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Introducción a la Lógica Difusa
Tomás Arredondo Vidal
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Introducción a la lógica difusa
Contenidos
• Conceptos y definiciones básicos de la lógica difusa
• Sets difusos y funciones de membresía• peraciones sobre sets difusos• !nferencia usando lógica difusa
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Introducción a la lógica difusa
Introducción
• "or e#emplo se considera a una persona como alta simide mas de 1$%&mts' pero de igual forma se consideraa una persona como alta si mide 1$()))mts
• *sta consideración no e+iste en la logica tradicional ,ue
utili-a demarcaciones estrictas para determinarpertenencia en sets.• *#emplo. A es el set clásico de personas altas
A 0 + + 2 1$%3na persona ,ue mide 1$()))))mts es ba#a5
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Introducción a la lógica difusa
Introducción (cont)
• 6a logica difusa es una e+tension de la logica tradicional78ooleana9 ,ue utili-a conceptos de pertenencia de setsmas parecidos a la manera de pensar :umana• *l concepto de un subset difuso fue introducido por 6$A$;ade: en 1)alorese+actos como por e#emplo la lógica binaria ,ue usa>alores de 1 o & para sus operaciones$
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Introducción a la lógica difusa
Introducción (cont)
• 6a lógica difusa no usa >alores e+actos como 1 o & perousa >alores entre 1 y & 7inclusi>e9 ,ue pueden indican>alores intermedios 7*#$ &' &$1' &$?' @'&$)'1$&' 1$1' @et• 6a lógica difusa tambi n incluye los >alores & y 1entonces se puede considerar como un superset oe+tensión de la lógica e+acta$
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Introducción a la lógica difusa
Contenidos
• Conceptos y definiciones básicos de la lógica difusa
• Sets difusos y funciones de membresía• peraciones sobre sets difusos• !nferencia usando lógica difusa
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Introducción a la lógica difusa
Set difuso
• Asumiendo ,ue B es un set' un set difuso A en B es
asociado con una función característica. A7+9 A7+9. B D2 E&'1F
• 6a función característica es tipicamente denominadafunción de pertenencia 7members:ip function9$
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Introducción a la lógica difusa
Set difuso (cont)
• Si B es una colección de ob#etos en el cual +∈ B' un set
difuso es un mapa G7+9 . B D2 E&'α F' en el cual a cada>alor + la función G7+9 le asigna un numero entre los>alores & aα $
• *l set difuso es el set de pares ordenados. A 07+' A7+99 +∈ B3
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Introducción a la lógica difusa
Set difuso (cont)
*#emplos discretos y continuos. A 07&' &$19' 71' &$=9' 7?' 19' 7H' &$19' 74'&$%938 0&$1/&' &$=/1' 1/?' &$1/H' &$%/43C 07+' C7+9 +∈ B3' C7+9 1 / 71 I 7+/1& D =949
B 0&' 1' ?' H' 4' ='
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Introducción a la lógica difusa
Función de pertenencia (cont)
• *#. G7+9 corresponde al ni>el de frío medido en la
>ariable +
D4& D?& & 1& ?& H&
1
&
G7+9
+ 7Co9
fríomas o menos frío
No tan frío
Jefiniti>amente no frío
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Introducción a la lógica difusa
Un set exacto (crisp set) :
s7+9
+
S . B D2 0&'13
S7+9 1 si + es un miembro de S
S7+9 & si + no es un miembro de S
N
funcióncaracterística
par binario
1
}0:{ N S X S ≤≤⊂
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Introducción a la lógica difusa
Un set difuso (fu ! set):
s7+9
+
S . B D2 E&'1F' & O S7+9 O 1
S7+9 & si + es &P miembro de S'$$$' S7+9 &$1& si + es 1&P miembro de S'$$$'S7+9 &$?& si + es ?&P miembro de S'$$$'S7+9 1 si + es 1&&P miembro de S
N
función depertenencia
inter>alo de >alores entre cero y uno 7inclusi>e9
1
}0:{ N S X S ≤≤⊂
subset
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Introducción a la lógica difusa
"tros sets difusos (cont):
s7+9
+
s7+9
+
1
1
Qay muc:as posibilidades de como representar un set difuso$
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Introducción a la lógica difusa
#ariables Ling$ísticas
Se usan >ariables lingMísticas para anali-ar y modelar unsistemas.
*#. Supongamos ,ue B KedadL' se pueden definirset difusos. K#o>enL' KadultoL' KancianoL
1$&
&$=
&
%
& ?= =& (= 1&&
&(x)
#o>en adulto anciano
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia
≤
≤≤−−
≤≤≤≤−
−≤
=
xd
d xccd xd
c xb
b xaaba x
a x
d cba xl trapesoida
,0
,
,1
,
,0
),,,;( µ
• Gunción de pertenencia trape-oidal.
*#. trapesoid 7+R 1&' ?&'
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• Gunción de pertenencia triangular.
*#. triangle 7+R ?&'
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• Gunción de pertenencia llamada un singleton' tiene un >alornico cuando + a 7es como una función delta de Jirac9.
