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Introdução ao Processamento de Imagens Digitais
Neucimar J. Leite
IC-UNICAMP
e-mail: [email protected]
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Processamento de Imagens
• Introdução
• Filtragem e segmentação– operações lineares:
• Transformada de Fourier, convolução
– operações não lineares:• Morfologia Matemática
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Exemplo de aplicações:
• automação e visão artificial• reconhecimento de caracteres• análise de cromossomos • veículos autônomos• mapeamento de terrenos• detecção de alvos• tomografia computadorizada• ultra-sonografia• inspeção industrial• análise de imagens de satélites
em SIGs• etc
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Modelo de um sistema de PDI
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A imagem digital
• função 2D f
pixel
f(x,y)
x
y
(x,y)
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Processamento de baixo nível
Classes de operações:• operações pontuais• operações globais• operações de vizinhança:
- operações lineares : transformada de Fourier, convolução
- operações não-lineares: morfologia matemática
- operações híbridas
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Histograma h
• Operação global que fornece a freqüência de ocorrência dos níveis de cinza de f .
• Dá informações sobre a distribuição dos níveis de cinza a dinâmica da imagem
• Aplicações: filtragem, segmentação, reconhecimento de padrões e imagens.
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Algoritmo:
• Início
h[f(x,y)] = 0 {zera contadores de níveis de cinza}
Para cada valor f(x,y) faça
h[f(x,y)] = h[f(x,y)] + 1
Fim-para
Fim
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Exemplos de diferentes dinâmicas:
h
0 255
h
0 255
Imagem escura Imagem clara
255
h
0
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Exemplos de histogramas:
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Exemplos simples de aplicação:
255
255
90
255
255
100
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Observações:
• Um mesmo histograma pode estar associado a diferentes imagens.
• Sua informação é invariante com as operações de rotação e translação.
• Podemos considerar um histograma para cada banda espectral ou um histograma 3-D, por exemplo, referente às componentes RGB de uma imagem colorida.
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Transformações radiométricas ou de escala de cinza
• Independem da localização dos pixels na imagem.
• Em termos de implementação, podem ser represen-tadas por look-up-tables (LUT).
• Transformam um pixel de nível de cinza gi em um
nível de cinza gf .
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Uma tranformação radiométrica r :
• É uma aplicação I(Gi) F(Gf), tal que
Gi = [0,1,...,Ni],
Gf = [0,1,...,Nf] e
)( , , ifffii grgGgGg
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Exemplos de funções r : complemento ou negativo
gi
gf
0 255
255
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Realce de contraste (stretching)
gi
gf
0 255
255
p1 p2
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Imagem colorida
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Limiarização
gi
gf
0 255
255
Imagem binária
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Equalização histogrâmica
• Transformação radiométrica que visa aumentar a dinâmica dos níveis de cinza melhorando, por exemplo, o contraste de imagens obtidas sob péssimas condicões de iluminação.
• Idéia: gerar uma distribuição mais uniforme dos níveis de cinza um histograma planar.
p
h(p)
q
h(q)
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Exemplo de uma técnica de equalização:• Seja f uma variável no intervalo [0,1].
Uma transformação T no intervalo [0,1] é tal que:
g = T(f) (g(x,y) = T(f(x,y)), no nosso caso)• Visando monotonicidade e preservação da escala de cinza:
– T deve ser monotonicamente crescente no intervalo [0,1].
10 para 1)(0 ffT
0 1 f
g
fk
gk =T(fk)
1
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Consideremos, agora, a seguinte função T(f):
que representa a função de distribuição cumulativa (FDC) de f (esta função é monotonicamente crescente e varia de 0 a 1 em função de f).
• Conclusão: se T(f) é uma FDC, então ela pode ser empregada na defi-nição de uma nova imagem cuja distribuição dos níveis de cinza será mais uniforme.
f
f dwwpfTg0
1f0 )()(
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O caso discreto:
• Imagem:
n=M x N pixels com valores discretos k = 0,1,...,L-1:
•
onde: nk = número de aparições do nível k
pf(fk) = probabilidade de ocorência de fk
Assim:
10 )( kk
kf fn
nfp
.1,...,1,0 e 10 ),()(00
Lkffpn
nfTg k
k
jjf
k
j
jkk
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Exemplos:
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Imagem colorida
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Casamento de histogramas
• Transforma o histograma de uma imagem original fo de acordo com o histograma de uma imagem de referência fr.
• Sejam h(fo) e h(fr) os histogramas das imagens original e de referência, respectivamente.
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h(fo)
fo
h(fr)
fr
s=T[o]
o
v=G[r]
r
p(s)
s
p(v)
v
Imagem transformada: r = G-1(s)
imagem claraimagem escura
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Exemplos de casamento de histogramas
original referência modificada
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Filtragem
• Processamento local: pixels vizinhos têm, em geral, as mesmas características.– ruído: fenômeno de brusca variação de um pixel em
relação a sua vizinhança.
