introduccion a las vibraciones mecanicas

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VIBRACIONES MECANICAS

ndiceIntroduccin..2 1. Vibraciones sin amortiguamiento.6 1.1. Vibraciones libres de partculas. Movimiento armnico simple.7 1.2. Pndulo simple (solucin aproximada)...9 1.3. Pndulo simple (solucin exacta)..10 1.4. Vibraciones libres de cuerpos rgidos.12 1.5. Aplicacin del principio de la conservacin de la energa14 1.6. Vibraciones forzadas..15

2. Vibraciones amortiguadas20 2.1. Vibraciones libres amortiguadas21 2.2. Vibraciones forzadas amortiguadas.24 Conclusin.26 Bibliografa27

INGENIERIA ELECTROMECANICA

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VIBRACIONES MECANICASINTRODUCCION

El aumento permanente de las potencias en mquinas, junto con una disminucin simultnea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el anlisis dinmico de las vibraciones mecnicas en mquinas e instalaciones industriales sea cada vez ms exacto. El estudio de las vibraciones mecnicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniera mecnica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecnica est relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio. Es importante conocer la clasificacin de las vibraciones mecnicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios. Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecnicas es el modelo matemtico. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen informacin errnea. El estudio de las vibraciones mecnicas tambin llamado, mecnica de las vibraciones, es una rama de la mecnica, o ms generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella. Vibracin: es el movimiento de vaivn que ejercen las partculas de un cuerpo debido a una excitacin. Existe una relacin entre el estudio de las vibraciones mecnicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado est estrechamente relacionado con la vibracin mecnica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al nmero de ciclos por segundo de vibracin. Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer caractersticas potenciales y cinticas. Ntese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo noINGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 2

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tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee caractersticas energticas cinticas, y el resorte, caractersticas energticas potenciales. Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cintica y el cambio de posicin la parte potencial. Vibracin mecnica: es el movimiento de vaivn de las molculas de un cuerpo o sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en maquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las prdidas de energa que las acompaan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseo apropiado En cualquiera que sea el caso, la excitacin es el suministro de energa. Como ejemplos de excitacin instantnea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgue de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformacin inicial de un sistema masa resorte, etc. Como ejemplo de una excitacin constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc. Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecnicas. Vibracin libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitacin instantnea. Vibracin forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitacin constante.INGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 3

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Esta importante clasificacin nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existen condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energa por medio de un pulso (energa cintica) o debido a que posee energa potencial, por ejemplo deformacin inicial de un resorte. Esta energa es disipada por el fenmeno llamado amortiguacin, en ocasiones es despreciable. Aun cuando la energa es disipada durante la vibracin, en el caso de la vibracin forzada esta descompensada por la excitacin constante. Vibracin amortiguada: es cuando la vibracin de un sistema es disipada. Vibracin no amortiguada: es cuando la disipacin de energa se puede disipar para su estudio. El amortiguamiento es un sinnimo de la perdida de energa de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento fsico llamado amortiguador. Vibracin lineal: si los componentes bsicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibracin resultante es lineal. Vibracin no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal. El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayora, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Cuando, aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rgido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibracin mecnica:


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1. Oscilacin horizontal de un cuerpo unido a un resorte (fig. a) cuando se aparta de su posicin de equilibrio y luego se suelta.

2. Oscilacin vertical de un trampoln o de una varilla (fig. b) cuando se desplaza de su posicin de equilibrio y luego se suelta.

3. Oscilacin circular de la lenteja de un pndulo suspendida por un hilo inextensible de peso despreciable (fig. c) cuando se desplaza por su posicin de equilibrio y luego se suelta.


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1. VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO


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1.1 VIBRACIONES LIBRES DE PARTCULAS. MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE.Veamos la siguiente situacin:

Cuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a un alargamiento y despus quedando nuevamente en equilibrio. En este

momento y segn el diagrama esttico:

Suponiendo ahora que la partcula se desplaza una distancia

desde su

posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva la distancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia arriba.


