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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
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Conteúdo
● Erros e Aproximações Numéricas
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos
● Interpolação
● Ajuste de Curvas
● Zeros de Função
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos
● Integração Numérica
● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Conteúdo
● Integração Numérica
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Conteúdo
● Regra de Simpson
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Simpson
Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2.
Escolheremos os pontos extremos do intervalo mais o ponto médio do intervalo.
Observe que, mais uma vez, não há um motivo claro para fazer esta escolha de pontos
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Simpson
Nossa figura será algo como abaixo e a área demarcada a área da parábola interpoladora
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Simpson
Para facilitar o cálculo da área da parábola interpoladora, faremos uma transformação de coordenadas ilustrada na figura
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Simpson
Com esta translação não afetamos a área,
integraremos o polinômio
neste sistema de coordenadas sabendo que
p2(x)=a0+a1 x+a2 x2
a corresponde a −h2 ;a+h2 corresponde a 0 ;
b corresponde a h2
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Simpson
Integrando o polinômio teremos
ou
∫−h2
h2
p2(x)dx=∫−h2
h2
(a0+a1 x+a2 x2)dx=a0 x|−h2
h2 +a1x2
2|−h2
h2 +a2x3
3|−h2
h2
∫−h2
h2
p2(x)dx=2h2 a0+2a2
h23
3=
h2
3[6 a0+2a2h2
2 ]
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Simpson
Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades
p2(−h2)=a0−a1h2+a2h22= f (−h2)
p2(h2)=a0+a1h2+a2h22= f (h2)
p2(0)=a0=f (0)
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Simpson
Observe ainda que a soma
que comparando com
p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2)=a0−a1h2+a2h22+40+a0+a1h2+a2h2
2=6a0+2a2 h2
2
∫−h2
h2
p2(x)dx=h2
3[6 a0+2a2 h2
2 ]
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Simpson
nos dá o resultado
e como temos um polinômio interpolador, obtemos
∫−h2
h2
p2(x)dx=h2
3[6 a0+2a2 h2
2 ]=h2
3[ p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2) ]
∫−h2
h2
p2(x)dx=h2
3[ f (−h2)+4 f (0)+ f (h2) ]
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Simpson
Retornando ao sistemas de coordenadas original teremos
I≈∫a
b
p2(x)dx=h2
3[ f (a)+4 f (a+h2)+ f (b) ]=S2 ;h2=
b−a2
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Simpson
Vamos agora integrar o intervalo usando duas parábolas com o intervalo dividido exatamente ao meio, ou seja,
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Simpson
Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo
ou
S4=h4
3[ f (a)+4 f (a+h4)+ f (a+2h4)]+
h4
3[ f (a+2h4)+4 f (a+3h4)+f (b)]
S4=h4
3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ]
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Simpson
Continuando o processo teremos
Sn=hn
3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2
n−1
f (a+i hn)+2 ∑i=2,2
n−2
f (a+ihn) ] ;hn=b−an
;n par
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Simpson – Um exemplo
Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja,
mas agora pela regra de Simpson.
Temos aqui o impedimento de só podermos usar um número par de subintervalos
∫1
2dxx
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Simpson – Um exemplo
Simpson
Dois subintervalos
S2=h2
3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=2−1
2=
12
Sn=hn
3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2
n−1
f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2
n−2
f (a+ihn)]; hn=b−an
;n par
S2=h2
3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+12) ]=1
312 [ 11+
12+4
13 /2 ]=25
36=0,69 44
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Simpson – Um exemplo
Simpson
Quatro subintervalos
S4=h4
3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ];h4=
b−a4
=2−1
4=
14
Sn=hn
3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2
n−1
f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2
n−2
f (a+ihn)]; hn=b−an
;n par
S4=h4
3 [ f (1)+ f (2)+4 f (1+14)+4 f (1+3
14)+2 f (1+2
14) ]
S4=13
14 [ 11 +
12+4
15 /4
+41
7 /4+2
16 /4 ]=0,693253
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Simpson – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Agora temos algo ainda mais preciso pois
S2=0,69 44 ; S4=0,693253
∫1
2dxx
=ln (2)≈0,693147
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Integração numérica
Vamos a outro exercício um pouco mais focado
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Integração numérica – Outro exemplo
Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo de forma que o erro relativo entre as estimativas contíguas seja menor que 0,001. Use a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson.
