INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICACUÁNTICA

Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica Los Postulados de la Mecánica Cuántica.

11

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

La Mecánica Cuántica se desarrolla en La Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espacios espacios vectoriales denominados espacios de Hilbert.de Hilbert.P b tP b t Para comenzar, repasaremos brevemente Para comenzar, repasaremos brevemente las ideas fundamentales relativas al espacio las ideas fundamentales relativas al espacio euclídeo tridimensional euclídeo tridimensional EE3.3.

22

v

OPERACIONES BÁSICAS

vOPERACIONES BÁSICAS

1) SUMA DE VECTORESEED d

321

3231

EvvSUMAla

EvyEvDados

3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

3

3,Evr

y

32211 Evrvr

• COMBINACIONES LINEALES

33

32211 Evrvr

3) PRODUCTO ESCALAR1v1v

2v

cos|||| vvvv

)(cos||||

1221

2121

oconmutativvvvvvvvv

)()( 3221321 linealidadvvsvvrvsvrv

||

0|| 2vvv

)(|| 221121

SchwarzCauchydesigvvvvvv

44

).( SchwarzCauchydesig

BASE ORTONORMALijji ee

3e vijji

erererv 332211

2e ii evrsiendo

1e 332211 eaeaeaa

3

332211 ebebebb

31

332211 ii

ibababababa

55

3

1

2

iiaaa

ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales

lineales complejos de dimensión finita lineales complejos de dimensión finita (para el desarrollo de la información (para el desarrollo de la información (p(pcuántica).cuántica). Los escalares son números complejosLos escalares son números complejos Los escalares son números complejos.Los escalares son números complejos. Usaremos la notación “braUsaremos la notación “bra--ket” de Dirac.ket” de Dirac. Cada vector estará representado por un Cada vector estará representado por un

“ket”:“ket”:ket :ket :

66

spropiedadeSUMA DE VECTORES

V

V

spropiedade

V )()(

V

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

complejonúmeroCcV

)( cccspropiedade

Vc )()(

)(

dccd

dcdc

)()( dccd

77

PRODUCTO ESCALAR yDados

CPropiedades

linealidaddcdc

symmetryskew

)(

dpositivida0

)(

Norma de un vector

Vector normalizado

braodualvector ""

CVdA

braodualvector

88

CVcadaA

A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:

cc

Demostración:

ccccc ][

DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

2||

99

INDEPENDENCIA LINEAL

V

0...0.....

,.......,

2111

1

mmm

m

ccccc

V

DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL = número máximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la base.

BASE ORTONORMAL

n,.......,, 21

njiijji

n

,....2,1,;

, ,, 21

iii

n

ii aa ;

1

1010

i1

Expresión del producto escalar y la norma a partir de las componentes.

i

n

iii

n

ii bya

11

n

iii

n

ii aba

1

2

1||;

Demostración:

iiijjijijijjii babababa

Demostración:

ijijiji

,,

iii aaa 2||

ii

iii ||

1111

OPERADORES LINEALESAOperador ˆ linealidad

A

AOperadorˆ AbAabaA ˆˆ)(ˆ

Iidentidadoperador

0Nnulooperador

ˆˆˆ

BABAC

BACoperadoresdesumaˆˆ)ˆˆ(ˆ

ˆˆˆ

BABAC )(

operadoresdeproducto

)ˆ(ˆˆˆ;ˆˆˆ BABABAC

ope ado esdep oducto

1212!ˆˆˆˆ¡ ABBAOJO

REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Un operador está representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada

A

AOperadorˆ

ˆnBase ,.......,, 21

j

n

jja

1

n

nnn

AAbAA ˆˆˆ

?¿;1

ii

n

ii bb

jj

ijjij

jiijj

j aAAabAaA

111

AA ˆ jiij AA

b1

a1

nAAA .. 11211

b.2

a.2

nAAA.....

.. 22221

1313

nb.

na.

nnnn AAA .......

21

VunitariovectorPROYECTORES

P

Pˆ

ˆPropiedades P

Pˆ

ˆ)1

PP

PSiˆˆ)3

00)22

PP)3

PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

l

k

llP

1

ˆ PP ˆˆ 2 l1

RELACIÓN DE CIERREn

D d l

1414

Ii

ii 1

Dada la base

n .......,,, 21

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

aA ˆ

a

Vector propio o autovector

Valor propio o autovalorp p

Los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.

La ecuación de autovalores siempre tiene solución

Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes

p p p

p

E ió t í ti 0....

d22221

11211

AaAAAAaA

n

n

Ecuación característica 0

............det

21

aAAA nnnn

1515Tiene n raíces complejas (autovalores) naaa .,..........,, 21

OPERADOR ADJUNTO O HERMÍTICO CONJUGADO

A AA ˆˆAA AAABABA ˆˆ)ˆˆ(

PROPIEDADES

AA

ABBAˆ)ˆ(

ˆˆ)ˆˆ(

AA ˆˆ OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMÍTICO)

1ª. Sus autovalores son números reales

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:

Demostración:

aA ˆ RaA ;ˆ aA RaA ;

AAAA ˆˆˆˆ Ra

1616

2ª. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre síson ortogonales entre sí.

Demostración:iii aA ˆ

ijiij aA ˆ

ijiij aA ˆijiij

ˆijiji aA

ijijij aa

00)( ijijij aa Siempre es posible encontrar, a partir de los vectores propios de

1717

un operador hermítico, una base ortonormal del espacio de Hilbert.

ˆ ˆˆOPERADOR INVERSO A 1ˆˆ ABˆˆˆˆˆ IBAAB

OPERADOR UNITARIO

ˆˆˆˆˆU

IUUUU ˆˆˆˆˆ

UEs decir: 1ˆˆ UU

Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso

Propiedades: p

A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.

B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones

1818

) p junitarias.

REPASO DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (con gráficos no riguroso para mejor comprensión)

• Bases ortonormales en el espacio de Hilbert

(con gráficos –no riguroso- para mejor comprensión)

0|;1|| 212211 uuuuuu|

2| u2|

p

0|;1|| 212211 vvvvvv

1| u

1|

1| uEjemplo gráfico en el espacio E2

|'|'|||

• Las componentes de un ket dependen de la base ortonormal en la que se exprese. Tomando n=2:

22112211 |'|'||| vcvcucuc¡NÚMEROS

COMPLEJOS!

19191| • Supondremos que el ket está normalizado COMPLEJOS!

Operadores en Operadores en H H : matrices 2 X 2: matrices 2 X 2

'||A

111211 'ccaa

2| u'|

'|| A

2

1

2

1

2221

1211

'ccaa

|A Valores propios y vectores propios Valores propios y vectores propios

1|1|ˆ1aA

|

|A

Si el operador es hermítico:

2|2|ˆ2aA 1| u

1. Sus valores propios son números reales (supondremos que no hay degeneración): 1 Los correspondientes vectores propios al ser ortogonales

2121 ,, aaRaa 1. Los correspondientes vectores propios, al ser ortogonales,

constituyen una base ortonormal de H.

1| 2|1|| 2|1|| 21 cc

20202|

EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios1.1. Encontrar la condición para que el Encontrar la condición para que el

vectorvector1)(0)cos(cos 2121 sensen

esté normalizado. esté normalizado. esté o a adoesté o a ado

1,0 es la base computacional es la base computacional (espacio de Hilbert de dimensión 2). (espacio de Hilbert de dimensión 2).

2. Demostrar la desigualdad de Cauchy2. Demostrar la desigualdad de Cauchy--SchwarzSchwarz

2||

Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es

csiendoc ;

Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es definido positivo, y defínase el vector

2121

;