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Despus de esta accin, se va a generar una amplitud xm. Para el anlisis, se estudiara cuando la masa se encuentre por la posicin x, en ese momento y segn el diagrama de equilibrio: ( )

( )

El movimiento que define la ecuacin anterior se llama Movimiento Armnico Simple. Se caracteriza por que la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. La solucin general para la ecuacin , es:

Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se obtiene que:

Despus de anlisis vectoriales: ( ( ( ) ) )

p: se le llama velocidad angular; xm: es el desplazamiento mximo o amplitud y : ngulo fase.INGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 8

DINAMICAPor otro lado tenemos que: Periodo = = 2 / p Frecuencia = f = 1 / = p /2


Los valores mximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleracin son:

1.2 PNDULO SIMPLE (SOLUCIN APROXIMADA)La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniera se representan mediante un movimiento armnico simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente, se aproximan por medio de un movimiento simple, siempre que su amplitud permanezca pequea. Considera, por ejemplo, un pndulo simple,

consistente en una plomada de masa m unida a una cuerda de longitud l, que tiene la posibilidad de oscilar en un plano vertical (fig. 1.2 1a). En un tiempo dado t, la cuerda forma un ngulo con la vertical. Las fuerzas que actan sobre la plomada con su peso W y la fuerza T ejercida por la cuerda (fig. 1.2 1b). Al descompensar al vector ma de las componentes tangencial y normal, con mat dirigida hacia la derecha, esto es, en la direccin que corresponde a valores crecientes de , y observar que at = l = l , se escribe Figura 1.2 1


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Si se observa que W = mg y se divide entre ml, se obtiene Para oscilaciones de amplitud pequea, puede sustituirse sen por , expresado en radianes, y se escribe La comparacin con la ecuacin

muestra que la ecuacin diferencial

1.2 2 es la de un movimiento armnico simple con una frecuencia circular natural wn igual a ( ) . La solucin general de la ecuacin 1.2 2 puede, por

consiguiente. Expresarse como ( )

donde m es la amplitud de las oscilaciones y es el ngulo de paso. Al sustituir en la ecuacin el valor obtenido por wn, se obtiene la

siguiente expresin por el periodo de las oscilaciones pequeas de un pndulo de longitud l

1.3 PNDULO SIMPLE (SOLUCIN EXACTA)La ecuacin 1.2 3 es solo aproximada. Para obtener una expresin exacta relativa al periodo de las oscilaciones de un pndulo simple, se debe volver a la ecuacin 1.2 1. Multiplicando ambos trminos por e integrando desde una y ,

posicin inicial correspondiente a la mxima desviacin, esto es se escribeINGENIERIA ELECTROMECANICA

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DINAMICA( Si se sustituye cos ) (

VIBRACIONES MECANICAS) por una expresin similar, = 0

por 1 2 sen2 ( /2) y cos

m

resolviendo para dt, y se integra sobre un cuarto de periodo desde t = 0, hasta t = / 4, =m,

se tiene

(

)

( )

La integral en el miembro del lado derecho se conoce como una integral elptica; sta no puede expresarse en trminos de las funciones algebraicas o trigonomtricas usuales. Sin embargo, ( ) se puede escribir

(

)

(

)

Donde la integral que se obtiene, denotada comnmente por K, puede calcularse utilizando mtodos de integracin numrica. Tambin puede encontrase en tablas de integrales elpticas para diversos valores de m / 2. Para comparar el resultado que acaba de obtenerse con el de la seccin anterior, se escribe la ecuacin 1.3 1 en la forma

(

)


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1.4 VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RGIDOSUn cuerpo rgido que oscile en torno a un eje fijo (fig. 1.4 1a) y una rueda que oscile sobre una superficie plana (fig. 1.4 1b) constituyen sistemas vibrantes de un solo grado de libertad. El anlisis de estos sistemas de cuerpos rgidos es igual, en esencia al de un punto material. Primero, se dibuja el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una posicin arbitraria del cuerpo rgido. Despus, se escriben las ecuaciones del movimiento. Por ltimo, se utilizan los principios de la cinemtica para reducir las ecuaciones del movimiento a una sola ecuacin diferencial que contenga una sola variable que describa la posicin y movimiento del cuerpo rgido.

Figura 1.4 1a y 1.4 1bINGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 12

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El anlisis de las vibraciones de un cuerpo rgido o de un sistema de cuerpos rgidos que posee un solo grado de libertad es similar al de las vibraciones de una sola partcula. Una variable apropiada, como una distancia a un ngulo , se elige para definir la posicin del cuerpo o sistema de cuerpos, y se escribe una ecuacin que relacione esta variable y su segunda derivada con respecto a t. Si la ecuacin que se obtiene es de la misma forma que la ecuacin 1.2 1, esto es, si se tiene

La vibracin considerada es un movimiento armnico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibracin pueden obtenerse entonces identificando wn y sustituyendo su valor en las . En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones 1.3 1 consiste en expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas dibujando una ecuacin de diagramas de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuacin de movimiento apropiada. Recordando que el objetivo debe ser la determinacin del coeficiente de la variable x o , no la determinacin de la variable misma o de la derivada o . Al , se obtiene la frecuencia circular natural y . de la cual ecuaciones y

igualar este coeficiente a es posible determinar a


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1.5 APLICACIN DEL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIN DE LA ENERGALa ley de la conservacin de la energa constituye el primer principio de la termodinmica y afirma que la cantidad total de energa en cualquier sistema aislado (sin interaccin con ningn otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energa puede transformarse en otra forma de energa. En resumen, la ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energa elctrica se transforma en energa calorfica en un calefactor.

