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1
Marcia Takagui Ed. Ala 1
sala 216
ramal 6811
Introdução às Medidas em Física 1a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/4300152_2011/
* Baseada em Suaide/Munhoz 2006
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2
Objetivos da disciplina...
! Compreender a necessidade de se efetuar medidas na área de conhecimento chamada Física;
! Compreender os cuidados necessários para uma tomada de dados;
! Ser capaz de escolher e utilizar os equipamentos e procedimentos adequados;
! Ser capaz de elaborar e testar modelos teóricos; ! Estimar incertezas de medidas e avaliar a propagação das
mesmas; ! Sistematizar o armazenamento de dados através de tabelas; ! Analisar dados experimentais através da utilização de gráficos; ! Discutir criticamente os resultados obtidos.
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LABORATÓRIO DIDÁTICO Andar térreo do Edifício Principal (Ala Central).
SEMANALMENTE Falta significa perda do experimento. Não há aula de reposição.
ATRASO: TOLERÂNCIA DE 15 MINUTOS Acima deste valor o professor pode ou não autorizar a presença do aluno na aula. Conflitos de horários de trabalho ou outras atividades não serão considerados.
EXPERIMENTOS Realizados no laboratório em grupo 2 – 3 alunos Alunos devem assistir aulas nas turmas designadas Trocas apenas com a permissão da coordenação Segurança – Cuidados necessários com equipamentos, manuseio,
sandálias, cabelos soltos
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MATERIAL DA EXPERIÊNCIA O material e os instrumentos necessários na experiência deverão
estar na bancada do laboratório. Senão, deverão ser retirados pelo próprio aluno no balcão da sala
123, através da identificação e depósito de um documento. Ao final da aula, o aluno deverá devolver o material no mesmo
local.
PAPÉIS Folhas de papel milimetrado (10), de papel mono-log (5) e di-log (5) devem ser providenciadas pelos alunos.
CADERNO DE DADOS Cada aluno deve possuir um caderno para anotar todos os
resultados das medidas, cálculos, observações, referências, etc...
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FOLHA DE DADOS Ao final de cada aula, em que foram realizadas medições, o
grupo deve entregar ao professor uma folha com os dados experimentais obtidos (pode ser uma cópia de carbono ou Xerox). Sem esta folha o relatório não será aceito.
Além dos dados medidos o aluno deve anotar todos os dados relevantes ao experimento, como, por exemplo, o número do equipamento utilizado, as incertezas instrumentais, alturas, comprimentos, etc..
Se possível o professor irá verificar imediatamente se os dados são satisfatórios, apontando eventuais falhas graves nas medições.
OUTROS MATERIAIS: Calculadora Científica, Régua, etc....
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Haverá um total de 7 experimentos:
Pêndulo simples, aulas 1 e 2.
Densidade de sólidos, aulas 3 e 4.
Distância focal de uma lente, aula 5.
Queda livre, aulas 6 e 7.
Curvas características, aulas 8 e 9.
Resfriamento de um líquido, aula 10.
Cordas vibrantes, aulas 11 e 12.
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Um relatório pode ser entendido como a descrição detalhada, clara e objetiva de um trabalho realizado. Descrição detalhada significa que o relatório deve apresentar todos os detalhes que sejam realmente relevantes, omitindo detalhes supérfluos. Clareza e objetividade reduzem o esforço de leitura do relatório ao mínimo sem prejuízo da perfeita compreensão.
em nossa disciplina: servir como um treinamento para escrever textos científicos e ajudar a articular idéias.
O relatório deve ser um texto completo, dirigido a um leitor com conhecimentos suficientes para entender as experiências da disciplina, mas que nunca tenha visto nada sobre tais experiências.