*#. singleton 7+R
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• ausiana2
21
),;(
−−= σ σ µ
c x
ec xGausiana
*#. ausiana 7+R H' 19
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• ausiana2
21
),;(
−−= σ σ µ
c x
ec xGausiana*#. ausiana 7+R H' y9
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• 8ell b Bell a
c xcba x
2||1
1),,;( −+= µ
*#. 8ell 7+R ?' 1' H9
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• 8ell b Bell a
c xcba x
2||1
1),,;( −+= µ
*#. 8ell 7+R 1' y' H9
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• 8ell b Bell a
c xcba x
2||1
1),,;( −+= µ
*#. 8ell 7+R y' 1' H9
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• Sigmoide.)(1
1),,;( c xae
cba x s i g m f −−
+=
d i s p ' s i g m
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
• 6U.≥
−
<
−
=c x
c x F
c x xc
F
c x L R
R
L
,
,),,;(
β
α β α
c * +
a * ,b - ,
c . +
a - ,b / ,
d i f f l r m
F x x L ( ) m a x ( , )= −0 1 2 F x x R ( ) e x p ( )= − 3
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia (cont):
"ara ,ue un sistema difuso sea adaptati>o es util el podercalcular los deri>ados de las funciones de pertenencia$
6os deri>ados toman un rol central en la adaptación de unsistema difuso 7>er Wang ?$4$H9
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Introducción a la lógica difusa
Funciones de pertenencia en . o mas dimensiones:
• 6as funciones de pertenencia tambi n pueden ser de>arias dimensiones C 07+' y' C7+' y9 +∈ B' y ∈ X3
• *sto es muc:as >eces necesario ya ,ue puede ,uenuestra función de pertenencia tenga >arios inputs
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Introducción a la lógica difusa
con0exmf(m
• 4n set difuso A es con0exo si para cual,uier +1'+? ϵ By λ en E&' 1F'
µ λ λ µ µ A A A x x x x ( ( ) ) min( ( ), ( ))1 2 1 21+ − ≥
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1lgunas definiciones de los sets difusos (cont):
Jefinición. 6a medula 7o core9 de un set A son todoslos elementos con >alor de pertenencia 1$
medula7A9 0+ A7+9 1 and +∈ B3
Jefinición. Si A y 8 son dos fu--y sets en B$ A es un
subset de 8 si 87+9≥ A7+9 para todos los >alores +
∈
B$Jefinición. Si A y 8 son dos fu--y subsets de B$ A 8 si
A es un subset de 8 y 8 es un subset de A$
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Introducción a la lógica difusa
Definiciones de los sets difusos (cont):
Jefinición. *l 2le0el set de A es el crisp set en B
consistente de los elementos en B para el cual A7+9≥ α Aα 0+ A7+9≥ α ' + ∈ B3
*+ponentes. Jado ,ue B 0a' b' c' @3$
Si A 0+1/a' +?/b' $$$' 3 entonces An 0+1n/a' +?n/b' $$$' 3
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Introducción a la lógica difusa
Definiciones de los sets difusos (cont):
3 F
%
+
-
, C o r e
C r o s s o 0 e r p o i n t s
S u p p o r t
2 c u t
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Contenidos
• Conceptos y definiciones básicos de la lógica difusa
• Sets difusos y funciones de membresía• peraciones sobre sets difusos• !nferencia usando lógica difusa
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Introducción a la lógica difusa
"peraciones en sets difusos:
Jefinición. Asumiendo ,ue A y 8 son dos sets difusosde B' la union de A y 8 es un set difuso C A ∪ 8'en el cual C7+9 Ya+EA7+9' 87+9F
Jefinición. Asumiendo ,ue A y 8 son dos sets difusos deB' la intersección de A y 8 es un set difuso C A ∩ 8'
en el cual C7+9 YinEA7+9' 87+9FJefinición. *l complemento relati0o de 8 con respecto a Aes * A 8 en el cual *7+9 Ya+E&' A7+9 87+9F
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Introducción a la lógica difusa
" p e r a c i o n e s e n s e t s d i f u s o s ( c o n t ) :
s u b s e t m
f u s e t o p m
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Introducción a la lógica difusa
N aa
s a s ( ) =
−
+
1
1
Complemento•Ue,uerimientos.
8orde. N7&9 1 and N719 &
Yonotonicidad. N7a9 2 N7b9 if a Z b !n>olución. N7N7a99 a•Jos tipos.
Sugeno[s complement.
Xager[s complement. N a aw w w( ) ( ) /= −1 1
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Introducción a la lógica difusa
Complemento
N aa
s a s ( ) =
−
+
11
N a aww w( ) ( ) /= −1 1
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Introducción a la lógica difusa
4 x t e n s i o n e s c i l í n d r i c a s :
5 a s e s e t 1 C ! l i n d r i c a l 4 x t o f 1
c ! l ' e x t m
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Introducción a la lógica difusa
6 r o ! e c c i o n e s :7 8 o 2 d i m e n s i o n a l3 F
6 r o 9 e c t i o no n t o %
6 r o 9 e c t i o no n t o
µ R x( , ) µ µ
A
R
x
x
( )
m a x ( , )
= µ
µ
B
x R
x
( )
m a x ( , )
=
p r o 9 e c t m
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Introducción a la lógica difusa
"peraciones en sets difusos (cont):
Conmutati>idad. A ∪ 8 8 ∪ A
A ∩ 8 8 ∩ A\dempotencia.
