introduÇÃo a demanda de mercado funÇÕes constantes, lineares e quadrÁticas
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INTRODUÇÃO A DEMANDA DE MERCADO
FUNÇÕES CONSTANTES, LINEARES E QUADRÁTICAS
FUNÇÃO CONSTANTE
y = k ou f(x) = k
Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que y = f(x) = k, recebe o nome de função constante, portanto, o valor de y não varia com o aumento de x.
A representação gráfica de uma função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eixo x (abscissas), passando pelo ponto (0 , y).
FUNÇÃO CONSTANTE
Na prática, lidamos com muitas funções constantes. Mesmo sem saber nomeá-las, você já resolve situações
relacionadas a elas.
Por exemplo, um restaurante com sistema rodízio cobra R$ 20,00 por pessoa, não importando se ela
consome 0,2 kg, 0,5 kg, 2 kg, ... Assim, o preço único pago é sempre de R$ 20,00.
FUNÇÃO CONSTANTE
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:
(kgkg) – consumo x
(pp) – preço y
p
kg0 0,1 0,2 0,3 ... 0,9 1... 2
20
Logo, se relacionarmos o consumo x de cada pessoa ao valor pago, obteremos uma função f constante: f(x) = k
p = 20,00
FUNÇÃO CONSTANTE
Exemplo 1: y = - 3 Representação gráfica
-3
y = - 3
y
x
●
FUNÇÃO CONSTANTE
EXEMPLO 2:
y = 1, se 0 ≤x ≤ 2
5, se 2 ≤ x ≤ 5
Representação Gráfica
y
x
y = 5
y = 11
5
2 50
FUNÇÃO LINEAR
y = A.x ou f(x) = A.x
É a função f dada por y = A.x, com x Є R e A um número real qualquer não nulo (zero)
A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem ( 0 , 0 ) do sistema de eixos (plano cartesiano x,y), ou seja, a reta dessa função sempre irá passar pela origem do plano cartesiano (x,y). Sendo assim, necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta.
FUNÇÃO LINEAR
EXEMPLO: y = 4.xx y = 4.x
0 4.0 = 0
1 4.1 = 4
Representação no Gráfico
4
1
y = 4 . xy
x0
FUNÇÃO LINEAR AFIM
É a função f dada por y = A.x + B, com x Є R e A e B números reais não nulos (zero).
A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (x=0, y=B), ou seja, o valor do número real B, sempre será um ponto, que deverá ser marcado em cima da reta do y. Sendo assim, necessitamos de mais um ponto para a construção da reta.
y = A.x + B ou f(x) = A.x + B
FUNÇÃO LINEAR
Exemplo: y = 2.x + 1
Na tabela:
x y = 2.x + 1 y
0 2.0 + 1 1
2 2.2 + 1 5
0 2 x
5
1
y = 2.x + 1y
Representação no Gráfico
CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARESCONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES
APLICAÇÕES
Exemplo 1:Um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 20,00 a unidade. Acrescenta 50% ao custo e passa a vender o produto para seus clientes.
Construir um modelo linear que descreva:
a. A receita do comerciante em função das unidades vendidas do produto;
b. O lucro do comerciante em função das unidades vendidas;
c. O domínio da variável quantidade, nesse caso.
RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:
a.) Cálculo do preço de venda:
Custo por unidade: R$ 20,00
Acréscimo: 50% x R$ 20,00 = R$ 10,00
Preço de venda: R$ 20,00 + R$ 10,00 = R$ 30,00
A receita por unidade vendida é R$ 30,00 e, portanto, para q unidades devemos ter:
R = 30.q
CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:
b.) O lucro por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 20%, ou seja, R$ 10,00.
O lucro para q unidades vendidas será, portanto:
L = 10.q.
CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1:
c.) A quantidade pode variar de 0 a 100 unidades ou 0 ≤ Q ≤ 100, pois é a disponibilidade do comerciante para venda do produto.
APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 1:
R = 30. q , onde 0 q 100
R
q
Substituindo o valor de q, de 0 até 100 temos:
q R = 30. q R
0 30. 0 0
1 30. 1 30
2 30. 2 60
100 30. 100 3000
3000
0 100
1000
L = 10.q
R = 30.q
CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARESCONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES
Exemplo 2:Uma máquina de bordar tem 12 cabeças, isto é, é capaz de bordar um desenho em 12 camisetas ao mesmo tempo.
