interpolazione approssimazione ai minimi quadrati -...
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Interpolazione
Claudio Estatico
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Interpolazione
e
Approssimazione
ai minimi quadrati
Interpolazione e Minimi quadrati
Interpolazione eapprossimazione ai minimi quadrati
1) L’approssimazione di funzioni: interpolazione e migliore approssimazione.
2
2) Esistenza e unicità del polinomio interpo-latore. Calcolo del polinomio interpolatore.
3) Migliore approssimazione mediante polinomi.
4) Esistenza e unicità del polinomio ai minimiquadrati. Calcolo del polinomio ai minimiquadrati. Retta e parabola ai min. quad.
Approssimazione di funzioni
Sia data la tabulazione
Interpolazione e Minimi quadrati
niyx ii ,...,1,0per, =
3
di una funzione y=f(x), con f:R→→→→R, di cui non si conosce lasua espressione analitica.
L’obiettivo è trovare una “nuova” funzione p(x), p: R →→→→R ,dotata di una rappresentazione analitica “semplice”, cheapprossimi la funzione f(x) (in modo tale che p(x) possaessere utilizzata al posto della f(x)).
niyx ii ,...,1,0per, =
Esempio
Si rileva la temperatura in una stanza ogni secondonell’arco delle 24 ore. Si hanno quindi a disposizione3600*24=86400 dati, ovvero le coppie
Interpolazione e Minimi quadrati
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in cui la variabile x si riferisce ai secondi, e la y allecorrispondenti temperature.
86400,...,1,0per, =iyx ii
La conoscenza, in forma analitica, di una funzione p(x) diforma semplice che approssima la funzione vera f(x) apartire dai punti di tabulazione (x i, yi), per i=1,…,n,permette un trattamento efficiente del modello matematicoche esprime il fenomeno, specie al calcolatore.
Interpolazione e Minimi quadrati
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Infatti
•per memorizzare la funzione basta memorizzare la leggeche definisce p(x), generalmente dipendente da menoparametri rispetto a f(x).
•posso approssimare, tramite la p(x), la f(x) anche inqualsiasi altro punto esterno alle ascisse xi di tabulazione.
Osservazione
Si arriva allo stesso problema quando di una funzione f(x)si conosce la sua espressione analitica ma questa ècomplicatada calcolare, da derivare o da integrare.
Interpolazione e Minimi quadrati
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complicatada calcolare, da derivare o da integrare.
Allora, in tal caso, tramite una tabulazione di f(x) si vuoledeterminare un “nuova” funzione p(x) dotata di unarappresentazione analitica “semplice” da valutare, daderivare o da integrare, che possa essere utilizzata al postodella f(x).
Tecniche per la soluzione del problema
Interpolazione
si cerca quella funzione (in una fissata famiglia di funzioni)che in opportuni punti (detti nodi) assumegli stessivalori
Interpolazione e Minimi quadrati
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che in opportuni punti (detti nodi) assumegli stessivaloridella funzione da approssimare.
Migliore approssimazione
si cerca quella funzione (in una fissata famiglia di funzioni)la cui “distanza” dalla funzione da approssimare risultaessere minima.
Interpolazione
Interpolazione e Minimi quadrati
funzione f(x) da approssimare,conosciuta attraverso una suatabulazione (xi, yi)
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Punti (detti nodi di interpolazione) in cui la funzione f(x) e la sua approssimazione p(x) devono coincidere
Interpolazione polinomiale
Si cerca il polinomio p(x)∈∈∈∈Pn , dove Pn rappresental’insieme dei polinomi di grado ≤≤≤≤ n, del tipo
Interpolazione e Minimi quadrati
nxaxaxaaxp +++≡ ...)( 2
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tale che
Risultato fondamentale: il polinomio p(x), detto polinomio interpolatore, esiste ed è unico.
nn xaxaxaaxp +++≡ ...)( 2
210
niyxp ii ,...,2,1,0,)( ==
Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore (n=3)
Trova
tale che , ossia tale che
Interpolazione e Minimi quadrati
33
2210)( xaxaxaaxp +++≡
32 yxaxaxaa =+++
niyxp ii ,...,2,1,0,)( ==
10
Questo è un sistema lineare 4××××4 in cui le incognite sono i 4parametri a0, …, a3 che definiscono il polinomio.
3333
232310
2323
222210
1313
212110
0303
202010
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
=+++=+++=+++=+++
Il determinante della matrice del sistema è
Interpolazione e Minimi quadrati
32
31
211
30
200
1
1
1
xxx
xxx
xxx determinante diVandermonde
11
il quale è ≠≠≠≠0 nel caso in cui xi ≠≠≠≠ xk per i≠≠≠≠k (nodi distinti).