A ∪ A A8 ∩ 8 8
Asociati>idad A ∪ 78 ∪ C9 7A∪ 89 ∪ C A∪ 8 ∪ C A ∩ 78 ∩ C9 7A∩ 89 ∩ C A∩ 8 ∩ C
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Introducción a la lógica difusa
"peraciones en sets difusos (cont):
Jistribución A ∪ 78 ∩ C9 7A∪ 89 ∩ 7A∪ C9 A ∩ 78∪ C9 7A∩ 89∪ 7A∩ C9Nulo
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ Unión e Intersección de X (A es un subset de X)
A ∪ B = X A ∩ B = A
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Introducción a la lógica difusa
49emplos (cont):
A 0$1/a'$1/b' $?/c' &/d' 1/e3
8 0$1/a' &/b' $?/c' &/d' $)/e3
C A∪ 8 Ya+EA7+9' 87+9F 0$1/a' $1/b' $?/c' &/d' 1/e3
C A∩ 8 YinEA7+9' 87+9F 0$1/a' &/b' $?/c' &/d' $)/e3
1 A 0$)/a' $)/b' $%/c' 1/d' &/e3A
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Introducción a la lógica difusa
49emplos (cont):
] C 7+9 ] A 7+9∩ ] 8 7+9 min7 ] A 7+9' ]8 7+9 9
&
1
&
1
+
+
c7+9
a7+9 b7+9
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Introducción a la lógica difusa
49emplos (cont):
] C 7+9 ] A 7+9∪ ] 8 7+9 ma+7 ] A 7+9' ]8 7+9 9
&
1
+
c7+9
a7+9 b7+9
&
1
+
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Introducción a la lógica difusa
Intersección de sets difusos (1 ∩ 5) :
6a intersección de dos sets difusos A y 8 se engeneral se especifica por una función T.E&'1F× Τ:[0,1] ^ [0,1] .
*stas operaciones se efect an a tra> s de un operador ,ueopera sobre los grados de pertenencia de los con#untos .
A∩Β 7+9 T7 A7+9' 87+99 A7+9 EopF 87+9
*n el cual EopF es un operador binario$
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Introducción a la lógica difusa
Intersección de set difusos (1 ∩ 5) (cont) :
!ntersección o 72;orma enerali-ado• Ue,uerimientos.
8orde. T7&' &9 &' T7a' 19 T71' a9 a
Yonotonicidad. T7a' b9 Z T7c' d9 if a Z c and b Z d Conmutati>idad. T7a' b9 T7b' a9 Asociati>idad. T7a' T7b' c99 T7T7a' b9' c9
• *#emplos. Yinimum. Tm7a' b9 Algebraic product. Ta7a' b9 8ounded product. Tb7a' b9
Jrastic product. Td7a' b9
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Introducción a la lógica difusa
Intersección de sets difusos (1 ∩ 5) (cont) :
Cuatro operadores TDnorm. Tmin7a'b9 min7a' b9 A∩ 8 7minino9
Tap7a'b9 ab 7producto algebraico9 Tbp7a'b9 &∪ ( aI bD19 7producto limitado9
Tdp7a'b9 a if b 1' 7producto drastico9
b if a 1' & if a'b Z 1
f
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Introducción a la lógica difusa
3 i n i m u m :7 m ( a < b )
1 l g e b r a i c
p r o d u c t :7 a( a < b )
5 o u n d e d
p r o d u c t :7 b( a < b )
D r a s t i c
p r o d u c t :7 d( a < b )
t n o r m m
d ó l ló d f
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Introducción a la lógica difusa
Unión de sets difusos (1 ∪ 5) :
nion o 72conorm 7SDnorm9 satisface S7$ ' $9. 8orde. S71'19 1' S7&'a9 S7a'&9 a
Yonotonicidad. S7a'b9 O S7c'd9 if a O c and b O d Conmutati>idad. S7a'b9 S7b'a9 Asociati>idad. S7a'S7b'c99 S7S7a'b9'c99
I d ió l ló i dif
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Introducción a la lógica difusa
Unión de sets difusos (1 ∪ 5) (cont) :
Cuatro operadores TDconorm. S7a'b9 ma+7a' b9 A∪ 8 7má+imo9 S7a'b9 aIbDab 7suma algebraico9 S7a'b9 1∩ (a I b9 7suma limitada9 S7a'b9 a if b &' 7suma drastica9 b if a &'
1 if a'b 2 &
I d ió l ló i dif
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Introducción a la lógica difusa
3 a x i m u m :S m ( a < b )
1 l g e b r a i cs u m :S a( a < b )
5 o u n d e ds u m :S b( a < b )
D r a s t i cs u m :S d( a < b )
t c o n o r m m
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I t d ió l ló i dif
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Introducción a la lógica difusa
72norma ! 72conorma 6arametri adas
• Varios in>estigadores :an propuesto >ersionesparametri-adas de TDnorma y TDconorma Xager Sc:_ei-er and S`lar Jubois and "rade Qamac:er Gran`
Sugeno Jombi
I t d ió l ló i dif
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Introducción a la lógica difusa
6rincipio de 4xtensión
• *l principio de e+tensión nos da un mecanismo básico parae+tender las e+presiones matemáticas de sets e+actos aldominio difuso$
• *ste principio generali-a la idea de un mapeo punto a puntode una función en sets tradicionales y f7+9 a un mapeo entrecon#untos difusos$
I d ió l ló i dif
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Introducción a la lógica difusa6rincipio de 4xtensión (cont)
• Si f es una función X f7B9 y A es un set difuso sobre Bdefinido como. A 0 A7+19/+1' A7+?9/+?' $$$ ' A7+n9/+n3
• *ntonces el principio de e+tensión indica ,ue la imagen delset A ba#o la función f7 9 es el set difuso 8.