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! Experiência I - Resultados de medições, cálculos e análise de dados ! Experiência II - Resultados de medições, cálculos e análise de dados +
Discussões e conclusões; ! Experiência III - Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos
e análise de dados + Discussão final e conclusões; ! Experiência IV - Introdução ao assunto + Descrição experimental +
Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões;
! Experiência V - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões;
! Experiência VI - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões + Referências bibliográficas; (completo)
! Experiência VII - Resumo do trabalho + Introdução ao assunto + Descrição experimental + Resultados de medições, cálculos e análise de dados + Discussão final e conclusões + Referências bibliográficas; (completo)
Prazo de entrega: 1 semana
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Tipos de avaliações Frequência em aula
Relatórios Científicos
Provas
Frequência: maior ou igual a 70%
Relatórios: Média dos relatórios >= 5,0
Provas : Média das provas >= 4,0
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Média Final:
Relatórios: Média dos relatórios >= 5,0
Provas : Média das provas >= 3,0
€
MR =
Rii=1
7
∑ − Rmin
6≥ 5,0
€
MP =P1 + 2P23
≥ 4,0
€
MF = 0,6*MR + 0,4 *MP ≥ 5,0
• P1 – aulas 1 a 7 (até o experimento 4) • P2 – aulas 1 a 12 (experimentos de 1 a 7).
Não há prova substitutiva.
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! Ler as informações da apostila; ! Ler o texto da apostila, referente a
cada experimento, antes da aula.
! “Não é aceitável a alegação de desconhecimento dos critérios e informações apresentados na
apostila”!
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Observações finais
Os cursos de laboratório são compostos de experiências realizadas pelos alunos. Não é um curso
de demonstração. Assim, a participação na sala de aula e interação entre os colegas e professor é
fundamental.
Cuidado com os equipamentos. Cada aluno é responsável pelo equipamento que utiliza.
Siga as normas de segurança. Siga as instruções dos professores e do corpo técnico
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Observações finais - Apostila e caderno: obrigatório trazer em todas as aulas - Papel de gráfico: comprar 3 tipos
- 10 folhas milimetrado - 5 monolog - 5 dilog
- Local e horário das aulas: - aulas semanais - sempre no andar térreo do Edifício Principal, Ala Central - a sala pode mudar a cada aula, havendo um quadro informativo no balcão da sala 123 - provas serão nos Auditórios Novo II (2ª a 5ª) e Adma Jafet (6ª) no horário da aula. Imprevistos serão avisados na tabuleta da sala dos técnicos.
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Observações finais - Horários de consultoria:
Serão avisados oportunamente.
- Locais da consultoria: Serão avisados oportunamente.
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Conceitos fundamentais em uma medida em Física
! O que é medir? – Medir significa quantificar uma grandeza com
relação a algum padrão tomado como unidade;
! Uma medida não é absoluta – O que acontece se eu repetir várias vezes? E se
outra pessoa fizer a mesma medida?
– Se eu usar outro instrumento? Qual o instrumento mais adequado para realizar uma medida?
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Peculiaridades de uma medida: objetos irregulares
2 3
O valor medido depende da região do objeto que é medida.
O que acontece se eu realizo medidas em regiões diferentes? Como expressar o resultado?
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Peculiaridades de uma medida: precisão do instrumento
2 3
2 3
Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada?
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Uma medida não é absoluta
! Irregularidades do objeto podem influenciar a medida final.
! As características do instrumento influem na medida.
! Mas, o que isso significa? – Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe
uma “dúvida” no resultado obtido.
– Como expressar essa “dúvida”? • Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual
é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?
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Erro e incerteza de uma medida
ERRO não é a mesma coisa que INCERTEZA!!!
! Erro = valor verdadeiro - valor medido
pode-se afirmar que toda medida experimental apresenta um erro, que precisa ser estimado e compreendido.
O valor do erro NUNCA pode ser conhecido!
! Incerteza = melhor estimativa do valor do erro
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Apresentando o resultado de uma medida com incerteza
! Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? – Forma mais comum
• (Valor ± incerteza) unidade – Ex: (24,50 + 0,05) cm
– Forma compacta • Valor(incerteza) unidade
– Ex: 24,50(5) cm
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2 3
(2,74 + 0,05) cm
Tenho certeza
Apresentando o resultado de uma medida com incerteza
! Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la?
Estou em dúvida
Incerteza! Em geral, metade da
menor divisão
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Apresentando o resultado de uma medida com incerteza
! Por que a incerteza é 0,05 e não 0,050 ou 0,053? – Em geral, a incerteza é expressa somente com 1 algarismo
significativo (opcionalmente 2 algarismos, caso o primeiro seja 1 ou 2)
– Caso o 1o. Algarismo seja >2, a importância do segundo é muito pequena e não vale a pena
! Note que a representação da medida deve levar em consideração a incerteza – (2,74 + 0,05) cm
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O que são algarismos significativos?