A máquina é comandada por um computador. O operador demora 30 minutos para inicializar a máquina (ligar a máquina, ligar o computador, carregar o programa etc.). A cada 10 minutos a máquina completa uma operação com os 12 desenhos.
a. Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função do tempo.
b. Qual o domínio da variável tempo?
c. Qual é a quantidade de bordados produzidos até as 11 horas?
RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:
a.) Começando a contar o tempo, a partir das 8 horas, a cada 10 minutos a máquina produz 12 bordados.
Para t minutos após as 8 horas temos:30’ tempo de preparação da máquina
t – 30’ tempo de operação da máquina
t – 30’ número de operações da máquina
10
t – 30’ . 12 número de bordados produzidos no tempo t
10
Chamando q a quantidade de bordados produzidos num tempo t teremos:
q = t – 30’ . 12 ou q = 12.t – 360 ou q = 1,2.t – 36
10 10
CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:
b.) Como a produção começa às 8 horas e 30 minutos, quando t = 30 min, e vai até as 12 horas, quando t = 240 min, então o intervalo que faz sentido para o cálculo da quantidade produzida, isto é, 30 ≤ t ≤ 240.
CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2:
c.) Das 8 horas às 11 horas temos 3 horas ou 180 minutos. Substituindo esse valor na equação de produção, obtém-se:
q = 1,2.t – 36
Substituindo t por 180 minutos:
q = 1,2.(180) – 36
q = 180 bordados
Obs.: Realmente, o tempo de operação da máquina é de 2 horas e 30 minutos ou 150 minutos. O número de operações da máquina é: 150 = 15.
10
Portanto, o número de bordados executados nessas 15 operações é: 15 x 12 = 180.
APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 2:
Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função (t ) do tempo e (q) para o bordado.
Tabela: fórmula [ qq = 1,2. t t – 36 ]
t h mint h min q q = 1,2. t t – 36 qq
8- 9 1 60 1,2 . 60 – 36 36
8-10 2 120 1,2 . 120 – 36 108
8-11 3 180 1,2 . 180 – 36 180
8-12 4 240 1,2 . 240 – 36 252
q
t 1 2 3 4
252
180
108
36
RESUMO
O nome de função linear é dado a toda função cuja representação gráfica seja uma reta.
Exemplo:
1) y =4, 0 x 3 2) y = 2x, 1 x 5 3) y = -4x+12, 0 x 3
Função Constante no Função Linear no Função Linear Afim no
Intervalo [ 0, 3 ] Intervalo [ 1, 5 ] Intervalo [ 0, 3 ]
3 x 1 5 x 3 x
4 10
2
12
yy y
00 0
y = A.x2 + B.x + C ou f(x) = A.x2 + B.x + C
É a função f definida por y = A.x2 + B.x + C, com x Є R e onde A, B e C são números reais quaisquer, com A ≠ 0.
O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade voltada para baixo, caso A seja negativo.
Exemplos: y = 3.x2 + 14.x + 5 A > 0, concavidade para cima
y = –2.x2 + 18 A < 0, concavidade para baixo
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Antenas ParabólicasParábola não é apenas o gráfico de uma
função do 2º grau. A forma de, parábola aparece também em antenas, que podem ser vistas em muitas casas, prédios e sítios.
A forma parabólica dessas antenas permite captar sinais fracos e dispersos, concentrando-os em um único ponto, para que sejam amplificados.
Hoje, graças às antenas parabólicas e aos satélites de comunicação, pode-se estar conectado não só a todo nosso território como a qualquer ponto do planeta, recebendo todo tipo de informação, seja noticiosa, científica, cultural ou esportiva, nos mais diversos idiomas.
Parabólica
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Construção da Parábola:A parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu
cruzamento com os eixos x e y, e seu vértice. O vértice da parábola posiciona seu eixo de simetria vertical.
Os pontos principais são:
a. Cruzamento com o eixo Ox
São as raízes (soluções x1 e x2) da equação do 2º grau A.x2 + B.x + C = 0
b. Cruzamento com o eixo Oy
É o ponto correspondente a x = 0, onde y = C.
c. Vértice, corresponde ao ponto (Xv ; Yv), que possui a seguinte fórmula para cálculo Pv ( - B ; - Δ ).