8 f7A9 087y19/y1' 87y?9/y?' $$$ ' 87yn9/yi3
en el cual yi f7+i9 y 87y9 ma+ A7+9
Introducción a la lógica difusa
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Introducción a la lógica difusa
6rincipio de 4xtensión (cont)
*#emplo.
Si A 0&$1/D?' &$4/D1' &$%/&' &$)/1' &$H/?3y f7+9 +? D H
*ntonces aplicando el principio de e+tensión tenemos ,ue.8 0&$1/1' &$4/D?' &$%/DH' &$)/D?' &$H/13
0&$%/DH' 7&$4∪ &$)9 /D?' 7&$1∪ &$H9/13 0&$%/DH' &$)/D?' &$H/13
Introducción a la lógica difusa
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Introducción a la lógica difusa
=elaciones Difusas
• Uelaciones difusas binarias son mapas difusos en B × X,ue mapean cada elemento en B × X a una sola funciónde pertenencia 7entre & y 1 inclusi>e9$
• 6as relaciones difusas no solo pueden ser binarias si no,ue pueden ser generali-adas a n >ariables
Jefinición. *l producto Cartesiano de dos sets e+actos7B× X9 es un set consistente de todos los pares 7+' y9 donde +∈ B' y ∈ X$
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=elaciones Difusas 5inarias (cont)
Jefinición. na relación difusa sobre un par B' X se definecomo el set difuso del producto Cartesiano B × X.
U 0 77+ ' y9' U7+' y99 7+ ' y9∈B × X 3
*#emplo. Uelación difusa discretaSi B 0a' b' c3' X 01' ?3' entonces
A 0&$1/7a' 19' &$
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=elaciones Difusas 5inarias (cont)
Jefinición. Si e+isten un par de sets difusos A y 8 suproducto cruce 7cross product9 Cartesiano A× 8 es unarelación difusa T sobre el set A × 8' T A × 8 donde
T7+' y9 YinEA7+9' 87y9F
*#emplo.Si A 01/a' &$
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=elaciones Difusas 5inarias (cont):
*#. B. >ariable ,ue indica el tama o de una casa' X. >ariable ,ueindica el precio de una casaTama o7+9. tama o atracti>o para familia de cuatro personas 7mts9
Tama o7+9 ausiana 7+R 1&&R ?9
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=elaciones Difusas 5inarias (cont):
*#. B. >ariable ,ue indica el tama o de una casa' X. >ariable ,ueindica el precio de una casa'"recio7y9. precio atracti>o de una casa para una familia de cuatro
personas 7millones9
"recio7y9 ausiana 7yR H&R 19
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=elaciones Difusas 5inarias (cont):
*#. J 07+' y' J 7+' y9 +∈ B' y ∈ X3 indica casas de Ktama oatracti>o para familia de cuatro personasL ANJ Kprecio atracti>de una casa para una familia de cuatro personasL
J al ser el producto de dos funciones de pertenencia sedenomina KcompuestaL .
J7+' y9
T7+9
"7y9
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=elaciones Difusas 5inarias (cont)
• *s posible e+presar la relación difusa en un matri+ U de
U7+' y9$
*#emplo.Si B 0+1' +?' +H3' X 0y1' y?3' entonces U .
R=[ x! " ! x! " #
x# " ! x# " # x$ " ! x$ " #]
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Composición de =elaciones Difusas
• 6as relaciones difusas se usan en sistemas de inferenciadifusa 7e$g$ if B A and X 8 t:en ; C9
• "ara combinar las relaciones difusas se usan operacionesde composición ma+Dmin propuesta por ;ade: ma+Dproduct
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Composición de =elaciones Difusas (cont)
*n general se tiene ma+D en la cual es un operador deTDnorma.
