interpolation and polynomial approximationwp.kntu.ac.ir/mojra/interpolation and polynomial...

درون يابي و تقريب چند جمله ايها اي چندجمله :توابع هاي رده مفيدترين از يكي•

• = + + +⋯+پيوسته توابع زدن تقريب :مهم كاربرد•

Stone) :وايرشتراس استون تقريب قضيه• Weierstrass approximation) آنگاه باشد، مثبت دلخواه حقيقي عدد ɛ و پيوسته [a,b] بر f تابع اگر–

:بطوريكه دارد وجود [a,b] بر p مانند اي چندجمله– − ( ) <

انتگرال و مشتق اينستكه توابع تقريب در ها اي چندجمله مهم خاصيت– .است محاسبه قابل سادگي به اي چندجمله هر نامعين

Session5: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra1/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي


درون يابي و تقريب چند جمله ايياب درون اي چندجمله :تعريف•

باشد، نقاط اين در معلوم تابعي f و متمايز دوبدو نقطه xn,…,x1,x0 ،n+1 اگر– از كه است n درجه از حداكثر اي جمله چند يك f ياب درون اي چندجمله

:بطوريكه بگذرد، فوق هاي گره يا نقاط– = = , , … ,– = − ∶

.x0=0 حول ex تابع زدن تقريب براي تيلور بسط اي چندجمله از استفاده :مثال–– = , = + , = + +– = + + + , = + + + +



• = + + + + +



Session5: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

y = 0.15x2 + 1.11x + 4.21

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Series1Poly. (Series1)

5/24


به را (x1,y1) و (x0,y0) نقاط از عبوري خطي ياب درون اي چندجمله•:كنيم مي تعريف زير شكل

• = , = الگرانژ ياب درون اي چندجمله .شود مي گفته الگرانژ ضرايب ،ضرايب اين به•

:بود خواهد زير بصورت• = += + ( )


الگرانژاي چندجملهدرون يابي و

6/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي:رابطه اين در كه كنيد توجه•

• = , = , = , =• → = , =

را (5,1) و (2,4) نقاط از عبوري الگرانژ خطي ياب درون اي چندجمله :مثال• .كنيد محاسبه

• = = − ,• = , = − +


درون يابي و تقريب چند جمله اي :امn درجه الگرانژ ياب درون اي چندجمله تر عمومي حالت•

شكل به را نقطه (n+1) از عبوري n حداكثر درجه با را الگرانژ اي چندجمله:كنيم مي تعريف زير

• , , ( , ),…, ( , )


درون يابي و تقريب چند جمله اي:كنيم مي تعريف زير شكل به راالگرانژ ضرايب•

• , = … ….( )… …( )• = → , =1• = , + ⋯+ ,

( ) = , , = ( − )( − )




The interpolation formula named for Joseph LouisLagrange (1736–1813) was likely known by IsaacNewton around 1675, but it appears to first havebeen published in 1779 by Edward Waring (1736–1798). Lagrange wrote extensively on the subject ofinterpolation and his work had significantinfluence on later mathematicians. He publishedthis result in 1795.

10/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي,x0=2 هاي گره مقادير از استفاده با :مثال• x1=2.75, x2=4 1 تابع/x با را

از استفاده با سپس .بزنيد تقريب 2 درجه الگرانژ ياب درون اي چندجمله .بيابيد را f(3)=1/3 مقدار آمده بدست اي چندجمله

• = ( . )( )( . )( ) = ( − . )( − )• = ( )( )( . )( . ) = − − −• = ( )( . )( )( . ) = ( − )( − . )• = = , = . = , = =• ( ) = ∑• = − . − − − − + ( − )( − . )



• ( ) = − +• = − + = .


درون يابي و تقريب چند جمله اي:الگرانژ روش خطاي ميزان•

در معلوم تابعي f و [a,b] بازه در متمايز نقطه xn,…,x1,x0 ،n+1 اگر– هر براي باشد، n درجه از الگرانژ ياب درون اي چندجمله p و نقاط اين:بطوريكه دارد وجود ξ مانند عددي [a,b] بازه در x مانند اي نقطه

– = + ! ( − )( − )… − ,– ( ) ( , )

• ! ( − )( − )… − : Session5: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

13/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي محاسبه را الگرانژ يابي برون خطا ماكزيمم مقدار و خطا فرمول قبل مثال در•

.نماييد

• = → ! − − − , = −• = − − − . − ( , )• = ,• :• = − − . −

:آورد بدست نيز را تابع اين ماكزيمم توان مي گيري مشتق با•• = & = − → = .


درون يابي و تقريب چند جمله اي:الگرانژ روش اشكاالت•

.است مشكل ها Li(x) محاسبات– و نيست پايدار قبلي محاسبات كنيم، اضافه محاسبات به نقطه يك اگر–

.كرد آغاز مجدداً را محاسبات كليه بايد


Divided Differenceروش نيوتن

15/24

درون يابي و تقريب چند جمله اينيوتنتقسيم شده تفاضالت :روش نيوتن•

معلوم در اين نقاط تابعي fمتمايز و دوبدونقطه xn,…,x1,x0 ،n+1اگر –:تعريف مي كنيمباشد،

– = = = , , … ,– , = = = , , … ,– , , , … , = ,…, ,…,

عملگر f[xj-1,xj]تقسيم شده مرتبه صفر، به تفاضل عملگر f[xj]به – تفاضل عملگر f[xj-1,xj,…,xj+k]مرتبه اول و به تقسيم شده تفاضل

. ام گفته مي شود (k+1)تقسيم شده مرتبه Session5: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

16/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي:n=4 براي نيوتن شده تقسيم تفاضالت جدول•


xi fi stage1 stage2 stage3 stage4

x0 f0

x1 f1 f[x0,x1]

x2 f2 f[x1,x2] f[x0,x1,x2]

x3 f3 f[x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3]

x4 f4 f[x3,x4] f[x2,x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] f[x0,x1,x2,x3,x4]

17/24

درون يابي و تقريب چند جمله ايبخش اين در•


18/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي.دهيد تشكيل را زير نقاط براي را نيوتن شده تقسيم تفاضالت جدول :مثال•


xi 0 1 2 3 5 6fi -1 2 11 32 134 227

xi fi Stage1 Stage2 Stage3 Stage4 Stage50 -11 2 32 11 9 33 32 21 6 15 134 51 10 1 06 227 93 14 1 0 0

19/24

درون يابي و تقريب چند جمله اي اين در معلوم تابعي f و متمايز دوبدو نقطه xn,…,x1,x0 ،n+1 اگر :قضيه•

بصورت نقاط اين از استفاده با f ياب درون اي چندجمله آنگاه باشد، نقاط:است زير

• = + , − + [ , , ] − −+⋯+ , ,… , − − …( − ).بيابيد را قبل مثال ياب درون اي چندجمله :مثال•

• = − + − + − − + − − −+ − − − −+ − − − − −• ( ) = + −


درون يابي و تقريب چند جمله اي دقت كه باشد مي تري پيشرفته اصالحات داراي نيوتن روش•

به پيشرفته عددي محاسبات درس در و دهد مي افزايش را روش.شد خواهد پرداخته آنها




Software Programming

22/24

interpolation and polynomial approximationwp.kntu.ac.ir/mojra/interpolation and polynomial...

Documents