El principio de conservacin de la energa proporciona una forma conveniente de determinar el periodo de vibracin de un cuerpo rgido o de un sistema de cuerpos rgidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que el movimiento del sistema es un movimiento armnico simple o que puede aproximarse mediante un movimiento armnico simple. Al elegir una variable apropiada, como la distancia x o el ngulo particulares del sistema: , se consideran dos posiciones

Figura 1.5 1a y 1.5 1b


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1. El desplazamiento del sistema es mximo; se tiene T1 = 0, y V1 puede expresarse en trminos de la amplitud xm o posicin de equilibrio). 2. El sistema pasa por su posicin de equilibrio; se tiene V2 = 0, y T2 puede expresarse en trminos de la velocidad mxima mxima . Se expresa entonces que la energa total del sistema se conserva y se escribe T1 + V1 = T2 + V2. Si viendo la ecuacin que para un o la velocidad angularm

(al elegir V = 0 en la

movimiento armnico simple la velocidad mxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia circular normal wn, se encuentra que se obtiene puede resolverse para wn.

1.6 VIBRACIONES FORZADASConsideremos el sistema mecnico Amortiguador Masa Resorte

Figura 1.6 1


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Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleracin de cualquier cuerpo rgido es directamente proporcional a la fuerza que acte sobre l e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir F = ma. Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo

Figura 1.6 2 nos damos cuenta de que sobre dicha masa actan tres fuerzas: la fuerza del resorte (FR), la fuerza del amortiguador (FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, friccin, etc.). Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto del resorte como del amortiguador

donde k es la constante del resorte y b es la constante de amortiguamiento.INGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 16

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El modelo mecnico ms simple de un solo grado de libertad con excitacin externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes caractersticas equivalentes mEQ, cEQ, kEQ y la fuerza F(t), el cual se ilustra en la siguiente figura 1.6 3:

Figura 1.6 3 Luego, para este tipo de sistemas, la ecuacin diferencial que rige su movimiento est representada por: ( )

Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitacin coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrn como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, ms all de los lmites tolerables. Con respecto a la excitacin, los sistemas desbalanceados representan una excitacin de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance (me) y de la frecuencia de la excitacin ().

Adems de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitacin externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables para el anlisis de los mismos.INGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 17

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La relacin de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitacin. Se designa con el smbolo r, es adimensional y se expresa segn la ecuacin

El factor de amplificacin dinmico se designa con el smbolo y es adimensional y se expresa por: ( ) ( )

El retraso de fase se designa con el smbolo y se expresa en grados o radianes y se expresa segn la ecuacin:

(

)

En el estudio de vibraciones forzadas son muy tiles los grficos de factor de amplificacin dinmico y retraso de fase contra la relacin de frecuencias. Para el caso de sistemas que presentan desbalance, es til graficar r2 * K contra r debido a que la excitacin depende de la frecuencia de operacin del sistema.

Figura 1.6 4 Factor de amplificacin vs Relacin de frecuencias para diferentes constantes de amortiguacinINGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 18

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Figura 1.6 Retraso de fase vs Relacin de frecuencias para diferentes constantes de amortiguacin. Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posicin fija que tenia inicialmente. Vibracin mecnica, oscilacin, movimiento peridico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una mquina. Una forma simple de definir vibracin.


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2. VIBRACIONES AMORTIGUADAS


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2.1 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASEn las situaciones anteriores se notaban que las vibraciones estaban libres de amortiguamientos. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas, especialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento de especial inters es el amortiguamiento viscoso causado por la friccin fluida a velocidades bajas y moderadas. Este tipo de amortiguamiento est caracterizado por el hecho de que la fuerza de friccin o rozamiento es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo en movimiento. Para el anlisis supondremos que un cuerpo est unido al mbolo de un amortiguador. La magnitud de la fuerza de friccin ejercida sobre el mbolo por el fluido que rodea al mismo es igual a Cx`, donde C es una constante expresada en N.s/m 0 Lb sg/ft conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso.

Figura 2.1 1 La ecuacin del movimiento es: ( )


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Sustituyendo a x = et y dividiendo entre et escribimos la ecuacin caracterstica: m2 + C + k = 0 De la solucin de la ecuacin anterior obtenemos races: Donde p es la frecuencia circular del sistema en ausencia de amortiguacin.