U1 U?7+' -9 ma+y E U17+' y9 U?7y' -9F
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=eglas IF27>4; difusas:
na regla !GDTQ*N difusa es de la forma
!G + is A TQ*N y is 8
*n la cual A y 8 son >ariables lingMísticas definidas por setsdifusos en los uni>ersos B e X$ 6a parteIF + is 1 es llamadael antecedente o premisa' mientras la parte 7>4; y is 5 esla consecuencia o conclusión*#emplos.• !f presión es alta' t:en >olumen es pe,ue o$• !f carretera esta mo#ada' t:en mane#ar es peligroso$
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Ueglas !GDTQ*N pueden usar >ariables difusas linguisticas
*#emplos.
c o m p l 0 m
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=eglas IF27>4; difusas (cont):
Si se ,uiere utili-ar la regla !G + is A TQ*N y is 8 7A ^89entonces se puede definir la regla como una relación binariadifusa U en el espacio B × X$
U puede ser >isto como un set difuso con una función depertenencia.
U7+' y9 f7 A7+9'87y99
6a función de implicación difusa f con>ierte los grados depertenencia indi>iduales a grados de pertenencia de 7+' y9$
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=eglas IF27>4; difusas (cont):
8asado en la interpretación de 7A ^89 KA implies 8L oKA implica 8L 7N T A U 89se pueden utili-ar otras funciones.
8ounded sum Ya+Dmin composition 8oolean fu--y implicación
ougen s fu--y implication 7Wang$ p
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g
3aneras de Interpretar =eglas IF27>4; difusas:
1 c o u p l e d 8 i t ? 5
A
B
x
!1 c o u p l e d 8 i t ? 5
A
B
x
!
A
B
1 e n t a i l s 5!
x A
B
1 e n t a i l s 5!
x
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g
1 entails 5 (not 1 or 5):
f u i m p m
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g
=a onamiento difuso:
*l Yodus "onens en reglas de lógica tradicional indica ,uepodemos inferir la >erdad de la proposición 8 basados en la>erdad de A y en la implicación A ^ 8.
premisa 1 7input9. + es Apremisa ? 7regla9. if + es A t:en y is 8'consecuencia. y es 8
*l proceso de ra-onamiento difuso utili-a el Yodus "onensenerali-ado 7 Y"9.premisa 1 7input9. + es Apremisa ? 7regla9. if + es A t:en y is 8'
consecuencia. y es 8
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g
=a onamiento difuso (cont):
Jefinición. =a onamiento aproximado ' si A' A ' y 8 son setsdifusos de B' B e X respecti>amente$ Asumiendo ,ue 7A ^89se e+presa como una relación U en B × X$
*ntonces el set difuso inducido por + es A y la regla difusaif + is A t:en y is 8 se define como.
8 7y9 ma++ minE A7+9' U7+'y9F
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g=a onamiento difuso (cont):Si 8 7y9 ma++minE A7+9'&= (x
1
%
81 @ 5
x i s 1 @
5 @1 @
% ! i s 5 @
7 2 n o r m
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=a onamiento difuso (cont):
*n casos con mas >ariables usando Y".premisa 1 7input9. + is A and y is 8premisa ? 7regla9. if + is A and y is 8 t:en - is C'consecuencia c is C
1 5 72norm
%
8
1@ 5@ C.
A
C@
A%
1@ 5@
x is 1 @ ! is 5 @ is C @
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=a onamiento con dos reglas: *n general se toma como launión de las relaciones difusas correspondiente a las reglas$
"remisas. + is A[ and y is 8[Uegla 1. if + is A1 and y is 81 t:en - is C1Uegla ?. if + is A? and y is 8? t:en - is C?Conclusión. - is C[
1 - 5 -
1 . 5 .
72norm
%
%
:
:
8 -
8 .
1 @
1 @ 5 @
5 @ C -
C .
A
A
C @
A% :
1 @ 5 @
x is 1 @ ! is 5 @ is C @
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Inferencia usando lógica difusa:
• 6a computación usando inferencia basada en lógica difusaes un m todo de computo popular
• Qay muc:as aplicaciones en áreas como control'clasificación' sistemas e+pertos' robótica y reconocimientode patrones
• *l sistema de inferencia difuso se conoce por muc:osnombres como. sistema difuso de reglas' sistema e+pertodifuso' modelo difuso' lógica asociati>a difusa' controladordifuso
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Sistemas de inferencia usando lógica difusa:
• *l sistema de inferencia difuso consiste de trescomponentes conceptuales.