! São, como o próprio nome diz, algarismos que têm significado
! Ex: – (2,746 + 0,050) cm
• 2 tem significado (eu tenho certeza dele). O mesmo com 7
• 4 é um número incerto mas é uma estimativa plausível, sendo assim, também tem significado
• 6 não faz sentido, pois se o 4 já é um “chute”, qual a importância do 6? Então ele não tem significado.
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Regras para algarismos significativos
! Algarismos significativos são todos aqueles que temos certeza na medida mais o primeiro algarismo incerto (chute) – Pode-se utilizar dois algarismos incertos quando o primeiro
algarismo correspondente na incerteza é 1 ou 2 • Ex: (1,452 + 0,018) cm
! Zeros à esquerda não são significativos, enquanto os à direita podem ser. – Ex: 0,000043 tem apenas 2 algarismos significativos – Ex: 2,3500 tem 5 algarismos significativos
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Alguns exemplos
! Forma correta – (2,74 + 0,05) cm – 2,74(5) cm – (123,4 + 1,2) kg ou (123 + 1) kg
! Forma incorreta – (2,746 + 0,053) cm (dois algarismos na incerteza e primeiro
algarismo é >2) – (2,7455 + 0,0532) cm (incerteza com muitos algarismos) – (2,7 + 0,05) cm (a representação da medida não é
compatível com a incerteza)
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Como fazer no caso (1345 + 132) ml?
! A incerteza deve sempre apresentar 1 (ou 2, em alguns casos) algarismo significativo. – 132 possui 3 algarismos significativos – 130 também (zero à direita É significativo )
! Uso de potências – 1345 = 1,345 x 103
– 132 = 0,132 x 103 ! A forma correta é (1,34 + 0,13) x 103 ml ou ainda (1,34 + 0,13) l
(troca de unidades)
– O importante é representar com o número correto de algarismos significativos
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Exp I: Medidas de tempo e Pêndulo Simples – Parte I
Objetivos ! Medidas de tempo
– Pêndulo simples (parte I)
! Noções de estatística – Média e desvio padrão
– Incerteza de um valor médio
– Análise gráfica: histogramas
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O Pêndulo Simples O pêndulo é constituído por um ponto material
suspenso por um fio inextensível e sem massa; Apenas as forças peso e tração agem sobre o ponto
material; É válida a aproximação sen(θ) ≈θ, onde θ é o ângulo
entre o fio e a vertical, durante a oscilação.
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O Pêndulo Simples
Baseado nessas hipóteses, pode-se deduzir a relação entre o período de oscilação (T ) e o comprimento do fio (L):
onde g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do pêndulo.
gLT π2=
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30
O Pêndulo Simples
É possível construir um “pêndulo simples” com as condições que levam a essa expressão?
Não, porém podemos construir um pêndulo procurando nos aproximar das condições descritas.
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31
O Pêndulo Simples
Se a aproximação for razoável, isto é, as incertezas experimentais forem maiores que as diferenças entre a realidade e o modelo, a equação anterior descreverá nosso sistema físico.
Normalmente, uma teoria ou modelo é estudado dessa forma, com boas aproximações à realidade.
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Medidas de tempo: pêndulo simples
2 LT gπ=
Período não depende da massa nem da
amplitude de oscilação (estudos de Galileu)
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33
Medindo intervalos de tempo...
! Medir um intervalo de tempo significa medir um intervalo entre dois instantes diferentes
– 1 evento define um instante no tempo
– Para determinar o instante no qual 1 evento ocorre:
• T=0 – ocorre o evento • O evento deve ser processado (eletronicamente ou visualmente)
• Uma resposta deve ser enviada ao instrumento de medida (por exemplo, pressionar o botão do cronômetro)
• T=ΔT – o evento é registrado
‒ ΔT pode ser negativo!
» O experimentador se adianta para disparar o cronômetro
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34
Determinando o intervalo de tempo a partir de dois instantes
! Quer-se medir o intervalo de tempo
! Porém, os tempos de cada evento são registrados em instantes diferentes àqueles onde ocorreram os eventos.