2.A 4.A
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Xv = – B ; Yv = – ∆
2.A 4.A
Vértice
Ponto C
X2X1
y
x
Eixo de Simetria
PONTO VÉRTICE Pv ( Xv ; Yv )
GRÁFICO
FUNÇÃO QUADRÁTICA
y = x2 – 4.x + 3 Então: A = 1, B = – 4 e C = 3
∆ = B2 – 4.A.C
∆ = (- 4)2 – 4.1.3
∆ = 16 – 12 = 4
x’= -(-4) + 2 = X1 = 3
x = - B ±√ ∆ 2.1
2. A x”= -(-4) – 2 = X2 = 1
2.1
A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 3 , 0 ) e ( 1 , 0 ).
Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:
A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , 3)
EXEMPLO 1:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Vértice da Parábola:
Fórmula: V= ( - B , - ∆ )
2.A 4.A
V= -(-4) , - (4)
2.1 4.1
V = ( 2, -1)
– 1
Ponto C
31
y
x
Eixo de Simetria
66
3
2
Ponto Vértice
X2
X1
Graficamente temos:
A = + 1, portanto:
A > 0, concavidade para cima
FUNÇÃO QUADRÁTICA
y = – x2 + 10.x – 16
∆ = B2 – 4.A.C
∆ = (+ 10)2 – 4. –1. –16
∆ = 100 – 64 = 36
X1 = - 10 + 6 = X1 = 2
x = - B ±√ ∆ = 2.(-1)
2.A X2 = - 10 – 6 = X2 = 8
2.(-1)
A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 2 , 0 ) e ( 8 , 0 ).
Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:
A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , -16)
EXEMPLO 2:
Então: A = -1, B = 10 e C = -16
FUNÇÃO QUADRÁTICA
– 16
Ponto C
82
y
Eixo de Simetria
9
5
Ponto Vértice
X1 X2
Vértice da Parábola:
Fórmula: V= ( - B , - ∆ )
2.A 4.A
V= -(10) , - (36)
2.-1 4.-1
V = ( 5, 9)
Graficamente temos:
A = - 1, portanto:
A < 0, concavidade para baixo
FUNÇÃO QUADRÁTICA
APLICAÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA
EXEMPLO:Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita (R) pela venda de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 10.q – 2.q² e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C = 2.q + 2,5 , determinar:
a. Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada.
b. A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor do lucro. Construa também o gráfico do Lucro “L” em função da quantidade “q”.
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
a.) Neste caso, precisamos substituir as equações acima na seguinte fórmula:
Lucro é igual a Receita total menos o Custo total ou
Lucro = Receita – Custo :
L = R – CL = 10.q – 2.q² – (2.q + 2,5) L = 10.q – 2.q² – 2.q – 2,5L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
b. Após substituirmos os valores no exercício “a” obtivemos uma função do 2º grau como resposta, para resolvermos a parte “b” calcularemos o ponto vértice dessa função. Lembrando que o ponto vértice tem a seguinte fórmula: Xv = – B ; Yv = – ∆
2.A 4.A
Então: A = – 2, B = + 8 e C = – 2,5
∆ = B2 – 4.A.C (+ 8)2 – 4. – 2 . – 2,5 64 – 20 = 44
A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 0,34... ; 0 ) e ( 3,66... ; 0 ).
4...63,68
2.244)8(
.2
A
Bx...34,0
4...63,68
1 q
...66,34
...63,682
q
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja:
A parábola cruza o eixo y no ponto ( 0 ; - 2,5 )
Vértice da ParábolaXv = – B ; Yv = – ∆
2.A 4.A
Xv = - (+8) + 2 Yv = - (+44) + 5,5 2. –2 4. –2
O vértice da parábola tem coordenadas PV = ( 2 ; 5,5 ).
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
0,34...
Ponto C(0 , -2,5)
3,66...
L
q
Lucro Máximo de 5, 5quando a quantidade é 2
5,5
-2,5
2
X1 (0,34 , 0)
X2
(3,66 , 0)
O gráfico da função quadrática L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0
O valor do Lucro Máximo é de 5,5 quando a quantidade vendida for igual a 2.
BIBLIOGRAFIA
MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2000.NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel, São Paulo, PEARSON, 2003.SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007.SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1994.SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1977.Complementar:GIOVANNI, J.R., Matemática Fundamental: 2º Grau – Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.SILVA, Ermes Medeiros, Estatística para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª ed., São Paulo: Atlas, 1999.
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