reglas difusas' diccionario 7con funciones de pertenencia9' mecanismo de raciocinio
!nput Ueglas utput
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Sistemas de inferencia usando lógica difusa (cont):
• *sto se denomina fu--ificacion y defu--ificacion$
inpute+acto
fu--ificador controladordifuso defu--ificador
outpute+acto
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49emplo: Controlador 3amdani usando lógica difusa• sando la lógica difusa y la teoría de ra-onamiento
apro+imada introducida por ;ade: es posible crear uncontrolador basado en esta logica
• 6a forma tradicional de las leyes de control conautorregulación 7feedbac`9 es.u7`9 f7e7`9' e7`D19'$$$'e7`D>9' u7`D19' u7`D?9' $$$' u7`
• e es el error entre el punto de control _ y el output y• C es el controlador y S es el sistema siendo controlado
• 6a idea es dise ar C ,ue minimi-a el error 7e _Dy9 en eltiempo_ e
C Su y
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Controlador de lógica difusa (cont):• *l controlador de lógica difuso 7Gu--y 6ogic Controler9
utili-a leyes de control consistentes en reglas lógicas!G$$$TQ*N en con#unto con funciones de pertenenciadifusas para controlar un proceso y minimi-ar el error
• 6os con#untos y los operadores difusos son los su#etos ypredicados de la lógica difusa$
• 6as reglas lógicas !GDTQ*N son usadas para formularlas e+presiones condicionales ,ue usan la lógica difusa
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) :*l Yamdani G6C fue propuesto por Yamdani y Assilian en1)(4' este G6C utili-a el error e7`9 y el cambio de error∆e7`9 para producir cambios en la función de output delcontrolador (puede ser 7`9 o∆ 7`99
• e7`9 _7`9 y7`9• ∆e7`9 e7`9 e7` 19• u7`9 G7e7`9'∆e7`99 o
• ∆u7`9 G7e7`9'∆e7`99e7`9 se define como el punto de control menos el output. Si e7`9 2 & entonces _7`9 2 y7`9 Si ∆e7`9 2 & entonces e7`9 2 e7`D19
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :
&$ !f e positi>o and ∆e apro+ -ero t:en ∆u positi>o1$ !f e negati>o and ∆e apro+ -ero t:en ∆u negati>e
?$ !f e apro+ -ero and ∆e apro+ -ero t:en ∆u apro+ -ero
H$ !f e apro+ -ero and ∆e positi>o t:en ∆u positi>o4$ !f e apro+ -ero and ∆e negati>o t:en ∆u negati>o
1
D$= & $= 1D1
negati>o -ero positi>o
Gunciónes de pertenencia 7e9' 7∆e9' 7u9.
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :• tra manera de definir las reglas del controlador es usando una matri-.
P P Z P
P Z N Z
Z N N N
P Z N
e7`9
∆e7`9
Valores de la función de
pertenencia de input e7`9
Valores de la función depertenencia de input ∆e7`9
Valores de la función depertenencia de output ∆u7`9
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :
Algoritmo del Yamdani G6C.1$ sando el >alor del antecedente de cada una de las reglas 7!G$$$9?$ Jeterminar la consecuencia 7TQ*N $$$9 de cada una de las reglasH$ Agregar todos los outputs de las reglas para obtener el output de
todo el sistema 7este es una o mas funciónes de pertenenciadifusa9' tambi n se llama determinar el grado de disparo de todaslas reglas 7degree of firing9
4$ Jefu-ificar el output para obtener un >alor e+acto' se pueden usar>arios m todos como el C A 7centroide9 o el Y Y
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :Jefu-ificacion usando el centroide.
*n forma discreta.
∫ ∫
= dx x f xdx x f
Centroide )(
)(
∑∑
=
==n
ii
n
iii
x f
x x f Centroide
0
0
)(
)(
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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :*#emplo de defu-ificacion usando el centroide.
*n forma discreta con 1& muestras.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
++
++= 10
1.6
1.6
1.4
1.4
0
10
1.6
1.6
1.4
1.4
0
8.10
5.0
8.10
5.0
dxdx xdx
xdx xdx x
xdx
Cg
8.8.8.)10/6()10/5(5.5.5.5.5.8.98.88.7)10/6(6)10/5(55.45.35.25.15.0
+++++++++×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=Cg
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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler):7*l siguiente e#emplo pro>iene del sitio _eb de la Seattle Uobotics Society9• *ste e#emplo es un sistema de control de temperatura$$$
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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont):
*n el e#emplo se ,uiere minimi-ar el error entre el Cmd y Temp• *rror. Cmd D Temp 7I cold' D :ot9• d*/dT. 7I cooling' D :eating9• ut. Qeat' N CQAN * or C 6
Variables linguisticas usadas en el e#emplo. N negati>e error or errorDdot input le>el 7input negati>o9 ; -ero error or errorDdot input le>el 7input -ero9 " positi>e error or errorDdot input le>el 7input positi>o9 Q Qeat output response 7output es calentar o KQeatL9 D No C:ange to current output 7output es ningun cambioo KNo C:angeL9
C Cool output response 7output es enfriar o KCoolL
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49emplo (cont): e(B) 2- ,F (>ot)< e(B) . + F (Cooling)
Gunción de pertenencia del input e 7error9.e7`9 D1$& G7Q T9^ e neg7D19 &$=' e-ero7D19 &$=y epositi>e7D19 &
Gunción de pertenencia de input ∆e.∆e7`9 I?$= G7C 6!N 9 ^ ∆enegati>e7?$=9 &'∆e -ero7?$=9 &$= y ∆epos7?$=9 &$=
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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont):
6asos - ! .: 4ncontrar ni0el de disparo ! output en todas las reglas e ! e
6aso : "btener funciones del pertenencia del output:E4rrorE selecciona reglas -
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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont):
"aso 4. Jefu-ificar usando algoritmo de Centroidepara obtener un >alor e+acto ,ue es el pró+imo outputpara calentar o enfriar el ambiente controlado$$$
Calcular fuer-a 7strengt:9 de las reglas usando Uoot Sum S,uared 7USS9.Qeat 7U
H
? I U<
? I U%
? I U)
?91/?
