Intervalo (matemtica)Unintervalo(dellatninter-vallum, espacio, pausa)1es unespacio mtricocomprendido entre dos valores. Especficamente, unintervalo reales unsubconjunto conexode larecta real, es decir, unapartede recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real2.ndice[ocultar] 1Caracterizacin 2Notacin 2.1Intervalo abierto 2.2Intervalo cerrado 2.3Intervalo infinito 2.4Familia de intervalos 2.5Operaciones con intervalos 2.6Entorno simtrico 2.7Entorno reducido 3Nota 4Ejemplos grficos 5Clasificacin 6Propiedades 7Aritmtica de intervalos 8Generalizacin 9Vase tambin 10ReferenciasCaracterizacin[editar]Un intervalo reales una parte deque verifica la siguiente propiedad:Siepertenecen acon, entonces para todotal que, se tiene quepertenece a

Notacin[editar]Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes yparntesis; ambas notaciones estn descritas en elestndar internacionalISO 31-11.Intervalo abierto[editar]

No incluye los extremos. o bien Notacinconjuntistao en trminos de desigualdades:

En ladefinicindelmite ordinariode unafuncin realse considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulacin.En la topologa usual de la recta (o ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topologa. En la topologa usual de , un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].3Intervalo cerrado[editar]

S incluye los extremos. Que se indica: Notacinconjuntistao en trminos de desigualdadesIncluye nicamente uno de los extremos.

Con la notacino bienindicamos.En notacin conjuntista:

Y con la notacino bien,En notacin conjuntista:

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llamanfinitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy tiles en el anlisis matemtico y en los temas de topologa general, para el estudios de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.4. Se usan en definicin de funciones como la funcin mximo entero, o la funcin techo o funcin piso en matemticas discretas y para la solucin de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la funcin signo, etc.5Los intervalos finitos tienen un centro de simetra que es (a + b)/2, llamadopunto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es 6.Intervalo infinito[editar]Incluye un extremo e infinito por la derecha.

Con la notacinindicamos.En notacin conjuntista:

Sin incluir el extremo:

Y con la notacin,

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Con la notacinindicamos.En notacin conjuntista:

Sin incluir el extremo:

Y con la notacin,En notacin conjuntista:

Para todo valor real:

Y con la notacin,En notacin conjuntista:

Familia de intervalos[editar]Operaciones con intervalos[editar]En notacin conjuntista: supongamos el conjuntoA:

Esto se lee:Ason todos losxreales tales quexes menor que cuatro.Y el conjuntoB:

El conjuntoBabarca todos losx, reales, mayores que nueve.

El conjunto unin deAyBsera:

O tambin se puede anotar:

La unin de dos o ms conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

El conjunto interseccin deAyBno existe:

porqueAyBno tienen puntos en comn.

Definido el conjuntoC:

Es decir, que el conjuntoCtoma valores entre -3 y 15, siempre siendoxun nmero real.

El conjunto interseccin deAyCes:

El conjunto interseccin es aquel que toma los valores en comn entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simtrico[editar]Artculo principal:Entorno (matemtica)Un entorno simtrico o entorno de centroay radiorse representa:

Con la notacinindicamos.

Entorno reducido[editar]Un entorno reducido de centroay radiorse representa:

Con la notacinindicamos.

Unentorno reducidode un puntopes un entorno dep, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (1, 1) = {y: 1 b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan alconjunto vaco. (a,a), [a,a) y (a,a] denotan tambin al conjunto vaco. [a,a] denota alconjunto unitario{a}, tambin llamadointervalo degenerado. Estas notaciones tambin se utilizan en otras reas de las matemticas; por ejemplo, la notacin, denota unpar ordenadoenteora de conjuntos; lascoordenadasde unpuntoo unvectorengeometra analticaylgebra lineal; unnmero complejoenlgebra. Ambas notaciones admiten elsmbolo de infinito() para indicar que no hay cota.Ejemplos grficos[editar]

Grfica de una funcinen un intervalo.

Transformacin lineal de intervalos.

Transformacin lineal de intervalos.

Lnea numrica.

Clasificacin[editar]Se pueden clasificar los intervalos segn sus caractersticastopolgicas(intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o segn sus caractersticasmtricas(longitud: nula, finita no nula, infinita).La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, conab, yxperteneciente al intervalo:NotacinIntervaloLongitudDescripcin

Intervalo cerrado de longitud finita.

Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).

Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).

Intervalo abierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo a la vez abierto y cerrado.

Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

sin elementoceroConjunto vacoIntervalo abierto (a,a).

7Propiedades[editar] Lainterseccinde intervalos dees tambin un intervalo. Launinde intervalos deno siempre es un intervalo (lo ser si la interseccin es no vaca). Losconjuntos conexosdeson exactamente los intervalos.8 Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan segmento de recta, son conjuntos cerrados segn la topologa usual, conexos y compactos.9 La imagen por unafuncin continuade un intervalo dees un intervalo de. Esta es una formulacin delTeorema del valor intermedio. Segn la topologa usual de , un conjunto abierto es la unin de intervalos abiertos.10Aritmtica de intervalos[editar]SeanI= [a,b] yJ= [c,d] conaxb, ycyd.Entonces:a+cx+yb+d. Lo que justifica que I+J= [a+c,b+d]. I-J= [a-d,b-c]. Si se tomana,b,cydpositivos no nulos,IJ= [ac,bd] yI/J= [a/d,b/c].Generalizacin[editar]Un intervalon-dimensionalse define como un subconjunto de, que es elproducto cartesianodenintervalos:, uno en cada eje de coordenadas......

Entorno de centroay radio .En trminostopolgicos, en elespacio mtricousual los intervalos son lasbolasabiertas y cerradas. De manera ms general, se le llamavecindadoentornode centroay radio , al conjunto de puntosxcuya distancia aaes menor que .

Vase tambin[editar] Desigualdad Valor absoluto Intervalo unidad Particin de un intervalo Medida de LebesgueReferencias[editar]1. Volver arribaEchauri: Diccionario bsico Latino-espaol...2. Volver arribaDe Guzmn. Rubio:Integracin: teora y tcnicas"ISBN 84-205-0631-13. Volver arribaAyala y otros:Elementos de la Topologa general, Salamanca, Espaa,ISBN 84-7829-006-04. Volver arribaM. J. Mansfield: "Introduccin a la topologa"ISBN 84-205-0450-55. Volver arribaArizmendi. Carrillo. Lara:ClculoCecsa, Mexico D.F.6. Volver arribaSpivak:Calculus, tomo I7. Volver arribaHasser. La Salle. Sullivan:Anlisi matemtico I, define con ab y surgen los casos del singulete y del 8. Volver arribaChinn. Steenrod:Primeros conceptos de topologaISBN 84-205-0524-29. Volver arribaChinn. Steenrod:Primeros conceptos de topologaISBN 84-205-0524-210. Volver arribaMansfield:Introduccin a la TopologaISBN 84-205-4050-5 Skornyakov, L.A. (2001), Interval and segment, en Hazewinkel, Michiel(en ingls),Encyclopaedia of Mathematics, Springer,ISBN978-1556080104 Weisstein, Eric W. Interval(en ingls).MathWorld.Wolfram Research.