.18V2 2

22 2

0 0 09 sent 7 dt 9 cost 7t

G2 2

9 cos 2 cos0 7 2 0 14 43.9822G 7 mV

2 2 2

Imax = 1 A

1000 F 707 F

mV

11

De esa forma una corriente eficaz es capaz de producir el mismo trabajo que su valor en

corriente directa. Como se podr observar derivado de las ecuaciones siguientes, el valor eficaz es

independiente de la frecuencia o periodo de la seal.

Al ser la intensidad de esta corriente variable una funcin continua i(t) se puede calcular:

Donde T es el perodo.

Esta expresin es vlida para cualquier forma de onda, sea sta senoidal o no, siendo por tanto

aplicable a seales de radiofrecuencia y de audio o vdeo.

En el caso de una corriente alterna senoidal, como lo es, con bastante aproximacin, la de

la red elctrica con una amplitud mxima o de pico Im.

El valor eficaz es:

Ejemplo 14.

Determine el valor rms de la forma de onda senoidal de la siguiente figura:

Solucin:

Ejemplo 15. Determine el valor rms de la forma de onda senoidal de la siguiente figura:

m mrms rms

I EI , E

2 2

T2

rms0

1I i dt

T

mA i 12

1s

t

3

3

mrms

i 12 10 sen t Amperes

I 12 10I 8.48 mA

2 2

mA i

12

2s

t

12

Solucin:

* Observe que la frecuencia no cambi el valor eficaz comparado con el problema anterior.

Ejemplo 16.

Determine el valor rms de la forma de onda senoidal de la siguiente figura.

Solucin:

Igual al disponible en una toma de corriente domstica.

3

mrms

I 12 10I 8.48 mA

2 2

v

t

169.72 V

mrms

e 169.72 sen t

E 169.72VE 120 V

2 2

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Resumen de Frmulas.

Perodo y frecuencia 1 1

T , ff T

Radianes a grados 180

Grados radianes

Grados a radianes Radianes grados180

Velocidad angular 2

2 f rad / s , t , tt T

Formato general m mA sen A sen t

Voltaje senoidal m me E sen E sen t

Corriente senoidal m mi I sen I sen t

ngulo que alcanza 1 1

m m

e isen , sen

E I

Relaciones de fase mA sen t

Valor promedio suma algebraica de las reas

Glongitud de la curva

rea m m 0 m

0A A sen d A Cos 2A

Valor eficaz m m

rms rms

I EI , E

2 2