! Os valores de ΔT0 e ΔT1 podem ser positivos (sinal é registrado após a ocorrência do evento) ou negativo (sinal é registrado antes da ocorrência do evento)
01 eventoevento ttT −=
0
1
0 0
1 1
evento
evento
medidoevento
medidoevento
t t T
t t T
= + Δ
= + Δ
1 0( )medidoT T T TT T
= + Δ −Δ
= + Δ
![Page 35: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Tmedido = T + ΔT
! ΔT corresponde à flutuação, ou incerteza na medida de tempo. – Como determinar?
– Pode ser muito maior que a incerteza instrumental!
! Similar ao problema da mesa
2 3
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Análise estatística de dados
! Quando flutuações de medidas têm origem aleatória (ou quase) pode-se fazer análises estatísticas. – Ex: As irregularidades da mesa – A flutuação no disparo de um cronômetro
! Nesse caso, pode-se separar as incertezas instrumentais destas de caráter aleatório, denominadas incertezas estatísticas.
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37
Como fazer uma análise estatística
! Suponha que você repita um determinado experimento várias vezes, utilizando sempre o mesmo instrumento e procedimento de medida – Cada medida efetuada apresenta um resultado
diferente devido ao caráter aleatório das flutuações experimentais (imperfeição da mesa, tempo de reação para disparar o cronômetro)
– A análise desse conjunto de medidas permite determinar um resultado mais confiável, bem como estimar uma incerteza mais realista.
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Conceitos importantes
! Média de um conjunto de medidas
! Desvio padrão de um conjunto de medidas – Grandeza que caracteriza a amplitude das flutuações
estatísticas observadas. É também a incerteza estatística associada a uma única medida efetuada.
! Incerteza do valor médio – Também denominado “desvio padrão da média”, é a
incerteza estatística do valor médio obtido.
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39
Média
! Se forem realizadas n medidas de uma mesma grandeza, e cada uma delas possuir a mesma incerteza, a média de um conjunto de medidas é dada pela média aritmética simples, ou seja:
1
lim
n
ii
verdn
yy
ny y
=
→∞
=
=
∑
Assim como cada medida é, por definição, diferente do valor
verdadeiro de uma grandeza, o valor médio também não corresponde ao valor verdadeiro de uma grandeza.
Quanto maior o número de medições, mais precisa é a medida
do valor médio.
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40
Desvio médio de um conjunto de medidas
! O desvio é definido como a diferença entre a medida e o valor médio verdadeiro:
! O desvio médio tende a zero:
! Então, o desvio médio não fornece informação relevante
i i verdd y y= −
1 1 1 1( )
0
n n n n
i i verd i verdi i i i
verd
d y y y yd y y
n n n n= = = =
−= = = − = − →∑ ∑ ∑ ∑
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Desvio padrão de um conjunto de medidas
! Utiliza-se o desvio quadrático
! O desvio padrão (σ), ou desvio quadrático médio de uma medida é dado por:
( )22i i verdd y y= −
( ) ( )2 2
1 1
1 11
n n
i verd ii iy y y y
n nσ
= =
= − ≈ −−∑ ∑
(n-1) vem do fato da definição de desvio padrão ser a diferença entre a medida e o valor médio verdadeiro, que não pode ser
obtido experimentalmente. Ver Seção 7.4 do Livro “Fundamentos da Teoria de Erros”, J. H. Vuolo
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42
Qual o significado do desvio padrão?
! Pode-se entender como sendo a “distância” média que qualquer medida tem em relação ao valor médio.
! O desvio padrão é o correspondente à incerteza estatística de uma única medida realizada. Cada medida, além da incerteza instrumental, possui uma incerteza estatística dada pelo desvio padrão.
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43
Qual a incerteza estatística do valor médio?
! De um conjunto de medidas, obtemos o seu valor médio ! Agora suponha que possamos repetir esse conjunto de
medidas k vezes e, em cada caso, obtem-se um valor médio
! O desvio padrão dos valores médios corresponde à incerteza estatística de cada valor médio da amostra
1 2 3, , , ..., ky y y y
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Qual a incerteza estatística do valor médio?
! Desvio padrão dos valores médios
! Substituindo a expressão para o valor médio na expressão acima, pode-se deduzir que o desvio padrão do valor médio vale:
( )21
1 k
m i verdiy y
kσ
=
= −∑
m nσ
σ ≈Incerteza estatística do valor médio de
uma medida
![Page 45: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/45.jpg)
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Atividade: Medida do período de oscilação de um pêndulo
! Teste a sua resposta em relação ao cronômetro – Qual o menor tempo que você consegue medir com o
cronômetro?