Pertanto la soluzione esiste ed è unica, e quindi ilpolinomio interpolatore esiste ed è unico.
33
233
32
222
1
1
xxx
xxx
Approssimazione mediante
polinomio di grado 3
Interpolazione e Minimi quadrati
funzione f(x) da approssimare,conosciuta attraverso unasua tabulazione xi, yi , i=0,1,2,3
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punti in cui la funzione ed il polinomio devono coincidere
Esistenza ed unicità del polinomio interp. (caso generale)
Trova
tale che
Interpolazione e Minimi quadrati
nn xaxaxaaxp ++++≡ ...)( 2
210
nn yxaxaa =+++ ... 00010
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Questo è un sistema lineare (n+1)××××(n+1) in cui le incognitesono gli n+1 parametri a0, …, an
nnnnn
nn
n
yxaxaa
yxaxaa
yxaxaa
=+++
=+++=+++
...
....
...
...
10
11110
00010
Il determinante della matrice del sistema è
Interpolazione e Minimi quadrati
( )∏ −= ijn
n
n
xxxxx
xxx
xxx
2222
1211
0200
...1
...1
...1 determinante diVandermonde
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il quale è ≠≠≠≠0 nel caso in cui xi, ≠≠≠≠ xk per i≠≠≠≠k (nodi distinti).Pertanto la soluzione esiste ed è unica, e quindi ilpolinomio interpolatore esiste ed è unico. Possiamoriassumere il risultato tramite il teorema seguente:
( )∏≤<≤
−=nji
ij
nnnn
xx
xxx
xxx0
2
222
...1
...............
...1
Teorema (esistenza e unicità)
Dati gli n+1 punti, detti nodi di interpolazione,
Interpolazione e Minimi quadrati
,se,,,...2,1,0per),,( kixxniyx kiii ≠≠=
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esiste ed è unico il polinomio interpolatore p∈∈∈∈Pn, ossia ilpolinomio p∈∈∈∈Pn tale che
niyxp ii ,...,2,1,0,)( ==
Osservazione
Sulla base di quanto visto, per trovare il polinomiointerpolatore su n+1 nodi è sufficiente risolvere un sistemalineare in n+1 incognite.
Interpolazione e Minimi quadrati
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La soluzione del sistema ci fornisce i coefficienti delpolinomio.
Esistono tuttavia delle formule che danno in modo direttoil polinomio interpolante, senza la necessità di risolvereilsistema di Vandermonde.
Polinomio ai minimi quadrati
Si cerca quel particolare polinomio di grado n la cui“distanza” dai punti della tabulazione è minima.
Questo problema rientra in una classe più ampia diproblemi, detta “migliore approssimazione”
Interpolazione e Minimi quadrati
17si minimizza la distanza
a b
famiglia di funzioni
funzione da approssimare
Consideriamo una tabulazione {{{{f(x0), f(x1),,…, f(xm)}}}}sull’insieme degli m+1 nodi{{{{x0, x1,…, xm}}}} in [a,b].
L’obiettivo è determinare un polinomio p(x)∈∈∈∈Pn , dove Pnrappresenta l’insieme dei polinomi di grado≤≤≤≤ n, del tipo
Interpolazione e Minimi quadrati
nnn xaxaxaaxp ++++≡ ...)( 2
210
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tale che la distanza
sia minima tra tutti i polinomi di grado ≤≤≤≤ n.Si osservi che si sommano i quadrati delle distanze in ogni
punto, da cui il nome “ai minimi quadrati”.
2/1
1
2))()((
−∑=
m
iiin xfxp
nn xaxaxaaxp ++++≡ ...)( 210
Nel caso P1(x)=a+bx, ossia si cerca la retta ai minimiquadtati nell’insieme di tutte le rette, graficamente si ha
Interpolazione e Minimi quadrati
famiglia di rette: p(x)=a+bx
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Si determinano i parametri a,b che minimizzano la distanza:min g(a,b)=[∑i (f(x i)-(a+bxi))2]1/2
a b
funzione f(x) da approssimare nota attraverso una sua tabulazione f(xi)
Nel caso P2(x)=a+bx+cx2, ossia si cerca la retta ai minimiquadtati nell’insieme di tutte le rette, graficamente si ha
Interpolazione e Minimi quadrati
famiglia di parabole: p(x)=a+bx+cx2
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Si determinano i parametri a,b,c cheminimizzano la distanza:min g(a,b,c)=[∑i (f(x i)-(a+bxi+cxi
2))2]1/2
a b
funzione f(x) da approssimare nota attraverso una sua tabulazione f(xi)
Esistenza e unicità del polinomioai minimi quadrati
Consideriamo una tabulazione {{{{f(x0), f(x1),,…, f(xm)}}}}sull’insieme degli m+1 nodi{{{{x0, x1,…, xm}}}} in [a,b].Siam>=n.