7&? I &? I &$=? I &?91/? &$= 7Qeat9NoDC:g 7U=
?91/? 7&$=?91/? &$= 7No C:ange9Cool 7U1
? I U ?? I U4
? I U(?91/? 7&? I &? I &$=? I &$=?91/? &$(&( 7Cool9
sando USSDCentroide."U76U7 ( :eat center :eat strengt: I -ero center -ero strengt: I cool center cool strengt:9 / 7:eat strengt: I -ero strengt: I cool strengt:9
7D1&& &$= I & &$= I 1&& &$(&(9/ 7&$= I &$= I &$(&(9 -- M
∑∑
=
==n
ii
n
iii
x f
x x f Centroide
0
0
)(
)(
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49emplo (cont):
6a coordenada :ori-ontal se toma como el >alor e+acto$ *n este e#emplo el >alor de 11$(P 7*nfriando9 parece lógico ya ,ue el e D1 G de input indica ,ue toda>iaesta Q T a pesar de ,ue ya se estaba enfriando 7 ∆e7`9 I?$= G' C 6!N 9$
1
=& & =& 1&&D1&&
Qeat NoDC:g Cool
11$(
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Sistemas de inferencia usando lógica difusa (cont):
• *l e#emplo anterior es basado en un modelo de inferenciadifuso llamado el modelo Yamdani
• tro modelo utili-ado es el modelo Sugeno 7tambi nconocido como modelo Ta`agi' Sugeno' ang o TS 9• n tercer modelo es el modelo Tsu`amoto• Cada modelo tiene características especificas ,ue lo
:acen mas ameno a ser usado en una implementacióndependiendo del problema a resol>er
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Sistemas de inferencia usando lógica difusa (cont):
• 6a principal diferencia entre los modelos es en lasconsecuencias de las reglas y en los m todos de
agregación y defu-ificacion
inpute+acto fu--ificador
controladordifuso.•reglas if t:en•agregación
defu ificador outpute+acto
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4l modelo 3amdani:
• Gue uno de los primeros m todos de control difusoobtenidos basados en la e+periencia de operadores
:umanos• *n el modelo Yamdani se pueden usar diferentesoperadores 7siempre ,ue sean TDnorm o TDconorm9
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#ariantes de 72norm ! 72conorm en modelos 3amdani:
"ara implementar un modelo Yamdani :ay ,ue asignar unoperador basado en las operaciones seleccionadas.• ANJ. 7usualmente TDnorm9 para calcular la fuer-a de disparo de
una regla con antecedentes ,ue usan ANJ• U. 7usualmente TDconorm9 para calcular la fuer-a de disparo de
una regla con antecedentes ,ue usan U• !mplicación. 7usualmente TDnorm9 para calcular consecuentes• Agregación. 7usualmente TDconorm9 para agregar consecuentes y
generar una función de pertenencia del output• Jefu-ificacion. para transformar la función de pertenencia 7outputdifuso9 a un output e+acto
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Union e Intersección de lógica difusa (1 ∪ 5< 1 ∩ 5) (cont) :
Cuatro posibles operadores TDnorm. Tmin7a'b9 min7a' b9 A∩ 8 7minimo9
Tap7a'b9 ab 7producto algebraico9 Tbp7a'b9 &∪ ( aI bD19 7producto limitado9
Tdp7a'b9 a if b 1' 7producto drastico9
b if a 1' & if a'b Z 1
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Union e Intersección de lógica difusa (1 ∪ 5< 1 ∩ 5) (cont) :
Cuatro posibles operadores TDconorm. S7a'b9 ma+7a' b9 A∪ 8 7ma+imo9 S7a'b9 aIbDab 7suma algebraico9
S7a'b9 1∩ (a I b9 7suma limitada9 S7a'b9 a if b &' 7suma drastica9 b if a &'
1 if a'b 2 &
Introducción a la lógica difusa4l d l 3 d i ( i i l)
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4l modelo 3amdani (original):
• !f + is A1 and y is 8 1 t:en - is C 1• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?• TDnorm min• TDconorm ma+
Introducción a la lógica difusa4l modelo 3amdani II:
-
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4l modelo 3amdani II:
•!f + is A
1 and y is 8
1 t:en - is C
1
• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?• TDnorm product• TDconorm ma+
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3odelo 3amdani de tres reglas con un input ! un output:
• sando composición ma+Dmin' defu-ificacion centroide• !f B is small t:en X is small• !f B is medium t:en X is medium• !f B is large t:en X is large
Introducción a la lógica difusa
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3amdani de cuatro reglas con dos input ! un output:
• sando composición ma+Dmin' defu-ificacion centroide• !f B is small and X is small t:en ; is negati>e large• !f B is small and X is large t:en ; is negati>e small• !f B is large and X is small t:en ; is positi>e small• !f B is large and X is large t:en ; is positi>e large
Introducción a la lógica difusa
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4l modelo Sugeno:
• tro modelo desarrollado para la inferencia difusa' utili-auna función como consecuente. !f + is A and y is 8 t:en - f7+' y9
• ; f7+' y9 es una función e+acta en el consecuente• f7+' y9 es un polinomio
Si f7+' y9 es constante el modelo Sugeno es de orden-ero
Si f7+' y9 es de primer orden el modelo Sugeno es deorden uno
Introducción a la lógica difusa
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4l modelo Sugeno (cont):
• *n el modelo Sugeno no es necesaria la defu-ificacion'ya ,ue cada regla tiene un output e+acto' alternati>as son.