! Utilizando um cronômetro, cada aluno deve medir o intervalo de tempo para 8 períodos consecutivos de oscilação do pêndulo posicionado na frente da sala de aula – Note que um período de oscilação corresponde a um vai-e-volta
do pêndulo – Porque 8 períodos e não apenas 1?
! A medida deve ser realizada 5 a 8 vezes por aluno. – Assim, o número total de medidas será (5 a 8) x número de
alunos em sala.
![Page 46: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Tabela de 8T(s)
![Page 47: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/47.jpg)
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Tabela de 8T(s)
![Page 48: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/48.jpg)
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Atividades: Calcular média, desvio padrão e desvio padrão da média
! Média
! Desvio padrão
! Desvio padrão da média
1
n
iiy
yn
==∑
( )21
11
n
iiy y
nσ
=
≈ −− ∑
m nσ
σ ≈
![Page 49: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/49.jpg)
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É suficiente conhecer somente a média e o desvio padrão?
! Como os dados se distribuem em relação ao seu valor médio? Conhecer essa distribuição é importante?
! Exemplo: Joga-se um dado de 6 faces 200 vezes e obtem-se o número de ocorrências para cada uma das faces: – 1 = 35; 2 = 31; 3 = 37; 4 = 39; 5 = 27; 6 = 31
– Qual a probabilidade de sortear o número 1? E o número 4? • P(1) = 35/200 = 17.5%; P(4) = 39/200 = 19.5%
![Page 50: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Distribuição dos dados
! Saber avaliar a distribuição estatística dos dados é tão importante quanto obter a média e desvio padrão.
– No caso dos dadinhos, a distribuição tende a ser uniforme, ou seja, todos os valores têm igual probabilidade de ocorrerem.
– E no pêndulo? • Qual a probabilidade de, realizando uma medida, obter um
certo valor para o período de oscilação do pêndulo?
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51
Histogramas
! Histogramas são gráficos nos quais pode-se visualizar a distribuição dos dados obtidos
! No eixo-x coloca-se intervalos de ocorrência das medidas efetuadas
! No eixo-y coloca-se uma variável cuja amplitude reflita a probabilidade de obter um valor em um determinado intervalo de resultados (canais)
![Page 52: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Tipos de histogramas
! Número de ocorrências – Simplesmente conta-se o número de ocorrências em cada intervalo (canal)
para um determinado evento. – Mais simples e rápido de ser obtido
! Probabilidades ou frequências – Determina-se a probabilidade de medir um evento em um certo intervalo. A
probabilidade é o número de ocorrências no intervalo dividido pelo número total de medidas.
– O histograma é independente do número de medidas efetuadas ! Densidade de probabilidades
– O valor graficado corresponde à razão entre a probabilidade de ocorrência para um dado intervalo e o tamanho desse intervalo.
– Muito útil, pois o histograma é totalmente independente da escolha do intervalo e do número de medidas efetuadas.
![Page 53: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Como fazer um histograma
! Escolher a largura dos canais do histograma ! Escolher o centro de cada canal (tomar cuidado para
não sobrar espaços vazios) ! Contar o número de ocorrência para cada canal ! Obter a frequencia para cada canal e/ou a densidade
de probabilidade – Depende do tipo de histograma
! Desenhar o histograma em papel gráfico adequado (milimetrado, em geral)
![Page 54: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Exemplo
2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
Período (s)
[2,3[ → 1
[3,4[ → 0
[4,5[ → 2
[5,6[ → 4
[6,7[ → 1
medida período (s)1 2,42 5,33 5,84 6,15 5,56 4,77 4,18 5,2
Núm
ero
de o
corr
ênci
as
![Page 55: Introdução às Medidas em Física 1a Aula * ...fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/Aula01.pdf · Pêndulo simples, aulas 1 e 2. Densidade de sólidos, aulas 3 e 4. Distância focal](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052408/5c16f1ef09d3f263628cee48/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Atividade: histograma dos dados
! Ler a apostila, páginas 70-76.
! Com o conjunto de dados obtidos nesta aula, cada grupo deve fazer um histograma de número de ocorrências e apresentá-lo ao professor no término da aula ou início da aula que vem.
! Indique o valor médio e o desvio padrão, calculados anteriormente, no seu histograma