∫3
4e x
xdx
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Integração numérica – Outro exemplo
Usaremos números pares de subintervalos no Método dos Trapézios para facilitar as comparações com os resultados do Método de Simpson
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Integração numérica – Outro exemplo
Trapézios
Dois subintervalos
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=ex
x
T 2=h2
2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=4−3
2=
12
T 2=12
12
[ f (3)+ f (4)+2 f (3+1 /2)]= 14
[6,695178+13,649537+2×9,461557 ]=9,816957
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Integração numérica – Outro exemplo
Trapézios
Quatro subintervalos
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=ex
x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=4−3
4=
14
T 4=12
14
[ f (3)+ f (4)+2 f (13 /4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)]
T 4=18
[6,695178+13,649537+2×7,935489+2×9,461557+2×11,338955 ]=9,727090
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
|T 4−T 2||T 2|
=|9,727090−9,816957|
|9,816957|=
0,0898669,816957
≈0,009154
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Integração numérica – Outro exemplo
Trapézios
Seis subintervalos
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=ex
x
T 6=h6
2 {f (a)+ f (b)+2 [ f (a+h6)+ f (a+2h6)+f (a+3 h6)+ f (a+4h6)+ f (a+5h6) ] }; h6=b−a
4=
4−36
=16
T 6=12
16
{f (3)+ f (4)+2 [ f (19 /6)+ f (20 /6)+ f (21 /6)+ f (22 /6)+ f (23 /6) ] }
T 6=112
{6,695178+13,649537+2× [7,493134+8,409487+9,461557+10,669441+12,056435 ] }=9,710402
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
|T 6−T 4||T 4|
=|9,710402−9,727090|
|9,727090|=
0,0166889,728090
≈0,001715
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Integração numérica – Outro exemplo
Trapézios
Oito subintervalos
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=ex
x
T 8=h8
2 {f (a)+f (b)+2 [ f (a+h8)+ f (a+2h8)+f (a+3 h8)+ f (a+4 h8)+ f (a+5h8)+f (a+6 h8)+ f (a+7h8)] }; h8=18
T 8=12
18
{f (3)+ f (4)+2 [ f (25 /8)+ f (26 /8)+ f (27 /8)+ f (28 /8)+ f (29 /8)+ f (30 /8)+ f (31 /8) ]}
T 8=116
{6,695178+13,649537+2× [7,283166+7,935489+8,659047+9,461557+10,351647+11,338955+12,434244 ] }
T 8=9,704557
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
|T 8−T 6||T 6|
=|9,704557−9,710402|
|9,710402|=
0,0058459,710402
≈0,0006010
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
Atingimos o valor solicitado
|T 8−T 6||T 6|
=|9,704557−9,710402|
|9,710402|=
0,0058459,710402
≈0,0006010
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Integração numérica – Outro exemplo
Simpson
Dois subintervalos
S2=h2
3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=4−3
2=
12
S2=13
12
[ f (3)+ f (4)+4 f (3+1 /2)]=16
[ 6,695178+13,649537+4×9,461557 ]=9,698491
Sn=hn
3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2
n−1
f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2
n−2
f (a+i hn)] ;hn=b−an
;n par
f (x )=ex
x
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Integração numérica – Outro exemplo
Simpson
Quatro subintervalos
S4=h4
3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4)] ;h4=
b−a4
=4−3
4=
14
S4=13
14
[ f (3)+ f (4)+4 f (13 /4)+4 f (15 /4)+2 f (14 /4)]
S4=1
12[6,695178+13,649537+4×7,935489+4×11,338955+2×9,461557 ]=9,697133
Sn=hn
3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2
n−1
f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2
n−2
f (a+i hn)] ;hn=b−an
;n par
f (x )=ex
x
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
|S4−S2||S2|
=|9,697133−9,698491|
|9,698491|=
0,0013579,710402
≈0,000139
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Integração numérica – Outro exemplo
Vejamos como nossas estimativas evoluem
Atingimos o valor solicitado
|S4−S2||S2|
=|9,697133−9,698491|
|9,698491|=
0,0013579,710402
≈0,000139
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Integração numérica – Outro exemplo
Dados tirados dos programas apresentados na página da disciplina
Enquanto a integral tem o valor
T 2=9,816957 ;T 4=9,727090 ;T 6=9,710402 ;T 8=9,704557
S2=9,698491 ; S4=9,697134 ; S6=9,697061 ; S8=9,697048
∫3
4e x
xdx=Γ(0,−3)−Γ(0,−4)≈9,697041899430811
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Integração numérica
Os resultados de Simpson indicam que este método é mais preciso
Mas é só pelo aumento no grau do polinômio?
É também pela escolha do ponto médio
E isto gera uma surpresa
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Integração numérica
Um exemplo simples...
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Integração numérica – Outro exemplo
Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson
o polinômio acima poderia ser qualquer outro do terceiro grau
∫2
5
(3−2 x+5 x2+x3
)dx
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Integração numérica – Outro exemplo
Analiticamente
ou
∫2
5
(3−2 x+5 x2+x3
)dx=(3 x−x2+
53
x3+
x4
4)|2
5=3×(5−2)−(52
−22)+
53×(53
−23)+
54−24
4
∫2
5
(3−2 x+5 x2+x3
)dx=335,25
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Integração numérica – Outro exemplo
Simpson com dois subintervalos
ou
f (x)=3−2 x+5 x2+x3
S2=h2
3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=5−2
2=
32
S2=h2
3 [ f (2)+ f (5)+4 f (2+32)]=1
332 [27+243+4×
8018 ]=1
21341
2=335,25
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Integração numérica – Outro exemplo
Analiticamente
Numericamente
S2=335,25
∫2
5
(3−2 x+5 x2+x3 ) dx=335,25
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Integração numérica
A pergunta é porque deu exato?
● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato
● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato
● No entanto, a escolha do ponto médio em Simpson permite que ele seja exato para um polinômio de terceiro grau
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Integração numérica
Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria
Temos erro zero se o integrando for um polinômio de até primeiro grau para Trapézios e até terceiro grau para Simpson
ET≈−h2
12(b−a) f ' '
(ξ); ES≈−h4
180(b−a) f (IV )
(ξ); h=b−an