Figura 2.1 2 Podemos distinguir tres casos de amortiguamiento, dependiendo del valor del coeficiente C: 1. Sobreamortiguamiento: C > Cc, las races de 1 y 2 son reales y distintas; la solucin general de la ecuacin diferencial del movimiento es:

Esta solucin corresponde a un movimiento no vibratorio. Como 1 y 2 son negativas, x tiende a cero conforme t aumenta; pero el sistema regresa a su posicin de equilibrio despus de un tiempo finito.


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2. Amortiguamiento critico: C = Cc, la ecuacin caracterstica tiene una solucin = - p y la solucin general es: ( )

El movimiento obtenido es nuevamente no vibratorio. Pero con la peculiaridad que estos sistemas regresan a su posicin de equilibrio en el tiempo ms corto posible sin oscilaciones.

3. Subamortiguamiento o amortiguamiento dbil: C < Cc las races de son complejas y conjugadas y la solucin general es la forma:( )

( ( ) ]

)

Donde q est definida por la relacin: [

Donde la constante C / Cc se conoce como factor de amortiguamiento. Podemos escribir una solucin general para: m + C + kx = 0( )

(

)

El movimiento descrito es vibratorio con amplitud decreciente. Aunque este movimiento en realidad no se repite, el intervalo de tiempo = 2p / q, correspondiente a dos punto consecutivos de la curva toca a una de ellas en los limites mostrados, se llama comnmente Perodo de la Vibracin Amortiguada.

Figura 2.1 2INGENIERIA ELECTROMECANICA Pg. 23

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2.2 VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADASSi el sistema considerado en la seccin anterior est sujeto a una fuerza peridica P de magnitud P = Pm sen wt, la ecuacin de movimiento se transforma en:

La solucin general se obtiene sumando una solucin particular a la funcin complementaria:

La funcin complementaria est dada por los tres casos vistos anteriormente; el inters est centrado en la vibracin estacionaria representada por la solucin particular:

(Despus de varios clculos:

)

(

)

(

)

(

)

Recordando que p2 = k / m, donde p es la frecuencia circular de la vibracin libre no amortiguada y de Cc = 2 mp, escribimos:


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La formula anterior expresa el factor de amplificacin en trminos de la razn de frecuencia w / p y el factor de amortiguamiento C / Cc. Puede utilizarse para determinar la amplitud de la vibracin estacionaria producida por una fuerza aplicada de magnitud Pm sen wt o por un movimiento producido por el soporte m sen t. La formula de la tangente define en trminos de los mismos parmetros la m diferencia de fase entre la fuerza aplicada o el movimiento producido por el soporte y la vibracin estacionaria resultante del sistema amortiguado.

Figura 2.2 1


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VIBRACIONES MECANICASCONCLUSIN

El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace ms o menos 40 aos, la temtica de vibraciones mecnicas se constituy en parte integral de la formacin de ingenieros mecnicos en los pases industrializados. El fenmeno de las vibraciones mecnicas debe ser tenido en cuenta para el diseo, la produccin y el empleo de maquinaria y equipos de automatizacin. As lo exige un rpido desarrollo tecnolgico del pas. Aunque este artculo se enfoca hacia las vibraciones en sistemas mecnicos, el texto y los mtodos analticos empleados son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecnicos.

Las vibraciones mecnicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitacin, b) la disipacin de energa, c) la linealidad de los elementos y las caractersticas de la seal.

Dependiendo de la excitacin

Vibracin Forzada Vibracin libre

Una Vibracin libre es cuando un sistema vibra debido a una excitacin del tipo instantnea, mientras que la vibracin forzada se debe a una excitacin del tipo permanente.

Esta importante clasificacin nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energa por medio de un impulso (energa cintica) o debido a que posee energa potencial, por ejemplo deformacin inicial de un resorte.


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DINAMICADependiendo de la disipacin de energa


No amortiguada Amortiguada

El amortiguamiento es un sinnimo de la perdida de energa de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminucin del desplazamiento de vibracin. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la friccin, o bien, o como un elemento fsico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibracin amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilacin de un sistema se ve afectada por la disipacin de la energa, pero cuando la disipacin de energa no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilacin entonces la vibracin es del tipo no amortiguada.

BIBLIOGRAFAMecnica Vectorial para Ingenieros DINMICA 7 Edicin E. Russell Johnston, Jr. Ingeniera Mecnica DINMICA 2 Edicin William F. Riley and Leroy D. Sturges http://www.wikipedia.org http://www.monografias.com http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/en ergia.htm http://www.vagos.es


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introduccion a las vibraciones mecanicas

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