• Tipos gerais: linear, não-linear, híbrida.
• Domínio: espacial, freqüência
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Exemplo: domínio da freqüência
imagem original f espectro |F(u,v)|
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A transformada inversa de Fourier:
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Exemplo de filtragem:
imagem com ruído função H(u,v) imagem filtrada
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imagem de contornos
Exemplo de detecção de contorno:
imagem original função H(u,v)
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Princípio geral da filtragem linear:
F(u,v) G(u,v)H(u,v)
f(x,y) g(x,y)h(x,y)
• G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
(função de transferência)
• a TF inversa de G(u,v) define g(x,y)
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Caso discreto:
h = representação espacial da função de transferência H.
g(x, y) = f(i, j)h(x - i, y -j=0
N-1
i=0
N-1
j)
f = imagem de entrada de tamanho NxN
g = imagem resultante da filtragem TF G u v1[ ( , )]
f(x,y) g(x,y)h(x,y)
F(u,v) G(u,v)H(u,v)
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Convolução:
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Operação local de filtragem
• Convolução:
g(x, y) f(i, j)h(x i, y j)j n
n
i m
m
f(x,y)
x
y
h(x-i,y-j)
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Alguns exemplos
• Filtro média:
h 1
9
1 1 1
1 1 1
1 1 1Exemplo:
f =
10 10 10
10 90 10
10 10 10
10 10 10
10 18 10
10 10 10
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Exemplo: máscara 11x11
imagem com ruído
imagem filtradano domínio espacial
não preserva contornos
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original com ruído
média 3x3 média 17x17
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Detectores de contorno
• identificam transições bruscas na função f(x,y)
Operadores diferencias: o gradiente
f
f
xf
y
vetor:
magnitude:
ff
x
f
y
2 21
2
tgy
x1
direção:
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Gradiente de Roberts
d f x y f x y f x y2 1 1( , ) ( , ) ( , )
d f x y f x y f x y1 1 1( , ) ( , ) ( , )
x,y
x+1,y+1
x,y+1
x+1,y
1350
450
• vizinhança 2x2:
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Exemplo:
imagem original gradiente de Roberts
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Descontinuidades em x, y:
• Operadores 3x3 de Prewitt:
x
1 1 1
0 0 0
1 1 1
y
1 0 1
1 0 1
1 0 1
e Sobel:
x
1 2 1
0 0 0
1 1 1
y
1 0 1
2 0 1
1 0 1
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Exemplo: operadores de Prewitt
y
1 0 1
1 0 1
1 0 1
x
1 1 1
0 0 0
1 1 1 x y
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O Laplaciano
• derivada de segunda ordem:
h =
0 1 0
1 - 4 1
0 1 0
Exemplo:
f =
10 10 10
10 10 10
10 10 10
20 20
20 20
20 20
0 0 10
0 0 10
0 0 10
10 0
10 0
10 0
contorno
22
2
2
2f
f
x
f
y
passagem por zero
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Filtragem não-linear
• filtragem com preservação de contornos
• Filtros estatísticos da ordem:
Ex.: filtro da mediana (filtros estatísticos da ordem):
10 10 10
10 100 10
10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 100
valor mediano
f(x,y)ordenação
substitui
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Filtro da mediana
• Vantagens:– Elimina eficientemente o ruído impulsivo (ruído de Poisson).
– Não introduz novos valores de níveis de cinza na imagem.
– Preserva bordas e pode ser aplicado iterativamente.
• Desvantagem:– Elimina linhas muito finas e vértices dos objetos.
0100
0100
0100
0000
10100
10100
0
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Exemplo comparativo:
mediana
média
5x5
11x11
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Alternativa: Mediana separável
• Subdivide a vizinhança 2-D em linhas ou colunas; calcula a mediana destas e em seguida a mediana das medianas.
000
10100
10100
10
Mediana das linhas
10
10
0
mediana dasmedianas
Desvantagem: variante à rotação
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Filtro da ordem-k
• Substitui um pixel central M, numa vizinhança qualquer, pelo k-ésimo valor dos elementos desta vizinhança ordenados segundo sua magnitude.
504910
528010
515011
ordenação
10 10 11 49 50 50 51 52 80
filtro min filtro maxmediana
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Filtro da média com os k-vizinhos mais próximos
• Substitui um pixel central M pelo valor médio dos k níveis de cinza que mais se aproximam do valor de M.
535251
519050
404340 k=6
506
435051515253
0300
0300
0300k=8
M´=
M´= 7 M´= 30k=2
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Morfologia Matemática
• a análise da imagem:– segmentação– classificação
... .