"romedio ponderada de cada regla
Suma ponderada de cada regla 7- _1- 1 I _ ?- ?9
Introducción a la lógica difusa
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4l modelo Sugeno (cont):
• *l output continuo del modelo Sugeno de orden -erodepende de ,ue las funciones de pertenencia de los
antecedentes est n suficientemente traslapados
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d l d d f
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3odelo Sugeno con antecedentes exactos ! difusos:• Consideren un modelo Sugeno de un input.
!f B is small t:en X &$1+ I
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3odelo Sugeno con cuatro reglas< dos inputs ! un output:
• !f B is small and X is small t:en ; D+ I y I 1• !f B is small and X is large t:en ; Dy I H• !f B is large and X is small t:en ; D+ I H• !f B is large and X is large t:en ; + Iy I H
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3odelo 7suBamoto:
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3odelo 7suBamoto:• *n este modelo la función consecuente es un set difuso con
una función monotonica. !f + is A and y is 8 t:en - is C
• *l output de cada regla se define como un >alor e+actoinducido por la fuer-a de disparo de cada regla
• Cada regla tiene un output e+acto• *ste metodo no necesita defu-ificacion ya ,ue agrega los
outputs e+actos de cada regla usando el promedioponderado
Introducción a la lógica difusa
3odelo 7suBamoto con dos reglas dos inputs ! un output:
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3odelo 7suBamoto con dos reglas dos inputs ! un output:
• !f + is A1 and y is 8 1 t:en - is C 1• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?
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3odelo 7suBamoto con tres reglas un input ! un output
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3odelo 7suBamoto con tres reglas un input ! un output(cont):
• !f B is small t:en X is C1• !f B is medium t:en X is C?• !f B is large t:en X is CH
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input:
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input:
a9 rid partition. di>idir el espacio del input en celdas de igualtama o e igual distribución Sufre de un problema de dimensionalidad *#. Yodelo con H inputs y ? funciones 7large' small9 de
pertenencia por input. A' 8' C ^ ? H % reglas' Yodelo con 4 inputs y H funciones de pertenencia 7large'
medium' small9 por input. A' 8' C' J ^ H 4 %1 reglas' $$$
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)b9 Tree partition. di>idir el espacio de b s,ueda en celdas de
diferente tama o y basado en la lógica de un árbol• No tiene el problema e+ponencial de grid partition• Yuc:as >eces el significado de las >ariables no es tan gen rico
lingMísticamente como en rid 7no es tan ortogonal9• sado en el algoritmo CAUT 7Wang$ C:149
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)
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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)c9 Scatter partition. no cubrir el espacio de b s,ueda completo si no
,ue solo un subcon#unto de este• 6a partición es decidida por específicos pares de datos deinputDoutput
• *l significado de las >ariables no es gen rico linguisticamente• No es ortogonal y :ay traslapado posible
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3odelamiento difuso: reglas generales
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3odelamiento difuso: reglas generales
• Típicamente un sistema difuso tiene ,ue replicar 7o me#orar9 elaccionamiento de un sistema de control e+istente. n operador a cargo de un proceso en una planta ,uímica n operador a cargo de un tren del metro
n operador a cargo de monitorear una linea del metro n medico especialista en cierto diagnostico etc
• *l sistema difuso se con>ierte en un sistema e+perto en el cual las
reglas ,ue utili-a son dictadas por la lógica ,ue utili-a el e+pertooriginal 7reglas h conocimiento del dominio del problema9• Cuando solo se tienen pares de datos de input ^ output entonces
se pueden usar m todos para identificar el sistema y modelarlo7datos num ricos h conocimiento del dominio del problema9
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3odelamiento difuso: pasos
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3odelamiento difuso: pasos
"asos iniciales.• Seleccionar >ariables rele>antes de input y output• *legir un tipo especifico de sistema de inferencia• Jeterminar el numero de t rminos lingMísticos 7basados en
>ariables9• Jise ar una colección de reglas ifDt:en difusasJespu s de estos pasos iniciales típicamente se desea me#orar el
modelo.
• *legir funciones de pertenencia correctamente parametri-adas• Ye#orar las reglas y los parámetros de la funciones de
pertenencia• Uefinar los parámetros de las funciones de pertenencia usando
m todos de optimi-ación 7*#$ radiente' A' "'$$$9
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Logic< I444 6=4SS< ; < -HH/
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