Interpolazione e Minimi quadrati
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Siam>=n.
Allora il polinomio p(x) ∈∈∈∈Pn , dove Pn rappresenta l’insiemedei polinomi di grado ≤≤≤≤ n, che approssima i valori dellatabulazione ai minimi quadrati
esiste ed è unico.
Costruzione del polinomio ai minimi quadrati
Il polinomio ai minimi quadrati si può facilmentedeterminare risolvendo un sistema lineare associato.
In particolare, data la tabulazione {{{{f(x0), f(x1),,…, f(xm)}}}}sull’insieme degli m+1 nodi {{{{x0, x1,…, xm}}}}, il polinomiop(x)∈∈∈∈P del tipo si ottiene
Interpolazione e Minimi quadrati
nxaxaxaaxp +++≡ ...)( 2
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p(x)∈∈∈∈Pn del tipo si ottienerisoilvendo il sistema lineare quadrato (n+1)*(n+1)seguente
dove è la matrice rettangolare(m+1)*(n+1) di Vander-monde contenenti i valori , ed y è il vettorecolonna di m+1 elementi contenente i valori yi=f(xi) peri=0,1,…,m.
yVVaV tt =1
1,−
−= jiji xV
V
nn xaxaxaaxp +++≡ ...)( 2
210
Riassumendo, dal sistema lineare
con
Interpolazione e Minimi quadrati
yVVaV tt =
= n
n
n
xxx
xxx
xxx
V
MMMMM
L
L
L
2222
1211
0200
1
1
1
= y
y
y
y
M
2
1
0
23
si ottiene così il vettore contenente i coefficienti
del polinomio di migliore
approssimazione
nmmm xxx L
MMMMM
21
my
M
=
na
a
a
a
a
M
2
1
0
012
2)( axaxaxaxp nnn ++++= L
Poiché la matrice è non singolare per ogni n,m>0, siottiene che il polinomio ai minimi quadrati esiste ed unico.Questo giustifica l’esisitenza e unicità già osservata.
Vediamo un paio di esempi:
Interpolazione e Minimi quadrati
VV t
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• caso n=1: Retta ai minimi quadrati (detta anche retta diregressione lineare);
• caso n=2: Parabola ai minimi quadrati.
Retta ai minimi quadrati (n=1)
La matrice del sistema lineare divienequindi
Interpolazione e Minimi quadrati
yVVaV tt =
=
= 2,11,12
1
0
1
1
1
11111 ssx
x
x
VV t
25
ed il termine noto
=
=
2
12
1
0
210
11111
c
c
y
y
y
y
xxxxyV
m
m
t
MK
=
=2,22,1
2210
1
1ss
x
xxxxx
VV
m
mMM
K
ossia il sistema quadrato 2X2 del tipo
Interpolazione e Minimi quadrati
=
2
1
1
0
2,22,1
2,11,1
c
c
a
a
ss
ss
cSa =
26
che, una volta risolto, consente di determinare i duecoefficienti della retta
che risulta essere la retta ai minimi quadrati, o retta diregressione lineare.
011 )( axaxp +=01 aa
Parabola ai minimi quadrati (n=2)
La matrice del sistema lineare divienequindi
Interpolazione e Minimi quadrati
yVVaV tt =
=
= 3,22,21,2
3,12,11,1
2
211
200
210 1
1
1
1111
sss
sss
xx
xx
xx
xxxxVV mt
L
L
27
ed il termine noto
=
=
3
2
1
2
1
0
222
21
20
210
1111
c
c
c
y
y
y
y
xxxx
xxxxyV
m
m
mt
ML
L
L
=
=
3,32,31,3
3,22,21,2
2
222
222
21
20
210
1
1
sss
sss
xx
xx
xxxx
xxxxVV
mm
m
m
MMML
L
ossia il sistema quadrato 3X3 del tipo
Interpolazione e Minimi quadrati
=
3
2
1
2
1
0
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
c
c
c
a
a
a
sss
sss
sss
cSa =
28
che, una volta risolto, consente di determinare i trecoefficienti della parabola
che risulta essere la parabola ai minimi quadrati.01
222 )( axaxaxp ++=
012 aaa