...
...
.
...
..
..
.. ..
...
......
..
...
.
.
...
.
filtragem segmentação
classificaçãoestrela
cubo
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As transformações morfológicas
• Princípio:– comparação da imagem original com outra
menor denominada elemento estruturante
imagem
origem
elementos estruturantes Bx
8-conexo 4-conexo
conjunto X
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Operações morfólogicas básicas
• sobre conjuntos e funções: Erosão e dilatação– Dilatação: união de todos os pontos da imagem X, tal que
o elemento estruturante Bx intercepta X
imagem
= X
= Xc
Bx
imagem dilatada
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Exemplo de dilatação:
imagem original
Bx
imagem dilatada
B xX x B X( ) { , } 2
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Erosão
• conjunto dos pontos de X, tal que Bx esteja totalmente incluído em X
imagem
= X
Bx
imagem erodida
= Xc
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Exemplo de erosão:
B xX x B X( ) { , } 2
Bx
imagem original imagem erodida
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Para o caso de funções (imagens em níveis de cinza)
• dilatação:
B kf x k B( ) max{ , }
• erosão: B kf x k B( ) min{ , }
Bx
10 10 10
10 0 10
10 10 10
10 10 10
10 10 10
10 10 10
10 0 10
0 0 0
10 0 10
B f( )
B f( )
f
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Exemplos
imagem original dilatação erosão
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Abertura e fechamento morfológicos
• combinações de erosão e dilatação:
B B B
B B B
- abertura :
- fechamento:
Propriedades:
- operações duais, crescentes e idempotentes
- a abertura é anti-extensiva e o fechamento, extensivo
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Exemplos:Bx
original abertura fechamento
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Filtros morfológicos
• filtros essencialmente não-lineares:
- qualquer transformação crescente e idempotente
f g (f) (g) f , (f) ( (f))
Conclusão:
- erosão e dilatação não são filtros morfológicos
- abertura e fechamento são os filtros morfológicos básicos
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Exemplos
original com ruído filtragem por abertura
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Outros exemplos de operações elementares
• gradiente morfológico: grad f f fB B( ) ( ) ( )
original gradiente
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• Chapéu mexicano claro: CM f f fn ( ) ( )
original CM+
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• Chapéu mexicano escuro:CM f f fn ( ) ( )
originalCM-
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Exemplo:
imagem original imagem afinada
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Operações geodésicas e reconstrução
X
• métrica geodésica:
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Dilatação geodésica
X BY Y X1( ) ( ( ))
• dilatação de Y em X de tamanho 1:
X
Y
X Y1( )
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• dilatação de Y em X de tamanho infinito:
Xn Y( )
Xn
X X XY Y( ) ( (... ( ))) 1 1 1
n vezes
X
Y
(máscara)
(marcador) reconstrução
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Exemplo de aplicaçao:
• eliminaçao de partículas parcialmente incluídas na imagem
X X X' \ ( )
X X ( ) X '
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Reconstrução em níveis de cinza
f g g f11( ) min( ( ), )
fn
f f fg g( ) ( (... ( ))) 1 1 1
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• Reconstrução dual
marcador
máscara reconstruçao dual
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Esqueleto por zona de influência
iz Y p X j k i j d p Y d p YX i X i X j( ) { : [ , ], , ( , ) ( , )} 1
• zona de influência:
• esqueleto SKIZ: SKIZ Y X IZ YX X( ) \ ( )
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Segmentação morfológica• baseada na definição da Linha Divisora de Águas -LDA de uma função
mínimos regionais
LDA
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Cálculo da LDA:
A partir de limiarizações sucessivas da imagem:
X x f x ii { , ( ) }2 i = 0,...,N
• O conjunto Z das LDAs de f :
Z SKIZ X Zj X j jj ( \ )1 1 j = 1,..., N
Z Z jj
2 3 3 3 1 0 1 2 2 2 1 0 1
LDAs
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Exemplo de LDA:
original gradiente
LDA
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Próximos passos para a segmentação
• definir marcadores das regiões de interesse
imagem original marcadores definidos porlimiarização
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•Imposição dos marcadores na imagem gradiente:- definir uma imagem g da seguinte forma:
g x( ),
se x M
0, se x Mimpondo
marcadores
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• reconstrução dual de g:
min( , ) ( )f g gnova LDA
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Exemplo:
original gradiente
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gradiente
marcadores
LDA
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imagem segmentada !
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Conclusões
• PDI é uma área multidisciplinar
• outras sub-áreas (sub-problemas):– aquisisição– codificação / compressão– restauração– reconstrução etc.– arquiteturas específicas, linguagens
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• filtragem e segmentação de imagens de radar
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• Segmentação multiresolução